2024年沪教版七年级数学暑期提升精讲 专题02 一次方程（组）与一元一次不等式（组）(知识点+练习)

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核心考点聚焦
1、一次方程（组）的概念及应用
2、一次方程（组）的解法
3、一次方程（组）的实际应用
4、不等式的概念与性质
5、一元一次不等式（组）的解法及实际应用
6、一次方程（组）与一元一次不等式（组）的代数应用
Ⅰ、一元一次方程
一、一元一次方程的概念
1．方程：含有未知数的等式叫做方程．
2．一元一次方程：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程．
【方法规律】
（1）一元一次方程变形后总可以化为ax+b＝0(a≠0)的形式，它是一元一次方程的标准形式．
（2）判断是否为一元一次方程，应看是否满足：①只含有一个未知数，未知数的次数为1；
②未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数．
3．方程的解：使方程的左、右两边相等的未知数的值叫做这个方程的解．
4．解方程：求方程的解的过程叫做解方程．
二、等式的性质与去括号法则
1．等式的性质：
等式的性质1：等式两边同时加上(或减去)同一个代数式，所得结果仍是等式．
等式的性质2：等式两边乘同一个数，（或除以同一个不为0的数），所得结果仍是等式．
2．合并法则：合并时，把系数相加(减)作为结果的系数，字母和字母的指数保持不变．
3．去括号法则：
（1）括号外的因数是正数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同．
（2）括号外的因数是负数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相反．
三、一元一次方程的解法
解一元一次方程的一般步骤：
(1)去分母：在方程两边同乘以各分母的最小公倍数．
(2)去括号：依据乘法分配律和去括号法则，先去小括号，再去中括号，最后去大括号．
(3)移项：把含有未知数的项移到方程一边，常数项移到方程另一边．
(4)合并：逆用乘法分配律，分别合并含有未知数的项及常数项，把方程化为ax＝b(a≠0)的形式．
(5)系数化为1：方程两边同除以未知数的系数得到方程的解(a≠0)．
(6)检验：把方程的解代入原方程，若方程左右两边的值相等，则是方程的解；若方程左右两边的值不相等，则不是方程的解．
四、用一元一次方程解决实际问题的常见类型
1.等积变形：①形状面积变了，周长没变；②原体积＝变化后体积.
2.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价
3.行程问题：路程＝速度×时间
4.和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率
5.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量
6.银行存贷款问题：本息和＝本金+利息，利息＝本金×利率×期数
7.数字问题：多位数的表示方法：例如：.
8.方案问题：（1）运用一元一次方程解应用题的方法求解两种方案值相等的情况．
（2）用特殊值试探法选择方案，取小于（或大于）一元一次方程解的值，比较两种方案的优劣性后下结论．
Ⅱ、一元一次不等式（组）
一、不等式
1.不等式：用符号“＜”(或“≤”)，“＞”（或“≥”），≠连接的式子叫做不等式.
【方法规律】
（1）不等式的解：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.
（2）不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集．
解集的表示方法一般有两种：一种是用最简的不等式表示，例如，等；另一种是用数轴表示，如下图所示：
（3）解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式．
2. 不等式的性质：
不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．
用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c
不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．
用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)．
不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)．
二、一元一次不等式
1. 定义：不等式的左右两边都是整式，经过化简后只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式叫做一元一次不等式，
【方法规律】ax+b＞0或ax+b＜0(a≠0)叫做一元一次不等式的标准形式．
2.解法：
解一元一次不等式步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.
【方法规律】不等式解集的表示：在数轴上表示不等式的解集，要注意的是“三定”：一是定边界点，二是定方向，三是定空实.
3.应用：列不等式解应用题的基本步骤与列方程解应用题的步骤相类似，即：
（1）审：认真审题，分清已知量、未知量；
（2）设：设出适当的未知数；
（3）找：找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字，如“大于”“小于”“不大于”“至少”“不超过”“超过”等关键词的含义；
（4）列：根据题中的不等关系，列出不等式；
（5）解：解出所列的不等式的解集；
（6）答：检验是否符合题意，写出答案.
【方法规律】
列一元一次不等式解应用题时，经常用到“合算”、“至少”、“不足”、“不超过”、“不大于”、“不小于”等表示不等关系的关键词语，弄清它们的含义是列不等式解决问题的关键.
三、一元一次不等式组
关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组.
【方法规律】
（1）不等式组的解集：不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集.
（2）解不等式组：求不等式组解集的过程，叫做解不等式组.
（3）一元一次不等式组的解法：分别解出各不等式，把解集表示在数轴上，取所有解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集.
（4）一元一次不等式组的应用： ①根据题意构建不等式组，解这个不等式组；②由不等式组的解集及实际意义确定问题的答案．
Ⅲ、一次方程组
一、二元一次方程组的相关概念
1. 二元一次方程的定义
定义：方程中含有两个未知数（一般用和），并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程.
【方法规律】
（1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数.
（2）“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1.
（3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式.
2.二元一次方程的解
定义：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解.
【方法规律】
二元一次方程的每一个解，都是一对数值，而不是一个数值，一般要用大括号联立起来，即二元一次方程的解通常表示为 的形式.
3. 二元一次方程组的定义
定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组. 此外，组成方程组的各个方程也不必同时含有两个未知数.例如，二元一次方程组.
【方法规律】
（1）它的一般形式为（其中，，，不同时为零）．
（2）更一般地，如果两个一次方程合起来共有两个未知数，那么它们组成一个二元一次方程组．
（3）符号“”表示同时满足，相当于“且”的意思．
4. 二元一次方程组的解
定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.
【方法规律】
（1）方程组中每个未知数的值应同时满足两个方程，所以检验是否是方程组的解，应把数值代入两个方程，若两个方程同时成立，才是方程组的解，而方程组中某一个方程的某一组解不一定是方程组的解.
（2）方程组的解要用大括号联立；
（3）一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组无解，而方程组 的解有无数个.
二、二元一次方程组的解法
1.解二元一次方程组的思想
2.解二元一次方程组的基本方法：代入消元法和加减消元法
（1）用代入消元法解二元一次方程组的一般过程：
①从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有（或）的代数式表示（或），即变成（或）的形式；
②将（或）代入另一个方程（不能代入原变形方程）中，消去（或），得到一个关于（或）的一元一次方程；
③解这个一元一次方程，求出（或）的值；
④把（或）的值代入（或）中，求（或）的值；
⑤用“”联立两个未知数的值，就是方程组的解.
【方法规律】
(1)用代入法解二元一次方程组时，应先观察各项系数的特点，尽可能选择变形后比较简单或代入后化简比较容易的方程变形；
(2)变形后的方程不能再代入原方程，只能代入原方程组中的另一个方程；
(3)要善于分析方程的特点，寻找简便的解法.如将某个未知数连同它的系数作为一个整体用含另一个未知数的代数式来表示，代入另一个方程，或直接将某一方程代入另一个方程，这种方法叫做整体代入法.整体代入法是解二元一次方程组常用的方法之一，它的运用可使运算简便，提高运算速度及准确率.
（2）用加减消元法解二元一次方程组的一般过程：
①根据“等式的两边都乘以（或除以）同一个不等于0的数，等式仍然成立”的性质，将原方程组化成有一个未知数的系数绝对值相等的形式；
②根据“等式两边加上（或减去）同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程”的性质，将变形后的两个方程相加（或相减），消去一个未知数，得到一个一元一次方程；
③解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；
④把求得的未知数的值代入原方程组中比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值；
⑤将两个未知数的值用“”联立在一起即可.
【方法规律】
当方程组中有一个未知数的系数的绝对值相等或同一个未知数的系数成整数倍时，用加减消元法较简单.
三、实际问题与二元一次方程组
【方法规律】
（1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去；
（2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称；
（3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组.
四、三元一次方程组
1．定义：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做三元一次方程；含有三个相同的求知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组.
等都是三元一次方程组.
【方法规律】理解三元一次方程组的定义时，要注意以下几点：
（1）方程组中的每一个方程都是一次方程；
（2）如果三个一元一次方程合起来共有三个未知数，它们就能组成一个三元一次方程组.
2．三元一次方程组的解法
解三元一次方程组的基本思想仍是消元，一般的，应利用代入法或加减法消去一个未知数，从而化三元为二元，然后解这个二元一次方程组，求出两个未知数，最后再求出另一个未知数．解三元一次方程组的一般步骤是：
（1）利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组；
（2）解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值；
（3）将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程；
（4）解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值；
（5）将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起．
【方法规律】
（1）有些特殊的方程组可用特殊的消元法，解题时要根据各方程特点寻求比较简单的解法．
（2）要检验求得的未知数的值是不是原方程组的解，将所求得的一组未知数的值分别代入原方程组里的每一个方程中，看每个方程的左右两边是否相等，若相等，则是原方程组的解，只要有一个方程的左、右两边不相等就不是原方程组的解．
3. 三元一次方程组的应用
列三元一次方程组解应用题的一般步骤：
（1）弄清题意和题目中的数量关系，用字母(如x，y，z)表示题目中的两个(或三个)未知数；
（2）找出能够表达应用题全部含义的相等关系；
（3）根据这些相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组；
（4）解这个方程组，求出未知数的值；
（5）写出答案(包括单位名称)．
【方法规律】
(1)解实际应用题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的应该舍去．
(2)“设”、“答”两步，都要写清单位名称，应注意单位是否统一．
(3)一般来说，设几个未知数，就应列出几个方程并组成方程组．
1.解一元一次方程的分类讨论：解含字母系数的方程时，一般化为最简形式，再分类讨论进行求解，注意最后的解不能合并，只能分情况说明．
2.三元一次方程组的应用：在解决实际问题时，若未知量较多，要考虑设三个未知数，但同时应注意，设几个未知数，就要找到几个等量关系列几个方程．
3.利用不等式解答实际问题的策略是：①根据题意构建不等式(组)；解这个不等式(组)；②由不等式(组)的整数解的个数确定方案．
提升专练
一、单选题
1．下列方程中，属于二元一次方程的是
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程进行分析即可．
【解析】解：A、此方程是一元一次方程，故此选项错误；
B、此方程是三元一次方程，故此选项错误；
C、此方程是二元二次方程，故此选项错误；
D、此方程是二元一次方程，故此选项正确；
故选D．
【点睛】此题主要考查了二元一次方程，关键是掌握二元一次方程需满足三个条件：首先是整式方程方程中共含有两个未知数所有未知项的次数都是一次不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程．
2．若，下列变形错误的是( )
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据不等式的性质分别进行判断即可．
【解析】解：A.由a＞b知a+2＞b+2，此选项正确，不符合题意；
B.由a＞b知a﹣3＞b﹣3，此选项正确，不符合题意；
C.由a＞b知，此选项不正确，符合题意；
D.由a＞b知，此选项正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了不等式的性质：不等式两边同时加上或减去一个数，不等式不改变方向；不等式两边同时乘以或除以一个正数，不等式不改变方向；不等式两边同时乘以或乘以一个负数，不等式要改变方向.
3．已知关于的方程的解是，则的值为（ ）
A．3B．C．D．－3
【答案】A
【分析】把代入原方程，即可解得a的值．
【解析】解：把代入原方程得，
故选：A．
【点睛】本题考查方程的解、解一元一次方程等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
4．下列变形正确的是（ ）
A．由，移项得
B．由，去分母得
C．由，去括号得
D．把中的分母化为整数得
【答案】D
【分析】根据等式的性质逐个判断即可．
【解析】解：A、由，移项得，不符合题意；
B、由，去分母得，不符合题意；
C、由，去括号得，不符合题意；
D、把中的分母化为整数得，符合题意．
故选：D．
【点睛】此题考查了解一元一次方程，以及等式的性质，熟练掌握运算法则及等式的性质是解本题的关键．
5．不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】
本题考查在数轴上表示一元一次不等式的解集，解不等式求得其解集，然后在数轴上表示出其解集即可，熟练掌握解一元一次不等式及正确在数轴上表示解集．
【解析】
解：，
两边同乘得：，
那么在数轴上表示其解集如图所示：
，
故选：．
6．小明同学在解方程：时，把数字看错了，解得，则该同学把看成了（ ）
A．7B．C．1D．
【答案】C
【分析】把代入，得出关于的一元一次方程，解之即可．
【解析】解：把代入，得，
解得：，
即该同学把看成了1，
故选：C．
【点睛】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键．
7．关于x，y的方程组有无数多组解，则a，b的值为（ ）
A．，B．，C．，D．，
【答案】B
【分析】根据题意可得：，从而求出a和b的值．
【解析】解：∵关于x，y的方程组有无数多组解，
∴
解得：a=-2，b=1
故选B．
【点睛】此题考查的是根据二元一次方程组解的情况，求参数的取值范围，掌握二元一次方程组有无数组解，则对应未知数的系数及常数项成比例是解题关键．
8．某班有若干个活动小组，其中书法小组人数的3倍比绘画小组的人数多15人，绘画小组人数的2倍比书法小组的人数多5人，问：书法小组和绘画小组各有多少人？若设书法小组有x人，绘画小组有y人，那么可列方程组为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由两个句子：“书法小组人数的3倍比绘画小组的人数多15人”，
“绘画小组人数的2倍比书法小组的人数多5人”，
得两个等量关系式：
①3×书法小组人数=绘画人数+15 3×书法小组人数-绘画人数=15，
②2×绘画小组人数=书法小组的人数+52×绘画小组人数-书法小组的人数=5，
从而得出方程组 .
故选D.
点睛：应用题的难点，一是找到等量关系，二是根据等量关系列出方程.本题等量关系比较明显，找出不难，关键是如何把等量关系变成方程，抓住以下关键字应着的运算符号：和（+）、差（—）、积（×）、商（÷）、倍（×）、大（+）、小（—）、多（+）、少（—）、比（=），从而把各种量联系起来，列出方程，使问题得解.
9．若关于x的方程3m(x＋1)＋5＝m(3x－1)－5x的解是负数，则m的取值范围是( )
A．m＞－B．m＜－
C．m＞D．m＜
【答案】A
【解析】解：去括号得，3mx+3m+5=3m−mx−5x，
移项得，3mx+mx+5x=3m−3m−5，
合并同类项得,(4m+5)x=−5，
系数化为1,得
∵方程3m(x+1)+1=m(3−x)−5x的解是负数，
∴
∴4m+5>0，
解得
故选A.
【点睛】先解方程，再根据解为负数，求得的取值范围即可．
10．已知关于，的方程组，其中，下列结论：
①当时，，的值互为相反数；②是方程组的解；③当时，方程组的解也是方程的解；④若，则．其中正确的是（ ）
A．①②B．②③C．②③④D．①③④
【答案】D
【分析】将原方程求解，用a表示x和y，然后根据a的取值范围，求出x和y的取值范围，然后逐一判断每一项即可．
【解析】由，解得
∵
∴，
①当时，解得，故①正确；
②不是方程组的解，故②错误；
③当时，解得，此时，故③正确；
④若，即，解得，故④正确；
故选D．
【点睛】本题考查了二元一次方程组，解一元一次不等式，熟练掌握二元一次方程组的解法和不等式的解法是本题的关键．
二、填空题
11．“的倍与的差不小于”列出的不等式是 ．
【答案】
【分析】不小于就是大于等于，根据的倍与的差不小于可列出不等式．
【解析】解：的倍与的差不小于，列出的不等式是
故答案为：．
【点睛】本题考查了列不等式，理解题意是解题的关键．
12．若关于x的方程是一元一次方程，则 ．
【答案】
【分析】根据一元一次方程的概念，即可求得系数a的值
【解析】∵关于x的方程是一元一次方程，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的一般形式和绝对值，掌握一元一次方程的概念是解决问题的关键
13．已知， ．（请用含有x的式子表示）
【答案】/
【分析】本题考查等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键．
利用等式的性质变形即可．
【解析】解：∵，
∴，
故答案为：．
14．关于x的不等式组，则x的正整数解的和为 ．
【答案】3
【分析】先求出不等式组的解集，然后找出其中的正整数相加即可．
【解析】解：，
解①得，x≤2，
解②得，x≥-2，
∴不等式组的解集是-2≤x≤2，
∴x的正整数解有1，2，
∴1+2=3．
故答案为3．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键．先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分．不等式组解集的确定方法是：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解．
15．若不等式的解集是，则 a 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据不等式的解集得到，进行求解即可．
【解析】解：由题意，得：，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查根据不等式的解集求参数的取值范围．熟练掌握不等式的性质，是解题的关键．
16．某物品的标价为120元，若以9折出售，仍可获利，则该物品的进价是 ．
【答案】
【分析】本题考查一元一次方程的应用，此题的等量关系：实际售价=标价的9折=进价×（1+获利率），设未知数，列方程求解即可．
【解析】设该物品进价是x元，依题意有
，
解得．
故该物品进价是元．
故答案为：．
17．已知方程的一组解为，如果是的倍还多，那么的值为 ，的值为 ．
【答案】
【分析】根据题意得出关于a，b的二元一次方程组，利用代入消元法解方程组即可．
【解析】解：∵方程的一组解为，是的倍还多，
∴，
把代入得：，
解得：，
∴，
故答案为：，．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解以及解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法和代入消元法是解题的关键．
18．如图，若开始输入的x的值为正整数，最后输出的结果为162，则满足条件的的值为 ．
【答案】32或6
【分析】利用逆向思维得到，第一个数就是直接输出162，可得方程，解方程即可求得第一个数，再求得输出为这个数的第二个数，以此类推即可求得所有答案．
本题主要考查了一元一次方程的应用——程序问题，解决问题的关键是熟练掌握程序表明的运算方法，逆推列方程解方程．
【解析】第一个数就是直接输出其结果的：，
解得，；
第二个数是： ，即，
解得，；
第三个数是：，即，
解得： （不合题意舍去）
∴满足条件的所有x的值为32或6．
故答案为：32或6．
三、解答题
19．解方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先去括号，根据等式的性质，移项，合并同类项，系数化1，即可求解；
（2）先去分母，移项，合并同类项，系数化1，即可求解．
【解析】（1）解：原式去括号得，，
移项得，，
合并同类项得，，
系数化1得，，
∴原方程的解是：．
（2）解：原式两边同时乘以去分母得，，
移项得，，
合并同类项得，，
系数化1得，，
∴原方程的解是：．
【点睛】本题主要考查解一元一次方程，掌握等式的性质，去括号，去分母，移项，合并同类项，系数化1是解题的关键．
20．解方程组：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查解二元一次方程组和解三元一次方程组，掌握消元法是解题的关键.
（1）用代入消元法求解即可；
（2）把②整体代入①求出，①-③求出，据此求解即可.
【解析】（1）
由②得，③，
把③代入①，得，
解得：，
把代入③，得，
∴方程组的解为
（2）
把②代入①，得，
解得：，
①-③，得，
解得：，
把代入②，得，
解得：，
∴方程组的解为：.
21．（1）解不等式3x+5＜8（x﹣1）+3，并写出满足此不等式的最小整数解．
（2）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．
【答案】（1）x＞2，不等式的最小整数解为3；（2）﹣1≤x＜4，图详见解析．
【分析】（1）根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得．
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解析】解：（1）3x+5＜8x﹣8+3，
3x﹣8x＜﹣8+3﹣5，
﹣5x＜﹣10，
x＞2，
∴此不等式的最小整数解为3；
（2）解不等式﹣2（x+3）≤7x+3，得：x≥﹣1，
解不等式﹣＜，得：x＜4，
则不等式组的解集为﹣1≤x＜4，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
22．甲和乙两人同解方程组，甲因抄错了a，解得，乙因抄错了b，解得，求的值．
【答案】1
【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，由题意可知是的解，是的解，分别代入，求出a，b的值，即可求解．
【解析】解：由题意是的解，
∴，
解得：，
又是的解，
∴，
解得：，
．
23．学校体育组用1400元购买了10个篮球和8个足球，已知每个篮球的价格比每个足球的价格多5元，求每个篮球和足球的价格分别是多少元？
【答案】篮球的进价为80元，足球的进价为75元
【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，理解题意，找到等量关系是解题关键．设足球的价格为x元，则篮球的价格为元，根据题意列出方程求解即可；
【解析】解：设足球的价格为x元，则篮球的价格为元，
根据题意得：，
解得：，
∴，
∴篮球的进价为80元，足球的进价为75元．
24．某商场用2500元购进、两种新型节能台灯共50盏，这两种台灯的进价、标价如下表所示．
(1)这两种台灯各购进多少盏？
(2)若型台灯按标价的9折出售，型台灯按标价的8折出售，那么这批台灯全部售出后，商场共获利多少元？
【答案】(1)型台灯购进30盏，型台灯购进20盏
(2)型台灯购进30盏，型台灯购进20盏；这批台灯全部售完后，商场共获利720元
【分析】本题考查二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组，利用方程的思想解答．
（1）有两个等量关系：型灯盏数型灯盏数，购买型灯钱数购买型灯钱数．
（2）根据利润售价进价，知商场共获利型灯利润型灯利润．
【解析】（1）设型台灯购进盏，型台灯购进盏．
根据题意得：，
解得：
（2）
（元．
答：型台灯购进30盏，型台灯购进20盏；这批台灯全部售完后，商场共获利720元．
25．已知关于x，y的方程组
(1)求这个方程组的解；
(2)当m取何值时，这个方程组的解x大于1，y不小于．
(3)已知，在（2）的条件下，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了解二元一次方程组，一元一次不等式组，不等式的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）用加减消元法求解即可；
（2）先得到关于m的一元一次不等式组，再分别求出每一个不等式的解集，最后再取解集的公共部分即可；
（3）先用m的代数式表示出t，再根据不等式的性质求解即可．
【解析】（1）解：，
由①②得，
解得：，
将代入①得：，
解得：，
∴原方程组的解为：
（2）解：由题意得，
解③得：，
解④得：，
∴该不等式组的解集为：；
（3）解：由题意得，
∵，
∴
∴，
即t的取值范围为．
26．为拓展学生视野，某中学组织八年级师生开展研学活动，现有甲、乙两种客车，原计划租用甲种45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的乙种60座客车，则多出三辆车，且其余客车恰好坐满．
(1)求参加此次研学活动的师生共有多少人？
(2)若同时租用两种客车，要使每位师生都有座位，甲种客车数量比乙种客车的5倍多1辆，则至少租用多少台乙种客车？
【答案】(1)参加此次研学活动的师生共有600人
(2)至少租用2台乙种客车
【解析】（1）解：设参加此次研学活动的师生共有x人，
则：，
解得：，
答：加此次研学活动的师生共有600人．
（2）设租用m台乙种客车，
由题意得：，
解得：，∵m为整数，
∴m最小为2，∴至少租用2台乙种客车．
答：至少租用2台乙种客车．
27．定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”，例如：方程的解为．不等式组的解集为．因为．所以称方程为不等式组，的“相伴方程”．
(1)下列方程是不等式组的“相伴方程”的是_______；（填序号）
①；②；③
(2)若关于x的方程是不等式组的“相伴方程”，求k的取值范围；
(3)若方程，都是关于x的不等式组的“相伴方程”，其中，则m的取值范围是________（直接写答案）．
【答案】(1)①②
(2)3＜k≤4；
(3)2＜m≤3
【分析】（1）先分别求出方程的解和不等式组的解集，再逐个判断即可；
（2）先分别求出方程的解和不等式组的解集，根据题意得出＜≤3，再去解不等式组的解集即可；
（3）分别求出方程的解，分为两种情况：①当m＜2时，求出不等式组的解集，再判断即可；②当m＞2时，求出不等式组的解集，再判断即可．
【解析】（1）解：解不等式组得-1＜x＜2，
解方程x-1=0得：x=1；
解方程2x+1=0得：x=-；
解方程-2x-2=0得：x=-1，
∵-1＜1＜2，-1＜-＜2，-1=-1，
∴①②是不等式组的“相伴方程”，
故答案为：①②；
（2）解：解不等式组得：＜x≤3，
解方程2x-k=2得：x=，
∵关于x的方程2x-k=2是不等式组的“相伴方程”，
∴＜≤3，
解得：3＜k≤4，
即k的取值范围是3＜k≤4；
（3）解：解方程2x+4=0得x=-2，
解方程得x=-1，
∵方程2x+4=0，都是关于x的不等式组的“相伴方程”，m≠2，
所以分为两种情况：
①当m＜2时，不等式组为，
此时不等式组的解集是x＞1，不符合题意，舍去；
②当m＞2时，不等式组的解集是m-5≤x＜1，
所以根据题意得，
解得：2＜m≤3，
所以m的取值范围是2＜m≤3，
故答案为：2＜m≤3．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，一元一次方程的解和解一元一次不等式组等知识点，能根据题意得出关于k和m的不等式组是解此题的关键．
28．我校开展丰富多彩的航天科技月活动，小航同学设计了一套电子设备，有两个电子蚂蚁P、Q在直线赛道上运动，电子蚂蚁P从A出发，以每秒1个单位长度的速度匀速运动，电子蚂蚁Q从B出发以每秒2个单位长度的速度匀速运动，且两点同时出发．
小航同学在学习《有理数》之后，发现运用数形结合思想的方法建立数轴可以较快的解决问题，小航同学设计在数轴上A、B两点对应的数分别是a、b，满足，且k为最大的负整数，．
(1)则________，________．
(2)如果P、Q相向运动，经过几秒钟P、Q之间距离为4个单位．
(3)当点P、Q两点同时向右方向运动，同时又有一个电子蚂蚁C从原点出发，以每秒5个单位长度的速度匀速向右运动，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使得，若存在求出t值，并求出点C所表示的数．
【答案】(1)；12
(2)4或
(3)t的值为2或14，点C所表示的数为10或70
【分析】（1）根据题意可求出k的值，进而求出a、b的值；
（2）设经过x秒钟P、Q之间距离为4个单位，根据P、Q相遇之前以及相遇之后进行讨论列出方程，解方程即可；
（3）根据题意分为当C还未追上Q和C追上Q后两种情况进行讨论，进而列出方程，解方程即可．
【解析】（1）解：∵k为最大的负整数
∴
∵
∴
又∵
∴
∴
故答案为：；12．
（2）设经过x秒钟P、Q之间距离为4个单位．
当P、Q两点相遇时，
根据题意，得
解得，
P、Q相遇前
由题意，得
解得，
②P、Q相遇后
由题意，得
解得，
综上所述，当P、Q相向运动时，经过4或秒钟P、Q之间距离为4个单位
（3）由（1）可知A、B两点对应的数分别是、12
根据题意，可得P、Q、C三点对应的数分别是、、
当C追上Q时，
根据题意，可得
解得，
①C还未追上Q
∵
∴
解得，
∴
即点C所表示的数为10．
②C追上Q后
∵
∴
解得，
∴
即点C所表示的数为70．
综上所述，t的值为2或14，点C所表示的数为10或70．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，数轴上的动点问题，两点间的距离，熟练掌握数轴上两点间的距离以及分类讨论的思想是解题的关键．
目录
考点聚焦：核心考点，有的放矢
重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺
难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升
学以致用：提升专练，全面突破
类型
价格
型
型
进价（元盏）
40
65
标价（元盏）
60
100