2023-2024学年四川省眉山市仁寿县三校联考高一（下）期末数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年四川省眉山市仁寿县三校联考高一（下）期末数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数(1−i)2的虚部为( )
A. −2B. 2C. −2iD. 2i
2.已知向量a=(2m,1),b=(1,−3)，若a⊥b，则实数m=( )
A. −23B. 23C. 32D. −32
3.甲、乙两位同学去参加某高校科研项目面试.已知他们通过面试的概率都是45，且两人的面试结果相互之间没有影响，则甲、乙两人中仅有一人通过面试的概率为( )
A. 425B. 45C. 2425D. 825
4.已知A，B，C，D四点在平面α内，且任意三点都不共线，点P在α外，且满足AP+BP−3CP+zDP=0，则z=( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
5.在△ABC中，点E为△ABC的重心，则EC=( )
A. 13AB−23ACB. −13AB+23ACC. −13AB−23ACD. 13AB+23AC
6.已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列判断错误的是( )
A. 若m⊂α，n⊂α，m⋂n=A，m//β，n/​/β，则α/​/β
B. 若m⊥α，n/​/α，则m⊥n
C. 若m/​/α，n⊂α，则m/​/n
D. 若α⊥β，α⋂β=m，n⊂α，m⊥n，则n⊥β
7.如图，平行六面体ABCD−A1B1C1D1的底面ABCD是矩形，AB= 2，AD= 2，AA1=2 2，且∠A1AD=∠A1AB=60°，则线段AC1的长为( )
A. 2 6
B. 2 5
C. 26
D. 3 3
8.一个袋中共有10个大小相同的黑球、白球和红球，已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是25；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是79，则红球的个数为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题为真命题的是( )
A. 若z1，z2为共扼复数，则z1⋅z2为实数
B. 若i为虚数单位，n为正整数，则i4n+3=i
C. 复数−2−i在复平面内对应的点在第三象限
D. 若复数z1、z2满足|z1|=|z2|，则z1=z2
10.先后两次掷一枚质地均匀的骰子，A表示事件“两次掷的点数之和是4”，B表示事件“第二次掷出的点数是偶数”，C表示事件“两次掷出的点数相同”D表示事件“至少出现一个奇数点”，则( )
A. A与C−互斥B. P(D)=34C. P(BD)=14D. B与C相互独立
11.已知函数f(x)=2cs(ωx+φ)+1(ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，则( )
A. ω=2
B. φ=π6
C. f(x)在[4π3,5π3]上单调递增
D. f(x+π6)的图象关于直线x=π4对称
12.已知在等边△ABC中，AB=2，D为AC的中点，E为BD的中点，延长CE交AB于点F，则( )
A. AE=12AB+14ACB. AF=2FB
C. BE⋅AC=32D. S△DEC=2S△BEF
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.用分层抽样的方法从某校高中学生中抽取一个容量为45的样本，其中高二年级有学生600人，抽取了15人.则该校高中学生总数是______人.
14.已知平面向量e1,e2不共线，且AB=2e1+ke2,CB=3e1+2ke2,CD=e1+e2，若A，B，D
三点共线，则k= ______．
15.四种电子元件组成的电路如图所示，T1，T2，T3，T4电子元件正常工作的概率分别为0.9，0.8，0.7，0.6，则该电路正常工作的概率为______．

16.在如图所示的平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，已知AB=AA1=AD，∠BAD=∠DAA1=60°，∠BAA1=30°，N为A1D1上一点，且A1N=λA1D1.若BD⊥AN，则λ的值为______．
四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
目前用外卖网点餐的人越来越多，现在对大众等餐所需时间情况进行随机调查，并将所得数据绘制成频率分布直方图.其中等餐所需时间的范围是[0,120]，样本数据分组为[0,20)，[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100)，[100,120]．
(1)求频率分布直方图中x的值．
(2)利用频率分布直方图估计样本的平均数.(每组数据以该组数据所在区间的中点值作代表)
18.(本小题12分)
一枚质地均匀的正四面体的四个面上分别标有数字1，2，3，4，将该正四面体连续抛掷2次，记录每一次底面的数字．
(1)求两次数字之和为7的事件的概率；
(2)两次数字之和为多少的事件概率最大？并求此事件的概率．
19.(本小题12分)
如图所示，四面体O−ABC中，G，H分别是△ABC，ΔOBC的重心，设OA=a，OB=b，OC=c，点D，M，N分别为BC，AB，OB的中点．
(1)试用向量a，b，c表示向量MN，OG；
(2)试用空间向量的方法证明M、N、G、H四点共面．
20.(本小题12分)
甲、乙两人组成“九章队”参加青岛二中数学学科周“最强大脑”比赛，每轮比赛由甲、乙各猜一个数学名词，已知甲每轮猜对的概率为23，乙每轮猜对的概率为34.在每轮比赛中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．
(1)求甲两轮至少猜对一个数学名词的概率；
(2)求“九章队”在两轮比赛中猜对三个数学名词的概率．
21.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，侧面PAB⊥底面ABCD，侧面PAB是边长为1的等边三角形，底面ABCD是正方形，M是侧棱PB上的点，N是底面对角线AC上的点，且PM=2MB，AN=2NC．
(1)求证：AD⊥PB；
(2)求证：MN/​/平面PAD；
(3)求点N到平面PAD的距离．
22.(本小题12分)
已知向量m=(csx,sinx)，n=(sinx, 3sinx)，函数f(x)=2m⋅n− 3．
(1)求f(x)的最小正周期T；
(2)当0≤x≤π时，求f(x)的零点和单调递增区间．
参考答案
1.A
2.C
3.D
4.B
5.B
6.C
7.B
8.A
9.AC
10.BCD
11.ABD
12.AB
13.1800
14.1

16. 3−1
17.解：(1)由频率分布直方图可得，(0.02+x+0.008+0.004+0.002+0.002)×20=1，
解得x=0.014；
(2)由频率分布直方图可得，平均数为：
0.002×20×10+0.004×20×30+0.014×20×50+0.02×20×70+0.008×20×90+0.002×20×110=63.6．
18.解：(1)由题意，2次所得数字(a,b)，且a，b分别表示第一次、第二次的对应数字，
基本事件有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，(2,1)，(3,1)，(4,1)，(3,2)，(4,2)，(4,3)，(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，共16种；
其中两次数字之和为7的事件有(3,4)，(4,3)，共2种；
所以两次数字之和为7的事件的概率为18．
(2)由(1)，数字之和为X=2，3，4，5，6，7，8，
X=2有(1,1)，概率为116；
X=3有(1,2)，(2,1)，概率为18；
X=4有(1,3)，(3,1)，(2,2)，概率为316；
X=5有(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，概率为14；
X=6有(2,4)，(4,2)，(3,3)，概率为316；
X=7有(3,4)，(4,3)，概率为18；
X=8有(4,4)，概率为116；
所以两次数字之和为5的事件概率最大，概率为14．
19.解：(1)在△OBC中，M，N分别AB，OB的中点，
∴MN/​/OA，且|MN|=12|OA|，
又OA=a，∴MN=−12a，
在△ABC中，G是△ABC的中心，D是BC的中点，
由平行四边形法则可得AG=23×12(AB+AC)=13(AB+AC)，
∵OA=a，OB=b，OC=c，
∴AB=OB−OA=b−a，AC=OC−OA=c−a，
又OG=OA+AG=a+13(b−a+c−a)=13a+13b+13c，
故MN=−12a，OG=13a+13b+13c；
(2)证明：由(1)得MN=−12a，
∵G，H分别是△ABC，ΔOBC的重心，
∴AGGD=12，OHHD=12，
∴DHOD=DGDA=13，
又∠GDH=∠ADO，
∴△AOD∽△GHD，
∴GH//OA，且GHOA=13，
∴GH=−13a，
∴MN=32GH，
∴MN//GH，
∴M、N、G、H四点共面．
20.解：(1)因为甲每轮猜对的概率为23，
所以甲两轮至少猜对一个数学名词的概率P=1−(1−23)2=89；
(2)“九章队”在两轮比赛中猜对三个数学名词，包括两轮比赛中甲猜对2个，乙猜对一个，和甲猜对1个，乙猜对2个，
所以所求概率为P=(23)2×2×34×(1−34)+2×23×(1−23)×(34)2=512．
21.解：(1)证明：因为侧面PAB⊥底面ABCD，且侧面PAB∩底面ABCD=AB，
AD⊥AB，AD⊂面ABCD，
所以AD⊥面PAB，
因为PB⊂面PAB，
所以AD⊥PB．
(2)证明：过M作MS//BA交PA于点S，过点N作NT//CD交AD于点T，连接ST，
因为PM=2MB，
所以MS=23BA，
同理可得NT=23CD=23BA，
所以MS//NT，MS=NT，
所以四边形MNTS是平行四边形，
所以MN/​/ST，
又ST⊂面PAD，MN⊄面PAD，
所以MN/​/面PAD．
(3)由(2)知MN/​/面PAD，
所以点M到平面PAD的距离是点N到平面PAD的距离，
在平面PAB内过点M作MH⊥PA于H，
因为AD⊥面PAB，
所以AD⊥MH，
所以MH⊥面PAD，
所以MH是点M到平面PAD的距离，
在Rt△PMH中，PM=2，∠MPH=π3，
所以MH= 3，
所以点N到平面PAD的距离为 3．
22.解：(1)∵m=(csx,sinx)，n=(sinx, 3sinx)，
∴f(x)=2m⋅n− 3=2sinxcsx+2 3sin2x− 3=sin2x+ 3(1−cs2x)− 3=sin2x− 3cs2x=2sin(2x−π3)，
故f(x)的最小正周期为T=2π2=π．
(2)令f(x)=2sin(2x−π3)=0，即2x−π3=kπ，k∈Z，解得x=kπ2+π6，k∈Z，
∵0≤x≤π，
∴f(x)的零点为π6和2π3，
令2kπ−π2≤2x−π3≤2kπ+π2，k∈Z，解得kπ−π12≤x≤kπ+5π12，k∈Z，
∵0≤x≤π，
∴f(x)的单调递增区间为[0,5π12]，[11π12,π]．