2024淮安高二上学期期末数学含解析

这是一份2024淮安高二上学期期末数学含解析，共26页。试卷主要包含了01，本试卷共4页，共150分， 已知函数等内容，欢迎下载使用。
2024.01
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1.本试卷共4页，共150分.考试时间120分钟.
2.答题前，请务必将自己的学校、姓名、考试号用0.5毫米黑色签字笔填写在答题纸上，并用2B铅笔将答题卡上考试号对应数字框涂黑，如需改动，请用橡皮擦干净后，再正确填涂.
3.所有试题的答案全部在答题卡上作答，考试结束后，只要将答题卡交回.
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
2. 在等差数列中，若，，则的公差为（ ）
A. B. C. 1D. 2
3. 已知双曲线的左、右焦点为，，若双曲线上存在点满足，则双曲线的一条渐近线方程为（ ）
A. B.
C D.
4. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的方程为，射线绕点从轴正半轴逆时针匀速旋转到轴正半轴，所扫过的内部图形（图中阴影部分）面积可表示为时间的函数，则下列图象中与图象类似的是（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知椭圆的右焦点为，上、下顶点分别为，，是的中点，若，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
6. “勾股数”，也被称为毕达哥拉斯树，是根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树形图形.如图所示，以边长为4的正方形的一边为直角三角形的斜边向外作一个等腰直角三角形，再以等腰直角三角形的两直角边为正方形的边长向外作两个正方形，如此继续，若得到的“勾股树”上所存正方形的面积为96，则“勾股树”上所有正方形的个数为（ ）
A. 63B. 64C. 127D. 128
7. 已知函数（为自然常数），记，，，则，，的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知抛物线上三点，直线是圆的两条切线，则的面积最大值为（ ）
A. B. 12
C. D.
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9. 已知曲线，，则下列结论正确的有（ ）
A. 若，则曲线是圆
B. 若，则曲线是焦点在轴上的椭圆
C. 若，则曲线是焦点在轴上的双曲线
D. 曲线可能是抛物线
10. 已知，直线，则下列结论正确的有（ ）
A. 直线和可能相切
B. 直线过定点
C. 直线被截得的弦最长时，直线的方程为
D. 直线被截得的弦长最小值为
11. 设函数在上可导，其导函数为，且函数图象如图所示，则下列结论正确的有（ ）
A. 仅有两个极值点
B. 有两个极大值点
C. 是函数的极大值点
D. 是函数的极大值点
12. 已知等比数列的前项和为，且，则（ ）
A. B. C. D.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 直线过点且与直线平行，则直线与，轴围成的三角形面积为______.
14. 已知函数，则曲线在处切线方程为______.
15. 已知正项数列是等差数列，若，，则的值为______.
16. 已知函数，曲线关于直线对称的曲线为，若曲线是某函数的图象，则实数的取值范围为______.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知，为坐标原点，是平面内一个动点，且.
（1）求动点的轨迹方程；
（2）若圆与只有一个公共点，求的值.
18. 已知正项等比数列，其前项和为，且满足，，，成等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足：对任意正整数，均成立，求数列的最大项的值.
19. 已知函数（为自然常数），为实数.
（1）若在上存在极值，求的取值范围；
（2）若对任意，恒成立，求的取值范围.
20. 已知数列的各项均大于1，其前项和为，数列满足，，，数列满足，且，.
（1）证明：数列是等差数列；
（2）求前项和.
21. 已知椭圆的离心率为分别为的左、右焦点，为上顶点，且的内切圆半径为．
（1）求的方程；
（2）是上位于直线异侧的两点，且，证明：直线经过定点．
22. 已知函数，为实数.
（1）若在上单调递增，求实数的取值范围；
（2）若.
①证明：既有极大值又有极小值；
②若，分别为函数的极大值和极小值，求的取值范围.
2023-2024学年度第一学期高二年级期末调研测试数学试题
2024.01
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1.本试卷共4页，共150分.考试时间120分钟.
2.答题前，请务必将自己的学校、姓名、考试号用0.5毫米黑色签字笔填写在答题纸上，并用2B铅笔将答题卡上考试号对应数字框涂黑，如需改动，请用橡皮擦干净后，再正确填涂.
3.所有试题的答案全部在答题卡上作答，考试结束后，只要将答题卡交回.
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据直线方程求出斜率，再由斜率求出倾斜角即可.
【详解】由得直线的斜率为，
设直线的倾斜角为，则且，解得.
故选：C.
2. 在等差数列中，若，，则的公差为（ ）
A B. C. 1D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】用去表示代入计算即可.
【详解】设等差数列的公差为，
因为，
所以，
即，
所以.
故选：A.
3. 已知双曲线的左、右焦点为，，若双曲线上存在点满足，则双曲线的一条渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用双曲线定义得a值，进而求得渐近线方程
【详解】由题意，则，故渐近线方程为
故选：D
4. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的方程为，射线绕点从轴正半轴逆时针匀速旋转到轴正半轴，所扫过的内部图形（图中阴影部分）面积可表示为时间的函数，则下列图象中与图象类似的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】通过观察面积的变化量的变化情况可得答案.
【详解】当射线绕点从轴正半轴逆时针匀速旋转射线时，
所扫过的内部图形面积在变大，而且根据图象显示，变化量也在变大，
当射线从射线逆时针匀速旋转到轴正半轴时，
所扫过的内部图形面积在变大，而且根据图象显示，变化量在变小，
综合选项可得，选线A符合，
故选：A.
5. 已知椭圆的右焦点为，上、下顶点分别为，，是的中点，若，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据等腰三角形三线合一可得，再根据的关系可得离心率.
【详解】由已知，且是的中点
则，即，
所以，
即，
所以.
故选：C.
6. “勾股数”，也被称为毕达哥拉斯树，是根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树形图形.如图所示，以边长为4的正方形的一边为直角三角形的斜边向外作一个等腰直角三角形，再以等腰直角三角形的两直角边为正方形的边长向外作两个正方形，如此继续，若得到的“勾股树”上所存正方形的面积为96，则“勾股树”上所有正方形的个数为（ ）
A. 63B. 64C. 127D. 128
【答案】A
【解析】
【分析】先通过每次产生的新正方形面积和与前一次正方形面积和相同得到向外作的正方形的次数，设第次向外作的正方形的个数为，数列的前项和为，先求数列的递推式，再求通项公式，进而可求和.
【详解】设第次向外作的正方形的个数为，数列的前项和为，
由题意可得第次向外作的正方形面积和与第次向外作的正方形面积和相等，
即每次向外作的正方形面积和为，而，
故向外作了5次正方形
又，，
所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，
则，
则，
所以“勾股树”上所有正方形的个数为.
故选：A.
7. 已知函数（为自然常数），记，，，则，，的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据先将转化为，再利用导数判断函数在单调递增即可做出判断.
【详解】因为，所以，，
因为是增函数，且，所以当时，单调递增，
又，所以，即.
故选：B.
8. 已知抛物线上三点，直线是圆的两条切线，则的面积最大值为（ ）
A. B. 12
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据条件求出切线方程，与抛物线联立后求出点坐标，则可以表示出直线的方程，与抛物线联立求出，并且求出点到直线的距离，则的面积可以表示出来，再利用导数求其最值即可.
【详解】将点代入得，
所以，
所以抛物线方程为，
明显直线的斜率均存在，且不为零，设直线的斜率分别为，
设过点并与已知圆相切的直线方程为，即，
则，整理得，
联立，消去得，
，解得，
所以，还是得，
故，
当直线与消去得，
得，所以，
则，得，
即，同理，
则直线的方程为，
整理得，
令，根据，可得
则直线的方程为，即，
联立，消去得，
可得，
点到直线的距离，
所以，
令，，
则，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
故，，
所以.
故选：C.
.
【点睛】方法点睛：本题计算量比较大的地方就是求出直线的方程，但是直接利用结论：已知是抛物线上的定点，直线（不过点）与抛物线交于，两点，若，则直线斜率为定值，可快速确定直线的斜率，再根据选择题的特点可简化大量计算.
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9. 已知曲线，，则下列结论正确的有（ ）
A. 若，则曲线是圆
B. 若，则曲线是焦点在轴上的椭圆
C. 若，则曲线是焦点在轴上的双曲线
D. 曲线可能是抛物线
【答案】AC
【解析】
【分析】根据圆、椭圆、双曲线以及抛物线的标准方程，可得答案.
【详解】对于A，由题意不妨设，则方程，化简可得，
所以方程的图象为圆心是原点，半径为的圆，故A正确；
对于B，整理方程，可得，由，则，
则方程表示的图象是焦点在轴上的椭圆，故B错误；
对于C，整理方程，可得，由，则，
则方程表示的图象是焦点在轴上的双曲线，故C正确；
对于D，方程显然不存在一次项，所以不能表示抛物线，故D错误.
故选：AC.
10. 已知，直线，则下列结论正确的有（ ）
A. 直线和可能相切
B. 直线过定点
C. 直线被截得的弦最长时，直线的方程为
D. 直线被截得的弦长最小值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】将直线方程变形后得到，求出恒过的定点，即可判断B，根据定点在圆内即可判断A；当圆心在直线上，故直线被圆截得的弦长为直径4，为最大弦长，即可判断C,根据圆心与定点的连线与直线垂直，即可求解最短弦长判断D．
【详解】变形为，圆心为半径，
对于B，变形为，故恒过定点，故B正确；
对于A,由于直线经过的定点在圆内，所以直线和相交，A错误，
对于D，当定点与圆心的连线垂直于时，
此时圆心到直线的距离最大为，
所以所截得的弦长最小为,D正确
对于C，当在直线上时，，解得，
直线方程为， 故直线被圆截得的弦长为直径4，为最大弦长，故C正确．
故选：BCD．
11. 设函数在上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论正确的有（ ）
A. 仅有两个极值点
B. 有两个极大值点
C. 是函数的极大值点
D. 是函数的极大值点
【答案】BC
【解析】
【分析】根据的图象，得到的正负，得到单调性和极值情况，得到答案.
【详解】根据图象，可得
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以在，处取得极大值，在处取得极小值，故A错误；B正确；C正确；D错误.
故选：BC.
12. 已知等比数列的前项和为，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据可得，由可得，进而根据选项即可逐一求解.
【详解】设等比数列的公比为，由，由于，所以．
又，即，于是，由于正负不定，故无法确定与0的大小，A错误；
，B正确；
，C正确；
，故，D错误．
故选：BC．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 直线过点且与直线平行，则直线与，轴围成的三角形面积为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据直线平行求出直线的方程，再求出直线与，轴的交点，进而可得与，轴围成的三角形面积.
【详解】直线的斜率为，
故直线的方程为，即，
当时，，当时，，
所以直线与，轴围成的三角形面积为.
故答案为：
14. 已知函数，则曲线在处的切线方程为______.
【答案】
【解析】
【分析】求导，求出，，根据斜率和切点即可写出切线方程.
【详解】由已知，
则，又，即切点为，
所以曲线在处的切线方程为.
故答案为：.
15. 已知正项数列是等差数列，若，，则的值为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据等差数列的通项公式，建立方程求得方差，可得答案.
【详解】设等差数列的公差为，，
由，，
，，
，解得，
.
故答案为：4.
16. 已知函数，曲线关于直线对称的曲线为，若曲线是某函数的图象，则实数的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据已知条件把曲线是函数图象的问题转化为：直线与函数有且只有一个交点问题，利用导数判断函数单调性，进而确定的范围.
【详解】根据已知条件曲线与曲线的图象关于直线对称，
设直线是直线关于直线对称的直线，直线
与直线夹角为，直线的倾斜角为，
直线与直线的夹角也为，由此可知直线的倾斜角为，
所以直线的斜率不存在，直线的方程为；
若曲线是某函数的图象，则直线与函数的图象有且只有一个交点， 所以单调，
，令，解得，当时，
，在上，单调递减；当，，
在上，单调递增；，当时，
，当时，，，所以函数图象如图所示：
所以实数的取值范围为：.
故答案为：
【点睛】根据对称关系将曲线是函数图象的问题转化为： 单调；利用导数奇函数解析式得到函数的图象，数形结合解决问题.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知，为坐标原点，是平面内的一个动点，且.
（1）求动点的轨迹方程；
（2）若圆与只有一个公共点，求的值.
【答案】17.
18. 或3
【解析】
【分析】（1）设，利用向量数量积的坐标运算列式计算即可得答案；
（2）由两圆的方程可确定两圆内切，进而根据两圆内切列式计算即可.
【小问1详解】
设，则，，
则，
整理得动点的轨迹方程为；
【小问2详解】
圆与只有一个公共点
则圆与圆内切或外切，
又圆的圆心在圆内，
所以圆与圆内切，
所以，
解得或3.
18. 已知正项等比数列，其前项和为，且满足，，，成等差数列.
（1）求数列通项公式；
（2）若数列满足：对任意正整数，均成立，求数列的最大项的值.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据等差中项的定义和等比数列通项公式、前项和公式求解即可；
（2）根据题意求出，再利用作差法判断出的单调性从而求出最大项的值.
【小问1详解】
因为，，成等差数列，所以，
又是正项等比数列，设公比为，则，
解得，或（舍），故
所以数列的通项公式为；
【小问2详解】
当时，，
当时，，
又，
所以，从而，
又，
故当且时，数列单调递增，即；
当且时，数列单调递减，即；
又，
所以数列的最大项的值为.
19. 已知函数（为自然常数），为实数.
（1）若在上存在极值，求的取值范围；
（2）若对任意，恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据极值的定义利用导数求解即可.
（2）运用端点效应先证明必要性，后说明充分性即可.
【小问1详解】
若在上存在极值，则在上存在变号零点，
易得，
令，显然，
则，解得或，
可得，解得，
所以的取值范围为.
【小问2详解】
由（1）可得：，
若对任意，恒成立，且，可得，
若，当，可得，
可得在内恒成立，
则在单调递增，可得，符合题意，
综上所述：的取值范围为.
【点睛】方法点睛：本题考查利用导数解决恒成立问题，解题关键是利用端点效应求解出参数范围，此为必要条件，再说明其充分性，即可得到所要求的参数范围即可．
20. 已知数列的各项均大于1，其前项和为，数列满足，，，数列满足，且，.
（1）证明：数列是等差数列；
（2）求的前项和.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用计算整理可得数列是等差数列；
（2）先由（1）求出，然后通过并项求和以及错位相减求和法可得.
【小问1详解】
①，
②，
①-②得，
整理得，
或，
又，得或（舍去），
若，则，得，舍去，
，即，
数列是以为首项，为公差的等差数列；
小问2详解】
由（1）可得，即，
，
，
令，
则，
两式相减得
，
，
.
21. 已知椭圆的离心率为分别为的左、右焦点，为上顶点，且的内切圆半径为．
（1）求的方程；
（2）是上位于直线异侧的两点，且，证明：直线经过定点．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）已知内切圆半径可利用等面积法列出，，的关系式，与离心率联立即可求得，，的值，即可写出椭圆方程；
（2）设出直线BM、BN的方程，由已知得点到直线BM、BN的距离相等即可得到两直线斜率之间的关系，联立两直线方程与椭圆方程求出点M与点N的坐标，然后写出直线MN的方程并化简，由直线BM、BN的斜率之间的关系即可求出直线MN的定点.
【小问1详解】
因为的离心率为，所以，所以①，
设的内切圆半径为，面积为，则，
又，所以②，
由①②解得，所以的方程为．
【小问2详解】
显然直线斜率存在，设其方程为，则点到直线的距离，同理，直线斜率存在，设其方程为，
则点到直线的距离，
因为，所以，即，整理得，
联立直线与的方程，消去得，
所以，，即，
同理，
所以直线的斜率，
所以直线方程为
，所以直线经过定点．
【点睛】（2）问中利用角平分线的性质求出是解题的关键.
22. 已知函数，为实数.
（1）若在上单调递增，求实数的取值范围；
（2）若.
①证明：既有极大值又有极小值；
②若，分别为函数的极大值和极小值，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）①证明见解析；②
【解析】
【分析】（1）求导，则恒成立，转化为在上恒成立，求的最小值即可；
（2）①求导，然后研究导函数对应的二次函数的零点情况即可；②，令，利用韦达定理，将转化为关于的函数，构造函数求范围即可.
【小问1详解】
由已知，
在上单调递增，
在上恒成立，
即在上恒成立，
又，
；
【小问2详解】
①，
令，
当时，，
设的零点为，且，
则，即，
在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
在处取极大值，在处取极小值，
既有极大值又有极小值；
②若，分别为函数的极大值和极小值，
则，
，
又由①中
得，
令，则，
，得，
，
，解得，
，
令，
则，
在上单调递增，
，，
的取值范围是.
【点睛】方法点睛：对于有双变量的问题，如，时常通过换元或，达到消元，转换变量的目的，构造关于新变量的函数来求解问题.