2023-2024学年山东省济南市天桥区九年级上学期数学期中试题及答案

这是一份2023-2024学年山东省济南市天桥区九年级上学期数学期中试题及答案，共27页。试卷主要包含了 已知，则下列比例式成立的是， 下列命题正确是等内容，欢迎下载使用。

1. 如图是一个零件的示意图，它的俯视图是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．
【详解】解：从上面看该零件的示意图是一个大矩形，且中间有2条实线段，

故选：C．
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图．
2. 已知，则下列比例式成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据比例的基本性质进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴，，，
则A、C、D选项均不正确，B正确，
故选：B
【点睛】此题考查了比例的基本性质，熟练掌握比例的基本性质并灵活变形是解题的关键．
3. 如图，两条直线被三条平行线所截，若，，，则（ ）

A. 4B. 8C. 12D. 9
【答案】A
【解析】
【分析】根据平行线分线段成比例定理得到，据此代值计算即可．
【详解】解：∵，
∴，即，
∴，
故选A．
【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．
4. 若是关于的一元二次方程的一个解，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据是一元二次方程的一个解，代入方程即可求解m的值.
【详解】解：根据题意，把代入
得：
解得：
故选C
【点睛】本题考查了一元二次方程的解（根)的意义、一元一次方程，解题的关键是能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
5. 若反比例函数的图像经过点，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】将代入函数中，即可求出结果；
【详解】解：∵反比例函数图象经过点
∴
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数图像上的点的坐标与函数的表达式的关系是解题的关键．
6. 下列命题正确是（ ）
A. 对角线相等的四边形是平行四边形B. 对角线相等的四边形是矩形
C. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行四边形、矩形、菱形以及正方形的判定方法，对选项逐个判断即可．
【详解】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，选项错误，不符合题意；
B、对角线相等平行四边形是矩形，选项错误，不符合题意；
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，选项正确，符合题意；
D、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，选项错误，不符合题意；
故选C
【点睛】此题考查了平行四边形、矩形、菱形以及正方形的判定，掌握它们的判定方法是解题的关键．
7. 对于反比例函数，下列说法不正确的是（ ）
A. 图象分布在第二、四象限B. 图象关于原点对称
C. 图象经过点（1，）D. 若点，都在该函数图象上，且，则
【答案】D
【解析】
【分析】根据反比例函数图象与性质对各选项进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴图象在第二、四象限，关于原点对称，
故A，B正确，不符合题意；
将代入解析式得
∴图象经过点
故C正确，不符合题意；
根据反比例函数在或上，随着的增大而增大，
∴当时，的大小无法确定
故D错误，符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质．解题的关键在于熟练掌握反比例函数的性质．
8. 如图，在平行四边形中，点E在边上，，连接交于点F，则的面积与的面积之比为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设，，则，由四边形是平行四边形，推出，，推出，推出由此即可解决问题．
【详解】解：设，，则，
∵四边形是平行四边形，
∴A，，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查相似三角形的性质和判定、平行四边形的性质等知识，解题的关键是灵活运用平行四边形的性质，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
9. 电影《长安三万里》上映以来，全国票连创佳绩，据不完全统计，某市第一天票房约2亿元，若以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达10亿元，将增长率记作，则方程可以列为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设增长率记作，分别求得三天的收入，根据三天后累计票房收入达10亿元，列方程即可求解．
【详解】解：设增长率记作，依题意，
故选：D．
10. 如图，在矩形中，点F是边上的一点，把矩形沿折叠，点C落在边上的点E处，，点M是线段上的动点，连接，过点E作的垂线交于点N，垂足为H．以下结论：①；②；③；④=．其中正确的结论有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查折叠的性质以及相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，掌握勾股定理和相似三角形的判定与性质是解题的关键．利用矩形的折叠相关知识，先用勾股定理求出，设，结合和利用勾股定理列出方程可求出，从而判定③错误，利用一线三直角模型可证明，从而判定①正确，利用相似三角形的性质可知，而，从判定故②错误，作，证明，可判断故④正确，从而得解．
【详解】由矩形的性质得：，，，
由折叠的性质得，，，
在中，，
∴，
设，
∴，
在中，，
解得，即，故③错误；
在矩形中，，
∴，
又∵，
∴，
∵，，
∴，故①正确；
∵，
∴，
∵，
∴，故②错误；
作，
则四边形 是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，故④正确；
故正确的有①④，共两个．
故选B．
二．填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）
11. 一元二次方程的根是______．
【答案】，
【解析】
【分析】化这一般形式，运用因式分解法求解；
【详解】解：，
∴，．
故答案为：，
【点睛】本题考查一元二次方程的求解；掌握一元二次方程的求解是解题的关键．
12. 若，则_________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了比例的性质，分式的运算．熟练掌握比例的性质是解题的关键．
由，可得 ，根据，计算求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
13. 为了估计水塘中的鱼数，养鱼者先从鱼塘中捕获50条鱼，在每一条鱼身上做好标记后把这些鱼放归鱼塘，再从鱼塘中打捞鱼．通过多次实验后发现捕捞的鱼中有作记号的频率稳定在2.5%左右，则鱼塘中估计有鱼______条．
【答案】2000
【解析】
【分析】由题意已知鱼塘中有记号的鱼所占的比例，用样本中的鱼除以鱼塘中有记号的鱼所占的比例，即可求得鱼的总条数．
【详解】解：50÷2.5%=2000.
故答案为：2000.
【点睛】本题考查统计中用样本估计总体的思想，熟练掌握并利用样本总量除以所求量占样本的比例即可估计总量．
14. 如图的红叶，A，B，C三点在同一直线上，B为的黄金分割点（)，若的长度为，则的长度为____________．（结果保留根号）

【答案】
【解析】
【分析】本题考查了黄金分割点的概念．注意这里的是较长线段，所以，即可求解．
【详解】解：由题意得：，
∴，
故答案为：．
15. 如图，反比例函数在第一象限内的图象，直线AB//x轴，并分别交两条曲线A、B两点，若S△AOB=2，则k2-k1的值为________．
【答案】4
【解析】
【详解】解：设A（a，b），B（c，d），
代入得：=ab，=cd，
∵，
∴cd-ab=2，
∴cd-ab=4，
∴-=4，
故答案为4．
【点睛】设A（a，b），B（c，d），代入双曲线得到=ab，=cd，根据三角形的面积公式求出cd-ab=4，即可得出答案．此题能求出cd-ab=4是解此题的关键．
16. 如图，正方形边长为，为对角线的中点，点在边上，且，点在边上，且，连接，交于点，连接，则的长为__________．

【答案】
【解析】
【分析】由题意分析，得到，，可以判段点、点在以为直径的圆上，四边形是内接四边形，利用其性质得到，故作，由，，中，射影定理，得到的长，继而得到的长，最后利用勾股定理求出的长．
【详解】解：由题知：
和中，
，
，
，，
,
点、点在以为直径的圆上，
四边形是内接四边形，
，
，
，

如图，过点作于点，
,
，
，
，
点为中点，
，
，
，
，
，
在中，
，
由射影定理，得，
，
，
，
在等腰直角中，
．
故答案为
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，圆的内接四边形的性质，相似三角形的判定及性质，直角三角形的射影定理，掌握相似三角形的性质，利用对应边的关系，将放在等腰直角三角形中是解答本题的关键．
三．解答题（本大题10个小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 解方程：.
【答案】，
【解析】
【分析】直接因式分解即可求解．
【详解】
，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握方程解法是解题关键．
18. 如图，四边形是菱形，于点E，于点F．求证：．

【答案】详见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定．根据菱形的性质可得，可利用证明．
【详解】证明：四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∴．
19. 如图，某同学利用镜面反射的原理巧妙地测出了树的高度，已知人的站位点A，镜子点O，树底点B三点在同一水平线上，眼睛与地面的高度为米，米，米，则树高为多少米．

【答案】树高为4米
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的应用．点O作镜面的法线，则，证明，即可求解．
【详解】解：如图，点O作镜面的法线，则，

∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵米，米，米，
∴，
∴米，
答：树高为4米．
20. 如图，在中，，，D是边上一点，且．

（1）求证：．
（2）求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质；
（1）根据两角对应相等的两个三角形相似可得结论；
（2）利用相似三角形的对应边成比例列出比例式计算即可．
【小问1详解】
证明：∵，，
∴；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴（舍去负值）．
21. 在如图的方格纸中，的顶点坐标分别为，，，与是关于点P为位似中心的位似图形．
（1）在图中标出位似中心P的位置并直接写出点P的坐标为 ．
（2）以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出的一个位似，使它与的位似比为2：1；
（3）的内部一点M的坐标为，直接写出点M在中的对应点的坐标为 ．
【答案】（1）图见解析，
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）连接两组对应点，并延长，延长线的交点即为位似中心，根据图形写出坐标即可；
（2）连接、并延长，使、，连接即可；
（3）根据位似比，求出点的坐标即可．
【小问1详解】
解：（1）如图，点P为所作；
故答案为：；
【小问2详解】
如图，为所作；
【小问3详解】
点M在中的对应点的坐标为．
故答案为：．
【点睛】本题考查作图—位似变换，解题的关键是掌握位似变换的性质，属于中考常考题型．在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或．
22. 在甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中装有3个完全相同的小球，分别标有数字0，1，2；乙袋中装有3个完全相同的小球，分别标有数字﹣1，﹣2，0；现从甲袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为x，再从乙袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为y，确定点M坐标为（x，y）．
（1）用树状图或列表法列举点M所有可能的坐标；
（2）求点M（x，y）在函数y＝﹣x+1的图象上的概率．
【答案】（1）列表见解析；共有9种等可能的结果数；（2）点M（x，y）在函数y＝﹣x+1的图象上的概率＝．
【解析】
【分析】（1）通过列表展示所有9种等可能的结果数；（2）找出满足点（x，y）落在函数y=-x+1的图象上的结果数，然后根据概率公式求解.
【详解】解：（1）列表如下：
共有9种等可能的结果数；
（2）满足点（x，y）落在函数y＝﹣x+1的图象上的结果有2个，即（2，﹣1），（ 1，0 ），
所以点M（x，y）在函数y＝﹣x+1的图象上的概率＝．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率.
23. 如图，学校打算用16的篱笆围成一个长方形的生物园饲养小兔，生物园的一面靠墙，墙长8，长方形的面积是30．求生物园的长和宽．

【答案】围成矩形的长为，宽为
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，可设垂直于墙的一边为，则长平行于墙的一边为，根据等量关系：面积是．列出方程求解即可．
【详解】解：设垂直于墙的一边为，则平行于墙的一边为．
由题意，得，
解得，．
当时，， ，不合题意舍去，
当时，．
答：长为、宽为．
24. 如图，在中，，，，点P由点B出发沿方向向点A匀速运动，速度为，同时点Q由A出发沿方向向点C匀速运动，速度为，连接．设运动的时间为 ()，其中．解答下列问题：
（1） ， （用含t的代数式表示）
（2）当t为何值时，．
（3）在P、Q运动过程中，是否存在某一时刻使得，若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由．
【答案】（1）；
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的综合问题，相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理：
（1）利用勾股定理得，进而可求解；
（2）利用三角形相似的判定及性质可得，即，进而可求解；
（3）过点作于，利用等腰三角形的性质可得，利用相似三角形的判定及性质可得，即，进而可求解；
熟练掌握等腰三角形的性质和勾股定理，证明三角形相似是解题的关键．
小问1详解】
解：依题意得：
在中，，，，
，
，，
故答案为：；．
【小问2详解】
，
∴当，，
即，
∴．
【小问3详解】
过点作于，如图：

，，则，
，
，
，，
，
，即：，
解得：．
25. 如图，已知一次函数图象y=x+b与y轴交于点C（0，1），与反比例函数图象y=交于点A（a，2）和点B两点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）求点B的坐标和△AOB的面积；
（3）若点M为y轴上的一个动点，N为平面内一个动点，当以A、B、M、N为顶点的四边形是矩形时，请求出M点坐标．
【答案】（1）一次函数的解析式为y=x+1，反比例函数为y=；
（2）B（-2，-1），
（3）△AOB的面积为；满足条件的M点的坐标为（0，3）或（0，-3）或（0，）或（0，）．
【解析】
【分析】（1）用待定系数法求出一次函数的解析式，再求出A点坐标即可确定反比例函数的解析式；
（2）联立一次函数和反比例函数即可得出B点坐标，设直线AB与x轴交于点D，则D（-1，0），根据S△AOB=OD•yA+OD•yB计算面积即可；
（3）分∠BAM=90°、∠ABM=90°、∠AMB=90°三种情况讨论求值即可．
小问1详解】
解：∵一次函数图象y=x+b与y轴交于点C（0，1），
∴b=1，
∴一次函数的解析式为y=x+1，
∵点A（a，2）在直线y=x+1上
∴a=1，
即A（1，2），
又∵反比例函数y=过A点，
∴k=2，
∴反比例函数为y=；
【小问2详解】
解：∵反比例函数与一次函数交于点A和点B，
联立两解析式得，
解得或，
∴B（-2，-1），
设直线AB与x轴交于点D，则D（-1，0），
∴OD=1，
∴S△AOB=S△AOD+S△BOD=OD•yA+OD•yB=×1×1+×1×2=，
即△AOB的面积为；
【小问3详解】
解：分三种情况讨论：
①当∠BAM=90°时，
设M1（0，y），
则AM2+AB2=BM2，
∴12+（2-y）2+（1+2）2+（2+1）2=4+（y+1）2，
解得y=3，
∴M（0，3）；
②当∠ABM=90°时，
同理可得：M（0，-3），
③当∠AMB=90°时，设M（0，m），设AB的中点为J，
则J（-，），
∵AB=，
∴AJ=BJ=JM=，
∴（-）2+（-m）2=（）2，
解得m=，
∴M3（0，），M4（0，），
综上，满足条件的M点的坐标为（0，3）或（0，-3）或（0，）或（0，）．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的综合题型，熟练掌握待定系数法求解析式，一次函数的性质，反比例函数的图像和性质，矩形的性质等知识是解题的关键．
26. 已知ABC中，∠ABC＝90°，点D、E分别在边BC、边AC上，连接DE，DF⊥DE，点F、点C在直线DE同侧，连接FC，且．
（1）点D与点B重合时，
①如图1，k＝1时，AE和FC的数量关系是 ，位置关系是 ；
②如图2，k＝2时，猜想AE和FC的关系，并说明理由；
（2）BD＝2CD时，
①如图3，k＝1时，若AE＝2，＝6，求FC的长度；
②如图4，k＝2时，点M、N分别为EF和AC的中点，若AB＝10，直接写出MN的最小值．
【答案】（1）①AE＝FC；AE⊥FC；②AE＝2CF，AE⊥CF，见解析
（2）①6；②
【解析】
【分析】（1）①如图1中，结论：AE＝FC；AE⊥FC；证明可得结论．
②如图2中，结论：AE＝2CF，AE⊥CF，证明△ABE∽△CBF可得结论．
（2）①如图3中，过点D作DH⊥AC于H，作DT∥AB交AC于T，首先证明DH＝HT＝HC，设DH＝HT＝HC＝m，再证明△EDT≌△FDC（SAS），推出S△EDT＝S△FDC＝6，ET＝FC，构建方程求出m即可解决问题．
②如图4，连接DM，CM，根点M作于K，交AC于J，证明，推出点是在DC的垂直平分线MK上，当时，MN的值最小．
【小问1详解】
解：（1）① AE＝FC ， AE⊥FC ；
理由：由题意知BA＝BC，BE=BE，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：AE＝FC，AE⊥FC．
②AE＝2CF，AE⊥CF，
理由如下：
∵，，
∴△ABE∽△CBF，
∴，∠A＝∠BCF，
∴AE＝2CF，
∵∠A+∠ACB＝90°，
∴∠BCF+∠ACB＝90°，
∴AE⊥CF；
【小问2详解】
①如图3，过点D作DH⊥AC于H，作DT∥AB交AC于T，
由题意知AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠ACB＝45°，
∵DT∥AB，∴∠DTC＝∠DCT＝45°，∴DT＝DC，
∵DH⊥CT，∴HT＝HC，
∴DH＝HT＝HC，设DH＝HT＝HC＝m，
∴DT∥AB，∴，
∴AT＝4m，
∵AE＝2，∴ET＝4m﹣2，
∵DE＝DF，DT＝DC，∠EDF＝∠TDC＝90°，
∴∠EDT＝∠FDC，∴△EDT≌△FDC（SAS），
∴S△EDT＝S△FDC＝6，ET＝FC，
∴，
解得m＝2或﹣（舍去），
∴CF＝ET＝4m﹣2＝6；
②如图4，连接DM，CM，根点M作于K，交AC于J，
同法可证：，
∵，
∴，
∴点M是在DC的垂直平分线MK上，DC的长度不会变化，
当时，MN的值最小，
由题意：AB=10，BC=5，，，
在中，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵时，，
∴，
∴，
∴，
MN的最小值为．
【点睛】本题考查了相似三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握双子型基本模型是解题的关键．x
y
0
1
2
﹣1
（0，﹣1）
（1，﹣1）
（2，﹣1）
﹣2
（0，﹣2）
（1，﹣2）
（2，﹣2）
0
（0，0）
（1，0）
（2，0）