2024年重庆市渝中区求精中学中考数学二诊模拟试卷（含解析）

这是一份2024年重庆市渝中区求精中学中考数学二诊模拟试卷（含解析），共34页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（4分）﹣6的相反数是（ ）
A．﹣6B．C．6D．
2．（4分）下列各图形不是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（4分）如图，直线a∥b，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，它的顶点A、B分别在直线a，b上，且∠CAB＝∠BAE，若∠1＝50°，则∠2的度数为（ ）
A．75°B．85°C．60°D．65°
4．（4分）如图，△ABC和△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，点A在线段OA′上．若OA：AA′＝1：2，则△ABC和△A′B′C′的周长之比为（ ）
A．1：2B．1：4C．4：9D．1：3
5．（4分）下列图形都是由同样大小的△按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有6个△，第②个图形中一共有13个△，第③个图形中一共有22个△，……，按此规律排列，则第⑧个图形中△的个数为（ ）
A．97B．95C．87D．85
6．（4分）估计×（2）的值在（ ）
A．6和7之间B．7和8之间C．8和9之间D．9和10之间
7．（4分）《2024年春节联欢晚会》以匠心独运的歌舞创编、暖心真挚的节目表演、充满科技感和时代感的视觉呈现，为海内外受众奉上了一道心意满满、暖意融融的除夕“文化大餐”．截至2月10日2时，总台春晚全媒体累计触达142亿人次，其中“竖屏看春晚”直播播放量4.2亿次．据统计，2022年首次推出的“竖屏看春晚”累计观看2亿次，设“竖屏看春晚”次数的年平均增长率为x，则可列出关于x的方程（ ）
A．4.2（1+x）2＝142B．2（1+x）2＝4.2
C．2（1+2x）＝4.2D．4.2（1﹣x）2＝2
8．（4分）如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于点C，若∠D＝30°，OD＝4，则AC等于（ ）
A．6B．4C．D．3
9．（4分）如图，在正方形ABCD中，边AB、AD上分别有E、F两点，AE＝DF，BP平分∠CBF交CD于点P．若∠CPB＝α，则∠CEB的度数为（ ）
A．90°﹣αB．αC．180°﹣2αD．
10．（4分）有一列数{﹣1，﹣2，﹣3，﹣4}，将这列数中的每个数求其相反数得到{1，2，3，4}，再分别求与1的和的倒数，得到，设为{a1，a2，a3，a4}，称这为一次操作，第二次操作是将{a1，a2，a3，a4}再进行上述操作，得到{a5，a6，a7，a8}；第三次将{a5，a6，a7，a8}重复上述操作，得到{a9，a10，a11，a12}…以此类推，得出下列说法中，正确的有（ ）个．
①a5＝2，，，，
②a10＝﹣2，
③a2015＝3，
④．
A．0B．1C．2D．3
二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分）
11．（4分）计算：＝ ．
12．（4分）有3个外观完全相同的密封且不透明试剂瓶，分别装有稀硫酸、稀盐酸、氯化钠三种溶液，小星从这3个试剂瓶中任意抽取2个，则抽到的2个都是酸性溶液（稀硫酸溶液、稀盐酸溶液）的概率是 ．
13．（4分）如图，在五边形ABCDE中，点M、N分别为在AB、AE的边上，∠1+∠2＝110°，则∠B+∠C+∠D+∠E＝ ．
14．（4分）反比例函数的图象经过A（m，y1），B（m+1，y2），且y1＜y2，那么m的取值范围是 ．
15．（4分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，且AC⊥AB，B为圆心，OA长为半径画弧交对角线于点E，以O为圆心，OC长为半画弧交对角线BD于点F，若AB＝2，，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留π）
16．（4分）如图，矩形纸片ABCD中，E为BC的中点，连接AE，将△ABE沿AE折叠得到△AFE，连接CF．若AB＝4，BC＝6，则CF的长为 ．
17．（4分）若关于x的不等式组的解集为x＞4，且关于x的分式方程有整数解，则符合条件的所有整数a有 个．
18．（4分）对于一个各个数位上的数字均不相等且均不为零的三位自然数m，若m的十位数字分别小于m的百位数字与个位数字，则称m为“弦月数”，当三位自然数为弦月数时，重新排列m各个数位上的数字可得到一个最大数m1和一个最小数m2，规定，例如：m＝524，因为2＜5，2＜4，所以524是“弦月数”，若m＝412．求F（412）＝ ；若三位自然数n＝100x+10y+z是“弦月数”（其中1≤x≤9，1≤y≤9，1≤z≤9，x、y、z均为整数），且n的个位数字小于百位数字，F（n）+3x＝15，求满足条件的所有三位自然数n的值是 ．
三、解答题（本大题8个小题，19题8分，其余每小题8分，共78分）
19．（8分）计算：
（1）x（4x+3y）﹣（2x+y）（2x﹣y）；
（2）．
20．（10分）如图，在△ABC中，点D为BC边上的中点，连接AD．
（1）尺规作图：在BC下方作射线BF，使得∠CBF＝∠C，且射线BF交AD的延长线于点E（不要求写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）所作的图中，连接CE，求证：AB∥CE．（请补全下面的证明过程）
证明：∵点D为BC边上的中点，
∴DC＝DB，（ ）
在△ADC和△EDB中，
，
∴△ADC≌△EDB，（ ）
∴AD＝ ，
在△ADB和△EDC中，
，
∴△ADB≌△EDC，（ ）
∴∠ABD＝∠ECD，
∴AB∥CE（ ）．
21．（10分）2023年8月24日中午12点，日本福岛第一核电站启动核污染水排海，预估排放时间将长达30年．某学校为了解该校学生对此事件的关注与了解程度，对全校学生进行问卷测试，得分采用百分制，得分越高，则对事件的关注与了解程度就越高．现从七、八年级学生中各随机抽取20名学生的测试得分进行整理和分析（得分用x表示，单位：分，且得分为整数，共分为5组，A组：0≤x＜60，B组：60≤x＜70，C组：70≤x＜80，D组：80≤x＜90，E组：90≤x≤100），下面给出了部分信息：
七年级被抽取的学生测试得分的所有数据为：48，62，79，95，88，70，88，55，74，87，88，93，66，90，74，86，63，68，84，82；
八年级被抽取的学生测试得分中，C组包含的所有数据为：72，77，78，79，75．
七、八年级被抽取的学生测试得分统计表
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中：a＝ ，b＝ ；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级学生在关注与了解日本核污染水排海事件上，哪个年级的学生对事件的关注与了解程度更高？请说明理由（一条理由即可）；
（3）若该校七年级有学生900人，八年级有学生800人，估计该校这两个年级的学生测试得分在C组的人数一共有多少人？
22．（10分）民族要复兴，乡村必振兴!新时代新征程，某县“三农”一定高扬新重庆“敢闯敢干、唯实争先”主旋律，持续奋斗、不辱使命，奋力推动农业农村优先发展．某县去年广柑大获丰收，果农李大爷共售出A、B两种广柑900千克，A种广柑售价是3元/千克，B种广柑售价是4元/千克，全部售出后总销售额为3000元．
（1）去年，果农李大爷售出A、B两种广柑各多少千克？
（2）今年广柑又获得丰收，李大爷借助直播平台销售广柑，由于更多人喜欢维生素丰富的水果，需求增加，A种广柑单价上浮，其单价比去年增加了，B种广柑的单价比去年上涨了2a%，结果A种广柑的销量是去年销量的2倍，B种广柑的销量比去年销量减少了2a%，总销售额比去年增加了60%．求a的值．
23．（10分）如图1，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，动点P从点A出发，沿折线A→B→C运动，当它运动到点C时停止运动，过点D作DQ⊥AP交AP于点Q．若AP＝x（x＞0），DQ＝y．
（1）请直接写出y关于x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；
（2）如图2，在给定的平面直角坐标系中，画出y关于x的函数图象，并写出y的一条性质；
（3）当y＝3时，请求出QP的值为多少？
24．（10分）仙女山大草原部分景点的道路分布如图所示，其中AE是骑行公路．经测量，点C在点B正南方，点D在点B正东方，∠BCD＝60°，CD＝500米，点A在点B的北偏西23°方向，AB＝300米，点E在点D正北方且在点A正东方．（参考数据：sin23°≈0.39，cs23°≈0.92，tan23°≈0.42，≈1.73）
（1）求AE的距离；（结果精确到个位）
（2）小华和小亮同时从游客中心点C出发，前往点E处的露营基地，小华沿路线C→D→E步行到达基地，速度为1.2m/s；小亮以1m/s的速度沿C→B→A到达点A后，立即骑行到达点E，骑行速度为6m/s，请计算说明小华和小亮谁先到达E点？
25．（10分）已知抛物线y＝ax2+bx+3的顶点坐标为（﹣1，4），与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，连接OP交BC于点D，当S△CPD：S△BPD＝1：2时，请求出点D的坐标；
（3）如图2，点E的坐标为（0，﹣1），点G为x轴负半轴上的一点，∠OGE＝15°，连接PE，若∠PEG＝2∠OGE，请求出点P的坐标；
26．（10分）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为BC边上一动点，连接AD，将AD绕着D点逆时针方向旋转90°得到DE，连接AE．
（1）如图1，AH⊥BC，点D恰好为CH中点，AE与BC交于点G，若AB＝4，求AE的长度；
（2）如图2，DE与AB交于点F，连接BE，在BA延长线上有一点P，∠PCA＝∠EAB，求证：AB＝AP+BD；
（3）如图3，DE与AB交于点F，且AB平分∠EAD，点M为线段AF上一点，点N为线段AD上一点，连接DM，MN，点K为DM延长线上一点，将△BDK沿直线BK翻折至△BDK所在平面内得到△BQK，连接DQ，在M，N运动过程中，当DM+MN取得最小值，且∠DKQ＝45°时，请直接写出的值．
2024年重庆市渝中区求精中学中考数学二诊模拟试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）
1．（4分）﹣6的相反数是（ ）
A．﹣6B．C．6D．
【分析】利用相反数的定义判断即可．
【解答】解：﹣6的相反数是6，
故选：C．
2．（4分）下列各图形不是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，由此即可判断．
【解答】解：A、选项中的图形是轴对称图形，故A不符合题意；
B、选项中的图形是轴对称图形，故B不符合题意；
C、选项中的图形是轴对称图形，故C不符合题意；
D、选项中的图形不是轴对称图形，故D符合题意；
故选：D．
3．（4分）如图，直线a∥b，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，它的顶点A、B分别在直线a，b上，且∠CAB＝∠BAE，若∠1＝50°，则∠2的度数为（ ）
A．75°B．85°C．60°D．65°
【分析】根据两直线平行，内错角相等得到∠DAE＝∠1＝50°，再结合已知∠CAB＝∠BAE即可求出∠CAB的度数，再根据直角三角形两锐角互余即可求出∠2的度数．
【解答】解：∵直线a∥b，
∴∠DAE＝∠1＝50°，
∵∠CAB＝∠BAE，
∴∠CAB＝25°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠2＝90°﹣∠CAB＝90°﹣25°＝65°，
故选：D．
4．（4分）如图，△ABC和△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，点A在线段OA′上．若OA：AA′＝1：2，则△ABC和△A′B′C′的周长之比为（ ）
A．1：2B．1：4C．4：9D．1：3
【分析】根据题意求出OA：OA′＝1：3，根据相似三角形的性质求出AC：A′C′，根据相似三角形的性质计算即可．
【解答】解：∵OA：AA′＝1：2，
∴OA：OA′＝1：3，
∵△ABC和△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，
∴AC∥A′C′，
∴△AOC∽△A′OC′，
∴AC：A′C′＝OA：OA′＝1：3，
∴△ABC和△A′B′C′的周长之比为1：3，
故选：D．
5．（4分）下列图形都是由同样大小的△按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有6个△，第②个图形中一共有13个△，第③个图形中一共有22个△，……，按此规律排列，则第⑧个图形中△的个数为（ ）
A．97B．95C．87D．85
【分析】由题中所给图形，依次求出图形中△的个数，发现规律即可解决问题．
【解答】解：由题知，
第①个图形中△的个数为：6＝12+1×4+1；
第②个图形中△的个数为：13＝22+2×4+1；
第③个图形中△的个数为：22＝32+3×4+1；
…，
所以第n个图形中△的个数为（n2+4n+1）个，
当n＝8时，
n2+4n+1＝82+4×8+1＝97（个），
即第⑧个图形中△的个数为97个．
故选：A．
6．（4分）估计×（2）的值在（ ）
A．6和7之间B．7和8之间C．8和9之间D．9和10之间
【分析】根据二次根式混合运算的方法先将原式化简后，再根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可．
【解答】解：原式＝×2+×
＝2+1
＝+1，
∵＜＜，即7＜＜8，
∴8＜+1＜9．
故选：C．
7．（4分）《2024年春节联欢晚会》以匠心独运的歌舞创编、暖心真挚的节目表演、充满科技感和时代感的视觉呈现，为海内外受众奉上了一道心意满满、暖意融融的除夕“文化大餐”．截至2月10日2时，总台春晚全媒体累计触达142亿人次，其中“竖屏看春晚”直播播放量4.2亿次．据统计，2022年首次推出的“竖屏看春晚”累计观看2亿次，设“竖屏看春晚”次数的年平均增长率为x，则可列出关于x的方程（ ）
A．4.2（1+x）2＝142B．2（1+x）2＝4.2
C．2（1+2x）＝4.2D．4.2（1﹣x）2＝2
【分析】增长率问题中的一般公式为a（1+x）n＝b，其中n为共增长了几年，a为第一年的原始数据，b是增长后的数据，x是增长率．
【解答】解：设“竖屏看春晚”次数的年平均增长率为x，根据题意得，
2（1+x）2＝4.2，
故选：B．
8．（4分）如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于点C，若∠D＝30°，OD＝4，则AC等于（ ）
A．6B．4C．D．3
【分析】连接OC，证明OC⊥DC，结合OD＝4，∠D＝30°，可得OC＝2，∠COD＝60°，，∠D＝∠A＝30°，据此可得答案．
【解答】解：如图，连接OC，

∵DC切⊙O于点C，
∴OC⊥DC，
∵OD＝4，∠D＝30°，
∴，∠DOC＝60°，
∴∠A＝∠OCA＝30°，，
∴∠D＝∠A＝30°，
∴，
故选：C．
9．（4分）如图，在正方形ABCD中，边AB、AD上分别有E、F两点，AE＝DF，BP平分∠CBF交CD于点P．若∠CPB＝α，则∠CEB的度数为（ ）
A．90°﹣αB．αC．180°﹣2αD．
【分析】先证△ABF和△BCE全等，得出∠CEB＝∠BFA，由平行线的性质∠BFA＝∠CBF，于是得出∠CEB＝∠CBF，根据角平分线的定义得出∠CBF＝2∠CBP，然后用α表示∠CBP的度数，即可得出∠CEB的度数．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB＝BC，∠DAB＝∠ABC＝∠BCD＝90°，AD∥BC，
∵AE＝DF，
∴AD﹣DF＝AB﹣AE，
即AF＝BE，
在△ABF和△BCE中，
，
∴△ABF≌△BCE（SAS），
∴∠CEB＝∠BFA，
∵AD∥BC，
∴∠BFA＝∠CBF，
∴∠CEB＝∠CBF，
∵BP平分∠CBF，
∴∠CBF＝2∠CBP，
∴∠CEB＝2∠CBP，
∵∠BCD＝90°，∠CPB＝α，
∴∠CBP＝90°﹣α，
∴∠CEB＝2∠CBP＝2（90°﹣α）＝180°﹣2α，
故选：C．
10．（4分）有一列数{﹣1，﹣2，﹣3，﹣4}，将这列数中的每个数求其相反数得到{1，2，3，4}，再分别求与1的和的倒数，得到，设为{a1，a2，a3，a4}，称这为一次操作，第二次操作是将{a1，a2，a3，a4}再进行上述操作，得到{a5，a6，a7，a8}；第三次将{a5，a6，a7，a8}重复上述操作，得到{a9，a10，a11，a12}…以此类推，得出下列说法中，正确的有（ ）个．
①a5＝2，，，，
②a10＝﹣2，
③a2015＝3，
④．
A．0B．1C．2D．3
【分析】根据所给的操作方式，求出前面的数，再分析得出规律，再进行分析即可．
【解答】解：∵{a1，a2，a3，a4}对应为{，，，}，
∴a5＝2，，，，故①说法正确；
a9＝﹣1，a10＝﹣2，a11＝﹣3，a12＝﹣4，
∴经过两次操作后，所给的数重复出现，即每12个数为一组，
∵2015÷12＝167……11，
∴a2015＝﹣3，故③说法错误；②说法正确；
∵a1+a2+a3+…+a12＝﹣，
∴a1+a2+a3+…+a49+a50
＝4×（﹣）+
＝﹣
＝﹣，故④说法错误．
故正确的说法有1个．
故选：C．
二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分）
11．（4分）计算：＝ 0 ．
【分析】根据负整数指数幂法则、零指数幂法则和有理数的加减混合运算法则进行解题即可．
【解答】解：原式＝1﹣3+2＝0；
故答案为：0．
12．（4分）有3个外观完全相同的密封且不透明试剂瓶，分别装有稀硫酸、稀盐酸、氯化钠三种溶液，小星从这3个试剂瓶中任意抽取2个，则抽到的2个都是酸性溶液（稀硫酸溶液、稀盐酸溶液）的概率是 ．
【分析】画出树状图进行推理即可．
【解答】解：画树状图为：

由树状图可知共有6种等可能结果，其中抽到的2个都是酸性溶液的为2种，即概率为，
故答案为：．
13．（4分）如图，在五边形ABCDE中，点M、N分别为在AB、AE的边上，∠1+∠2＝110°，则∠B+∠C+∠D+∠E＝ 470° ．
【分析】先求出∠BMN+∠ENM＝360°﹣（∠1+∠2）＝360°﹣110°＝250°，再用六边形内角和减去∠BMN+∠ENM得和即可．
【解答】解：∠BMN+∠ENM＝360°﹣（∠1+∠2）＝360°﹣110°＝250°，
六边形BCDENM的内角和为：（6﹣2）•180°＝720°，
∠B+∠C+∠D+∠E＝720°﹣250°＝470°，
故答案为：470°．
14．（4分）反比例函数的图象经过A（m，y1），B（m+1，y2），且y1＜y2，那么m的取值范围是 ﹣1＜m＜0 ．
【分析】由于y＝的图象在一、三象限，根据反比例函数的性质得出不等式组，解不等式组即可求解．
【解答】解：由反比例函数可知图象位于一、三象限，y随x的增大而减小．
∵反比例函数的图象经过A（m，y1），B（m+1，y2），且y1＜y2，
∴点A（m，y1），B（m+1，y2）不在同一象限，则点B（m+1，y2）第一象限，点A（m，y1）在第三象限．
∴，
∴﹣1＜m＜0．
故答案为：﹣1＜m＜0．
15．（4分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，且AC⊥AB，B为圆心，OA长为半径画弧交对角线于点E，以O为圆心，OC长为半画弧交对角线BD于点F，若AB＝2，，则图中阴影部分的面积为 4﹣π ．（结果保留π）
【分析】根据勾股定理，可以求得AC的长，再根据等腰三角形的性质可以得到∠AOB的性质，然后根据图形可知阴影部分的面积＝2（△AOB的面积﹣扇形AOE的面积），再代入数据计算即可．
【解答】解：∵AC⊥AB，AB＝2，，
∴AC＝＝＝4，∠BAO＝90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO＝AC，BO＝DO＝BD，
∴AO＝CO＝2，
∴AO＝AB，
∴∠AOB＝45°，
∴图中阴影部分的面积为：2×（OA•AB﹣）
＝2×（×2×2﹣）
＝2×（2﹣）
＝4﹣π，
故答案为：4﹣π．
16．（4分）如图，矩形纸片ABCD中，E为BC的中点，连接AE，将△ABE沿AE折叠得到△AFE，连接CF．若AB＝4，BC＝6，则CF的长为 ．
【分析】连接BF，交AE于点O，由折叠可知：BE＝EF，∠AEB＝∠AEF，AE垂直平分BF，再证AE∥CF，得到∠AGC＝90°，在Rt△ABE中，利用等积法求出BO的长，最后在Rt△BFC中，利用勾股定理即可求出答案．
【解答】解：连接BF，交AE于点O，
由折叠可知：
BE＝EF，∠AEB＝∠AEF，AE⊥BF，OB＝OF，
∵点E为BC的中点，
∴BE＝CE＝EF＝3，
∴∠EFC＝∠ECF，
∵∠BEF＝∠ECF+∠EFC，
∴∠AEB＝∠ECF，
∴AE∥CF，
∴∠BFC＝∠BOE＝90°，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：
AE＝＝5，
∴BO＝＝＝，
∴BF＝2BO＝，
在Rt△BCF中，由勾股定理得：
CF＝＝＝，
故答案为：．
17．（4分）若关于x的不等式组的解集为x＞4，且关于x的分式方程有整数解，则符合条件的所有整数a有 4 个．
【分析】根据题意先将一元一次不等式组解开，利用x＞4求出a≤4，在解分式方程得出x≠2，，继而得到本题答案．
【解答】解：∵，
整理得：，
∵x的不等式组的解集为x＞4，
∴a≤4，
∵，
等式两边同时乘以（2﹣x）得：1﹣ax﹣3＝2﹣x，
整理得：，
∵关于x的分式方程有整数解，
∴2﹣x≠0，即x≠2，
又∵a≤4，
∴当a＝3时，，
当a＝2时，，
当a＝0时，，
当a＝﹣1时，（舍去），
当a＝﹣3时，，
∴符合条件的所有整数a有：﹣3，0，2，3，
故答案为：4．
18．（4分）对于一个各个数位上的数字均不相等且均不为零的三位自然数m，若m的十位数字分别小于m的百位数字与个位数字，则称m为“弦月数”，当三位自然数为弦月数时，重新排列m各个数位上的数字可得到一个最大数m1和一个最小数m2，规定，例如：m＝524，因为2＜5，2＜4，所以524是“弦月数”，若m＝412．求F（412）＝ 3 ；若三位自然数n＝100x+10y+z是“弦月数”（其中1≤x≤9，1≤y≤9，1≤z≤9，x、y、z均为整数），且n的个位数字小于百位数字，F（n）+3x＝15，求满足条件的所有三位自然数n的值是 412或413 ．
【分析】由“弦月数”得：F（412）＝＝3．由“弦月数”得F（n）＝＝x﹣y，故x＝，再依次代入y的值计算即可．
当y＝1时，x＝4，
∴n＝412或413．
当y＝5时，x＝5，舍去．
故答案为：3，412或413．
【解答】解：由“弦月数”得：F（412）＝＝3．
∵x＞z＞y，
∴F（n）＝＝x﹣y，
∴x﹣y+3x＝15，
∴x＝，
当y＝1时，x＝4，
∴n＝412或413．
当y＝5时，x＝5，舍去．
故答案为：3，412或413．
三、解答题（本大题8个小题，19题8分，其余每小题8分，共78分）
19．（8分）计算：
（1）x（4x+3y）﹣（2x+y）（2x﹣y）；
（2）．
【分析】（1）根据单项式乘多项式和平方差公式将题目中的式子展开，然后合并同类项即可；
（2）先算括号内的式子，同时将括号外的除法转化为乘法，然后约分即可．
【解答】解：（1）x（4x+3y）﹣（2x+y）（2x﹣y）
＝4x2+3xy﹣4x2+y2
＝3xy+y2；
（2）
＝•
＝
＝
＝．
20．（10分）如图，在△ABC中，点D为BC边上的中点，连接AD．
（1）尺规作图：在BC下方作射线BF，使得∠CBF＝∠C，且射线BF交AD的延长线于点E（不要求写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）所作的图中，连接CE，求证：AB∥CE．（请补全下面的证明过程）
证明：∵点D为BC边上的中点，
∴DC＝DB，（ 线段中点的定义 ）
在△ADC和△EDB中，
，
∴△ADC≌△EDB，（ ASA ）
∴AD＝ ED ，
在△ADB和△EDC中，
，
∴△ADB≌△EDC，（ SAS ）
∴∠ABD＝∠ECD，
∴AB∥CE（ 内错角相等，两直线平行 ）．
【分析】1）根据作与已知角相等的角的尺规作图方法作图即可；
（2）先证明△ADC≌△EDB得到AD＝ED，再证明△ADB≌△EDC 得到∠ABD＝∠ECD，由此即可证明AB∥CE．
【解答】解：（1）如图所示，即为所求；
（2）证明：∵点D为BC边上的中点，
∴DC＝DB，（线段中点的定义）
在△ADC和△EDB中，
∴△ADC≌△EDB（ASA）
∴AD＝ED，
在△ADB和△EDC中
，
∴△ADB≌△EDC（SAS）
∴∠ABD＝∠ECD，
∴AB∥CE（内错角相等，两直线平行）．
故答案为线段中点的定义；ASA；ED；SAS；内错角相等，两直线平行．
21．（10分）2023年8月24日中午12点，日本福岛第一核电站启动核污染水排海，预估排放时间将长达30年．某学校为了解该校学生对此事件的关注与了解程度，对全校学生进行问卷测试，得分采用百分制，得分越高，则对事件的关注与了解程度就越高．现从七、八年级学生中各随机抽取20名学生的测试得分进行整理和分析（得分用x表示，单位：分，且得分为整数，共分为5组，A组：0≤x＜60，B组：60≤x＜70，C组：70≤x＜80，D组：80≤x＜90，E组：90≤x≤100），下面给出了部分信息：
七年级被抽取的学生测试得分的所有数据为：48，62，79，95，88，70，88，55，74，87，88，93，66，90，74，86，63，68，84，82；
八年级被抽取的学生测试得分中，C组包含的所有数据为：72，77，78，79，75．
七、八年级被抽取的学生测试得分统计表
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中：a＝ 88 ，b＝ 25 ；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级学生在关注与了解日本核污染水排海事件上，哪个年级的学生对事件的关注与了解程度更高？请说明理由（一条理由即可）；
（3）若该校七年级有学生900人，八年级有学生800人，估计该校这两个年级的学生测试得分在C组的人数一共有多少人？
【分析】（1）根据众数的定义确定七年级的众数a；根据八年级C组所占百分比确定b的值；
（2）根据平均数或中位数或众数的意义回答即可；
（3）将样本中七年级得分再C组的比例乘以900，将样本中八年级得分再C组的比例乘以800，再相加即可．
【解答】解：（1）∵被抽取的学生测试得分的所有数据中，88出现3次是出现次数最多的数据，
∴a＝88；
∵C组占比为：×100%＝25%，
∴b＝25；
故答案为：88，25；
（2）七年级更高（答案不唯一），理由如下：
因为七，八年级成绩的平均数相同，但七年级成绩的中位数80.5分大于八年级成绩的中位数77.5分，所以七年级的学生对事件的关注与了解程度更高；
（3）∵七年级处于C组的有4个数据，占比×100%＝20%，八处于C组的占比25%，
∴估计该校这两个年级的学生测试得分在C组的人数一共有20%×900+25%×800＝380（人），
答：估计该校这两个年级的学生测试得分在C组的人数一共有380人．
22．（10分）民族要复兴，乡村必振兴!新时代新征程，某县“三农”一定高扬新重庆“敢闯敢干、唯实争先”主旋律，持续奋斗、不辱使命，奋力推动农业农村优先发展．某县去年广柑大获丰收，果农李大爷共售出A、B两种广柑900千克，A种广柑售价是3元/千克，B种广柑售价是4元/千克，全部售出后总销售额为3000元．
（1）去年，果农李大爷售出A、B两种广柑各多少千克？
（2）今年广柑又获得丰收，李大爷借助直播平台销售广柑，由于更多人喜欢维生素丰富的水果，需求增加，A种广柑单价上浮，其单价比去年增加了，B种广柑的单价比去年上涨了2a%，结果A种广柑的销量是去年销量的2倍，B种广柑的销量比去年销量减少了2a%，总销售额比去年增加了60%．求a的值．
【分析】（1）设去年果农李大爷售出A种广柑x千克，B种广柑y千克，根据果农李大爷共售出A、B两种广柑900千克，全部售出后总销售额为3000元．列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）利用销售总额＝销售单价×销售数量，可列出关于a的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：（1）设去年果农李大爷售出A种广柑x千克，B种广柑y千克，
根据题意得：，
解得：，
答：去年，果农李大爷售出A种广柑600千克，B种广柑300千克；
（2）根据题意得：3（1+a%）×600×2+4（1+2a%）×300（1﹣2a%）＝3000×（1+60%），
整理得：a2﹣25a＝0，
解得：a1＝0（不符合题意，舍去），a2＝25，
答：a的值为25．
23．（10分）如图1，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，动点P从点A出发，沿折线A→B→C运动，当它运动到点C时停止运动，过点D作DQ⊥AP交AP于点Q．若AP＝x（x＞0），DQ＝y．
（1）请直接写出y关于x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；
（2）如图2，在给定的平面直角坐标系中，画出y关于x的函数图象，并写出y的一条性质；
（3）当y＝3时，请求出QP的值为多少？
【分析】（1）当0≤x≤3时，y＝4；当3＜x≤7时，S△ADP＝×3×4＝x•y，即可求解；
（2）取点描点绘制函数图象即可，观察函数图象可得函数性质；
（3）首先求得当y＝3时，x＝4，在Rt△AQD中，∠AQD＝90°，AD＝4，QD＝3，得到AQ＝，进而利用QP＝AP﹣AQ＝4﹣，即可得解．
【解答】解：（1）当0≤x≤3时，y＝4．
当3＜x≤7时，S△ADP＝×3×4＝x•y，
∴xy＝12，
∴y＝，
综上所述，y＝；
（2）由（1）可知x＝3时，y＝4，x＝4时，y＝3，x＝5时，y＝．
函数图象如图所示：
从函数图象看，当0≤x＜3时，y为常数，当3≤x≤5时，y随x的增大而减小；
（3）当y＝3时，y＝＝3，
解得x＝4，
在Rt△AQD中，∠AQD＝90°，AD＝4，QD＝3，
∴AQ＝＝，
∴QP＝AP﹣AQ＝4﹣．
24．（10分）仙女山大草原部分景点的道路分布如图所示，其中AE是骑行公路．经测量，点C在点B正南方，点D在点B正东方，∠BCD＝60°，CD＝500米，点A在点B的北偏西23°方向，AB＝300米，点E在点D正北方且在点A正东方．（参考数据：sin23°≈0.39，cs23°≈0.92，tan23°≈0.42，≈1.73）
（1）求AE的距离；（结果精确到个位）
（2）小华和小亮同时从游客中心点C出发，前往点E处的露营基地，小华沿路线C→D→E步行到达基地，速度为1.2m/s；小亮以1m/s的速度沿C→B→A到达点A后，立即骑行到达点E，骑行速度为6m/s，请计算说明小华和小亮谁先到达E点？
【分析】（1）设CB的延长线交AE于点F，分别在Rt△CDB中和Rt△ABF中求出BD和AF，即可求出AE的距离；
（2）分别在Rt△CDB中和Rt△ABF中求出CB和BF，即可分别求出小华和小亮到达E点所花时间，再比较即可作出判断．
【解答】解：（1）设CB的延长线交AE于点F，
由题意知：△CDB和△ABF都是直角三角形，四边形BDEF是矩形，∠ABF＝23°，
在Rt△CDB中，
∵∠BCD＝60°，CD＝500米，
∴BD＝CD•sin∠BCD＝500×＝250≈432.5（米），
∴EF＝BD＝432.5米，
∴在Rt△ABF中，
∵∠ABF＝23°，AB＝300米，
∴AF＝AB•sin∠ABF＝300×sin23°≈300×0.39＝117（米），
∴AE＝AF+EF＝117+432.5≈550（米），
答：AE的距离约为550米；
（2）在Rt△CDB中，
∵∠BCD＝60°，CD＝500米，
∴BC＝CD•cs∠BCD＝500×＝250（米），
∴在Rt△ABF中，
∵∠ABF＝23°，AB＝300米，
∴BF＝AB•cs∠ABF＝300×cs23°≈300×0.92＝276（米），
∴DE＝BF＝276米，
∴小华到达E点所花时间为（CD+DE）÷1.2＝（500+276）÷1.2≈646.67（s），
小亮到达E点所花时间为（CB+AB）÷1+AE÷6＝（250+300）÷1+550÷6≈641.67（s），
∵646.67＞641.67，
∴小亮先到达E点．
25．（10分）已知抛物线y＝ax2+bx+3的顶点坐标为（﹣1，4），与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，连接OP交BC于点D，当S△CPD：S△BPD＝1：2时，请求出点D的坐标；
（3）如图2，点E的坐标为（0，﹣1），点G为x轴负半轴上的一点，∠OGE＝15°，连接PE，若∠PEG＝2∠OGE，请求出点P的坐标；
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据抛物线解析式求得A，B的坐标，进而得出∠CBO＝45°，根据S△CPD＝S△BPD＝1：2得出则点D到x轴的距离为2，即可得出点D的坐标；
（3）设直线PE交x轴于点H，利用三角形外角的性质得到∠OHE＝45°，则OH＝OE＝1，即H（﹣1，0），求得直线HE的表达式为y＝﹣x﹣1，联立并解得（舍去正值），即可求解．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3的顶点坐标为（﹣1，4），
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）令y＝0，得﹣x2﹣2x+3＝0，
解得：x1＝﹣3，x2＝1，
∴A（1，0），B（﹣3，0），
令x＝0，则y＝﹣x2﹣2x+3＝3，
∴C（0，3），
∴OB＝OC＝3，
∴，∠CBO＝45°，
∵S△CPD：S△BPD＝1：2，设点P到BC的距离为h，
∴＝＝，
∴，
过点D作DK⊥x轴于点K，则△BDK是等腰直角三角形，如图1，
∴，
∴OK＝1，
∴D（﹣1，2）；
（3）设直线PE交x轴于点H，
∵∠OGE＝15°，∠PEG＝2∠OGE＝30°，
∴∠OHE＝∠OGE+∠PEG＝45°，
∴OH＝OE＝1，
∴H（﹣1，0），
设直线HE的解析式为y＝k′x+b′，
∴，
∴，
∴直线HE的表达式为y＝﹣x﹣1，
联立，
解得 （舍去正值），
∴P．
26．（10分）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为BC边上一动点，连接AD，将AD绕着D点逆时针方向旋转90°得到DE，连接AE．
（1）如图1，AH⊥BC，点D恰好为CH中点，AE与BC交于点G，若AB＝4，求AE的长度；
（2）如图2，DE与AB交于点F，连接BE，在BA延长线上有一点P，∠PCA＝∠EAB，求证：AB＝AP+BD；
（3）如图3，DE与AB交于点F，且AB平分∠EAD，点M为线段AF上一点，点N为线段AD上一点，连接DM，MN，点K为DM延长线上一点，将△BDK沿直线BK翻折至△BDK所在平面内得到△BQK，连接DQ，在M，N运动过程中，当DM+MN取得最小值，且∠DKQ＝45°时，请直接写出的值．
【分析】（1）由等腰直角三角形的性质和勾股定理可求AD的长，由旋转的性质可得AD＝DE，∠ADE＝90°，即可求解；
（2）由“SAS”可证△ADH≌△EDB，可得AH＝BE，∠DBE＝∠DHA＝135°，由“ASA”可得△BAE≌△ACP，可得AP＝BE，可得结论；
（3）先证明当点M，点N'，点D三点共线，且DM⊥AE时，DM+MN有最小值，再证明点Q，点B，点D三点共线，由等腰直角三角形和折叠的性质可求解．
【解答】（1）解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，
∴BC＝4，
∵AH⊥BC，AB＝AC，
∴BH＝CH＝2＝AH，
∵点D为CH中点，
∴DH＝CD＝，
∴AD＝＝＝，
∵将AD绕着D点逆时针方向旋转90°得到DE，
∴AD＝DE，∠ADE＝90°，
∴AE＝AD＝2；
（2）证明：如图2，过点D作DH⊥BC交AB于点H，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，BC＝AC，
∵DH⊥BC，
∴∠BHD＝∠DBH＝45°，∠BDH＝90°，
∴BD＝DH，∠AHD＝135°，
∴BH＝BD，
∵将AD绕着D点逆时针方向旋转90°得到DE，
∴AD＝DE，∠ADE＝90°＝∠BDH，
∴∠ADH＝∠EDB，
∴△ADH≌△EDB（SAS），
∴AH＝BE，∠DBE＝∠DHA＝135°，
∴∠ABE＝90°＝∠CAP，
又∵AB＝AC，∠BAE＝∠ACP，
∴△BAE≌△ACP（ASA），
∴AP＝BE，
∴AP＝BE＝AH，
∴AB＝AP+BD；
（3）解：如图3，在AE上截取AN'＝AN，连接MN'，
∵AB平分∠EAD，
∴∠DAB＝∠BAE＝22.5°，
又∵AM＝AM，
∴△AMN≌△AMN'（SAS），
∴MN＝MN'，
∴DM+MN＝DM+MN'，
∴当点M，点N'，点D三点共线，且DM⊥AE时，DM+MN有最小值，
如图4，
∵DM⊥AE，DE＝AD，
∴∠ADM＝∠EDM＝45°，
∵折叠，
∴DQ⊥BK，∠BKD＝∠BKQ，
∵∠DKQ＝45°，
∴∠BKD＝∠BKQ＝22.5°，
∵∠AMK＝∠ADM+∠BAD＝∠BKD+∠KBA，
∴∠KBA＝∠ADM＝45°，
∴∠KBD＝∠ABK+∠ABC＝90°，
∴KB⊥BD，
又∵DQ⊥BK，
∴点B，点Q，点D三点共线，
∵折叠，
∴DQ＝2BD，
∵∠BAD＝22.5°，
∴∠CAD＝67.5°，∠ADC＝∠ABC+∠BAD＝67.5°，
∴∠CAD＝∠ADC，
∴AC＝DC，
∴BD＝BC﹣CD＝AC﹣AC，
∴DQ＝2BD＝2AC﹣2AC，
∴＝＝2﹣．
平均数
众数
中位数
七年级
77
a
80.5
八年级
77
89
77.5
平均数
众数
中位数
七年级
77
a
80.5
八年级
77
89
77.5