2024淮安高二下学期6月期末考试数学含解析

这是一份2024淮安高二下学期6月期末考试数学含解析，共21页。试卷主要包含了06，考试结束后，只要将答题卡交回， 随机变量的概率分布为，，则等内容，欢迎下载使用。

2024.06
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，只要将答题卡交回.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 集合中元素的个数为（ ）
A. 18B. 12C. 8D. 5
2. 下列求导运算正确是（ ）
A. B.
C. D.
3. 已知空间向量，，，若向量，，共面，则实数为（ ）
A. 1B. C. D.
4 已知随机变量，若，则（ ）
A. B. 或C. D. 或
5. 正方体中，为中点，则直线，所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
6. 随机变量的概率分布为，，则（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
7. 三棱锥中，，均为边长为2的等边三角形，平面平面，则三棱锥的外接球表面积为（ ）
A. B. C. D.
8. 函数，，若存在正数，，使得，则的最小值为（ ）
A. B. C. 1D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 为了探讨学生的物理成绩与数学成绩之间的关系，从某批学生中随机抽取10名学生的成绩，并已计算出，物理成绩关于数学成绩的线性回归方程为，下列说法正确的有（ ）
A.
B 相关系数
C. 样本数据的残差为
D. 当某学生数学成绩为100时，物理成绩一定为92.5
10. 已知的展开式第6项和第8项的二项式系数相等，下列说法正确的有（ ）
A. B. 第3项的系数为66
C. 展开式中有理项共有3项D. 奇数项系数和为
11. 已知函数，的定义域均为，若存在函数，使得函数，在上有，，，恒成立，则称，为一组“双向奔赴”函数.下列各组函数中，符合“双向奔赴”函数的有（ ）
A. ，，
B. ，，
C. ，，
D. ，，
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 随机变量，，若，则___________.
13. 已知，过点作的切线，若切线斜率为1，则___________.
14. 已知甲､乙两袋中装有除颜色外其它完全相同的小球，甲袋中有1只白球和3只红球，乙袋中有2只白球和3只红球，先从甲袋中取2只球放入乙袋，再从乙袋中取2只球，则从乙取出的2只球都是红球的概率为______.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知，常数.
（1）若，求在上的单调区间；
（2）若，在上的最小值为，求的值.
16. 我国探月工程亦称“嫦娥工程”，2024年6月3日，嫦娥六号完成了人类首次月球背面智能采样工作，并于6月下旬携带月球样品返回地球，为人类进一步研究和利用月球资源提供了保证.为了解不同性别的学生对探月工程的关注程度（“十分关注”与“比较关注”），某校随机抽取男生和女生各50名进行调查，数据表明：男生中有的同学“十分关注”，女生中有的同学“十分关注”，其他学生都是“比较关注”.
（1）根据条件，列出列联表，并判断是否有的把握认为对探月工程的关注程度与性别有关；
（2）在以上“十分关注”的学生中运用分层抽样的方法抽取10人组成科技兴趣小组，再在这10人中随机抽取3人进行重点培训，求这3人中至少有2名男生的概率.
附：，其中.
17. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，，，.
（1）证明：平面平面；
（2）求二面角的余弦值；
（3）求点到平面的距离.
18. 一只不透明的口袋中放有形状､大小完全相同的4个黑球和2个白球，若每次摸一个球后，观察其颜色，再放回袋中，摸到黑球得1分，摸到白球得分，用随机变量表示k次摸球后得1分的总次数，用随机变量X表示k次摸球后总得分.
（1）若摸球100次
①求的数学期望；
②求X的数学期望；
（2）当摸球次数k为何值时，的概率取得最大值.
19. 已知函数.
（1）若在其定义域内单调递增，求实数的取值范围；
（2）若.
①是否存在实数使得的图象为轴对称图形，若存在，求的值，若不存在，说明理由；
②函数在上有且仅有一个极值点，求正实数的取值范围.0.100
0.050
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
2023—2024学年度第二学期高二年级期末调研测试
数学试题
2024.06
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，只要将答题卡交回.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 集合中元素的个数为（ ）
A. 18B. 12C. 8D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】根据集合定义结合分步计数原理即可求解.
【详解】集合中元素的个数为.
故选：A.
2. 下列求导运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据基本初等函数的导数公式计算可得.
【详解】对于A：，故A错误；
对于B：，故B错误；
对于C：，故C错误；
对于D：，故D正确；
故选：D．
3. 已知空间向量，，，若向量，，共面，则实数为（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意可知：，结合向量的坐标运算求解.
【详解】若向量，，共面，则，
可得，解得，
所以实数为.
故选：B.
4. 已知随机变量，若，则（ ）
A. B. 或C. D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意结合二项分布的概率公式列式求解即可.
【详解】因为，则，
且，整理可得，解得或.
故选：D.
5. 正方体中，为中点，则直线，所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设正方体的棱长为2，建系标点，利用空间向量求线线夹角.
【详解】如图，以D为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为2，则，
可得，
则，
所以直线，所成角的余弦值为.
故选：B.
6. 随机变量的概率分布为，，则（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意求，再结合方差的性质运算求解.
【详解】由题意可得：，
，
所以.
故选：D.
7. 三棱锥中，，均为边长为2的等边三角形，平面平面，则三棱锥的外接球表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】取中点，连接，利用面面垂直的性质及球的截面小圆性质，确定球心并求出球半径，即可得三棱锥外接球的表面积.
【详解】如图，取中点，连接，则，，
由平面平面，平面平面，平面，平面，
得平面，平面，取的外心，的外心，
分别过作平面、平面的垂线交于点，即为球心，连接，
于是，四边形为平行四边形，，，
因此三棱锥的外接球半径，有，
所以三棱锥的外接球表面积.
故选：C
8. 函数，，若存在正数，，使得，则的最小值为（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】B
【解析】
【分析】分析可知，结合的单调性可得，，构建，利用导数求其单调性和最值，即可得结果.
【详解】因为，则，
由题意可得：，
整理可得，即，
又因为在内单调递减，则在内单调递减，
可得，则，
构建，可得，
当时，；当时，；
可知在内单调递减，在内单调递增，
则，所以的最小值为.
故选：B.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 为了探讨学生的物理成绩与数学成绩之间的关系，从某批学生中随机抽取10名学生的成绩，并已计算出，物理成绩关于数学成绩的线性回归方程为，下列说法正确的有（ ）
A.
B. 相关系数
C. 样本数据的残差为
D. 当某学生数学成绩为100时，物理成绩一定为92.5
【答案】ABC
【解析】
【分析】对于A：根据线性回归方程必过样本中心点运算求解；对于B：根据正相关的定义分析判断；对于C：代入，结合残差的定义运算求解；对于D：代入，结合回归方程的意义分析判断.
【详解】对于选项A：因为线性回归方程必过样本中心点，
由题意可得：，故A正确；
对于选项B：因为，即线性回归方程为的图象是上升的，
可知与满足正相关，所以相关系数，故B正确；
对于选项C：令，可得，
所以样本数据的残差为，故C正确；
对于选项D：令，可得，
但回归方程只能用于预测结果，并不一定与实际结果完全相等，
所以预测物理成绩为92.5，故D错误；
故选：ABC.
10. 已知的展开式第6项和第8项的二项式系数相等，下列说法正确的有（ ）
A. B. 第3项的系数为66
C. 展开式中有理项共有3项D. 奇数项系数和为
【答案】AC
【解析】
【分析】先根据二项式系数相等求出n判断A选项，再根据展开式系数和系数判断B,D选项，最后应用通项公式判断C选项.
【详解】因为展开式第6项和第8项的二项式系数相等，可得,所以,A选项正确；
第3项的系数为,B选项错误；
展开式的通项公式为,
当时，展开式中有理项共有3项，C选项正确；
展开式的奇数项系数和设为展开式的偶数项系数和设为,
则令,,
展开式的奇数项系数和为展开式的偶数项系数和为,
则令,,
所以奇数项系数和为,D选项错误.
故选：AC.
11. 已知函数，的定义域均为，若存在函数，使得函数，在上有，，，恒成立，则称，为一组“双向奔赴”函数.下列各组函数中，符合“双向奔赴”函数的有（ ）
A. ，，
B. ，，
C. ，，
D. ，，
【答案】BD
【解析】
【分析】分析可知，，，.对于A：分析可知在内的值域为，即可得出矛盾，进而分析判断；对于B：利用导数判断的单调性，结合题意分析判断；对于C：整理可得，举反例说明即可；对于D：求导，根据题意分析说明即可.
【详解】由题意可知：，，
等价于，；
且，，
等价于，.
对于选项A：因为，，则在内的值域为，
可知不存在，使得恒成立，不符合“双向奔赴”函数，故A错误；
对于选项B：因为，
对于，则，可知在内单调递减，
且当趋近于时，趋近于0，可知；
对于，则且，
可知当，满足题意，
所以符合“双向奔赴”函数，故B正确；
对于选项C：因为，，则，
对于，，，
取特值，可知，
不合题意，即不符合“双向奔赴”函数，故C错误；
对于选项D：因为，，，
对于，此时，
可得，且；
对于，此时，
可得，，
可知当，满足题意，
所以符合“双向奔赴”函数，故D正确；
故选：BD.
【点睛】关键点点睛：本题的解题关键在意对题意进行重组，题意等价于，，，，进而分析求解.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 随机变量，，若，则___________.
【答案】##
【解析】
【分析】分析可知，结合正态分布的对称性运算求解.
【详解】因为，可知，
若，
可得，
所以.
故答案为：.
13. 已知，过点作的切线，若切线斜率为1，则___________.
【答案】3
【解析】
【分析】求导，根据导数的几何意义分析可得，，构建，结合单调性可得，进而可求切线方程，即可得的值.
【详解】因为，则，
设切点坐标为，切线斜率，
由题意可知，
显然当时，则，
可得，不合题意，可知，
令，则，
可知在内单调递增，且，
所以关于的方程的根为，
即切点坐标为，切线斜率，则切线方程为，
所以.
故答案为：3.
14. 已知甲､乙两袋中装有除颜色外其它完全相同的小球，甲袋中有1只白球和3只红球，乙袋中有2只白球和3只红球，先从甲袋中取2只球放入乙袋，再从乙袋中取2只球，则从乙取出的2只球都是红球的概率为______.
【答案】
【解析】
【分析】设从甲袋中取出2个球有（）个红球为事件，从乙取出的2只球都是红球为事件，然后根据全概率公式求解即可.
【详解】设从甲袋中取出2个球有（）个红球为事件，从乙取出的2只球都是红球为事件，
则，，
，，
所以
故答案为：
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知，为常数.
（1）若，求在上的单调区间；
（2）若，在上的最小值为，求的值.
【答案】（1）答案见详解
（2）
【解析】
【分析】（1）求导，利用导数分析的单调区间；
（2）求导，分析可知，则在上单调递减，进而可得最值，列式求解即可.
【小问1详解】
若，则，可得，
且，令，可得；令，可得；
所以在上的单调递减区间为，单调递增区间为.
【小问2详解】
由题意可得：，
若，，则，可得，
可知在上单调递减，
则在上最小值为，解得.
16. 我国探月工程亦称“嫦娥工程”，2024年6月3日，嫦娥六号完成了人类首次月球背面智能采样工作，并于6月下旬携带月球样品返回地球，为人类进一步研究和利用月球资源提供了保证.为了解不同性别的学生对探月工程的关注程度（“十分关注”与“比较关注”），某校随机抽取男生和女生各50名进行调查，数据表明：男生中有的同学“十分关注”，女生中有的同学“十分关注”，其他学生都是“比较关注”.
（1）根据条件，列出列联表，并判断是否有的把握认为对探月工程的关注程度与性别有关；
（2）在以上“十分关注”的学生中运用分层抽样的方法抽取10人组成科技兴趣小组，再在这10人中随机抽取3人进行重点培训，求这3人中至少有2名男生的概率.
附：，其中.
【答案】（1）列联表见详解；有的把握认为对探月工程的关注程度与性别有关
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意完善列联表，求，并与临界值对比分析；
（2）根据分层抽样可得男、女生人数，结合超几何分别求概率.
【小问1详解】
由题意可知：“十分关注”的男、女生人数分别为、；
据此可得列联表，
可得，
所以有的把握认为对探月工程的关注程度与性别有关.
【小问2详解】
因为抽取的男、女生人数分别为、，
这3人中至少有2名男生的概率.
17. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，，，.
（1）证明：平面平面；
（2）求二面角的余弦值；
（3）求点到平面的距离.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意可证平面，结合面面垂直的判定定理分析证明；
（2）建系标点，分别为求平面、平面的法向量，利用空间向量求二面角；
（3）求平面的法向量，利用空间向量求点到面的距离.
【小问1详解】
因为平面，平面，则，
又因为为矩形，则，
且，平面，可得平面，
且平面，所以平面平面.
【小问2详解】
由题意可知：平面，且，
如图，以A为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，
设，
由题意可得，解得，
则，
可得，
设平面的法向量为，则，
令，则，可得；
设平面的法向量为，则，
令，则，可得；
则，
由题意可知：二面角为钝角，所以二面角的余弦值为.
【小问3详解】
设平面的法向量为，则，
令，则，可得，
所以点到平面的距离.
18. 一只不透明的口袋中放有形状､大小完全相同的4个黑球和2个白球，若每次摸一个球后，观察其颜色，再放回袋中，摸到黑球得1分，摸到白球得分，用随机变量表示k次摸球后得1分的总次数，用随机变量X表示k次摸球后总得分.
（1）若摸球100次.
①求的数学期望；
②求X的数学期望；
（2）当摸球次数k为何值时，的概率取得最大值.
【答案】（1）①；②
（2）当摸球次数时，的概率取得最大值
【解析】
【分析】（1）①分析可知，结合二项分布的期望公式运算求解；②分析可知，结合期望的性质运算求解；
（2）设摸到白球的次数为，可得，，列式求最值即可.
【小问1详解】
①由题意可知：每次摸到黑球的概率均为，即得1分的概率均为，
则，所以的数学期望；
②因为，
所以X的数学期望.
【小问2详解】
设摸到白球的次数为，则摸到黑球的次数为，则，
则，
由题意可得：，
解得，且，可得，
所以当摸球次数时，的概率取得最大值.
19. 已知函数.
（1）若在其定义域内单调递增，求实数取值范围；
（2）若.
①是否存在实数使得的图象为轴对称图形，若存在，求的值，若不存在，说明理由；
②函数在上有且仅有一个极值点，求正实数取值范围.
【答案】（1）
（2）①存，；②.
【解析】
【分析】（1）求导得，转化为对恒成立，再分离参数求出右边的最大值即可；
（2）①猜测时，对称轴为，再根据函数对称性的证明方法证明即可；②对求导再因式分解出，再次求导，然后对进行合理的分类讨论，最后结合零点存在性定理即可得到答案.
【小问1详解】
由题可知，，
令，解得，则得定义域为，
，由题意知对恒成立，
即，对恒成立，
令，
则根据二次函数性质知在上单调递增，在上单调递减.
则有，.
【小问2详解】
①定义域为，猜测对称轴为，此时，下证结论成立.
，
存在，使得关于对称.
②定义域为，
，
令，，
当时，在上单调递增，.
若，则有，此时在上单调递减，无极值，
若，
当时，，
，
又在上单调递增，，使得.
且有时，时，
则为的唯一极值点.
综上，.
【点睛】关键点点睛：本题第二问第一小问的关键可以采用先猜后证，第二小问直接求导后一定要提出公因式，然后再求导以降低计算量，最后再对进行合理地分类讨论即可.
0.100
0.050
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
十分关注
比较关注
总计
男生
45
5
50
女生
30
20
50
总计
75
25
100