人教版小升初数学衔接精编讲义专题07《整式的加减》(精编讲义)(原卷版+解析)

这是一份人教版小升初数学衔接精编讲义专题07《整式的加减》(精编讲义)(原卷版+解析)，共38页。试卷主要包含了法则，(2023秋•射阳县期末）化简等内容，欢迎下载使用。

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学习目标
1．掌握同类项及合并同类项的概念，并能熟练进行合并；掌握同类项的有关应用；
2. 体会整体思想即换元的思想的应用．
3．掌握去括号与添括号法则，充分注意变号法则的应用；
4. 会用整式的加减运算法则，熟练进行整式的化简及求值．
知识要点
要点1：同类项
定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项．几个常数项也是同类项．
要点分析：
(1)判断是否同类项的两个条件：①所含字母相同；②相同字母的指数分别相等，同时具备这两个条件的项是同类项，缺一不可．
(2)同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关．
(3)一个项的同类项有无数个，其本身也是它的同类项．
要点2：合并同类项
1. 概念：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项．
2．法则：合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母部分不变．
要点分析：
合并同类项的根据是乘法分配律的逆运用，运用时应注意：
(1)不是同类项的不能合并，无同类项的项不能遗漏,在每步运算中都含有．
(2) 合并同类项，只把系数相加减，字母、指数不作运算.
要点3：去括号法则
如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；
如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．
要点分析：
(1)去括号法则实际上是根据乘法分配律推出的：当括号前为“+”号时，可以看作+1与括号内的各项相乘；当括号前为“-”号时，可以看作-1与括号内的各项相乘．
（2）去括号时，首先要弄清括号前面是“+”号，还是“-”号，然后再根据法则去掉括号及前面的符号．
(3)对于多重括号，去括号时可以先去小括号，再去中括号，也可以先去中括号．再去小括号．但是一定要注意括号前的符号．
（4）去括号只是改变式子形式，但不改变式子的值，它属于多项式的恒等变形．
要点4：添括号法则
添括号后，括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号；
添括号后，括号前面是“-”号，括到括号里的各项都要改变符号．
要点分析：
(1)添括号是添上括号和括号前面的符号，也就是说，添括号时，括号前面的“+”号或“-”号也是新添的，不是原多项式某一项的符号“移”出来得到的．
(2)去括号和添括号是两种相反的变形，因此可以相互检验正误：
如：，
要点5：整式的加减运算法则
一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项．
要点分析：
（1）整式加减的一般步骤是：①先去括号；②再合并同类项．
（2）两个整式相加减时，减数一定先要用括号括起来．
(3)整式加减的最后结果中：①不能含有同类项，即要合并到不能再合并为止；②一般按照某一字母的降幂或升幂排列；③不能出现带分数，带分数要化成假分数．
题型1：整式的加减
典例精讲
【典型例题1】(2023秋•海珠区期末）将两边长分别为和的正方形纸片按图1、图2两种方式置于长方形中，（图1、图2中两张正方形纸片均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1上中阴影部分的周长为，图2中阴部分的周长为，则的值
A．0B．C．D．
【完整解答】由题意知：，
因为四边形是长方形，
所以
，
同理，，
故．
故选：．
【典型例题2】(2023春•松北区期末）长方形一边等于，另一边比它小，则此长方形另一边的长等于
A．B．C．D．
【完整解答】由题意可得：，
故选：．
变式训练
【变式训练1】边长为的两个正方形组成的一个长方形中的阴影部分的面积 ．
【变式训练2】(2023春•江岸区期末）如图，两个形状、大小完全相同的大长方形内放入五个如图③的小长方形后分别得到图①、图②，已知大长方形的长为，则图①中阴影部分的周长与图②中阴影部分的周长的差是 ．
（用含的式子表示）
【变式训练3】(2023•古冶区一模）老师写出一个整式（其中、为常数，且表示为系数），然后让同学给、赋予不同的数值进行计算，
（1）甲同学给出了一组数据，最后计算的结果为，则甲同学给出、的值分别是 6 ， ；
（2）乙同学给出了，，请按照乙同学给出的数值化简整式；
（3）丙同学给出一组数，计算的最后结果与的取值无关，请直接写出丙同学的计算结果．
题型2：化简求值
典例精讲
【典型例题1】(2023•白银）对于任意的有理数，，如果满足，那么我们称这一对数，为“相随数对”，记为．若是“相随数对”，则
A．B．C．2D．3
【完整解答】是“相随数对”，
，
，
即，
，
故选：．
【典型例题2】(2023秋•新化县期末）如果多项式与多项式（其中，，是常数）相等，则 ， ， ．
【完整解答】，
两个多项式相等，
，
，，．
故答案为：，1，2．
变式训练
【变式训练1】(2023秋•顺义区期末）如果，，那么代数式的值是 ．
【变式训练2】(2023春•松北区期末）先化简，再求值：，其中，．
【变式训练3】(2023春•哈尔滨期末）先化简，再求值：，其中，．
基础达标
一．选择题
1．(2023•普陀区二模）下列单项式中，可以与合并同类项的是
A．B．C．D．
2．(2023秋•仓山区期末）下列各式中，合并同类项正确的是
A．B．C．D．
3．(2023•简阳市 模拟）计算的结果是
A．B．C．D．
4．(2023春•丰台区校级月考）如图1，将一个边长为的正方形纸片剪去两个小长方形，得到一个“”图案，如图2所示，再将剪下的两个小长方形拼成一个新的长方形，如图3所示，则新长方形的周长可表示为
A．B．C．D．
5．(2023春•下城区期中）把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①，分两种不同形式不重叠的放在一个底面长为，宽为的长方形盒子底部（如图②、图③，盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，设图②中阴影部分图形的周长为，图3中两个阴影部分图形的周长和为．若，则，满足
A．B．C．D．
6．(2023秋•腾冲市期末）下列运算正确的是
A．B．
C．D．
7．(2023•宁波模拟）如图，一个长方形是由四块小长方形拼成（四块小长方形放置时既不重叠，也没有空隙），其中②和③两块长方形的形状大小完全相同，如果要求出①和④两块长方形的周长之差，则只要知道哪条线段的长
A．B．C．D．
8．(2023秋•和平区校级期末）如图，把六张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①不重叠的放在一个底面为长方形（长为，宽为的盒子底部（如图②，盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图②中两块阴影部分的周长和是
A．B．C．D．
二．填空题
9．(2023秋•射阳县期末）化简： ．
10．(2023秋•金湖县期末）若单项式与单项式是同类项，则 ．
11．(2023秋•太湖县期末）若与是同类项，则 ，合并的结果是 ．
12．(2023秋•嘉鱼县期末）多项式加上一个单项式后所得的和是一个二次二项式，则这个单项式可以是 ．（填一个即可）
13．(2023秋•坪山区期末）若与是同类项，则 ．
14．(2023秋•澄海区期末）已知，，则的值为 ．
15．(2023秋•化州市期末）、、三个数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是 ．
三．解答题
16．(2023秋•鼓楼区校级期末）化简求值：
（1）化简：；
（2）先化简，再求值：，其中，．
17．(2023秋•锦江区校级期末）先化简，再求值：，其中，．
18．(2023春•锦江区校级月考）已知，．
（1）化简．
（2）当，，求的值．
19．(2023•长安区二模）已知关于的二次三项式满足．
（1）求整式；
（2）若，当时，求的值．
20．(2023•拱墅区二模）已知多项式．
（1）当，，求的值；
（2）若多项式与字母的取值无关，求的值．
能力提升
一．选择题
1．(2023•慈溪市模拟）把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①，分两种不同形式不重叠的放在一个底面长为，宽为的长方形盒子底部（如图②、图③，盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，设图②中阴影部分图形的周长为，图③中两个阴影部分图形的周长和为，若，则，满足
A．B．C．D．
2．(2023•鄞州区模拟）如图，4张如图1的长为，宽为长方形纸片，按图2的方式放置，阴影部分的面积为，空白部分的面积为，若，则，满足
A．B．C．D．
二．填空题
3．(2023秋•遵化市期末）某校为适应电化教学的需要新建阶梯教室， 教室的第一排有个座位， 后面每一排都比前一排多一个座位， 若第排有个座位， 则、和之间的关系为 ．
4．(2023春•永春县期末）如图，长方形纸片的长为8，宽为6，从长方形纸片中剪去两个全等的小长方形卡片，那么余下的两块阴影部分的周长之和是 ．
5．边长为的两个正方形组成的一个长方形中的阴影部分的面积 ．
6．（2015秋•岱岳区期末）若两个单项式与的和也是单项式，则的值是 ．
三．解答题
7．(2023秋•惠安县期末）先化简再求值：，其中．
8．(2023秋•鼓楼区校级月考）已知多项式．
（1）化简该多项式，该多项式是 次 项式，请填空并写出化简步骤；
（2）当，为常数时，称该多项式是关于，的多项式．
①若，求该多项式的值；
②若该多项式的值仅与的取值有关，求，满足的条件；
③若无论，取任何有理数，多项式的值都不变，求，满足的条件；
④若，当取遍所有的有理数时，该多项式能取到的最小值是1，求此时与需要满足的条件．
9．(2023秋•单县月考）计算与化简：
（1）；
（2）；
（3）．
10．(2023秋•肃州区期末）先化简再求值：，其中，．
11．(2023秋•高新区期末）某同学做一道数学题，已知两个多项式、，，试求．这位同学把误看成，结果求出的答案为
（1）请你替这位同学求出的正确答案；
（2）当取任意数值，的值是一个定值时，求的值．
12．(2023秋•恩施市期末）若代数式的值与字母的取值无关，求代数式的值．
13．(2023秋•黄埔区期末）先化简，再求值：．其中．
14．(2023秋•伊通县期末）某同学做一道数学题，“已知两个多项式、，，试求”．这位同学把“”误看成“”，结果求出的答案为．请你替这位同学求出“”的正确答案．
15．(2023秋•永年区期末）计算某个整式减去多项式时，一个同学误认为是加上此多项式，结果得到的答案是
．请你求出原题的正确答案．
16．(2023秋•朝阳区校级期中）已知、是系数，且与的差中不含二次项，求的值．
17．(2023秋•金昌期中）小红做一道数学题：两个多项式，，试求的值．小红误将看成，结果答案为（计算过程正确）．试求的正确结果．
18．(2023秋•仙游县期中）如果关于的多项式的值与的取值无关，且该多项式的次数是三次．求，的值．
19．(2023秋•海淀区校级期中）有理数在数轴上的对应点位置如图所示，化简：．
2021年人教版暑假小升初数学衔接精编讲义
专题07《整式的加减》
知识互联网
学习目标
1．掌握同类项及合并同类项的概念，并能熟练进行合并；掌握同类项的有关应用；
2. 体会整体思想即换元的思想的应用．
3．掌握去括号与添括号法则，充分注意变号法则的应用；
4. 会用整式的加减运算法则，熟练进行整式的化简及求值．
知识要点
要点1：同类项
定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项．几个常数项也是同类项．
要点分析：
(1)判断是否同类项的两个条件：①所含字母相同；②相同字母的指数分别相等，同时具备这两个条件的项是同类项，缺一不可．
(2)同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关．
(3)一个项的同类项有无数个，其本身也是它的同类项．
要点2：合并同类项
1. 概念：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项．
2．法则：合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母部分不变．
要点分析：
合并同类项的根据是乘法分配律的逆运用，运用时应注意：
(1)不是同类项的不能合并，无同类项的项不能遗漏,在每步运算中都含有．
(2) 合并同类项，只把系数相加减，字母、指数不作运算.
要点3：去括号法则
如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；
如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．
要点分析：
(1)去括号法则实际上是根据乘法分配律推出的：当括号前为“+”号时，可以看作+1与括号内的各项相乘；当括号前为“-”号时，可以看作-1与括号内的各项相乘．
（2）去括号时，首先要弄清括号前面是“+”号，还是“-”号，然后再根据法则去掉括号及前面的符号．
(3)对于多重括号，去括号时可以先去小括号，再去中括号，也可以先去中括号．再去小括号．但是一定要注意括号前的符号．
（4）去括号只是改变式子形式，但不改变式子的值，它属于多项式的恒等变形．
要点4：添括号法则
添括号后，括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号；
添括号后，括号前面是“-”号，括到括号里的各项都要改变符号．
要点分析：
(1)添括号是添上括号和括号前面的符号，也就是说，添括号时，括号前面的“+”号或“-”号也是新添的，不是原多项式某一项的符号“移”出来得到的．
(2)去括号和添括号是两种相反的变形，因此可以相互检验正误：
如：，
要点5：整式的加减运算法则
一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项．
要点分析：
（1）整式加减的一般步骤是：①先去括号；②再合并同类项．
（2）两个整式相加减时，减数一定先要用括号括起来．
(3)整式加减的最后结果中：①不能含有同类项，即要合并到不能再合并为止；②一般按照某一字母的降幂或升幂排列；③不能出现带分数，带分数要化成假分数．
题型1：整式的加减
典例精讲
【典型例题1】(2023秋•海珠区期末）将两边长分别为和的正方形纸片按图1、图2两种方式置于长方形中，（图1、图2中两张正方形纸片均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1上中阴影部分的周长为，图2中阴部分的周长为，则的值
A．0B．C．D．
【完整解答】由题意知：，
因为四边形是长方形，
所以
，
同理，，
故．
故选：．
【典型例题2】(2023春•松北区期末）长方形一边等于，另一边比它小，则此长方形另一边的长等于
A．B．C．D．
【完整解答】由题意可得：，
故选：．
变式训练
【变式训练1】边长为的两个正方形组成的一个长方形中的阴影部分的面积 ．
【完整解答】根据图形易知：阴影部分的面积正方形的面积．
【变式训练2】(2023春•江岸区期末）如图，两个形状、大小完全相同的大长方形内放入五个如图③的小长方形后分别得到图①、图②，已知大长方形的长为，则图①中阴影部分的周长与图②中阴影部分的周长的差是 ．
（用含的式子表示）
【完整解答】设大长方形的宽为，小长方形的长为，宽为，
由①得，，，
，，
由②得，，
设图①阴影部分周长为，图②阴影部分周长为，
，
，
．
故答案为：．
【变式训练3】(2023•古冶区一模）老师写出一个整式（其中、为常数，且表示为系数），然后让同学给、赋予不同的数值进行计算，
（1）甲同学给出了一组数据，最后计算的结果为，则甲同学给出、的值分别是 6 ， ；
（2）乙同学给出了，，请按照乙同学给出的数值化简整式；
（3）丙同学给出一组数，计算的最后结果与的取值无关，请直接写出丙同学的计算结果．
【完整解答】（1）
，
甲同学给出了一组数据，最后计算的结果为，
，，
解得，，
故答案为：6，0；
（2）由（1）化简的结果是，
当，时，
原式
，
即按照乙同学给出的数值化简整式结果是；
（3）由（1）化简的结果是，
丙同学给出一组数，计算的最后结果与的取值无关，
原式，
即丙同学的计算结果是．
题型2：化简求值
典例精讲
【典型例题1】(2023•白银）对于任意的有理数，，如果满足，那么我们称这一对数，为“相随数对”，记为．若是“相随数对”，则
A．B．C．2D．3
【完整解答】是“相随数对”，
，
，
即，
，
故选：．
【典型例题2】(2023秋•新化县期末）如果多项式与多项式（其中，，是常数）相等，则 ， ， ．
【完整解答】，
两个多项式相等，
，
，，．
故答案为：，1，2．
变式训练
【变式训练1】(2023秋•顺义区期末）如果，，那么代数式的值是 6 ．
【完整解答】原式
，
当，时，
原式，
故答案为：6．
【变式训练2】(2023春•松北区期末）先化简，再求值：，其中，．
【完整解答】原式
，
当，时，
原式
．
【变式训练3】(2023春•哈尔滨期末）先化简，再求值：，其中，．
【完整解答】
，
当，时，
原式．
基础达标
一．选择题
1．(2023•普陀区二模）下列单项式中，可以与合并同类项的是
A．B．C．D．
【完整解答】、与，所含字母相同，但是相同字母的指数不相同，不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
、与，所含字母相同，相同字母的指数相同，是同类项，能合并，故本选项符合题意；
、与，所含字母相同，但是相同字母的指数不相同，不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
、与，所含字母不尽相同，不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
故选：．
2．(2023秋•仓山区期末）下列各式中，合并同类项正确的是
A．B．C．D．
【完整解答】、，故本选项错误；
、，故本选项正确；
、，故本选项错误；
、与不是同类项，不能直接合并，故本选项错误．
故选：．
3．(2023•简阳市 模拟）计算的结果是
A．B．C．D．
【完整解答】，
故选：．
4．(2023春•丰台区校级月考）如图1，将一个边长为的正方形纸片剪去两个小长方形，得到一个“”图案，如图2所示，再将剪下的两个小长方形拼成一个新的长方形，如图3所示，则新长方形的周长可表示为
A．B．C．D．
【完整解答】根据题意得：新长方形的长为，宽为，
则新长方形的周长为．
故选：．
5．(2023春•下城区期中）把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①，分两种不同形式不重叠的放在一个底面长为，宽为的长方形盒子底部（如图②、图③，盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，设图②中阴影部分图形的周长为，图3中两个阴影部分图形的周长和为．若，则，满足
A．B．C．D．
【完整解答】图②中通过平移，可将阴影部分的周长转换为长为，宽为的长方形的周长，即图②中阴影部分的图形的周长为，
图③中，设小长形卡片的宽为，长为，则，
所求的两个长方形的周长之各为：，
整理得，，
即为，
，
整理得，．
故选：．
6．(2023秋•腾冲市期末）下列运算正确的是
A．B．
C．D．
【完整解答】．，此选项计算错误；
．，此选项计算错误；
．，此选项计算错误；
．，此选项计算正确；
故选：．
7．(2023•宁波模拟）如图，一个长方形是由四块小长方形拼成（四块小长方形放置时既不重叠，也没有空隙），其中②和③两块长方形的形状大小完全相同，如果要求出①和④两块长方形的周长之差，则只要知道哪条线段的长
A．B．C．D．
【完整解答】②和③两块长方形的形状大小完全相同，
，，
①和④两块长方形的周长之差是：
，
要求出①和④两块长方形的周长之差，则只要知道线段的长即可，
故选：．
8．(2023秋•和平区校级期末）如图，把六张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①不重叠的放在一个底面为长方形（长为，宽为的盒子底部（如图②，盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图②中两块阴影部分的周长和是
A．B．C．D．
【完整解答】设小长方形的长为，宽为，
则根据题意得：，
阴影部分周长和为：
故选：．
二．填空题
9．(2023秋•射阳县期末）化简： ．
【完整解答】原式
．
故答案为：．
10．(2023秋•金湖县期末）若单项式与单项式是同类项，则 4 ．
【完整解答】单项式与单项式是同类项，
，，
解得：，，
，
故答案为：4．
11．(2023秋•太湖县期末）若与是同类项，则 5 ，合并的结果是 ．
【完整解答】由同类项的定义可知，
，，
，
根据，，
得出单项式：与，
合并同类项得：，
故答案为：0，．
12．(2023秋•嘉鱼县期末）多项式加上一个单项式后所得的和是一个二次二项式，则这个单项式可以是 或或（答案不唯一） ．（填一个即可）
【完整解答】多项式加上一个单项式后所得的和是一个二次二项式，则这个单项式可以是或或（答案不唯一）．
故答案为：或或（答案不唯一）．
13．(2023秋•坪山区期末）若与是同类项，则 2 ．
【完整解答】与是同类项，
，
解得：．
故答案为：2．
14．(2023秋•澄海区期末）已知，，则的值为 ．
【完整解答】，，
，
故答案为：．
15．(2023秋•化州市期末）、、三个数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是 ．
【完整解答】由图可知，，，
，，
原式．
故答案为：．
三．解答题
16．(2023秋•鼓楼区校级期末）化简求值：
（1）化简：；
（2）先化简，再求值：，其中，．
【完整解答】（1）原式
；
（2）原式
，
当，时，
原式．
17．(2023秋•锦江区校级期末）先化简，再求值：，其中，．
【完整解答】原式
，
当，时，
原式
．
18．(2023春•锦江区校级月考）已知，．
（1）化简．
（2）当，，求的值．
【完整解答】（1）
，
（2），，
．
19．(2023•长安区二模）已知关于的二次三项式满足．
（1）求整式；
（2）若，当时，求的值．
【完整解答】（1），
；
（2），，
当时，
．
20．(2023•拱墅区二模）已知多项式．
（1）当，，求的值；
（2）若多项式与字母的取值无关，求的值．
【完整解答】（1）
，
当，时，
原式；
（2），且与字母的取值无关，
，
解得：．
能力提升
一．选择题
1．(2023•慈溪市模拟）把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①，分两种不同形式不重叠的放在一个底面长为，宽为的长方形盒子底部（如图②、图③，盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，设图②中阴影部分图形的周长为，图③中两个阴影部分图形的周长和为，若，则，满足
A．B．C．D．
【完整解答】
图②中通过平移，可将阴影部分的周长转换为长为，宽为的长方形的周长，即图②中阴影部分的图形的周长为
图③中，设小长形卡片的宽为，长为，则
所求的两个长方形的周长之各为：，
整理得，
即为
，
整理得，
故选：．
2．(2023•鄞州区模拟）如图，4张如图1的长为，宽为长方形纸片，按图2的方式放置，阴影部分的面积为，空白部分的面积为，若，则，满足
A．B．C．D．
【完整解答】由图形可知，
，
，
，
，
，
即，
，
故选：．
二．填空题
3．(2023秋•遵化市期末）某校为适应电化教学的需要新建阶梯教室， 教室的第一排有个座位， 后面每一排都比前一排多一个座位， 若第排有个座位， 则、和之间的关系为 ．
【完整解答】 由题意得： 后面每一排都比前一排多一个座位及第一排有个座位可得出第排的座位数
第排的座位数：
又第排有个座位
故、和之间的关系为．
4．(2023春•永春县期末）如图，长方形纸片的长为8，宽为6，从长方形纸片中剪去两个全等的小长方形卡片，那么余下的两块阴影部分的周长之和是 24 ．
【完整解答】设两个全等的小长方形卡片的长为，宽为，
上面的长方形周长：，下面的长方形周长：，
两式联立，总周长为：，
，
余下的两块阴影部分的周长之和是．
故答案为：24．
5．边长为的两个正方形组成的一个长方形中的阴影部分的面积 ．
【完整解答】根据图形易知：阴影部分的面积正方形的面积．
6．（2015秋•岱岳区期末）若两个单项式与的和也是单项式，则的值是 1 ．
【完整解答】两个单项式与的和也是单项式，
与是同类项，
，，
，，
，
故答案为：1．
三．解答题
7．(2023秋•惠安县期末）先化简再求值：，其中．
【完整解答】原式
当时
原式．
8．(2023秋•鼓楼区校级月考）已知多项式．
（1）化简该多项式，该多项式是 三 次 项式，请填空并写出化简步骤；
（2）当，为常数时，称该多项式是关于，的多项式．
①若，求该多项式的值；
②若该多项式的值仅与的取值有关，求，满足的条件；
③若无论，取任何有理数，多项式的值都不变，求，满足的条件；
④若，当取遍所有的有理数时，该多项式能取到的最小值是1，求此时与需要满足的条件．
【完整解答】（1）
，
所以多项式是三次五项式，
故答案为：三，五；
（2）①时，
；
②
，
该多项式的值仅与的取值有关，
且，
解得：且，
，满足的条件是且；
③，
无论，取任何有理数，多项式的值都不变，
且，
解得：，，
，满足的条件是且；
④当时，，
当取遍所有的有理数时，该多项式能取到的最小值是1，
且，
解得：且，
此时与需要满足的条件是且．
9．(2023秋•单县月考）计算与化简：
（1）；
（2）；
（3）．
【完整解答】（1）原式
；
（2）原式
；
（3）原式
．
10．(2023秋•肃州区期末）先化简再求值：，其中，．
【完整解答】原式
，
当，时，原式．
11．(2023秋•高新区期末）某同学做一道数学题，已知两个多项式、，，试求．这位同学把误看成，结果求出的答案为
（1）请你替这位同学求出的正确答案；
（2）当取任意数值，的值是一个定值时，求的值．
【解答】解（1），，
；
（2）
．
当取任意数值，的值是一个定值，
，
．
12．(2023秋•恩施市期末）若代数式的值与字母的取值无关，求代数式的值．
【完整解答】原式，
由结果与取值无关，得到，，
解得：，，
则原式．
13．(2023秋•黄埔区期末）先化简，再求值：．其中．
【完整解答】原式
当时，
原式
．
14．(2023秋•伊通县期末）某同学做一道数学题，“已知两个多项式、，，试求”．这位同学把“”误看成“”，结果求出的答案为．请你替这位同学求出“”的正确答案．
【完整解答】，，
，
．
15．(2023秋•永年区期末）计算某个整式减去多项式时，一个同学误认为是加上此多项式，结果得到的答案是
．请你求出原题的正确答案．
【完整解答】，
，
．
16．(2023秋•朝阳区校级期中）已知、是系数，且与的差中不含二次项，求的值．
【完整解答】
，
两个多项式的差中不含二次项，
，
解得：，
则．
17．(2023秋•金昌期中）小红做一道数学题：两个多项式，，试求的值．小红误将看成，结果答案为（计算过程正确）．试求的正确结果．
【完整解答】，
则．
18．(2023秋•仙游县期中）如果关于的多项式的值与的取值无关，且该多项式的次数是三次．求，的值．
【完整解答】
由题意得，，，
解得，，．
19．(2023秋•海淀区校级期中）有理数在数轴上的对应点位置如图所示，化简：．
【完整解答】由图可知，，
，，
原式
．