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2025高考数学一轮复习-8.2-空间点、直线、平面之间的位置关系【课件】
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这是一份2025高考数学一轮复习-8.2-空间点、直线、平面之间的位置关系【课件】，共57页。PPT课件主要包含了命题说明，必备知识·逐点夯实，一条直线，不共线，两个点，l⊂α，有且只有一条，P∈l，a∥c，对应平行等内容，欢迎下载使用。
【课标解读】【课程标准】1.借助长方体,在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上,抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义,了解四个基本事实和一个定理.2.能运用基本事实、定理和已获得的结论证明空间基本图形位置关系的简单命题.【核心素养】直观想象、数学运算、逻辑推理.
知识梳理·归纳1.四个基本事实基本事实1:过不在__________上的三个点,有且只有一个平面.符号:A,B,C三点________⇒存在唯一的α使A,B,C∈α.基本事实2:如果一条直线上的________在一个平面内,那么这条直线在这个平面内.符号:A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α⇒_____.基本事实3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们______________过该点的公共直线.符号:P∈α,且P∈β⇒α∩β=l,且_____.基本事实4:平行于同一条直线的两条直线______.符号:a∥b,b∥c⇒_____.
2.基本事实的三个推论推论1:经过一条直线和这条直线____一点,有且只有一个平面.推论2:经过两条______直线,有且只有一个平面.推论3:经过两条______直线,有且只有一个平面.
3.空间点、直线、平面之间的位置关系
微点拨 (1)直线在平面外分直线与平面平行和直线与平面相交两种情况.(2)两条直线没有公共点分直线与直线平行和直线与直线异面两种情况.
4.等角定理如果空间中两个角的两条边分别__________,那么这两个角相等或______.5.异面直线所成的角(1)定义:已知两条异面直线a,b,经过空间任意一点O分别作直线a'∥a,b'∥b,把a'与b'所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).(2)范围:______.
常用结论 1.证明点共线与线共点都需用到基本事实3.2.两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时,容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角,也可能等于其补角.
1.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合.( )(2)经过两条相交直线,有且只有一个平面.( )(3)两两相交的三条直线共面.( )(4)若a,b是两条直线,α,β是两个平面,且a⊂α,b⊂β,则a,b是异面直线.( )提示:(1)中的两个平面可能相交;(2)正确;(3)中的三条直线相交于一点时可能不共面;(4)中的两条直线可能是平行直线.
2.(忽略直线不在平面内而致误)若直线l不平行于平面α,且l⊄α,则( )A.α内的所有直线与l异面B.α内不存在与l平行的直线C.α内存在唯一的直线与l平行D.α内的直线与l都相交【解析】选B.由题意知,直线l与平面α相交,则直线l与平面α内的直线只有相交和异面两种位置关系,因而只有选项B是正确的.
3.(多选题)(2022·新高考Ⅰ卷)已知正方体ABCD-A1B1C1D1,则( )A.直线BC1与DA1所成的角为90°B.直线BC1与CA1所成的角为90°C.直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45°D.直线BC1与平面ABCD所成的角为45°
4.(必修二P134例1变形式)如图,在三棱锥A-BCD中,E,F,G,H分别是棱AB,BC,CD,DA的中点,则(1)当AC,BD满足条件 时,四边形EFGH为菱形; (2)当AC,BD满足条件 时,四边形EFGH为正方形.
AC=BD且AC⊥BD
考点一基本事实的应用[例1]已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为D1C1,C1B1的中点,AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q.求证:(1)D,B,F,E四点共面;
【证明】(1)如图所示,连接B1D1.因为EF是△D1B1C1的中位线,所以EF∥B1D1.在正方体AC1中,B1D1∥BD,所以EF∥BD,所以EF,BD确定一个平面,即D,B,F,E四点共面.
[例1]已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为D1C1,C1B1的中点,AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q.求证:(2)若A1C交平面DBFE于R点,则P,Q,R三点共线;
【证明】(2)在正方体AC1中,设A1,C,C1三点确定的平面为α,平面BDEF为β.因为Q∈A1C1,所以Q∈α.又Q∈EF,所以Q∈β,所以Q是α与β的公共点.同理,P是α与β的公共点,所以α∩β=PQ.又A1C∩β=R,所以R∈A1C,R∈α,且R∈β,则R∈PQ,故P,Q,R三点共线.
[例1]已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为D1C1,C1B1的中点,AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q.求证:(3)DE,BF,CC1三线交于一点.
【证明】(3)因为EF∥BD且EF
对点训练1.如图,α∩β=l,A,B∈α,C∈β,且A,B,C∉l,直线AB∩l=M,过A,B,C三点的平面记作γ,则γ与β的交线必经过( )A.点AB.点BC.点C但不过点MD.点C和点M
【解析】选D.因为AB⊂γ,M∈AB,所以M∈γ.又α∩β=l,M∈l,所以M∈β.根据基本事实3可知,M在γ与β的交线上.同理可知,点C也在γ与β的交线上.所以γ与β的交线必经过点C和点M.
【证明】(2)易知FH与直线AC不平行,但共面,所以设FH∩AC=M,所以M∈平面EFHG,M∈平面ABC.又因为平面EFHG∩平面ABC=EG,所以M∈EG,所以FH,EG,AC共点.
考点二 空间两直线位置关系的判断1.空间中有三条线段AB,BC,CD,且∠ABC=∠BCD,那么直线AB与CD的位置关系是( )A.平行B.异面C.相交或平行D.平行或异面或相交均有可能
【解析】选D.根据条件作出示意图,容易得到以下三种情况.如图可知AB,CD有相交,平行,异面三种情况.
2.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为BC,BB1的中点,则下列直线中与直线EF相交的是( )A.直线AA1B.直线A1B1C.直线A1D1D.直线B1C1
【解析】选D.根据异面直线的概念可知直线AA1,A1B1,A1D1都和直线EF为异面直线.因为直线B1C1和EF在同一平面内,且这两条直线不平行,所以直线B1C1和直线EF相交.
3.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别在A1D,AC上,且A1E=2ED,CF=2FA,则EF与BD1的位置关系是( )A.相交但不垂直B.相交且垂直C.异面D.平行
4.(多选题)如图是正四面体的平面展开图,G,H,M,N分别为DE,BE,EF,EC的中点,则在这个正四面体中( )A.GH与EF平行B.BD与MN为异面直线C.GH与MN成60°角D.DE与MN垂直
【解析】选BCD.还原成正四面体A-DEF,如图所示,其中H与N重合,A,B,C三点重合,易知GH与EF异面,BD与MN异面.连接GM,因为△GMH为等边三角形,所以GH与MN成60°角.由图易得DE⊥AF,又MN∥AF,所以MN⊥DE,因此正确的选项是B,C,D.
5.(多选题)四棱锥P-ABCD的所有棱长都相等,M,N分别为PA,CD的中点,下列说法正确的是( )A.MN与PD是异面直线B.MN∥平面PBCC.MN∥ACD.MN⊥PB
【解析】选ABD.如图所示,取PB的中点H,连接MH,HC,由题意知,四边形MHCN为平行四边形,所以MN∥平面PBC.设四边形MHCN确定平面α,又D∈α,故M,N,D共面,但P∉平面α,D∉MN,因此MN与PD是异面直线,故A,B说法均正确;若MN∥AC,由于CH∥MN,则CH∥AC,事实上AC∩CH=C,C说法不正确;因为PC=BC,H为PB的中点,所以CH⊥PB,又CH∥MN,所以MN⊥PB,D说法正确.
解题技法两直线位置关系的判定方法(1)异面直线的判定:可采用直接法或反证法;(2)平行直线的判定:可利用三角形(梯形)中位线的性质、基本事实4及线面平行与面面平行的性质定理;(3)垂直关系的判定:往往利用线面垂直或面面垂直的性质来解决.
解题技法求异面直线所成角的方法(1)求异面直线所成角的常用方法是平移法.平移的方法一般有三种类型:利用图中已有的平行线平移;利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移;补形平移.(2)求异面直线所成角的三步:一作、二证、三求.①一作:根据定义作平行线,作出异面直线所成的角;②二证:证明作出的角是异面直线所成的角;③三求:解三角形,求出所作的角.提醒:如果求出的角是锐角或直角,则它就是要求的角;如果求出的角是钝角,则它的补角才是要求的角.
【课标解读】【课程标准】1.借助长方体,在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上,抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义,了解四个基本事实和一个定理.2.能运用基本事实、定理和已获得的结论证明空间基本图形位置关系的简单命题.【核心素养】直观想象、数学运算、逻辑推理.
知识梳理·归纳1.四个基本事实基本事实1:过不在__________上的三个点,有且只有一个平面.符号:A,B,C三点________⇒存在唯一的α使A,B,C∈α.基本事实2:如果一条直线上的________在一个平面内,那么这条直线在这个平面内.符号:A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α⇒_____.基本事实3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们______________过该点的公共直线.符号:P∈α,且P∈β⇒α∩β=l,且_____.基本事实4:平行于同一条直线的两条直线______.符号:a∥b,b∥c⇒_____.
2.基本事实的三个推论推论1:经过一条直线和这条直线____一点,有且只有一个平面.推论2:经过两条______直线,有且只有一个平面.推论3:经过两条______直线,有且只有一个平面.
3.空间点、直线、平面之间的位置关系
微点拨 (1)直线在平面外分直线与平面平行和直线与平面相交两种情况.(2)两条直线没有公共点分直线与直线平行和直线与直线异面两种情况.
4.等角定理如果空间中两个角的两条边分别__________,那么这两个角相等或______.5.异面直线所成的角(1)定义:已知两条异面直线a,b,经过空间任意一点O分别作直线a'∥a,b'∥b,把a'与b'所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).(2)范围:______.
常用结论 1.证明点共线与线共点都需用到基本事实3.2.两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时,容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角,也可能等于其补角.
1.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合.( )(2)经过两条相交直线,有且只有一个平面.( )(3)两两相交的三条直线共面.( )(4)若a,b是两条直线,α,β是两个平面,且a⊂α,b⊂β,则a,b是异面直线.( )提示:(1)中的两个平面可能相交;(2)正确;(3)中的三条直线相交于一点时可能不共面;(4)中的两条直线可能是平行直线.
2.(忽略直线不在平面内而致误)若直线l不平行于平面α,且l⊄α,则( )A.α内的所有直线与l异面B.α内不存在与l平行的直线C.α内存在唯一的直线与l平行D.α内的直线与l都相交【解析】选B.由题意知,直线l与平面α相交,则直线l与平面α内的直线只有相交和异面两种位置关系,因而只有选项B是正确的.
3.(多选题)(2022·新高考Ⅰ卷)已知正方体ABCD-A1B1C1D1,则( )A.直线BC1与DA1所成的角为90°B.直线BC1与CA1所成的角为90°C.直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45°D.直线BC1与平面ABCD所成的角为45°
4.(必修二P134例1变形式)如图,在三棱锥A-BCD中,E,F,G,H分别是棱AB,BC,CD,DA的中点,则(1)当AC,BD满足条件 时,四边形EFGH为菱形; (2)当AC,BD满足条件 时,四边形EFGH为正方形.
AC=BD且AC⊥BD
考点一基本事实的应用[例1]已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为D1C1,C1B1的中点,AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q.求证:(1)D,B,F,E四点共面;
【证明】(1)如图所示,连接B1D1.因为EF是△D1B1C1的中位线,所以EF∥B1D1.在正方体AC1中,B1D1∥BD,所以EF∥BD,所以EF,BD确定一个平面,即D,B,F,E四点共面.
[例1]已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为D1C1,C1B1的中点,AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q.求证:(2)若A1C交平面DBFE于R点,则P,Q,R三点共线;
【证明】(2)在正方体AC1中,设A1,C,C1三点确定的平面为α,平面BDEF为β.因为Q∈A1C1,所以Q∈α.又Q∈EF,所以Q∈β,所以Q是α与β的公共点.同理,P是α与β的公共点,所以α∩β=PQ.又A1C∩β=R,所以R∈A1C,R∈α,且R∈β,则R∈PQ,故P,Q,R三点共线.
[例1]已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为D1C1,C1B1的中点,AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q.求证:(3)DE,BF,CC1三线交于一点.
【证明】(3)因为EF∥BD且EF
对点训练1.如图,α∩β=l,A,B∈α,C∈β,且A,B,C∉l,直线AB∩l=M,过A,B,C三点的平面记作γ,则γ与β的交线必经过( )A.点AB.点BC.点C但不过点MD.点C和点M
【解析】选D.因为AB⊂γ,M∈AB,所以M∈γ.又α∩β=l,M∈l,所以M∈β.根据基本事实3可知,M在γ与β的交线上.同理可知,点C也在γ与β的交线上.所以γ与β的交线必经过点C和点M.
【证明】(2)易知FH与直线AC不平行,但共面,所以设FH∩AC=M,所以M∈平面EFHG,M∈平面ABC.又因为平面EFHG∩平面ABC=EG,所以M∈EG,所以FH,EG,AC共点.
考点二 空间两直线位置关系的判断1.空间中有三条线段AB,BC,CD,且∠ABC=∠BCD,那么直线AB与CD的位置关系是( )A.平行B.异面C.相交或平行D.平行或异面或相交均有可能
【解析】选D.根据条件作出示意图,容易得到以下三种情况.如图可知AB,CD有相交,平行,异面三种情况.
2.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为BC,BB1的中点,则下列直线中与直线EF相交的是( )A.直线AA1B.直线A1B1C.直线A1D1D.直线B1C1
【解析】选D.根据异面直线的概念可知直线AA1,A1B1,A1D1都和直线EF为异面直线.因为直线B1C1和EF在同一平面内,且这两条直线不平行,所以直线B1C1和直线EF相交.
3.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别在A1D,AC上,且A1E=2ED,CF=2FA,则EF与BD1的位置关系是( )A.相交但不垂直B.相交且垂直C.异面D.平行
4.(多选题)如图是正四面体的平面展开图,G,H,M,N分别为DE,BE,EF,EC的中点,则在这个正四面体中( )A.GH与EF平行B.BD与MN为异面直线C.GH与MN成60°角D.DE与MN垂直
【解析】选BCD.还原成正四面体A-DEF,如图所示,其中H与N重合,A,B,C三点重合,易知GH与EF异面,BD与MN异面.连接GM,因为△GMH为等边三角形,所以GH与MN成60°角.由图易得DE⊥AF,又MN∥AF,所以MN⊥DE,因此正确的选项是B,C,D.
5.(多选题)四棱锥P-ABCD的所有棱长都相等,M,N分别为PA,CD的中点,下列说法正确的是( )A.MN与PD是异面直线B.MN∥平面PBCC.MN∥ACD.MN⊥PB
【解析】选ABD.如图所示,取PB的中点H,连接MH,HC,由题意知,四边形MHCN为平行四边形,所以MN∥平面PBC.设四边形MHCN确定平面α,又D∈α,故M,N,D共面,但P∉平面α,D∉MN,因此MN与PD是异面直线,故A,B说法均正确;若MN∥AC,由于CH∥MN,则CH∥AC,事实上AC∩CH=C,C说法不正确;因为PC=BC,H为PB的中点,所以CH⊥PB,又CH∥MN,所以MN⊥PB,D说法正确.
解题技法两直线位置关系的判定方法(1)异面直线的判定:可采用直接法或反证法;(2)平行直线的判定:可利用三角形(梯形)中位线的性质、基本事实4及线面平行与面面平行的性质定理;(3)垂直关系的判定:往往利用线面垂直或面面垂直的性质来解决.
解题技法求异面直线所成角的方法(1)求异面直线所成角的常用方法是平移法.平移的方法一般有三种类型:利用图中已有的平行线平移;利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移;补形平移.(2)求异面直线所成角的三步:一作、二证、三求.①一作:根据定义作平行线,作出异面直线所成的角;②二证:证明作出的角是异面直线所成的角;③三求:解三角形,求出所作的角.提醒:如果求出的角是锐角或直角,则它就是要求的角;如果求出的角是钝角,则它的补角才是要求的角.
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