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2024年暑假初升高衔接数学讲义学案 第21讲 数学思想方法
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这是一份2024年暑假初升高衔接数学讲义学案 第21讲 数学思想方法，文件包含第21章数学思想方法-2024年初升高数学衔接课程-教师版含解析doc、第21章数学思想方法-2024年初升高数学衔接课程--学生版doc等2份学案配套教学资源，其中学案共20页， 欢迎下载使用。
————初中知识回顾————
数学思想方法是把知识转化为能力的桥梁，是解题规律的总结，是达到以点带面、触类旁通、摆脱题海的有效之路。因此我们应抓住临近中考的这段时间，去研究、归纳、熟悉那些常见的解题方法与技巧，从而为夺得中考高分搭起灵感和智慧的平台。
初中数学中的主要数学思想有整体思想、转化思想、分类讨论思想、数形结合思想等。
————高中知识链接————
高中数学中的主要数学思想有函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想等。
函数思想就是构造函数从而利用函数的图象与性质解题，经常利用的性质是：单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图象变换等．在解题中，善于挖掘题目的隐含条件，构造出函数解析式和巧用函数的性质，是应用函数思想的关键，它广泛地应用于方程、不等式、数列等问题．
方程思想就是将所求的量(或与所求的量相关的量)设成未知数，用它表示问题中的其他各量，根据题中的已知条件列出方程(组)，通过解方程(组)或对方程(组)进行研究，使问题得到解决．
数形结合是把数或数量关系与图形对应起来，借助图形来研究数量关系或者利用数量关系来研究图形的性质，是一种重要的数学思想方法。它可以使抽象的问题具体化，复杂的问题简单化。“数缺形时少直观，形少数时难入微”，利用数形结合的思想方法可以深刻揭示数学问题的本质。
分类讨论思想是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略．对问题实行分类与整合，分类标准等于是增加的一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思路，降低问题难度．
转化与化归思想的实质是揭示联系，实现转化．除极简单的数学问题外，每个数学问题的解决都是通过转化为已知的问题实现的．从这个意义上讲，解决数学问题就是从未知向已知转化的过程．化归与转化思想是解决数学问题的根本思想，解题的过程实际上就是一步步转化的过程．
【经典题型】
初中经典题型
一、整体思想的应用
例1：若a﹣b=2，a﹣c=，则(b﹣c)2﹣3(b﹣c)+= ．
二、转化思想的应用
例2：我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度是 尺．
三、分类讨论思想的应用
例3：经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”．如图，线段CD是△ABC的“和谐分割线”，△ACD为等腰三角形，△CBD和△ABC相似，∠A=46°，则∠ACB的度数为 ．
四、数形结合思想的应用
例4：已知一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象如图所示，则下列结论：①k＜0；②a＞0；③关于x的方程kx+b=x+a的解为x=3；④x＞3时，y1＜y2．正确的个数是( )[来源:Zxxk．Cm]
A．1B．2C．3D．4
高中经典题型
一、函数与方程思想
例1：如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连续(相切)，已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为( )
A．y＝eq \f(1,2)x3－eq \f(1,2)x2－x B．y＝eq \f(1,2)x3＋eq \f(1,2)x2－3x C．y＝eq \f(1,4)x3－x D．y＝eq \f(1,4)x3＋eq \f(1,2)x2－2x[来源:Zxxk．Cm]
二、数形结合思想
例2：已知函数f(x)满足下面关系：①f(x＋1)＝f(x－1)；②当x∈[－1，1]时，f(x)＝x2，则方程f(x)＝lg x解的个数是( )
A．5个 B．7个 C．9个 D．10个
三、分类讨论思想
例3：长方形ABCD中，|AB|＝4，|BC|＝8，在BC边上取一点P，使|BP|＝t，线段AP的垂直平分线与长方形的边的交点为Q，R时，用t表示|QR|．
四、转化与化归思想
例4：某厂2015年生产利润逐月增加，且每月增加的利润相同，但由于厂方正在改造建设，1月份投入资金建设恰好与1月份的利润相等，随着投入资金的逐月增加，且每月增加投入的百分率相同，到12月投入建设资金又恰好与12月的生产利润相同，则全年总利润M与全年总投入N的大小关系是( )
A．M>N B．M【实战演练】
————先作初中题 —— 夯实基础————
A 组
1．若a﹣b=2，b﹣c=﹣3，则a﹣c等于( )
A．1 B．﹣1 C．5 D．﹣5
2．已知等腰三角形一边长为4，另一边长为8，则这个等腰三角形的周长为( )
A．20 B．20或16 C．16 D．12
3．如图是由8个全等的矩形组成的大正方形，线段AB的端点都在小矩形的顶点上，如果点P是某个小矩形的顶点，连接PA、PB，那么使△ABP为等腰直角三角形的点P的个数是( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
4．已知二次函数y = (x+m)2 - n的图象如图所示，则一次函数y = mx + n 与反比例函数 的图象可能是( )
5．解分式方程﹣1=．
6．小明想要测量学校食堂和食堂正前方一棵树的高度，他从食堂楼底M 处出发，向前走3米到达A处，测得树顶端E的仰角为30°，他又继续走下台阶到达C处，测得树的顶端E的仰角是60°，再继续向前走到大树底D处，测得食堂楼顶N的仰角为45°．已知A点离地面的高度AB=2米，∠BCA=30°，且B、C、D三点在同一直线上．
(1)求树DE的高度；
(2)求食堂MN的高度．
7．小明做了一个数学实验：将一个圆柱形的空玻璃杯放入形状相同的无水鱼缸内，看作一个容器．然后，小明对准玻璃杯口匀速注水，如图所示，在注水过程中，杯底始终紧贴鱼缸底部．则下面可以近似地刻画出容器最高水位与注水时间之间的变化情况的是( )
A．B．C． D．
8．在平面直角坐标系中，点C、D的坐标分别为C(2，3)、D(1，0)，现以原点为位似中心，将线段CD放大得到线段AB．若点D的对应点B在x轴上且OB=2，则点C的对应点A的坐标为 ．
9．如图，在半径为13cm的圆形铁片上切下一块高为8cm的弓形铁片，则弓形弦AB的长为( )
A．10cm B．16cm C．24cm D．26cm
10．已知等腰三角形的一边长为9，另一边长为方程x2﹣8x+15=0的根，则该等腰三角形的周长为 ．
————再战高中题 —— 能力提升————
B 组
1、已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2－|x|，x≤2，,（x－2）2，x＞2，))函数g(x)＝b－f(2－x)，其中b∈R，若函数y＝f(x)－g(x)恰有4个零点，则b的取值范围是( )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,4)，＋∞)) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(7,4))) C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(7,4))) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,4)，2))
2、已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0，2]上是增函数，若方程f(x)＝m(m>0)在区间[－8，8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4＝________．
3、在等差数列{an}中，a1＝1，满足a2n＝2an，n＝1，2，…
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)记bn＝anpan(p＞0)，求数列{bn}的前n项和Tn．
4、若不等式x2＋px＞4x＋p－3对一切0≤p≤4均成立，试求实数x的取值范围．
————初中知识回顾————
数学思想方法是把知识转化为能力的桥梁，是解题规律的总结，是达到以点带面、触类旁通、摆脱题海的有效之路。因此我们应抓住临近中考的这段时间，去研究、归纳、熟悉那些常见的解题方法与技巧，从而为夺得中考高分搭起灵感和智慧的平台。
初中数学中的主要数学思想有整体思想、转化思想、分类讨论思想、数形结合思想等。
————高中知识链接————
高中数学中的主要数学思想有函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想等。
函数思想就是构造函数从而利用函数的图象与性质解题，经常利用的性质是：单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图象变换等．在解题中，善于挖掘题目的隐含条件，构造出函数解析式和巧用函数的性质，是应用函数思想的关键，它广泛地应用于方程、不等式、数列等问题．
方程思想就是将所求的量(或与所求的量相关的量)设成未知数，用它表示问题中的其他各量，根据题中的已知条件列出方程(组)，通过解方程(组)或对方程(组)进行研究，使问题得到解决．
数形结合是把数或数量关系与图形对应起来，借助图形来研究数量关系或者利用数量关系来研究图形的性质，是一种重要的数学思想方法。它可以使抽象的问题具体化，复杂的问题简单化。“数缺形时少直观，形少数时难入微”，利用数形结合的思想方法可以深刻揭示数学问题的本质。
分类讨论思想是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略．对问题实行分类与整合，分类标准等于是增加的一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思路，降低问题难度．
转化与化归思想的实质是揭示联系，实现转化．除极简单的数学问题外，每个数学问题的解决都是通过转化为已知的问题实现的．从这个意义上讲，解决数学问题就是从未知向已知转化的过程．化归与转化思想是解决数学问题的根本思想，解题的过程实际上就是一步步转化的过程．
【经典题型】
初中经典题型
一、整体思想的应用
例1：若a﹣b=2，a﹣c=，则(b﹣c)2﹣3(b﹣c)+= ．
二、转化思想的应用
例2：我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度是 尺．
三、分类讨论思想的应用
例3：经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”．如图，线段CD是△ABC的“和谐分割线”，△ACD为等腰三角形，△CBD和△ABC相似，∠A=46°，则∠ACB的度数为 ．
四、数形结合思想的应用
例4：已知一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象如图所示，则下列结论：①k＜0；②a＞0；③关于x的方程kx+b=x+a的解为x=3；④x＞3时，y1＜y2．正确的个数是( )[来源:Zxxk．Cm]
A．1B．2C．3D．4
高中经典题型
一、函数与方程思想
例1：如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连续(相切)，已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为( )
A．y＝eq \f(1,2)x3－eq \f(1,2)x2－x B．y＝eq \f(1,2)x3＋eq \f(1,2)x2－3x C．y＝eq \f(1,4)x3－x D．y＝eq \f(1,4)x3＋eq \f(1,2)x2－2x[来源:Zxxk．Cm]
二、数形结合思想
例2：已知函数f(x)满足下面关系：①f(x＋1)＝f(x－1)；②当x∈[－1，1]时，f(x)＝x2，则方程f(x)＝lg x解的个数是( )
A．5个 B．7个 C．9个 D．10个
三、分类讨论思想
例3：长方形ABCD中，|AB|＝4，|BC|＝8，在BC边上取一点P，使|BP|＝t，线段AP的垂直平分线与长方形的边的交点为Q，R时，用t表示|QR|．
四、转化与化归思想
例4：某厂2015年生产利润逐月增加，且每月增加的利润相同，但由于厂方正在改造建设，1月份投入资金建设恰好与1月份的利润相等，随着投入资金的逐月增加，且每月增加投入的百分率相同，到12月投入建设资金又恰好与12月的生产利润相同，则全年总利润M与全年总投入N的大小关系是( )
A．M>N B．M
————先作初中题 —— 夯实基础————
A 组
1．若a﹣b=2，b﹣c=﹣3，则a﹣c等于( )
A．1 B．﹣1 C．5 D．﹣5
2．已知等腰三角形一边长为4，另一边长为8，则这个等腰三角形的周长为( )
A．20 B．20或16 C．16 D．12
3．如图是由8个全等的矩形组成的大正方形，线段AB的端点都在小矩形的顶点上，如果点P是某个小矩形的顶点，连接PA、PB，那么使△ABP为等腰直角三角形的点P的个数是( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
4．已知二次函数y = (x+m)2 - n的图象如图所示，则一次函数y = mx + n 与反比例函数 的图象可能是( )
5．解分式方程﹣1=．
6．小明想要测量学校食堂和食堂正前方一棵树的高度，他从食堂楼底M 处出发，向前走3米到达A处，测得树顶端E的仰角为30°，他又继续走下台阶到达C处，测得树的顶端E的仰角是60°，再继续向前走到大树底D处，测得食堂楼顶N的仰角为45°．已知A点离地面的高度AB=2米，∠BCA=30°，且B、C、D三点在同一直线上．
(1)求树DE的高度；
(2)求食堂MN的高度．
7．小明做了一个数学实验：将一个圆柱形的空玻璃杯放入形状相同的无水鱼缸内，看作一个容器．然后，小明对准玻璃杯口匀速注水，如图所示，在注水过程中，杯底始终紧贴鱼缸底部．则下面可以近似地刻画出容器最高水位与注水时间之间的变化情况的是( )
A．B．C． D．
8．在平面直角坐标系中，点C、D的坐标分别为C(2，3)、D(1，0)，现以原点为位似中心，将线段CD放大得到线段AB．若点D的对应点B在x轴上且OB=2，则点C的对应点A的坐标为 ．
9．如图，在半径为13cm的圆形铁片上切下一块高为8cm的弓形铁片，则弓形弦AB的长为( )
A．10cm B．16cm C．24cm D．26cm
10．已知等腰三角形的一边长为9，另一边长为方程x2﹣8x+15=0的根，则该等腰三角形的周长为 ．
————再战高中题 —— 能力提升————
B 组
1、已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2－|x|，x≤2，,（x－2）2，x＞2，))函数g(x)＝b－f(2－x)，其中b∈R，若函数y＝f(x)－g(x)恰有4个零点，则b的取值范围是( )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,4)，＋∞)) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(7,4))) C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(7,4))) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,4)，2))
2、已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0，2]上是增函数，若方程f(x)＝m(m>0)在区间[－8，8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4＝________．
3、在等差数列{an}中，a1＝1，满足a2n＝2an，n＝1，2，…
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)记bn＝anpan(p＞0)，求数列{bn}的前n项和Tn．
4、若不等式x2＋px＞4x＋p－3对一切0≤p≤4均成立，试求实数x的取值范围．
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