安徽省马鞍山二中2024年高一下学期6月月考数学试题（Word版附解析）

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数学试卷
命题人：王晓 审题人：祝玉兰 考试时间：120分钟 满分：150分
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、班级，条形码填写或张贴在答题卡相应位置上．
2．答选择题时，必须使用2B铅笔填涂；答填空题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写；
必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整．
3．考试结束后，将答题卡交回（试题卷学生保存，以备评讲）
一、选择题：本题共8小题，每小题6分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知虚数单位，复数满足，则（ ）
A. B. 10C. D. 3
2. 下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 零向量的长度是0
C. 长度相等的向量叫相等向量
D. 共线向量是在同一条直线上的向量
3. 某高中为了解三个年级学生的课业负担情况，拟从这三个年级中抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是（ ）
A. 抽签法B. 简单随机抽样C. 分层随机抽样D. 随机数法
4. 在中，若，则角等于（ ）
A. B. C. 或D. 或
5. 如图，在中，为靠近点的三等分点，为的中点，设，以向量为基底，则向量（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，矩形ABCD中，，正方形ADEF的边长为1，且平面平面ADEF，则异面直线BD与FC所成角的余弦值为（ ）

A. B. C. D.
7. 西安大唐不夜城的“不倒翁小姐姐”因为一段“把手给我”的短视频而被人熟知.“不倒翁小姐姐”不倒的原因在于其脚下的半球形工具.如图，半球内有一内接正四棱锥，这个内接正四棱锥的高与半球的半径相等且体积为，那么这个半球的表面积为（ ）

A. B. C. D.
8. 已知边长为2菱形中，点为上一动点，点满足，，则的最大值为（ ）
A. 0B. C. D. 3
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 设，为不同的直线，，为不同的平面，则下列结论中正确的是（ ）
A. 若，，则B. 若，，则
C. 若，，则D. 若，，，则
10. 蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物.巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底，由三个相同的菱形组成.巢中被封盖的是自然成熟的蜂蜜.如图是一个蜂巢的正六边形开口，则下列说法正确的是（ ）

A B.
C. 在上的投影向量为D.
11. 如图，在棱长为1的正方体中，、分别为棱、的中点，为线段上一个动点，则（ ）
A. 三棱锥的体积为定值
B. 存在点，使平面平面
C. 当点与重合时，二面角的正切值为
D. 当点为中点时，平面截正方体所得截面的面积为
三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分．
12. 用比例分配分层随机抽样的方法抽取50个样本，第一层22个，样本平均数为16，第二层28个，样本平均数为18，由此可估计总体平均数为_______．
13. 敬亭山，位于安徽省宣城市北郊，是中国历史文化名山，原名昭亭山，晋初为避帝讳，易名敬亭山．李白在《独坐敬亭山》中写道：众鸟高飞尽，孤云独去闲．相看两不厌，只有敬亭山．相传该诗题写于太白独坐楼（如图（1））．为了测量该楼的高度（如图（2）），一研究小组选取了与该楼底部在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，在点处测得该楼顶端的仰角为则该楼的高度为_______m．

14. 如图，在棱长为3的正方体中，在线段上，且是侧面上一点，且平面，则线段的最大值为__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知，，是同一平面内的三个向量，其中．
（1）若，且，求的坐标；
（2）若，且与垂直，求与的夹角的余弦值．
16. 在中，内角的对边分别为，已知，且．
（1）求A；
（2）已知角A平分线交于点M，若，求的周长．
17. 如图，已知等腰梯形中，，，是的中点，，将沿着翻折成，使平面平面．
（1）求证：平面；
（2）求与平面所成的角．
18. 如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，AC⊥BC，H为PC的中点，M为AH的中点，.
（1）求证：；
（2）求点C到平面ABH的距离；
（3）在线段PB上是否存在点N，使MN平面ABC？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.
19. 已知是平面内任意两个非零不共线向量，过平面内任一点作，，以为原点，分别以射线为轴的正半轴，建立平面坐标系，如左图．我们把这个由基底确定的坐标系称为基底坐标系．当向量不垂直时，坐标系就是平面斜坐标系，简记为．对平面内任一点，连结，由平面向量基本定理可知，存在唯一实数对，使得，则称实数对为点在斜坐标系中的坐标．
今有斜坐标系（长度单位为米，如右图），且，设
（1）计算的大小；
（2）质点甲在上距点4米的点处，质点乙在上距点1米的点处，现在甲沿的方向，乙沿的方向同时以3米/小时的速度移动．
①若过2小时后质点甲到达点，质点乙到达点，请用，表示；
②若时刻，质点甲到达点，质点乙到达点，求两质点何时相距最短，并求出最短距离．