[数学]河北省2024年中考真题试卷

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考试时间：分钟 满分：分
姓名：____________ 班级：____________ 学号：____________
*注意事项：
1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写
2、提前 xx 分钟收取答题卡
第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
一、选择题（本大题共16个小题，共38分．1～6小题各3分，7～16小题各2分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）(共16题；共38分)
1. 如图显示了某地连续5天的日最低气温，则能表示这5天日最低气温变化情况的是（ ）
A . B . C . D .
2. 下列运算正确的是（ ）
A . a7﹣a3＝a4 B . 3a2•2a2＝6a2 C . （﹣2a）3＝﹣8a3 D . a4÷a4＝a
3. 如图，AD与BC交于点O ， △ABO和△CDO关于直线PQ对称，点A ， B的对称点分别是点C ， D ． 下列不一定正确的是（ ）
A . AD⊥BC B . AC⊥PQ C . △ABO≌△CDO D . AC∥BD
4. 下列数中，能使不等式5x﹣1＜6成立的x的值为（ ）
A . 1 B . 2 C . 3 D . 4
5. 观察图中尺规作图的痕迹，可得线段BD一定是△ABC的（ ）
A . 角平分线 B . 高线 C . 中位线 D . 中线
6. 如图是由11个大小相同的正方体搭成的几何体，它的左视图是（ ）
A . B . C . D .
7. 节能环保已成为人们的共识．淇淇家计划购买500度电，若平均每天用电x度，则能使用y天．下列说法错误的是（ ）
A . 若x＝5，则y＝100 B . 若y＝125，则x＝4 C . 若x减小，则y也减小 D . 若x减小一半，则y增大一倍
8. 若a ， b是正整数，且满足 ， 则a与b的关系正确的是（ ）
A . a+3＝8b B . 3a＝8b C . a+3＝b8 D . 3a＝8+b
9. 淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，则a＝（ ）
A . 1 B . ﹣1 C . +1 D . 1或+1
10. 下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程：
若以上解答过程正确，①，②应分别为（ ）
A . ∠1＝∠3，AAS B . ∠1＝∠3，ASA C . ∠2＝∠3，AAS D . ∠2＝∠3，ASA
11. 直线l与正六边形ABCDEF的边AB ， EF分别相交于点M ， N ， 如图所示，则α+β＝（ ）
A . 115° B . 120° C . 135° D . 144°
12. 在平面直角坐标系中，我们把一个点的纵坐标与横坐标的比值称为该点的“特征值”．如图，矩形ABCD位于第一象限，其四条边分别与坐标轴平行，则该矩形四个顶点中“特征值”最小的是（ ）
A . 点A B . 点B C . 点C D . 点D
13. 已知A为整式，若计算的结果为 ， 则A＝（ ）
A . x B . y C . x+y D . x﹣y
14. 扇文化是中华优秀传统文化的组成部分，在我国有着深厚的底蕴．如图，某折扇张开的角度为120°时，扇面面积为S ， 该折扇张开的角度为n°时，扇面面积为Sn ， 若m＝ ， 则m与n关系的图象大致是（ ）
A . B . C . D .
15. “铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算．淇淇受其启发，设计了如图1所示的“表格算法”，图1表示132×23，运算结果为3036．图2表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图2中现有数据进行推断，正确的是（ ）
A . “20”左边的数是16 B . “20”右边的“■”表示5 C . 运算结果小于6000 D . 运算结果可以表示为4100a+1025
16. 平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于0的点称为“和点”．将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位长度．
例：“和点”P（2，1）按上述规则连续平移3次后，到达点P3（2，2），其平移过程如下： ．
若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点Q16（﹣1，9），则点Q的坐标为（ ）
A . （6，1）或（7，1） B . （15，﹣7）或（8，0） C . （6，0）或（8，0） D . （5，1）或（7，1）
第Ⅱ卷 主观题
第Ⅱ卷的注释
二、填空题（本大题共3个小题，共10分．17小题2分，18～19小题各4分，每空2分）(共3题；共10分)
17. 某校生物小组的9名同学各用100粒种子做发芽实验，几天后观察并记录种子的发芽数分别为：89，73，90，86，75，86，89，95，89，以上数据的众数为____________________ ．
18. 已知a ， b ， n均为正整数．
（1） 若n＜＜n+1，则n＝____________________；
（2） 若n﹣1＜＜n ， n＜＜n+1，则满足条件的a的个数总比b的个数少____________________个．
19. 如图，△ABC的面积为2，AD为BC边上的中线，点A ， C1 ， C2 ， C3是线段CC4的五等分点，点A ， D1 ， D2是线段DD3的四等分点，点A是线段BB1的中点．
（1） △AC1D1的面积为____________________；
（2） △B1C4D3的面积为____________________ ．
三、解答题（本大题共7个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）(共7题；共72分)
20. 如图，有甲、乙两条数轴．甲数轴上的三点A ， B ， C所对应的数依次为﹣4，2，32，乙数轴上的三点D ， E ， F所对应的数依次为0，x ， 12．
（1） 计算A ， B ， C三点所对应的数的和，并求的值；
（2） 当点A与点D上下对齐时，点B ， C恰好分别与点E ， F上下对齐，求x的值．
21. 甲、乙、丙三张卡片正面分别写有a+b ， 2a+b ， a﹣b ， 除正面的代数式不同外，其余均相同．
（1） 将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，当a＝1，b＝﹣2时，求取出的卡片上代数式的值为负数的概率；
（2） 将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，放回后重新洗匀，再随机抽取一张．请在表格中补全两次取出的卡片上代数式之和的所有可能结果（化为最简），并求出和为单项式的概率．
22. 中国的探月工程激发了同学们对太空的兴趣．某晚，淇淇在家透过窗户的最高点P恰好看到一颗星星，此时淇淇距窗户的水平距离BQ＝4m ， 仰角为α；淇淇向前走了3m后到达点D ， 透过点P恰好看到月亮，仰角为β，如图是示意图．已知，淇淇的眼睛与水平地面BQ的距离AB＝CD＝1.6m ， 点P到BQ的距离PQ＝2.6m ， AC的延长线交PQ于点E ． （注：图中所有点均在同一平面）
（1） 求β的大小及tanα的值；
（2） 求CP的长及sin∠APC的值．
23. 情境图1是由正方形纸片去掉一个以中心O为顶点的等腰直角三角形后得到的．该纸片通过裁剪，可拼接为图2所示的钻石型五边形，数据如图所示．
（说明：纸片不折叠，拼接不重叠无缝隙无剩余）
操作嘉嘉将图1所示的纸片通过裁剪，拼成了钻石型五边形．
如图3，嘉嘉沿虚线EF ， GH裁剪，将该纸片剪成①，②，③三块，再按照图4所示进行拼接．根据嘉嘉的剪拼过程，解答问题：
（1） 直接写出线段EF的长；
（2） 直接写出图3中所有与线段BE相等的线段，并计算BE的长．
探究淇淇说：将图1所示纸片沿直线裁剪，剪成两块，就可以拼成钻石型五边形．
请你按照淇淇的说法设计一种方案：在图5所示纸片的BC边上找一点P（可以借助刻度尺或圆规），画出裁剪线（线段PQ）的位置，并直接写出BP的长．
24. 某公司为提高员工的专业能力，定期对员工进行技能测试．考虑多种因素影响，需将测试的原始成绩x（分）换算为报告成绩y（分）．已知原始成绩满分150分，报告成绩满分100分、换算规则如下：
当0≤x＜p时，；
当p≤x≤150时， ．
（其中p是小于150的常数，是原始成绩的合格分数线，80是报告成绩的合格分数线）公司规定报告成绩为80分及80分以上（即原始成绩为p及p以上）为合格．
（1） 甲、乙的原始成绩分别为95分和130分，若p＝100，求甲、乙的报告成绩；
（2） 丙、丁的报告成绩分别为92分和64分，若丙的原始成绩比丁的原始成绩高40分，请推算p的值；
（3） 下表是该公司100名员工某次测试的原始成绩统计表：
①直接写出这100名员工原始成绩的中位数；
②若①中的中位数换算成报告成绩为90分，直接写出该公司此次测试的合格率．
25. 已知⊙O的半径为3，弦MN＝2 ． △ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝3 ． 在平面上，先将△ABC和⊙O按图1位置摆放（点B与点N重合，点A在⊙O上，点C在⊙O内），随后移动△ABC ， 使点B在弦MN上移动，点A始终在⊙O上随之移动．设BN＝x ．
（1） 当点B与点N重合时，求劣弧的长；
（2） 当OA∥MN时，如图2，求点B到OA的距离，并求此时x的值；
（3） 设点O到BC的距离为d ．
①当点A在劣弧上，且过点A的切线与AC垂直时，求d的值；
②直接写出d的最小值．
26. 如图，抛物线C1：y＝ax2﹣2x过点（4，0），顶点为Q ． 抛物线C2：y＝﹣（x﹣t）2+t2﹣2（其中t为常数，且t＞2），顶点为P ．
（1） 直接写出a的值和点Q的坐标．
（2） 嘉嘉说：无论t为何值，将C1的顶点Q向左平移2个单位长度后一定落在C2上．
淇淇说：无论t为何值，C2总经过一个定点．
请选择其中一人的说法进行说理．
（3） 当t＝4时，
①求直线PQ的解析式；
②作直线l∥PQ ， 当l与C2的交点到x轴的距离恰为6时，求l与x轴交点的横坐标．
（4） 设C1与C2的交点A ， B的横坐标分别为xA ， xB ， 且xA＜xB ， 点M在C1上，横坐标为m（2≤m≤xB）．点N在C2上，横坐标为n（xA≤n≤t），若点M是到直线PQ的距离最大的点，最大距离为d ， 点N到直线PQ的距离恰好也为d ， 直接用含t和m的式子表示n ． 题号
一
二
三
评分
阅卷人
得分
已知：如图，△ABC中，AB＝AC ， AE平分△ABC的外角∠CAN ， 点M是AC的中点，连接BM并延长交AE于点D ， 连接CD ．
求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：∵AB＝AC ， ∴∠ABC＝∠3．
∵∠CAN＝∠ABC+∠3，∠CAN＝∠1+∠2，∠1＝∠2，
∴① ▲ ．
又∵∠4＝∠5，MA＝MC ，
∴△MAD≌△MCB（② ▲ ）．
∴MD＝MB ． ∴四边形ABCD是平行四边形．
阅卷人
得分
阅卷人
得分
第一次
和
第二次
a+b
2a+b
a﹣b
a+b
2a+2b
2a
2a+b
a﹣b
2a
原始成绩（分）
95
100
105
110
115
120
125
130
135
140
145
150
人数
1
2
2
5
8
10
7
16
20
15
9
5