2024年暑假初升高衔接数学讲义学案 第04讲 分式不等式

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————初中知识回顾————
分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
(1)分式方程的解法
①一般解法：去分母法，即方程两边同乘以最简公分母．
②特殊解法：换元法．
(2)验根：由于在去分母过程中，当未知数的取值范围扩大而有可能产生增根．因此，验根是解分式方程必不可少的步骤，一般把整式方程的根的值代人最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去．
说明：解分式方程，一般先考虑换元法，再考虑去分母法．
分式不等式的解法：
分母恒为正时可去分母；分母不恒为正时不能去分母，应先移项使右边为0再通分并将分子分母分解因式，最后用标根法求解。解分式不等式的主旨是化分式不等式为整式不等式，进行求解．
————高中知识链接————
可化为一元二次方程的分式方程
1．去分母化分式方程为一元二次方程
2．用换元法化分式方程为一元二次方程
简单分式不等式的解法
【经典题型】
初中经典题型
1．已知关于x的分式方程的解是非负数，那么a的取值范围是( )
A．a＞1 B．a≥1 C．a≥1且a≠9 D．a≤1
【答案】C．
【分析】根据分式方程的解法即可求出a的取值范围；
点睛：本题考查分式方程的解法，解题的关键是熟练运用分式方程的解法，本题属于基础题型．
2．若关于的分式方程有增根，则实数的值是 ．
【答案】1．
【解析】
试题分析：方程两边同乘以x-2，可得m=x-1-3(x-2)，解得m=-2x+5，因分式方程有增根，可得x=2，所以m=1．
3．解不等式：．
【答案】
【解析】试题分析：不等式等价于，解之即可．
试题解析：不等式等价于，
∴，
故不等式的解集是．
4．不等式 的解是__________．
【答案】
【解析】
试题分析：原不等式化为，解得．
高中经典题型
【例1】解方程 ．
分析：去分母，转化为整式方程．
解：原方程可化为：
方程两边各项都乘以：
即，整理得：
解得：或．
检验：把代入，不等于0，所以是原方程的解；
把代入，等于0，所以是增根．
所以，原方程的解是．
说明：
(1) 去分母解分式方程的步骤：
①把各分式的分母因式分解； ②在方程两边同乘以各分式的最简公分母； ③去括号，把所有项都移到左边，合并同类项； ④解一元二次方程； ⑤验根．
(2) 验根的基本方法是代入原方程进行检验，但代入原方程计算量较大．而分式方程可能产生的增根，就是使分式方程的分母为0的根．因此我们只要检验一元二次方程的根，是否使分式方程两边同乘的各分式的最简公分母为0．若为0，即为增根；若不为0，即为原方程的解．
【例2】解方程
分析：本题若直接去分母，会得到一个四次方程，解方程很困难．但注意到方程的结构特点，设，即得到一个关于的一元二次方程．最后在已知的值的情况下，用去分母的方法解方程．
解：设，则原方程可化为： 解得或．
(1)当时，，去分母，得；
(2)当时，．
检验：把各根分别代入原方程的分母，各分母都不为0．
所以，，都是原方程的解．
说明：用换元法解分式方程常见的错误是只求出的值，而没有求到原方程的解，即的值．
【例3】解方程 ．
(1)当时，；
(2)当时，．
检验：把把各根分别代入原方程的分母，各分母都不为0．
所以，原方程的解是，，．
说明：解决分式方程的方法就是采取去分母、换元等法，将分式方程转化为整式方程，体现了化归思想．
【例4】解下列不等式：
(1) (2)
分析：(1) 类似于一元二次不等式的解法，运用“符号法则”将之化为两个一元一次不等式组处理；或者因为两个数(式)相除异号，那么这两个数(式)相乘也异号，可将分式不等式直接转化为整式不等式求解．
(2) 注意到经过配方法，分母实际上是一个正数．
解：(1) 解法(一)
原不等式可化为：
解法(二)
原不等式可化为：．
(2) ∵
原不等式可化为：
【例5】解不等式
解：原不等式可化为：
说明：(1) 转化为整式不等式时，一定要先将右端变为0．
(2) 本例也可以直接去分母，但应注意讨论分母的符号：
【实战演练】
————先作初中题 —— 夯实基础————
A 组
1．分式方程的解为：( )
A、1 B、2 C、 D、0
【答案】A
【解析】
试题分析：根据分式方程的解法：去分母，得2-3x=x-2，移项后解得x=1，检验x=1是原分式方程的根．
答案为A
2．若关于x的分式方程的解为正数，则满足条件的正整数m的值为( )
A．1，2，3 B．1，2 C．1，3 D．2，3
【答案】C．
【分析】根据等式的性质，可得整式方程，根据解整式方程，可得答案．
点睛：本题考查了分式方程的解，利用等式的性质得出整式方程是解题关键，注意要检验分式方程的根．
3．方已知关于x的分式方程的解为负数，则k的取值范围是 ．
【答案】k＞且k≠0．
4．关于x的两个方程与有一个解相同，则m= ．
【答案】﹣8．
【解析】解方程得：x=﹣2或3；
把x=﹣2或3分别代入方程，当x=﹣2时，得到，解得m=﹣8．
故答案为：﹣8．
5．解方程：．
【答案】x=15．
【解析】
试题分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
试题解析：去分母得：x+1=2x﹣14，解得：x=15，经检验x=15是分式方程的解．
6．若关于x的分式方程的解为负数，则k的取值范围为 ．
【答案】k＜3且k≠1．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，根据解为负数确定出k的范围即可．
【解析】去分母得：k﹣1=2x+2，解得：x=，由分式方程的解为负数，得到＜0，且x+1≠0，即≠﹣1，解得：k＜3且k≠1，故答案为：k＜3且k≠1．
点睛：此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
7．不等式的解是__________．
【答案】
【解析】不等式等价于或
解得
8．不等式的解为____________．
【答案】
【解析】不等式化为，解一元二次不等式即可．
详解：不等式化为，解得，[来源:学&科&网]
∴不等式的解集为，故答案为．
点睛：本题考查了分式不等式转化为一元二次不等式的解法，属于基础题
9．不等式的解为______．
【解析】．
点睛：解分式不等式的方法是：移项，通分化不等式为，再转化为整式不等式，然后利用二次不等式或高次不等式的结论求解．
————再战高中题 —— 能力提升————
B 组
1． 用换元法解方程时，设，则原方程可化为( )
A． B． C． D．
【答案】B．
【分析】直接利用已知将原式用y替换得出答案．
【解析】∵设，∴，可转化为：，即．故选B．
点睛：此题主要考查了换元法解分式方程，正确得出y与x值间的关系是解题关键．
2．分式方程的解是 ．
【答案】．
【解析】
试题分析：去分母得：，解得：，经检验是分式方程的解．故答案为：．
3．如果关于x的分式方程有负分数解，且关于x的不等式组的解集为x＜﹣2，那么符合条件的所有整数a的积是( )
A．﹣3 B．0 C．3 D．9
【答案】D．
【分析】把a看做已知数表示出不等式组的解，根据已知解集确定出a的范围，分式方程去分母转化为整式方程，将a的整数解代入整式方程，检验分式方程解为负分数确定出所有a的值，即可求出之积．
【解析】，由①得：x≤2a+4，由②得：x＜﹣2，由不等式组的解集为x＜﹣2，得到2a+4≥﹣2，即a≥﹣3，分式方程去分母得：a﹣3x﹣3=1﹣x，把a=﹣3代入整式方程得：﹣3x﹣6=1﹣x，即，符合题意；
把a=﹣2代入整式方程得：﹣3x﹣5=1﹣x，即x=﹣3，不合题意；
把a=﹣1代入整式方程得：﹣3x﹣4=1﹣x，即，符合题意；
把a=0代入整式方程得：﹣3x﹣3=1﹣x，即x=﹣2，不合题意；
把a=1代入整式方程得：﹣3x﹣2=1﹣x，即，符合题意；
把a=2代入整式方程得：﹣3x﹣1=1﹣x，即x=1，不合题意；
把a=3代入整式方程得：﹣3x=1﹣x，即，符合题意；
把a=4代入整式方程得：﹣3x+1=1﹣x，即x=0，不合题意，∴符合条件的整数a取值为﹣3；﹣1；1；3，之积为9，故选D．
点睛：此题考查了解一元一次不等式组，以及解分式方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
4．不等式的解集是( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】时， 不成立，可排除，时，不成立，可排除，故选B．
5．不等式的解集是
A． {x|-1＜x＜1 } B． {x|0＜x＜1}
C． {x|－1＜x＜0或x＞1} D． {x|0＜x＜1或x＜-1}
【答案】C
6．不等式的解集是( )
A． B． C． 或 D．
【答案】B
【解析】， ， ， ， ，选B．
7．不等式的解集为_____．
【答案】
【解析】由得：
故不等式的解集为
5．不等式 的解集是__________．
【答案】
【解析】原不等式化为，解得．[来源:学.科.网]
考点：分式不等式．
8．不等式的解集是__________．
【答案】