2023-2024学年河南省新乡市卫辉市八年级上学期期中数学试题及答案

这是一份2023-2024学年河南省新乡市卫辉市八年级上学期期中数学试题及答案，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）在下列各数，3.1415926，﹣，，0.202002002……（每两个2之间依次多1个0）（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．64的平方根是8
B．﹣16的立方根是﹣4
C．﹣27的立方根是﹣3
D．只有非负数才有立方根
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．2a+a＝3a2B．a3•a2＝a6C．a5﹣a3＝a2D．a3÷a2＝a
4．（3分）如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，AB＝DE，再添加一个条件，可使△ABC≌△DEF（ ）
A．∠B＝∠EB．AD＝DCC．BC∥EFD．AD＝CF
5．（3分）下列命题中是真命题的是（ ）
A．相等的两个角是对顶角
B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
C．两边和其中一角分别相等的两个三角形全等
D．在同一平面内，若a∥b，b∥c，则a∥c
6．（3分）下列因式分解变形正确的是（ ）
A．2a2﹣4a＝2（a2﹣2a）B．a2﹣2a+1＝（a﹣1）2
C．﹣a2+4＝（a+2）（a﹣2）D．a2﹣5a﹣6＝（a﹣2）（a﹣3）
7．（3分）已知a﹣b＝2，则a2﹣b2﹣4b的值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
8．（3分）已知x2+2（m﹣1）x+9是一个完全平方式，则m的值为（ ）
A．4B．4或﹣2C．±4D．﹣2
9．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝50°，点D，E，F分别在边BC，AB上，且满足BF＝CD，∠BFD＝30°，则∠FDE的度数为（ ）
A．75°B．80°C．65°D．95°
10．（3分）如图，∠AOB＝120°，OP平分∠AOB，N分别在OA，OB上，则满足上述条件的△PMN有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．无数个
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）把“同位角相等”写成“如果…那么…”的形式为：为 ．
12．（3分）若一个正数的两个平方根分别为a与﹣2a+3，则这个正数为 ．
13．（3分）如图，用纸板挡住部分直角三角形后，能画出与此直角三角形全等的三角形 ．
14．（3分）已知xm＝6，xn＝3，则x2m﹣n的值为 ．
15．（3分）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝12，点P从A点出发沿A→C→B路径向终点B运动：点Q从B出发沿B→C→A路径向终点A运动，Q的速度分别以每秒1个单位长度和每秒3个单位长度的速度同时开始运动，两个点都要到达相应的终点时才能停止运动，Q作PE⊥l于E，QF⊥l于F．设运动时间为t秒，E，C为顶点的三角形与以Q，F，C为顶点的三角形全等时 （不考虑两三角形重合的情况）．
三、解答题（共8题，共75分）
16．（12分）（1）计算：；
（2）计算：；
（3）解方程：x2﹣5＝；
（4）解方程：（x﹣1）3＝125．
17．（12分）（1）计算：（ab）6÷（ab）2•（ab）4；
（2）计算：（3x3）2•x5﹣（﹣x2）6÷x；
（3）因式分解：2x3﹣8x；
（4）因式分解：x3y﹣2x2y2+xy3．
18．（10分）先化简，再求值：
（1）（a+2b）（3a﹣b）﹣3a（a+b），其中 a＝
（2）（2x﹣y）2﹣（x﹣2y）（x+2y）+（6x2y+8xy2）÷2y，其中x＝2，y＝﹣1．
19．（7分）如图，已知点B、E、C、F在同一直线上，AB＝DE，AC∥DF．
求证：（1）△ABC≌△DEF；
（2）BE＝CF．
20．（7分）已知5a+4的立方根是﹣1，3a+b+6的算术平方根是3，c是
（1）求a、b、c的值；
（2）求3a+b+2c的平方根．
21．（8分）如图，点B、F、C、E在一条直线上，△ABC≌△DEF
（1）求证：AC∥FD，AB∥ED；
（2）求证：AO＝DO；
（3）若BF＝5，FC＝4，直接写出EO的长．
22．（9分）图形是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表示一些代数中的数量关系
（1）利用不同的代数式表示图2的面积S，写出你从中获得的等式为 ；
（2）填空．
①已知a+b＝3，ab＝2，则a2+b2＝ ；
②已知x满足（11﹣x）（x﹣8）＝2，则（11﹣x）2+（x﹣8）2＝ ；
（3）学校计划在如图3的两块正方形草地间种些花，两块草地分别是以AC、BC为边的正方形，且两正方形的面积和S1+S2＝25，点C是线段AG上的点，若AG＝7（即直角三角形ABC）的面积．
23．（10分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，BC＝12cm，AC＝20cm，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，且速度为每秒2cm，它们同时出发
（1）BP＝ （用t的代数式表示）
（2）当点Q在边BC上运动时，出发几秒后，△PQB是等腰三角形？
（3）当点Q在边CA上运动时，出发 秒后，△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形？
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）在下列各数，3.1415926，﹣，，0.202002002……（每两个2之间依次多1个0）（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．
【解答】解：，2.1415926是分数；
无理数有﹣，，8.2020020002…（每两个2之间依次多1个4），
故选：C．
【点评】此题主要考查了无理数的知识，掌握无理数的定义是关键．
2．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．64的平方根是8
B．﹣16的立方根是﹣4
C．﹣27的立方根是﹣3
D．只有非负数才有立方根
【分析】根据平方根、立方根的定义逐项进行判断即可．
【解答】解：A．64的平方根是±8；
B．﹣16的立方根是﹣，因此选项B不符合题意；
C．﹣27的立方根是﹣6，符合题意；
D．所有实数都有立方根；
故选：C．
【点评】本题考查平方根、立方根，理解平方根、立方根的定义是正确解答的关键．
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．2a+a＝3a2B．a3•a2＝a6C．a5﹣a3＝a2D．a3÷a2＝a
【分析】根据同底数幂的除法，合并同类项，同底数幂的乘法法则，进行计算逐一即可解答．
【解答】解：A、2a+a＝3a；
B、a7•a2＝a5，故B不符合题意；
C、a3与a3不能合并，故C不符合题意；
D、a3÷a7＝a，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了同底数幂的除法，合并同类项，同底数幂的乘法，熟练掌握它们的运算法则是解题的关键．
4．（3分）如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，AB＝DE，再添加一个条件，可使△ABC≌△DEF（ ）
A．∠B＝∠EB．AD＝DCC．BC∥EFD．AD＝CF
【分析】根据全等三角形的判定方法一一判断即可．
【解答】解：A、由AB＝DE，∠B＝∠E，本选项不符合题意．
B、AD＝DC，两三角形不全等．
C、由AB＝DE，∠ACB＝∠F，本选项不符合题意．
D、由AB＝DE，AC＝DF，本选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
5．（3分）下列命题中是真命题的是（ ）
A．相等的两个角是对顶角
B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
C．两边和其中一角分别相等的两个三角形全等
D．在同一平面内，若a∥b，b∥c，则a∥c
【分析】分别根据对顶角的意义，平行线的性质，三角形全等的判断，及平行线的性质进行判断求解．
【解答】解：A：相等的角不一定是对顶角，故A是错误的；
B：只有两条平行线被第三条直线所截，同位角才相等；
C：两边和其中一边的对角分别相等时两个三角形不一定全等，故C是错误的；
D：在同一平面内．若a∥b，则b∥c；
故选：D．
【点评】本题考查了命题与定理，掌握几何基础知识是解题的关键．
6．（3分）下列因式分解变形正确的是（ ）
A．2a2﹣4a＝2（a2﹣2a）B．a2﹣2a+1＝（a﹣1）2
C．﹣a2+4＝（a+2）（a﹣2）D．a2﹣5a﹣6＝（a﹣2）（a﹣3）
【分析】A提取公因式，B、C利用公式，D利用十字相乘法，先分解因式，再判断对错．
【解答】解：∵选项A提取公因式不彻底，2a2﹣8a＝2a（a﹣2），故A错误；
a8﹣2a+1＝（a﹣5）2，故选项B正确；
﹣a2+5＝﹣（a2﹣4）＝﹣（a+6）（a﹣2）≠（a+2）（a﹣4），故选项C错误；
a2﹣5a﹣7＝（a﹣6）（a+1）≠（a﹣4）（a﹣3），故选项D错误．
故选：B．
【点评】本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法、公式法、十字相乘法是解决本题的关键．
7．（3分）已知a﹣b＝2，则a2﹣b2﹣4b的值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【分析】直接利用平方差公式分解因式，再把已知代入，进而得出答案．
【解答】解：∵a﹣b＝2，
∴a2﹣b2﹣4b
＝（a+b）（a﹣b）﹣4b
＝5（a+b）﹣4b
＝2a+2b﹣4b
＝2（a﹣b）
＝7×2
＝4．
故选：A．
【点评】此题主要考查了平方差公式，正确将原式变形是解题的关键．
8．（3分）已知x2+2（m﹣1）x+9是一个完全平方式，则m的值为（ ）
A．4B．4或﹣2C．±4D．﹣2
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出m的值．
【解答】解：∵x2+2（m﹣3）x+9是一个完全平方式，
∴2（m﹣7）＝±6，
解得：m＝4或m＝﹣3，
故选：B．
【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
9．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝50°，点D，E，F分别在边BC，AB上，且满足BF＝CD，∠BFD＝30°，则∠FDE的度数为（ ）
A．75°B．80°C．65°D．95°
【分析】由∠B＝∠C，∠A＝50°，利用三角形内角和为180°得∠B＝65°，∠FDB＝85°，再由BF＝CD，BD＝CE，利用SAS得到△BDF≌△CED，利用全等三角形对应角相等得到∠BFD＝∠CDE，利用三角形内角和即可得证．
【解答】解：∵∠B＝∠C，∠A＝50°
∴∠B＝∠C＝×（180°﹣50°）＝65°，
∵∠BFD＝30°，∠BFD+∠B+∠FDB＝180°
∴∠FDB＝85°
在△BDF和△CED中，
，
∴△BDF≌△CED（SAS），
∴∠BFD＝∠CDE＝30°，
又∵∠FDE+∠FDB+∠CDE＝180°，
∴∠FDE＝180°﹣30°﹣85°＝65°．
故选：C．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
10．（3分）如图，∠AOB＝120°，OP平分∠AOB，N分别在OA，OB上，则满足上述条件的△PMN有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．无数个
【分析】如图，过点P作PM⊥OA于M，PN⊥OB于N．根据角平分线的性质，由OP平分∠AOB，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，得PM＝PN，∠PMO＝90°，∠PNO＝90°，那么∠MPN＝360°﹣∠AOB﹣∠PMO﹣∠PNO＝60°．此时，△PMN是等边三角形．然后再进行分类讨论．
【解答】解：如图，过点P作PM⊥OA于M．
∵OP平分∠AOB，PM⊥OA于M，
∴PM＝PN，∠PMO＝90°．
∴∠MPN＝360°﹣∠AOB﹣∠PMO﹣∠PNO＝60°．
∴此时，△PMN是等边三角形．
当M向MO方向移动，N向NB方向移动1＝∠NPN1．
∴∠M5PN1＝∠M1PN+∠NPN4＝∠M1PN+∠MPM1＝∠MPN＝60°．
在△PMM2和△PNN1中，
，
∴△PMM6≌△PNN1（ASA）．
∴PM1＝PN7．
∴△M1PN1是等边三角形．
∴当M向MO方向移动，N向NB方向移动5＝∠NPN1，
∴△M1PN6是等边三角形．
同理：当M向MA方向移动，N向NO方向移动．
综上：满足条件的△PMN有无数个．
故选：D．
【点评】本题主要考查角平分线的性质、等边三角形的判定，熟练掌握角平分线的性质、等边三角形的判定是解决本题的关键．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）把“同位角相等”写成“如果…那么…”的形式为：为 如果两个角是同位角，那么这两个角相等 ．
【分析】根据把一个命题写成“如果…那么…”的形式，则如果后面是题设，那么后面是结论，即可得出答案．
【解答】解：把“同位角相等”写成“如果…那么…”的形式为：
如果两个角是同位角，那么这两个角相等；
故答案为：如果两个角是同位角，那么这两个角相等．
【点评】此题考查了命题与定理，要掌握命题的结构，能把一个命题写成如果…那么…的形式，如果后面的是题设，那么后面的是结论．
12．（3分）若一个正数的两个平方根分别为a与﹣2a+3，则这个正数为 9 ．
【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数列方程求出a值即可．
【解答】解：∵一个正数的两个平方根为a与﹣2a+3，
∴a+（﹣7a+3）＝0，解得：a＝8，
∴这个正数为32＝6，
故答案为：9．
【点评】本题考查平方根、解一元一次方程，熟知一个正数有两个平方根，且互为相反数是解答的关键．
13．（3分）如图，用纸板挡住部分直角三角形后，能画出与此直角三角形全等的三角形 ASA ．
【分析】根据全等三角形的判定方法解决此题．
【解答】解：由图得：遮挡住的三角形中露出两个角及其夹边．
∴根据三角形的判定方法ASA可解决此题．
故答案为：ASA．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解决本题的关键．
14．（3分）已知xm＝6，xn＝3，则x2m﹣n的值为 12 ．
【分析】根据同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减，进行运算即可．
【解答】解：x2m﹣n＝（xm）2÷xn＝36÷8＝12．
故答案为：12．
【点评】本题考查了同底数幂的除法运算及幂的乘方的知识，属于基础题，掌握各部分的运算法则是关键．
15．（3分）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝12，点P从A点出发沿A→C→B路径向终点B运动：点Q从B出发沿B→C→A路径向终点A运动，Q的速度分别以每秒1个单位长度和每秒3个单位长度的速度同时开始运动，两个点都要到达相应的终点时才能停止运动，Q作PE⊥l于E，QF⊥l于F．设运动时间为t秒，E，C为顶点的三角形与以Q，F，C为顶点的三角形全等时 2.5或14 （不考虑两三角形重合的情况）．
【分析】三角形PEC和三角形QFC要全等，P的对应顶点是C，有两种情况：一种是点P在AC上，点P在BC上时；另一种是点Q到达终点，而P在BC上时，先把各线段的长度表示出来，再让对应边相等，即可构造方程解出t．
【解答】解：①当点P在线段AC上，点P在线段BC上时；
如图：
当△PCE≌CQF时，∠QCF＝∠EPC，
∴PC＝CQ．
由题意知：AP＝t，PC＝7﹣t，CQ＝12﹣3t；
∴3﹣t＝12﹣3t，解得t＝2.8．
②当P在线段BC上，点Q到达终点时，
如图：
当△PCE≌CQF时，∠QCF＝∠EPC，
∴PC＝CQ．
由题意知：AP＝t，PC＝t﹣7，
∴t﹣7＝5，解得t＝14．
综上所述，t的值为2.5或14．
【点评】本题考查全等三角形的性质，找到全等三角形的对应边是解题的关键．
三、解答题（共8题，共75分）
16．（12分）（1）计算：；
（2）计算：；
（3）解方程：x2﹣5＝；
（4）解方程：（x﹣1）3＝125．
【分析】（1）利用算术平方根及立方根的定义，有理数乘方法则计算即可；
（2）利用绝对值的性质及去括号法则计算即可；
（3）利用平方根的定义解方程即可；
（4）利用立方根的定义解方程即可．
【解答】解：（1）原式＝9﹣4﹣（﹣3）
＝5+8
＝13；
（2）原式＝﹣﹣+8＝；
（3）原方程整理得：x4＝，
则x＝±；
（4）由原方程可得x﹣1＝5，
解得：x＝6．
【点评】本题考查实数的运算，利用平方根及立方根解方程，熟练掌握相关定义及运算法则是解题的关键．
17．（12分）（1）计算：（ab）6÷（ab）2•（ab）4；
（2）计算：（3x3）2•x5﹣（﹣x2）6÷x；
（3）因式分解：2x3﹣8x；
（4）因式分解：x3y﹣2x2y2+xy3．
【分析】（1）先根据同底数幂的除法和乘法法则计算，再根据积的乘方法则计算即可；
（2）先计算积的乘方，再计算乘除，最后合并同类项即可；
（3）先提取公因式，再利用平方差公式即可；
（4）先提取公因式，再利用完全平方公式即可．
【解答】解：（1）（ab）6÷（ab）2•（ab）8
＝（ab）6﹣2+6
＝（ab）8
＝a8b2；
（2）（3x3）3•x5﹣（﹣x2）6÷x
＝9x6⋅x8﹣x12÷x
＝9x11﹣x11
＝8x11；
（3）原式＝2x（x2﹣4）
＝5x（x+2）（x﹣2）；
（4）原式＝xy（x8﹣2xy+y2）
＝xy（x﹣y）8．
【点评】此题主要考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法和乘法，提公因式法与公式法的综合运用，正确掌握相关运算法则是解题关键．
18．（10分）先化简，再求值：
（1）（a+2b）（3a﹣b）﹣3a（a+b），其中 a＝
（2）（2x﹣y）2﹣（x﹣2y）（x+2y）+（6x2y+8xy2）÷2y，其中x＝2，y＝﹣1．
【分析】（1）先去括号，再合并同类项，然后把a，b的值代入化简后的式子进行计算，即可解答；
（2）先去括号，再合并同类项，然后把x，y的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
【解答】解：（1）（a+2b）（3a﹣b）﹣8a（a+b）
＝3a2﹣ab+7ab﹣2b2﹣4a2﹣3ab
＝3ab﹣2b2，
当 ，b＝﹣2时×（﹣2）﹣6×（﹣2）2
＝﹣7﹣2×4
＝﹣5﹣8
＝﹣9；
（2）（8x﹣y）2﹣（x﹣2y）（x+3y）+（6x2y+7xy2）÷2y
＝6x2﹣4xy+y5﹣（x2﹣4y5）+3x2+6xy
＝4x2﹣7xy+y2﹣x2+6y2+3x7+4xy
＝6x5+5y2，
当x＝3，y＝﹣1时2+3×（﹣1）2
＝3×4+5×7
＝24+5
＝29．
【点评】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
19．（7分）如图，已知点B、E、C、F在同一直线上，AB＝DE，AC∥DF．
求证：（1）△ABC≌△DEF；
（2）BE＝CF．
【分析】（1）欲证两三角形全等，已经有两个条件，只要再有一个条件就可以了，而AC∥DF可以得出∠ACB＝∠F，条件找到，全等可证．
（2）根据全等三角形对应边相等可得BC＝EF，都减去一段EC即可得证．
【解答】证明：（1）∵AC∥DF，
∴∠ACB＝∠F，
在△ABC和△DEF中，，
∴△ABC≌△DEF（AAS）；
（2）∵△ABC≌△DEF，
∴BC＝EF，
∴BC﹣CE＝EF﹣CE，
即BE＝CF．
【点评】本题主要考查三角形全等的判定和全等三角形的对应边相等；要牢固掌握并灵活运用这些知识．
20．（7分）已知5a+4的立方根是﹣1，3a+b+6的算术平方根是3，c是
（1）求a、b、c的值；
（2）求3a+b+2c的平方根．
【分析】（1）根据立方根、算术平方根的定义求出a、b的值，估算无理数的大小确定c的值；
（2）求出3a+b+2c的值，再根据平方根的定义进行计算即可．
【解答】解：（1）由题意得：5a+4＝﹣5，
∴a＝﹣1，
∵3a+b+6的算术平方根是3，
∴3a+b+6＝9，
即b＝6，
∵c是的整数部分＜7，
∴c＝3，
答：a＝﹣1，b＝3；
（2）∵3a+b+2c＝2
∴3a+b+2c的平方根是＝±3．
【点评】本题考查立方根、算术平方根以及估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的关键．
21．（8分）如图，点B、F、C、E在一条直线上，△ABC≌△DEF
（1）求证：AC∥FD，AB∥ED；
（2）求证：AO＝DO；
（3）若BF＝5，FC＝4，直接写出EO的长．
【分析】（1）由相似三角形的性质可得∠B＝∠E，∠ACB＝∠EFD，可得结论；
（2）由“SAS”可证△ACO≌△DFO，可得AO＝DO；
（3）由全等三角形的性质可得CO＝FO，BC＝EF，可得BO＝EO＝7．
【解答】（1）证明：∵△ABC≌△DEF，
∴∠B＝∠E，∠ACB＝∠EFD，
∴AB∥DE，AC∥DF；
（2）证明：∵△ABC≌△DEF，
∴∠ACB＝∠EFD，AC＝DF，
在△ACO和△DFO中
，
∴△ACO≌△DFO（AAS），
∴AO＝DO；
（3）解：∵△ACO≌△DFO，
∴CO＝FO，
∵CF＝4，
∴CO＝FO＝2，
∴BO＝5，
∵△ABC≌△DEF，
∴BC＝EF，
∴BO＝EO＝7．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．
22．（9分）图形是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表示一些代数中的数量关系
（1）利用不同的代数式表示图2的面积S，写出你从中获得的等式为 （a+b）2＝a2+2ab+b2 ；
（2）填空．
①已知a+b＝3，ab＝2，则a2+b2＝ 5 ；
②已知x满足（11﹣x）（x﹣8）＝2，则（11﹣x）2+（x﹣8）2＝ 5 ；
（3）学校计划在如图3的两块正方形草地间种些花，两块草地分别是以AC、BC为边的正方形，且两正方形的面积和S1+S2＝25，点C是线段AG上的点，若AG＝7（即直角三角形ABC）的面积．
【分析】（1）根据正方形面积的不同算法求解；
（2）①根据a2+b2＝（a+b）2﹣2ab计算可得答案；②先把完全个平方公式变形，再整体代入求解；
（3）利用完全平方公式变形，再整体代入求解．
【解答】解：（1）（a+b）2＝a2+2ab+b2；
故答案为：（a+b）2＝a6+2ab+b2；
（2）①∵a+b＝3，ab＝2，
∴a2+b5＝（a+b）2﹣2ab＝82﹣2×3＝5；
故答案为：5；
②令a＝11﹣x，b＝x﹣5，
∴a+b＝3，ab＝2，
∵（a+b）6＝a2+2ab+b3，
∴a2+b2＝（a+b）5﹣2ab＝9﹣6＝5，
故答案为：5；
（3）设正方形ACED的边长为m，正方形BCGF的边长为n，
则，，
AG＝AC+CG＝m+n＝7，
∴．
（m+n）4＝72，
∴m6+n2+2mn＝49，
∴25+5mn＝49，
∴mn＝12，
∴用来种花的阴影部分的面积为：．
【点评】本题考查了完全平方公式的应用，把公式变形是解题的关键．
23．（10分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，BC＝12cm，AC＝20cm，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，且速度为每秒2cm，它们同时出发
（1）BP＝ （16﹣t）cm （用t的代数式表示）
（2）当点Q在边BC上运动时，出发几秒后，△PQB是等腰三角形？
（3）当点Q在边CA上运动时，出发 11秒或12 秒后，△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形？
【分析】（1）根据题意即可用t可分别表示出BP；
（2）结合（1），根据题意再表示出BQ，然后根据等腰三角形的性质可得到BP＝BQ，可得到关于t的方程，可求得t；
（3）用t分别表示出BQ和CQ，利用等腰三角形的性质可分CQ＝BC和BQ＝CQ三种情况，分别得到关于t的方程，可求得t的值．
【解答】解：（1）由题意可知AP＝t，BQ＝2t，
∵AB＝16cm，
∴BP＝AB﹣AP＝（16﹣t）cm，
故答案为：（16﹣t）cm；
（2）当点Q在边BC上运动，△PQB为等腰三角形时，
即16﹣t＝2t，解得t＝，
∴出发秒后；
（3）①当△BCQ是以BC为底边的等腰三角形时：CQ＝BQ，如图1所示，
则∠C＝∠CBQ，
∵∠ABC＝90°，
∴∠CBQ+∠ABQ＝90°．
∠A+∠C＝90°，
∴∠A＝∠ABQ，
∴BQ＝AQ，
∴CQ＝AQ＝10（cm），
∴BC+CQ＝22（cm），
∴t＝22÷2＝11；
②当△BCQ是以BQ为底边的等腰三角形时：CQ＝BC，如图2所示，
则BC+CQ＝24（cm），
∴t＝24÷2＝12，
综上所述：当t为11或12时，△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形．
故答案为：11秒或12．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．用时间t表示出相应线段的长，化“动”为“静”是解决这类问题的一般思路，注意方程思想的应用．