2024年重庆市育才中学教育集团中考数学二诊试卷（含答案）

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这是一份2024年重庆市育才中学教育集团中考数学二诊试卷（含答案），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.2的相反数是( )
A. 2B. −2C. −12D. 4
2.如图是由5个大小相同的小正方体组成的几何体，该几何体的俯视图是( )
A. B.
C. D.
3.已知点A(−2,y1)，B(−1,y2)，均在反比例函数y=−6x的图象上，则y1，y2的大小关系是( )
A. y1y2C. y1≤y2D. y1=y2
4.若△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的面积比为1：16，则AB与DE的比是( )
A. 1：4B. 1：8C. 1：16D. 1：32
5.如图，直线a//b，若∠1=30°，∠2=50°，则∠A的度数为( )
A. 20°
B. 30°
C. 40°
D. 50°
6.估算 3( 6+2 3)的结果应在( )
A. 7和8之间B. 9和10之间C. 10和11之间D. 11和12之间
7.如图所示，将形状、大小完全相同的“⋅”与线段按照一定规律摆成下列图案，其中第①个图案用了6个“⋅”，第②个图案用了11个“⋅”，第③个图案用了16个“⋅”，第④个图案用了21个“⋅”，…，按此规律排列下去，则第⑧个图案用的“⋅”个数是( )
A. 48B. 45C. 41D. 40
8.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB交AB于点E，点F是劣弧AD上一点，射线AF交CD的延长线于点P，若OE=BE，且∠P=α，则∠FCP=( )
A. α
B. 2α
C. 60°−α
D. 45°−α
9.如图，在等边△ABC中，AB=4，点D在△ABC外部，且∠ADC=90°，连接BD交AC于点E，BE=2ED，则CD的长为( )
A. 2 3
B. 2 2
C. 3
D. 2
10.由数a或b排列成一列数，按先后顺序记为a1，a2，…，am(m≥3).在这一列数中，如果存在连续的k个数和另一组连续的k个数恰好按次序对应相等，则称这一列数为“k阶漂亮数列”.例如，由7个数组成的一列数：a，b，b，a，b，b，a，因为a1，a2，a3，a4与a4，a5，a6，a7按次序对应相等，所以称这一列数为“4阶漂亮数列”.下列说法
①a，a，a，b，b，a，a，b，b，a是“5阶漂亮数列”；
②b，b，b，b，b，a，b，b，b，b不是“5阶漂亮数列”；
③如果有一列数a1，a2，…，am一定是“3阶漂亮数列”，那么m的最小值为11．
其中正确的个数是( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分。
11.计算：(π−3.14)0+(−3)2= ______．
12.如图，在菱形ABCD中，∠B=70°，依次连接各边中点，得到四边形EFGH，则∠CFG= ______°.
13.如图是一个长为40m，宽为30m的矩形花园，现要在花园中修建等宽的两条纵向小道和一条横向小道，剩余的地方种植花草.要使种植花草的面积为1008m2，设小道的宽度应为x m，可列方程为______．
14.五张分别印有“仁”、“义”、“礼”、“智”、“信”的卡片(除卡片上的字不同外，其余均相同)，将它们洗匀后随机抽取两张，则恰好是“仁”和“义”的概率是______．
15.如图，扇形AOB的圆心角是90°，半径为 3，点C是OB上一点，将△AOC沿AC边翻折，圆心O恰好落在弧AB上的点O′，则图中阴影部分的面积为______．
16.如图，在正方形ABCD中，E是BC边上一点，连接DE，点F为DE的中点，过点F作DE的垂线分别交AB、CD于点M、N，连接AC交MN于点G，若∠DNG=60°，AB=3，则FG的长为______．
17.若关于x的不等式组x+32>22x−m≤2，有解且至多有两个偶数解，且关于x的分式方程mx−32−x+1x−2=1的解为正整数，则符合条件的整数m的值的和为______．
18.任意一个个位数字不为0的四位数x，都可以看作由前面三位数和最后一位数组成，交换这个数的前面三位数和最后一位数的位置，将得到一个新的四位数y，记f(x)=x−y9，例如：x=2356，则y=6235，f(2356)=2356−62359=−431，则f(4532)= ______；若四位数x=1000a+100b+10c+d，满足100a+10b+c+468=111d，f(x)=6−79d，则x= ______．
三、解答题：本题共8小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
计算：
(1)(2x+1)2+4x(x−1)；
(2)(1+3a−1)÷a2−4a2−2a+1．
20.(本小题10分)
学习了等腰三角形后，小颖进行了拓展性研究.她过等腰三角形底边上的一点向两腰作垂线段，她发现，这两条线段的和等于等腰三角形一腰上的高.她的解决思路是通过计算面积得出结论.请根据她的思路完成作图与填空：
用无刻度直尺和圆规，过点C作AB的垂线CD，垂足为点D，点P在BC边上.(只保留作图痕迹，不写作法)
已知：如图，在△ABC中，AB=AC，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F．
求证：PE+PF=CD．
证明：如图，连接AP．
∵PE⊥AB，PF⊥AC，CD⊥AB，
∴S△APB=12AB⋅PE，S△APC=12AC⋅PF，S△ABC=12AB⋅CD．
∵S△APB+S△APC=S△ABC，
∴① ______=12AB⋅CD，
即AB⋅PE+AC⋅PF=AB⋅CD．
∵② ______，
∴AB⋅(PE+PF)=AB⋅CD，
∴③ ______．
再进一步研究发现，过等腰三角形底边上所有点向两腰作垂线段均具有此特征，请你依照题目中的相关表述完成下面命题填空：
过等腰三角形底边上一点向两腰作垂线段，则④ ______．
21.(本小题10分)
某校在“体育艺术节”期间举行投篮比赛活动.比赛规定：每班随机抽取10名同学参加，每人投篮10次.下面对七年级(3)班10名参赛同学投中次数进行了收集、整理和分析．
根据上面整理的数据，制作出扇形统计图如图，进一步分析得到下表．
根据以上信息，回答下列问题：
(1)填空：d= ______，e= ______，f= ______；
(2)根据扇形统计图，将投中次数所占百分比不低于20%的记为“最多投中数”，学校通过“最多投中数”来评估七年级(3)班学生的投篮情况.若七年级(3)班共有40名学生，估计全班同学能达到“最多投中数”的有多少名？
(3)在本次比赛中七年级(6)班10名参赛同学的投中次数的相关信息如表：
根据上述表中的统计量，你认为哪个班同学的投篮水平更高一些？并给出一条合理解释．
22.(本小题10分)
为进一步健全城市公园体系，某市大力倡导“口袋公园”建设，即在主城区道路与建筑连接处、交叉口的边角地带，通过留白增绿、破硬植绿等方式，打造群众身边的“微景观”.某城区要建设A、B两个口袋公园，公园A的面积比公园B大300平方米.目前准备参与竞标的甲、乙两家公司报价都是：公园A的造价为368万元，公园B的造价为280万元，且公园B平均每平方米的造价是公园A每平方米造价的78．
(1)求报价中口袋公园A平均每平方米的造价为多少万元？
(2)为了竞标成功，两个公司在确保质量的前提下，在报价的基础上都进行了优惠，甲公司：统一按公园B的单位造价收费；乙公司：统一按九五折收费.请说明选择哪一家公司更划算？
23.(本小题10分)
如图1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=8，AC=6，点D是AB的中点，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A→C→B运动，到达B时停止运动，运动时间为t秒，△ADP的面积为y，请解答下列问题：
(1)请直接写出y与t的函数关系式，并注明自变量t的取值范围；
(2)在图2给定的直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
(3)若直线y=kx+5与该函数图象有且只有两个交点，则k的取值范围为______．
24.(本小题10分)
如图，四边形ABCD是某城市的休闲步道，小明家在点A处，点B处是超市，点C处是公园，点D处是书店.经测量，点B在A的正南方向，点D在A的西南方向，点C在B的正西方向，BC=300米，CD=200米，点D在点C的北偏西30°方向上．
(1)求步道AD的长度(精确到个位)；
(2)周末，小明和父亲在公园C处晨练，结束后两人同时步行回家，已知：小明速度为70米/分，沿C→D→A的方向行走，小明父亲速度为100米/分，沿C→B→A的方向行走，他们谁先到家？请说明理由．
(结果精确到0.1，参考数据： 2≈1.414， 3≈1.732)
25.(本小题10分)
如图，抛物线y=ax2+x+c交x轴于A(−3,0)和B两点，交y轴于点C(0,−6)．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点P是直线AC下方抛物线上一动点，过点P作PN//BC交y轴上一点N，直线PN交直线AC于点Q，求PQ的最大值及此时点P的坐标；
(3)在(2)问的条件下，将抛物线沿CA方向平移3 52个单位长度得到新抛物线，点G是新抛物线上一点，当∠CAG=∠PNC+∠NCA时，写出所有符合条件的点G的横坐标，并写出求解点G的横坐标其中一种情况的过程．
26.(本小题10分)
在△ABC中，∠ACB=90°，点D是直线BC上一动点，连接AD．
(1)如图1，AD平分∠BAC，DK⊥AB于点K，若AC=8，BK=2，求线段AD的长；
(2)如图2，若AC=BC，点D在线段BC上，BD=2CD，∠CAE=∠CAD，DE⊥AE于点E，交AB的延长线于点F，过点B作BG⊥EF于点G，猜想线段DF，AE，BG之间的数量关系，并证明你的猜想；
(3)如图3，点P是平面内一点，且∠APD=90°，AP=6，过点P作PM⊥AD于点M，交AC于点Q，连接BM，CM，若AC=9，BC=7，当BM取最小值时，直接写出△CBM的面积．
参考答案
1.B
2.C
3.A
4.A
5.A
6.C
7.C
8.C
9.D
10.D
11.10
12.35
13.(40−2x)(30−x)=1008
14.110
15.3π4− 3
16. 3
17.6
18.231 1986
19.解：(1)原式=4x2+4x+1+4x2−4x
=8x2+1；
(2)原式=a−1+3a−1⋅(a−1)2(a+2)(a−2)
=a−1a−2．
20.①12AB⋅PE+12AC⋅PF，②AB=AC；③PE+PF=CD；④这两条线段的和等于等腰三角形一腰上的高．
21.(1)30、3.6、3.5；
(2)∵投中次数所占百分比不低于20%的记为“最多投中数”，
∴40名学生能达到“最多投中数”的人数为：40×(20%+20%+30%)=28(人)，
答：估计全班同学能达到“最多投中数”的有28名；
(3)七(3)班同学的投篮水平更高一些，
理由：两个班投中次数的平均数相同，七(3)班投中次数的方差小于七(6)班，水平比较稳定(答案不唯一)．
22.解：(1)设报价中口袋公园A平均每平方米的造价为x万元，则报价中口袋公园B平均每平方米的造价为78x万元，
根据题意得：368x=28078x+300，
解得x=0.16，
经检验，x=0.16是原方程的解，也符合题意，
∴报价中口袋公园A平均每平方米的造价为0.16万元；
(2)由(1)知，口袋公园A的面积为3680.16=2300(平方米)，口袋公园B的面积为2300−300=2000(平方米)，
∴甲公司收费为(2300+2000)×0.16×78=602(万元)，
乙公司收费为(368+280)×0.95=615.6(万元)，
∵602<615.6，
∴选择甲公司更划算．
23.(1)由AB=8，AC=6，
则BC=10，AD=4，sinB=ACBC=610=35，
点D是AB的中点，
当点P在AC上时，
则y=12×AP⋅AD=12×2t×4=4t；
当点P在BC上时，
同理可得：y=12×AD×PB⋅sinB=12×4×(6+10−2t)×35=−125t+965，
即y=4t(0≤t≤3)−125t+965(3(2)当t=0时，y=0；当t=3时，y=12；当t=8时，y=0，
将上述3个点描点连线绘制函数图象如下：
从图象看，函数的最大值为12(答案不唯一)；
(3)−58≤k<73．
24.解：(1)过D作DE⊥AB于E，过C作CF⊥DE于F，
则BE=CF，EF=BC=300米，
∵∠DCF=30°，CD=200米，
∴DF=12CD=100米，CF= 32CD=100 3米，
∵∠A=45°，
∴∠ADF=∠A=45°，
∴AD= 2DE= 2×(100+300)=400 2≈566(米)，
答：步道AD的长度约为566米；
(2)小明爸爸先到家，
理由：∵∠AED=90°，∠A=45°，
∴∠ADE=∠A=45°，
∴AE=DE=400(米)，
∴AD+CD=400 2+200≈766(米)，
∴小明所有时间为766÷70≈10.9(分)，
∵AB+BC=400+100 3+300≈873(米)，
∴小明爸爸所有时间为873÷100≈8.7(分)，
∵10.9>8.7，
∴小明爸爸先到家．
25.解：(1)由题意得：c=−69a−3+c=0，
解得：a=1c=−6，
则抛物线的表达式为：y=x2+x−6；
(2)由点B、C的坐标得，直线BC得表达式为：y=3x−6，tan∠BCN=OBCO=13，
同理可得，直线AC的表达式为：y=−2x−6，
设点P(m,m2+m−6)，
∵PN//BC，
则直线PN的表达式为：y=3(x−m)+m2+m−6，
联立上式和AC的表达式得：−2x−6=3(x−m)+m2+m−6，
解得：xQ=15(−m2+2m)，
过点P作PN//x轴交过点Q和y轴的平行线于点N，

则∠PQN=∠PNC=∠BCN，
则tan∠PQN=tan∠BCN=13=tanα，则csα=1 10，
则PQ=(xQ−xP)÷csα= 10[15(−m2+2m)−m]= 10(−15m2−35m)=− 105(m+32)2+9 1020≤9 1020，
当m=−32时，PQ的最大值为：9 1020，
此时，点P(−32,−214)；
(3)将抛物线沿CA方向平移3 52个单位长度相当于向左平移1，5个单位向上平移3个单位，
则新抛物线的表达式为：y=(x+32)2+(x+32)−6+3=x2+4x+34，
当点G在AC的左侧时，

∵∠AQN=∠PNC+∠NCA=∠CAG，
则AG//PN//BC，
而直线BC的表达式为：y=3x−6，
则直线AG的表达式为：y=3(x+3)，
联立上式和新抛物线的表达式得：x2+4x+34=3(x+3)，
解得：x=−1− 342(不合题意的值已舍去)，
当点G在AC的右侧时，
同理可得，直线AG′的表达式为：y=−9(x+3)，
联立上式和新抛物线的表达式得：x2+4x+34=−9(x+3)，
解得：x=−13+ 1066(不合题意的值已舍去)，
26.解：(1)∵AD平分∠BAC，DK⊥AB，∠ACB=90°，AD=AD，
∴∠CAD=∠KAD，∠ACD=∠AKD=90°，
∴△CAD≌△KAD(AAS)，
∴AK=AC=8，AB=AK+BK=8+2=10，CD=KD，
在Rt△ACB中，BC= AB2−AC2= 102+82=6，
∴设CD=x，则KD=CD=x，DB=BC−CD=6−x，
在Rt△KDB中，DB2=DK2+BK2，即(6−x)2=x2+22，
解得：x=83，
在Rt△ACD中，AD= AC2+CD2= 82+(83)2=8 103；
(2)延长AE与BC延长线交于点I，

∵∠CAE=∠CAD，∠ACB=90°，AC=AC，
∴△AIC≌△ADC(ASA)，
∴AI=AD，CI=CD，
∴∠IDE+∠EID=∠CAE+∠EID=90°，即：∠IDE=∠CAE，
∴∠BDG=∠IDE=∠CAE=∠CAD，
∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠CAB=∠ABC=45°，
∴∠CAB−∠CAD=∠ABC−∠BDG，即：∠DAF=∠DFA，
∴DA=DF=AI，
∵∠IED=∠BGD=90°，∠BDG=∠IDE，ID=IC+CD=2CD=BD，
∴△IDE≌△BDG(AAS)，
∴BG=IE，
∵AI=AE+IE，
∴DF=AE+BG；
(3)作AQ中点E，连接EM、EB，

∵∠APD=90°，PM⊥AD，
∴∠APD=∠AMP=90°，∠PAM+∠ADP=∠PAM+∠APM=90°，
∴∠ADP=∠APM，
∴△ADP∽△APM，
∴APAM=ADAP，即AP2=AM⋅AD，
∵∠AMQ=∠ACD=90°，∠QAM=∠DAC，
∴△AMQ∽△ACD，
∴AQAD=AMAC，即AQ⋅AC=AM⋅AD，
∴AP2=AQ⋅AC，即62=AQ×9，解得：AQ=4，
∵E是AQ中点，PM⊥AD，
∴EM=AE=QE=12AQ=12×4=2，EC=AC−AE=9−2=7，
∵BC=7，∠ACB=90°，
∴△ECB是等腰直角三角形，EB= 2BC= 2×7=7 2，
在△EMB中，BM≥EB−EM=7 2−2，
当点M在线段EM上时，BM取最小值，
过点M作MH⊥BC，交BC于点H，

∵△MHB是等腰直角三角形，
∴MH= 22MB= 22×(7 2−2)=7− 2，
∴S△CBM=12BC⋅MH=12×7×(7− 2)=49−7 22．投中次数
1
2
3
4
5
6
频数
1
a
3
b
2
1
统计量班
平均数
中位数
众数
方差
七年级(3)班
e
f
3
2.04
统计量班
平均数
中位数
众数
方差
七年级(6)班
3.6
4
2
3.64

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