人教版小升初数学衔接精编讲义专题06《整式》(精编讲义)(原卷版+解析)

这是一份人教版小升初数学衔接精编讲义专题06《整式》(精编讲义)(原卷版+解析)，共47页。试卷主要包含了掌握单项式系数及次数的概念；等内容，欢迎下载使用。

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学习目标
1．掌握单项式系数及次数的概念；
2. 理解多项式的次数及多项式的项、常数项及次数的概念；
3．掌握整式的概念，会判断一个代数式是否为整式；
4. 能准确而熟练地列式子表示一些数量关系．
知识要点
要点一：单项式
1.单项式的概念：如，，-1，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式．
要点分析：
（1）单项式包括三种类型：①数字与字母相乘或字母与字母相乘组成的式子；②单独的一个数；③单独的一个字母．
（2）单项式中不能含有加减运算，但可以含有除法运算．如：可以写成。但若分母中含有字母，如就不是单项式，因为它无法写成数字与字母的乘积．
2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数．
要点分析：
（1）确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数；
（2）圆周率π是常数．单项式中出现π时，应看作系数；
（3）当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写；（4）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数，如：写成．
3.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．
要点分析：
单项式的次数是计算单项式中所有字母的指数和得到的，计算时要注意以下两点：
（1）没有写指数的字母，实际上其指数是1，计算时不能将其遗漏；
（2）不能将数字的指数一同计算．
要点二：多项式
1.多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式．
要点分析：
“几个”是指两个或两个以上．
2. 多项式的项：每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项．
要点分析：
（1）多项式的每一项包括它前面的符号．
（2）一个多项式含有几项，就叫几项式，如：是一个三项式．
3. 多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数．
要点分析：
（1）多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数．
（2）一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出．
要点三、 整式
单项式与多项式统称为整式．
要点分析：
（1）单项式、多项式、整式这三者之间的关系如图所示．
即单项式、多项式必是整式，但反过来就不一定成立．
（2）分母中含有字母的式子一定不是整式．
题型1：列代数式
典例精讲
【典型例题1】(2023•青海）一个两位数，它的十位数字是，个位数字是，那么这个两位数是
A．B．C．D．
【完整解答】一个两位数，它的十位数字是，个位数字是，这个两位数．
故选：．
【典型例题2】(2023•前郭县二模）现有5元面值人民币张，10元面值人民币张，共有人民币 元（用含、的代数式表示）．
【完整解答】由题意得．
故答案为：．
变式训练
【变式训练1】(2023•永州模拟）购买2个单价为元的面包和5瓶单价为元的饮料，所需钱数为
A．元B．元C．元D．元
【变式训练2】(2023春•锦江区校级期中）新疆长绒棉因纤维较长而得名，产于新疆吐鲁番盆地、塔里木盆地的阿克苏、巴音郭楞、喀什等到地．现有两块棉田，第一块公顷，共收棉花千克，第二块公顷，共收棉花千克，那么这两块棉田平均每公顷的棉产量为 千克．
【变式训练3】(2023春•滦州市月考）为鼓励居民节约用水，某市自来水公司实施阶梯水价：如果每月用水不超过8吨，按每吨2.3元收费；如果每月用水量超过8吨，则超出部分按每吨3.5元收费，设每月用水量为吨．
（1）当每月用水量不超过8吨时，用含的代数式表示用水费用为 元；
（2）当每月用水超过8吨时，需交水费多少元？（用含的代数式表示）
（3）若小红家8月份用水12吨，则需交水费多少元？
题型2：代数式求值
典例精讲
【典型例题1】(2023•北碚区校级模拟）按如图所示的运算程序，能使输出的结果为15的是
A．，B．，C．，D．，
【完整解答】．，时，输出的结果为，不符合题意；
．，时，输出的结果为，不符合题意；
．，时，输出的结果为，不符合题意；
．，时，输出结果为，符合题意；
故选：．
【典型例题2】(2023春•松北区期末）若的值为7，则的值为
A．0B．24C．34D．19
【完整解答】，
原式，
故选：．
变式训练
【变式训练1】(2023春•长丰县期末）若，则的值是 ．
【变式训练2】(2023春•三明期末）已知，，求代数式的值．
【变式训练3】(2023•西湖区校级二模）已知代数式，请按照下列要求分别求值：
（1）当时，代数式的值．
（2）当时，求的值．
题型3：单项式
典例精讲
【典型例题1】(2023春•西湖区校级月考）整式，0，，，，，中单项式的个数有
A．6个B．5个C．4个D．3个
【完整解答】整式，0，，，，，中单项式有，0，，，共5个，
故选：．
【典型例题2】(2023秋•上城区期末）（1）下列代数式：①；②；③；④；⑤，其中是整式的有 ①②④ ．（填序号）
（2）将上面的①式与②式相加，若，为常数，化简所得的结果是单项式，求，的值．
【完整解答】（1）①是多项式，也是整式；
②是多项式，也是整式；
③是分式，不是整式；
④是单项式，也是整式；
⑤是二次根式，不是整式；
故答案为：①②④；
（2）
①式与②式相加，化简所得的结果是单项式，
，，
，．
变式训练
【变式训练1】(2023•官渡区一模）观察下列关于的单项式：，，，，，，，按照上述规律，第2021个单项式是 ．
【变式训练2】(2023秋•青羊区校级期末）的系数是 ，次数是 ．
【变式训练3】(2023秋•利津县期中）已知是关于，的七次单项式，求的值．
题型4：多项式
典例精讲
【典型例题1】(2023秋•莱山区期末）给出下列判断：①单项式的系数是5；②是二次三项式；③多项式的次数是9；④几个有理数相乘，当负因数有奇数个时，积为负．其中判断正确的是
A．1个B．2个C．3个D．4个
【完整解答】①单项式的系数是，故本项错误；
②是二次三项式，本项正确；
③多项式的次数是4，故本项错误；
④几个有理数相乘，当负因数有奇数个时，积不一定为负，也可以为0，故本项错误．
正确的只有一个．
故选：．
【典型例题2】(2023秋•射洪市期末）把多项式按字母的升幂排列是 ．
【完整解答】把多项式按字母的升幂排列是．
故答案为：．
变式训练
【变式训练1】(2023秋•讷河市期末）当 3 时，多项式中不含项．
【变式训练2】(2023秋•凉州区期中）已知多项式是六次四项式，单项式的次数与这个多项式的次数相同．
求：的值．
题型5：整式
典例精讲
【典型例题1】(2023秋•北流市期中）下列式子：，，，，，0中，整式的个数是
A．3B．4C．5D．6
【完整解答】在，，，，，0中，整式有，，，0，共有4个．
故选：．
【典型例题2】(2023秋•招远市期末）在代数式：，，，，，，中，整式有
A．4个B．5个C．6个D．7个
【完整解答】，，，，，是整式，
故选：．
变式训练
【变式训练1】(2023春•锦江区校级月考）下列代数式：，，，，，，，其中整式有 个．
【变式训练2】下列代数式，哪些是整式？
，，，，，，．
基础达标
一．选择题
1．(2023•海南）下列整式中，是二次单项式的是
A．B．C．D．
2．(2023•青海）一个两位数，它的十位数字是，个位数字是，那么这个两位数是
A．B．C．D．
3．(2023•永州模拟）购买2个单价为元的面包和5瓶单价为元的饮料，所需钱数为
A．元B．元C．元D．元
4．(2023•北碚区校级模拟）按如图所示的运算程序，能使输出的结果为15的是
A．，B．，C．，D．，
5．(2023春•松北区期末）若的值为7，则的值为
A．0B．24C．34D．19
6．(2023秋•涪城区校级期末）下列关于单项式的说法正确的是
A．系数是1B．系数是C．系数是D．系数是
7．(2023秋•招远市期末）在代数式：，，，，，，中，整式有
A．4个B．5个C．6个D．7个
二．填空题
8．(2023春•高平市期末）已知，则的值为 ．
9．(2023春•清远期末）如果三角形底边上的高是6，底边长为，那么三角形的面积可以表示为 ．
10．(2023•泗洪县三模）若，则的值等于 ．
11．(2023春•长丰县期末）若，则的值是 ．
12．(2023•平谷区二模）母亲节来临之际，小凡同学打算用自己平时节省出来的50元钱给母亲买束鲜花，已知花店里鲜花价格如表：
小凡想用妈妈喜欢的百合、玫瑰、康乃馨这三种花组成一个花束，若三种花都要购买且50元全部花净，请给出一种你喜欢的组成方式，百合、玫瑰、康乃馨的支数分别为 ．
13．(2023春•锦江区校级月考）下列代数式：，，，，，，，其中整式有 个．
14．(2023秋•马鞍山期末）将7张如图①所示的小长方形纸片按图②的方式不重叠地放在长方形内，未被覆盖的部分恰好被分割为两个长方形，面积分别为，．已知小长方形纸片的宽为，长为，则 ．（结果用含的代数式表示）
三．解答题（共6小题）
15．(2023春•海陵区校级月考）已知分式，请在下列分式中选择一个，并选择一种运算，使它们的运算结果为整式．
①；②．
（1）我选择 （填序号）；
（2）列式并计算．
16．(2023秋•卫辉市期末）疫情期间，为了满足市场上对口罩的需求，某厂家决定生产、两种款式的口罩．每天两种口罩的生产量共500个，两种口罩的成本和售价如下表：
若设每天生产种口罩个，则每天生产种口罩 个；
（1）用含的代数式表示该工厂每天的生产成本，并进行化简；
（2）用含的代数式表示该工厂每天获得的利润，并将所列代数式进行化简；
（3）当时，求每天获得的利润．（利润售价成本）
17．(2023春•未央区校级月考）图是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图的形状拼成一个正方形．
（1）你认为图中的阴影部分的正方形的边长等于 ．
（2）请用两种不同的方法求图中阴影部分的面积．
（3）观察图，你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？
代数式：，，；
（4）若，都是有理数，，，求的值．
18．(2023秋•惠安县期末）我省教育厅发布文件，规定从2019年开始，体育成绩将按一定的原始分计入中考总分．某校为适应新的中考要求，决定为体育组添置一批体育器材．学校准备订购一批篮球和跳绳，经过市场调查后发现篮球每个定价120元，跳绳每条定价20元．某体育用品商店提供、两种优惠方案：
方案：买一个篮球送一条跳绳；
方案：篮球和跳绳都按定价的付款．
已知要购买篮球50个，跳绳条．
（1）若按方案购买，一共需付款 元；（用含的代数式表示）若按方案购买，一共需付款 元．（用含的代数式表示）
（2）当时，请通过计算说明此时用哪种方案购买较为合算？
（3）当时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？请写出你的购买方案，并计算需付款多少元？
19．(2023秋•翠屏区期末）如图，已知长方形中，，，点是的中点，点从点出发在上以每秒的速度向点运动，运动时间设为秒．（假定
（1）当秒时，求阴影部分（即三角形的面积；
（2）用含的式子表示阴影部分的面积；并求出当三角形的面积等于3时，阴影部分的面积是多少？
（3）过点作交于点，过点作交于点，请直接写出在点运动过程中，和的数量关系．
20．(2023秋•来宾期末）某市，两仓库分别有水泥15吨和35吨，，两工地分别需要水泥20吨和30吨．已知从，仓库到，工地的运价如下表：
若从仓库运到工地的水泥为吨．
（1）用含的式子表示从仓库运到工地的水泥的数量，从仓库运到工地的运输费用；
（2）求把全部水泥从，两仓库运到，两工地的总运输费（用含的式子表示）；
（3）当总运输费为535元时，水泥该如何运输调配？
能力提升
一．选择题
1．(2023•武汉模拟）如图所示，在这个运算程序当中，若开始输入的是2，则经过2021次输出的结果是
A．1B．3C．4D．8
2．(2023春•温州期末）已知甲、乙两人分别从，两地同时匀速出发，若相向而行，则经过分钟后两人相遇；若同向而行，则经过分钟后甲追上乙．若甲、乙的速度比为，则的值为
A．B．C．D．
3．(2023秋•仁怀市期末）四个长宽分别为，的小长方形（白色的）按如图所示的方式放置，形成了一个长、宽分别为、的大长方形，则下列各式不能表示图中阴影部分的面积是
A．B．C．D．
4．(2023春•大庆期末）在式子，，，，，0.81，，0中，单项式共有
A．5个B．6个C．7个D．8个
二．填空题
5．(2023秋•仓山区期末）一条河的水流速度是，船在静水中的速度是，则该船在这条河流中顺水行驶的速度为 ．
6．(2023秋•邛崃市期末）如果的值为，则的值为 ．
7．(2023秋•马鞍山期末）将7张如图①所示的小长方形纸片按图②的方式不重叠地放在长方形内，未被覆盖的部分恰好被分割为两个长方形，面积分别为，．已知小长方形纸片的宽为，长为，则 ．（结果用含的代数式表示）
8．(2023秋•南康区期中）已知多项式的值是7，则多项式的值是 ．
9．(2023秋•灌阳县期中）如图．将面积为的小正方形与面积为的大正方形放在一起则三角形的面积是
10．(2023•平江县模拟）某药店在防治新型冠状病毒期间，市场上抗病毒药品紧缺的情况下，将某药品提价．物价部门查处后，限定其提价幅度只能是原价的，则该药品现在降价的幅度是 ．
11．(2023秋•海淀区校级月考）随着通讯市场竞争的日益激烈，某通讯公司的手机市话收费按原标准每分钟降低了元后，再次下调了，现在的收费标准是每分钟元，则原收费标准每分钟为 元．
三．解答题
12．(2023•裕华区校级模拟）如图，在一条数轴上，点为原点，点、、表示的数分别是，，．
（1）求的长；（用含的代数式表示）
（2）若，求的长．
13．(2023秋•南关区校级期末）如图，某花园的护栏是用一些半圆形造型的钢条围成的，半圆的直径为80厘米，且每增加一个半圆形条钢，护栏长度就增加厘米，设半圆形条钢的总个数为个为正整数），护栏总长度为厘米．
（1）当时，用含的代数式表示护栏总长度（结果要求化简）；
（2）用含、的代数式表示护栏的总长度（结果要求化简），并求，时，护栏长度的值．
14．(2023秋•管城区期中）某班计划买一些乒乓球和乒乓球拍，现了解情况如下：甲、乙两家商店出售两种同样品牌的乒乓球和乒乓球拍，乒乓球拍每副定价100元，乒乓球每盒定价25元．经洽谈后，甲店每买一副球拍赠一盒乒乓球，乙店全部按定价的9折优惠．该班需球拍5副，乒乓球盒．
问：（1）分别求在甲、乙两家商店购买这些商品所需的费用（用含的代数式表示）；
（2）当购买20盒乒乓球时，去哪家商店购买更合算？为什么？
15．(2023秋•鼓楼区校级月考）已知、两点在数轴上表示的数分别为，．
（1）对照数轴填写下表：
（2）若、两点间的距离记为，则 （用含、的式子表示）；
（3）在数轴上到6和的距离之和为12的整数点共有 个；
（4）若数轴上点表示的数为，当在 和 之间取值时，的值最小，最小值是 ，此时的整数值为 ．
16．(2023秋•盐城期末）在数学活动课上，同学们利用如图所示的程序进行计算，计算按箭头指向循环进行．如，当初始输入5时，即，第1次计算结果为16，第2次计算结果为8，第3次计算结果为4，
（1）当初始输入1时，第1次计算结果为 ；
（2）当初始输入4时，第3次计算结果为 ；
（3）当初始输入3时，依次计算得到的所有结果中，有 个不同的值，第20次计算结果为 ．
17．(2023秋•长春期末）某水泥仓库一周7天内进出水泥的吨数如下 “”表示进库，“”表示出库）、、、、、、．
（1）经过这7天，仓库里的水泥是增多还是减少了？增多或减少了多少吨？
（2）经过这7天，仓库管理员结算发现库里还存200吨水泥，那么7天前，仓库里存有水泥多少吨？
（3）如果进仓库的水泥装卸费是每吨元、出仓库的水泥装卸费是每吨元，求这7天要付多少元装卸费？
18．(2023秋•济阳区期中）某销售办公用品的商店推出两种优惠方案：
①买1个书包，赠送1支水性笔；
②书包和水性笔一律九折优惠．
每个书包定价为20元，每支水性笔定价为5元、
（1）小浩和同学们需买4个书包，支水性笔（不少于4支），用含的式子表示两种优惠方案各多少元？
（2）当时，采用哪种方案更划算？
（3）当时，采用哪种方案更划算？
19．(2023秋•海淀区校级期中）十一黄金周期间，淮安动物园在7天假期中每天旅游的人数变化如表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）．
（1）若9月30日的游客人数记为万人，请用含的代数式表示10月2日的游客人数；
（2）请判断七天内游客人数最多的是哪天？游客人数是多少？
（3）若9月30日的游客人数为2万人，门票每人10元，问黄金周期间淮安动物园门票收入是多少元？
20．(2023秋•兴化市期中）为鼓励节约用水，某地推行阶梯式水价计费制，标准如下：每户每月用水不超过的按每立方米元计费；超过按每立方米元计费．
（1）小明家上月用水，应交水费 元（用含、的代数式表示）；
（2）若，且小红家上月用水，缴纳水费55元，试求的值；
（3）在（2）的条件下，小华家上月用水 ，请用含的代数式表示出他家上月应交水费．
百合
薰衣草
玫瑰
蔷薇
向日葵
康乃馨
12元支
2元支
5元支
4元支
15元支
3元支
母亲节期间包装免费
成本（元个）
售价（元个）
5
8
7
9
工地
仓库
工地
工地
仓库
每吨15元
每吨12元
仓库
每吨10元
每吨9元
6
4
0
4
6
、两点的距离




日期
10月1日
10月2日
10月3日
10月4日
10月5日
10月6日
10月7日
人数变化（单位：万人）
2021年人教版暑假小升初数学衔接精编讲义
专题06《整式》
知识互联网
学习目标
1．掌握单项式系数及次数的概念；
2. 理解多项式的次数及多项式的项、常数项及次数的概念；
3．掌握整式的概念，会判断一个代数式是否为整式；
4. 能准确而熟练地列式子表示一些数量关系．
知识要点
要点一：单项式
1.单项式的概念：如，，-1，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式．
要点分析：
（1）单项式包括三种类型：①数字与字母相乘或字母与字母相乘组成的式子；②单独的一个数；③单独的一个字母．
（2）单项式中不能含有加减运算，但可以含有除法运算．如：可以写成。但若分母中含有字母，如就不是单项式，因为它无法写成数字与字母的乘积．
2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数．
要点分析：
（1）确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数；
（2）圆周率π是常数．单项式中出现π时，应看作系数；
（3）当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写；（4）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数，如：写成．
3.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．
要点分析：
单项式的次数是计算单项式中所有字母的指数和得到的，计算时要注意以下两点：
（1）没有写指数的字母，实际上其指数是1，计算时不能将其遗漏；
（2）不能将数字的指数一同计算．
要点二：多项式
1.多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式．
要点分析：
“几个”是指两个或两个以上．
2. 多项式的项：每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项．
要点分析：
（1）多项式的每一项包括它前面的符号．
（2）一个多项式含有几项，就叫几项式，如：是一个三项式．
3. 多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数．
要点分析：
（1）多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数．
（2）一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出．
要点三、 整式
单项式与多项式统称为整式．
要点分析：
（1）单项式、多项式、整式这三者之间的关系如图所示．
即单项式、多项式必是整式，但反过来就不一定成立．
（2）分母中含有字母的式子一定不是整式．
题型1：列代数式
典例精讲
【典型例题1】(2023•青海）一个两位数，它的十位数字是，个位数字是，那么这个两位数是
A．B．C．D．
【完整解答】一个两位数，它的十位数字是，个位数字是，这个两位数．
故选：．
【典型例题2】(2023•前郭县二模）现有5元面值人民币张，10元面值人民币张，共有人民币 元（用含、的代数式表示）．
【完整解答】由题意得．
故答案为：．
变式训练
【变式训练1】(2023•永州模拟）购买2个单价为元的面包和5瓶单价为元的饮料，所需钱数为
A．元B．元C．元D．元
【完整解答】买2个面包和5瓶饮料所需的钱数：元．
故选：．
【变式训练2】(2023春•锦江区校级期中）新疆长绒棉因纤维较长而得名，产于新疆吐鲁番盆地、塔里木盆地的阿克苏、巴音郭楞、喀什等到地．现有两块棉田，第一块公顷，共收棉花千克，第二块公顷，共收棉花千克，那么这两块棉田平均每公顷的棉产量为 千克．
【完整解答】由题意得：两块地共收千克，面积是公顷．
．
故答案为：．
【变式训练3】(2023春•滦州市月考）为鼓励居民节约用水，某市自来水公司实施阶梯水价：如果每月用水不超过8吨，按每吨2.3元收费；如果每月用水量超过8吨，则超出部分按每吨3.5元收费，设每月用水量为吨．
（1）当每月用水量不超过8吨时，用含的代数式表示用水费用为 元；
（2）当每月用水超过8吨时，需交水费多少元？（用含的代数式表示）
（3）若小红家8月份用水12吨，则需交水费多少元？
【完整解答】（1）当不超过8吨时，这个月的水费为：；
故答案为：．
（2）当超过8吨时，
这个月的水费为：，
需交水费元．
（3）当时，
（元
用水12吨需交水费32.4元．
题型2：代数式求值
典例精讲
【典型例题1】(2023•北碚区校级模拟）按如图所示的运算程序，能使输出的结果为15的是
A．，B．，C．，D．，
【完整解答】．，时，输出的结果为，不符合题意；
．，时，输出的结果为，不符合题意；
．，时，输出的结果为，不符合题意；
．，时，输出结果为，符合题意；
故选：．
【典型例题2】(2023春•松北区期末）若的值为7，则的值为
A．0B．24C．34D．19
【完整解答】，
原式，
故选：．
变式训练
【变式训练1】(2023春•长丰县期末）若，则的值是 5 ．
【完整解答】，
，
原式．
故答案为5．
【变式训练2】(2023春•三明期末）已知，，求代数式的值．
【完整解答】，，
．
【变式训练3】(2023•西湖区校级二模）已知代数式，请按照下列要求分别求值：
（1）当时，代数式的值．
（2）当时，求的值．
【完整解答】（1）当时，；
（2），
分解因式得：，
可得或，
解得：或．
题型3：单项式
典例精讲
【典型例题1】(2023春•西湖区校级月考）整式，0，，，，，中单项式的个数有
A．6个B．5个C．4个D．3个
【完整解答】整式，0，，，，，中单项式有，0，，，共5个，
故选：．
【典型例题2】(2023秋•上城区期末）（1）下列代数式：①；②；③；④；⑤，其中是整式的有 ①②④ ．（填序号）
（2）将上面的①式与②式相加，若，为常数，化简所得的结果是单项式，求，的值．
【完整解答】（1）①是多项式，也是整式；
②是多项式，也是整式；
③是分式，不是整式；
④是单项式，也是整式；
⑤是二次根式，不是整式；
故答案为：①②④；
（2）
①式与②式相加，化简所得的结果是单项式，
，，
，．
变式训练
【变式训练1】(2023•官渡区一模）观察下列关于的单项式：，，，，，，，按照上述规律，第2021个单项式是 ．
【完整解答】一列关于的单项式：，，，，，，
第个单项式为：，
第2021个单项式是，
故答案为：．
【变式训练2】(2023秋•青羊区校级期末）的系数是 ，次数是 ．
【完整解答】单项式的系数是，次数是4．
故答案为：，4．
【变式训练3】(2023秋•利津县期中）已知是关于，的七次单项式，求的值．
【完整解答】是关于，的七次单项式，
且，
解得：，或，
，
或．
故的值是1或41．
题型4：多项式
典例精讲
【典型例题1】(2023秋•莱山区期末）给出下列判断：①单项式的系数是5；②是二次三项式；③多项式的次数是9；④几个有理数相乘，当负因数有奇数个时，积为负．其中判断正确的是
A．1个B．2个C．3个D．4个
【完整解答】①单项式的系数是，故本项错误；
②是二次三项式，本项正确；
③多项式的次数是4，故本项错误；
④几个有理数相乘，当负因数有奇数个时，积不一定为负，也可以为0，故本项错误．
正确的只有一个．
故选：．
【典型例题2】(2023秋•射洪市期末）把多项式按字母的升幂排列是 ．
【完整解答】把多项式按字母的升幂排列是．
故答案为：．
变式训练
【变式训练1】(2023秋•讷河市期末）当 3 时，多项式中不含项．
【完整解答】整理只含的项得：，
，．
故答案为：3．
【变式训练2】(2023秋•凉州区期中）已知多项式是六次四项式，单项式的次数与这个多项式的次数相同．
求：的值．
【完整解答】多项式是六次四项式，
，
解得：，
又单项式的次数也为6，
，
解得：，
故可得：．
题型5：整式
典例精讲
【典型例题1】(2023秋•北流市期中）下列式子：，，，，，0中，整式的个数是
A．3B．4C．5D．6
【完整解答】在，，，，，0中，整式有，，，0，共有4个．
故选：．
【典型例题2】(2023秋•招远市期末）在代数式：，，，，，，中，整式有
A．4个B．5个C．6个D．7个
【完整解答】，，，，，是整式，
故选：．
变式训练
【变式训练1】(2023春•锦江区校级月考）下列代数式：，，，，，，，其中整式有 5 个．
【完整解答】下列代数式：，，，，，，，
属于整式的有：．
，是分式，不是整式．
故答案为：5．
【变式训练2】下列代数式，哪些是整式？
，，，，，，．
【完整解答】根据题意可知：
整式有：，，，，．
基础达标
一．选择题
1．(2023•海南）下列整式中，是二次单项式的是
A．B．C．D．
【完整解答】、是多项式，故此选项不合题意；
、是二次单项式，符合题意；
、是次数为3的单项式，不合题意；
、是次数为1的单项式，不合题意；
故选：．
2．(2023•青海）一个两位数，它的十位数字是，个位数字是，那么这个两位数是
A．B．C．D．
【完整解答】一个两位数，它的十位数字是，个位数字是，这个两位数．
故选：．
3．(2023•永州模拟）购买2个单价为元的面包和5瓶单价为元的饮料，所需钱数为
A．元B．元C．元D．元
【完整解答】买2个面包和5瓶饮料所需的钱数：元．
故选：．
4．(2023•北碚区校级模拟）按如图所示的运算程序，能使输出的结果为15的是
A．，B．，C．，D．，
【完整解答】．，时，输出的结果为，不符合题意；
．，时，输出的结果为，不符合题意；
．，时，输出的结果为，不符合题意；
．，时，输出结果为，符合题意；
故选：．
5．(2023春•松北区期末）若的值为7，则的值为
A．0B．24C．34D．19
【完整解答】，
原式，
故选：．
6．(2023秋•涪城区校级期末）下列关于单项式的说法正确的是
A．系数是1B．系数是C．系数是D．系数是
【完整解答】单项式的数字因数是，
此单项式的系数是．
故选：．
7．(2023秋•招远市期末）在代数式：，，，，，，中，整式有
A．4个B．5个C．6个D．7个
【完整解答】，，，，，是整式，
故选：．
二．填空
8．(2023春•高平市期末）已知，则的值为 2021 ．
【完整解答】，
，
故答案为：2021．
9．(2023春•清远期末）如果三角形底边上的高是6，底边长为，那么三角形的面积可以表示为 ．
【完整解答】由题意得：．
故答案为：．
10．(2023•泗洪县三模）若，则的值等于 2021 ．
【完整解答】，
，
，
．
故答案为：2021．
11．(2023春•长丰县期末）若，则的值是 5 ．
【完整解答】，
，
原式．
故答案为5．
12．(2023•平谷区二模）母亲节来临之际，小凡同学打算用自己平时节省出来的50元钱给母亲买束鲜花，已知花店里鲜花价格如表：
小凡想用妈妈喜欢的百合、玫瑰、康乃馨这三种花组成一个花束，若三种花都要购买且50元全部花净，请给出一种你喜欢的组成方式，百合、玫瑰、康乃馨的支数分别为 1，7，1（答案不唯一）． ．
【完整解答】设购买百合支，玫瑰支，康乃馨支，
依题意得：，
．
又，，均为正整数，
是3的整数倍．
当，即时，；
当，即时，或；
当，即时，或或．
故答案为：1，7，1（答案不唯一）．
13．(2023春•锦江区校级月考）下列代数式：，，，，，，，其中整式有 5 个．
【完整解答】下列代数式：，，，，，，，
属于整式的有：．
，是分式，不是整式．
故答案为：5．
14．(2023秋•马鞍山期末）将7张如图①所示的小长方形纸片按图②的方式不重叠地放在长方形内，未被覆盖的部分恰好被分割为两个长方形，面积分别为，．已知小长方形纸片的宽为，长为，则 ．（结果用含的代数式表示）
【完整解答】设长方形的长为，则
．
故答案为：．
三．解答题
15．(2023春•海陵区校级月考）已知分式，请在下列分式中选择一个，并选择一种运算，使它们的运算结果为整式．
①；②．
（1）我选择 ② （填序号）；
（2）列式并计算．
【完整解答】（1）②
（2）．
16．(2023秋•卫辉市期末）疫情期间，为了满足市场上对口罩的需求，某厂家决定生产、两种款式的口罩．每天两种口罩的生产量共500个，两种口罩的成本和售价如下表：
若设每天生产种口罩个，则每天生产种口罩 个；
（1）用含的代数式表示该工厂每天的生产成本，并进行化简；
（2）用含的代数式表示该工厂每天获得的利润，并将所列代数式进行化简；
（3）当时，求每天获得的利润．（利润售价成本）
【完整解答】若设每天生产种口罩个，则每天生产种口罩个．
故答案为：．
（1）根据题意可得，
该工厂每天的生产成本为（元；
（2）根据题意可得，种口罩的利润为每个3元，种口罩的利润为每个2元，
该工厂每天获得的利润为（元；
（3）把，代入中，
原式（元．
所以当时，每天获得的利润为1300元．
17．(2023春•未央区校级月考）图是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图的形状拼成一个正方形．
（1）你认为图中的阴影部分的正方形的边长等于 ．
（2）请用两种不同的方法求图中阴影部分的面积．
（3）观察图，你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？
代数式：，，；
（4）若，都是有理数，，，求的值．
【完整解答】（1）你认为图中的阴影部分的正方形的边长等于．
故答案为．
（2）请用两种不同的方法求图中阴影部分的面积．
，，
（3）观察图，可得三个代数式之间的等量关系为：．
（4），，
，
．
18．(2023秋•惠安县期末）我省教育厅发布文件，规定从2019年开始，体育成绩将按一定的原始分计入中考总分．某校为适应新的中考要求，决定为体育组添置一批体育器材．学校准备订购一批篮球和跳绳，经过市场调查后发现篮球每个定价120元，跳绳每条定价20元．某体育用品商店提供、两种优惠方案：
方案：买一个篮球送一条跳绳；
方案：篮球和跳绳都按定价的付款．
已知要购买篮球50个，跳绳条．
（1）若按方案购买，一共需付款 元；（用含的代数式表示）若按方案购买，一共需付款 元．（用含的代数式表示）
（2）当时，请通过计算说明此时用哪种方案购买较为合算？
（3）当时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？请写出你的购买方案，并计算需付款多少元？
【完整解答】（1）方案购买可列式：（元；
按方案购买可列式：（元；
故答案为：，；
（2）当时，
方案购买需付款：（元；
按方案购买需付款：（元；
，
当时，应选择方案购买合算；
（3）由（2）可知，当时，方案付款7000元，方案付款7200元，
按方案购买50个篮球配送50个跳绳，按方案购买50个跳绳合计需付款：
，
，
省钱的购买方案是：
按方案买50个篮球，剩下的50条跳绳按方案购买，付款6900元．
19．(2023秋•翠屏区期末）如图，已知长方形中，，，点是的中点，点从点出发在上以每秒的速度向点运动，运动时间设为秒．（假定
（1）当秒时，求阴影部分（即三角形的面积；
（2）用含的式子表示阴影部分的面积；并求出当三角形的面积等于3时，阴影部分的面积是多少？
（3）过点作交于点，过点作交于点，请直接写出在点运动过程中，和的数量关系．
【完整解答】（1）长方形中，，，点是的中点，
，
当秒时，，，
．
（2），
，
，
．
（3）长方形，
、、，
、，
、、，
、分别等于，的边上的高；、分别等于、的边上的高，
，
同理得：，
，
即：，
．
20．(2023秋•来宾期末）某市，两仓库分别有水泥15吨和35吨，，两工地分别需要水泥20吨和30吨．已知从，仓库到，工地的运价如下表：
若从仓库运到工地的水泥为吨．
（1）用含的式子表示从仓库运到工地的水泥的数量，从仓库运到工地的运输费用；
（2）求把全部水泥从，两仓库运到，两工地的总运输费（用含的式子表示）；
（3）当总运输费为535元时，水泥该如何运输调配？
【完整解答】（1）从仓库运到工地的水泥为：吨，
从仓库将水泥运到工地的运输费用为：元；
（2）总运输费：元；
（3）由（2）得，，
解得：，
答：应该从地运到地10吨，从地运到地5吨，从地运到地10吨，从地运到地25吨．
能力提升
一．选择题（共4小题）
1．(2023•武汉模拟）如图所示，在这个运算程序当中，若开始输入的是2，则经过2021次输出的结果是
A．1B．3C．4D．8
【完整解答】把代入得：，
把代入得：，
把代入得：，
把代入得：，
把代入得：，
把代入得：，
把代入得：，
以此类推，
，
经过2021次输出的结果是4．
故选：．
2．(2023春•温州期末）已知甲、乙两人分别从，两地同时匀速出发，若相向而行，则经过分钟后两人相遇；若同向而行，则经过分钟后甲追上乙．若甲、乙的速度比为，则的值为
A．B．C．D．
【完整解答】设甲的速度为，则乙的速度为，设，两地相距，依题意有
①，
②，
①②得，
，
，
故选：．
3．(2023秋•仁怀市期末）四个长宽分别为，的小长方形（白色的）按如图所示的方式放置，形成了一个长、宽分别为、的大长方形，则下列各式不能表示图中阴影部分的面积是
A．B．C．D．
【完整解答】由题意可得，即，，
可得左边阴影部分的长为，宽为，右边阴影部分的长为，宽为，
图中阴影部分的面积为
，
，
．
无法得到选项．
故选：．
4．(2023春•大庆期末）在式子，，，，，0.81，，0中，单项式共有
A．5个B．6个C．7个D．8个
【完整解答】式子，，，，0.81，0是单项式，共6个，
故选：．
二．填空题（共7小题）
5．(2023秋•仓山区期末）一条河的水流速度是，船在静水中的速度是，则该船在这条河流中顺水行驶的速度为 ．
【完整解答】顺水速度静水船速水流速度，
顺水速度为：．
故答案为：．
6．(2023秋•邛崃市期末）如果的值为，则的值为 7 ．
【完整解答】，
，
，
故答案为：7．
7．(2023秋•马鞍山期末）将7张如图①所示的小长方形纸片按图②的方式不重叠地放在长方形内，未被覆盖的部分恰好被分割为两个长方形，面积分别为，．已知小长方形纸片的宽为，长为，则 ．（结果用含的代数式表示）
【完整解答】设长方形的长为，则
．
故答案为：．
8．(2023秋•南康区期中）已知多项式的值是7，则多项式的值是 0 ．
【完整解答】，即，
原式，
故答案为：0
9．(2023秋•灌阳县期中）如图．将面积为的小正方形与面积为的大正方形放在一起则三角形的面积是
【完整解答】延长交的延长线于，则，，，，
则，由三角形的面积公式得：
，
．
另解：连接，则有，三角形面积可转换为三角形面积，即可求得结果．
故答案为：．
10．(2023•平江县模拟）某药店在防治新型冠状病毒期间，市场上抗病毒药品紧缺的情况下，将某药品提价．物价部门查处后，限定其提价幅度只能是原价的，则该药品现在降价的幅度是 ．
【完整解答】设药品的原价为元，则提价后的售价为元．
物价部门限定其提价幅度只能是原价的，
物价部门规定的价格为元元．
，
该药品现在降价的幅度是．
故答案为：．
11．(2023秋•海淀区校级月考）随着通讯市场竞争的日益激烈，某通讯公司的手机市话收费按原标准每分钟降低了元后，再次下调了，现在的收费标准是每分钟元，则原收费标准每分钟为 元．
【完整解答】根据题意知原收费标准每分钟为元，
故答案为：．
三．解答题（共9小题）
12．(2023•裕华区校级模拟）如图，在一条数轴上，点为原点，点、、表示的数分别是，，．
（1）求的长；（用含的代数式表示）
（2）若，求的长．
【完整解答】（1）根据题意知：；
（2）根据题意知：，，
解得．
所以，即．
13．(2023秋•南关区校级期末）如图，某花园的护栏是用一些半圆形造型的钢条围成的，半圆的直径为80厘米，且每增加一个半圆形条钢，护栏长度就增加厘米，设半圆形条钢的总个数为个为正整数），护栏总长度为厘米．
（1）当时，用含的代数式表示护栏总长度（结果要求化简）；
（2）用含、的代数式表示护栏的总长度（结果要求化简），并求，时，护栏长度的值．
【完整解答】（1），
当时，．
（2），
当，时，
．
14．(2023秋•管城区期中）某班计划买一些乒乓球和乒乓球拍，现了解情况如下：甲、乙两家商店出售两种同样品牌的乒乓球和乒乓球拍，乒乓球拍每副定价100元，乒乓球每盒定价25元．经洽谈后，甲店每买一副球拍赠一盒乒乓球，乙店全部按定价的9折优惠．该班需球拍5副，乒乓球盒．
问：（1）分别求在甲、乙两家商店购买这些商品所需的费用（用含的代数式表示）；
（2）当购买20盒乒乓球时，去哪家商店购买更合算？为什么？
【完整解答】（1）甲商店所需费用为：．
乙商店所需费用为：．
（2）将代入（元，
将代入（元．
，
到甲商店更划算．
15．(2023秋•鼓楼区校级月考）已知、两点在数轴上表示的数分别为，．
（1）对照数轴填写下表：
（2）若、两点间的距离记为，则 （用含、的式子表示）；
（3）在数轴上到6和的距离之和为12的整数点共有 个；
（4）若数轴上点表示的数为，当在 和 之间取值时，的值最小，最小值是 ，此时的整数值为 ．
【完整解答】（1）由题意可得，
故答案为：2，6，10，12；
（2）由题意可得，
，
故答案为：；
（3），
在数轴上到6和的距离之和为12的整数点表示的数为，，，，6，
即在数轴上到6和的距离之和为12的整数点一共有13个，
故答案为：13；
（4）当时，
；
当时，
，
当时，
；
由上可得，当在和2之间取值时，的值最小，最小值是3，此时的整数值为，0，1，2，
故答案为：，2；3；，0，1，2．
16．(2023秋•盐城期末）在数学活动课上，同学们利用如图所示的程序进行计算，计算按箭头指向循环进行．如，当初始输入5时，即，第1次计算结果为16，第2次计算结果为8，第3次计算结果为4，
（1）当初始输入1时，第1次计算结果为 4 ；
（2）当初始输入4时，第3次计算结果为 ；
（3）当初始输入3时，依次计算得到的所有结果中，有 个不同的值，第20次计算结果为 ．
【完整解答】（1）当时，，
故答案为：4；
（2）当时，第1次结果为：，第2次结果为，第3次结果为；
故答案为：4；
（3）当时，
第1次结果为：，第2次结果为，第3次结果为；第4次结果为，
第5次结果为，第6次结果为，第7次结果为，
第8次结果为，
，
第20次运算的结果为4．
有7个不同的值，
故答案为：7，4．
17．(2023秋•长春期末）某水泥仓库一周7天内进出水泥的吨数如下 “”表示进库，“”表示出库）、、、、、、．
（1）经过这7天，仓库里的水泥是增多还是减少了？增多或减少了多少吨？
（2）经过这7天，仓库管理员结算发现库里还存200吨水泥，那么7天前，仓库里存有水泥多少吨？
（3）如果进仓库的水泥装卸费是每吨元、出仓库的水泥装卸费是每吨元，求这7天要付多少元装卸费？
【完整解答】（1）；
经过这7天，仓库里的水泥减少了57吨；
（2），
那么7天前，仓库里存有水泥257吨．
（3）依题意：
进库的装卸费为：；
出库的装卸费为：，
这7天要付元装卸费．
18．(2023秋•济阳区期中）某销售办公用品的商店推出两种优惠方案：
①买1个书包，赠送1支水性笔；
②书包和水性笔一律九折优惠．
每个书包定价为20元，每支水性笔定价为5元、
（1）小浩和同学们需买4个书包，支水性笔（不少于4支），用含的式子表示两种优惠方案各多少元？
（2）当时，采用哪种方案更划算？
（3）当时，采用哪种方案更划算？
【完整解答】（1）第一种优惠方案需要的钱数：
元．
第二种优惠方案需要的钱数：
元．
答：两种优惠方案各元、元．
（2）当时，
．
因为
所以采用第一种优惠方案更划算．
（3）当时，
因为
所以采用第二种优惠方案更划算．
19．(2023秋•海淀区校级期中）十一黄金周期间，淮安动物园在7天假期中每天旅游的人数变化如表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）．
（1）若9月30日的游客人数记为万人，请用含的代数式表示10月2日的游客人数；
（2）请判断七天内游客人数最多的是哪天？游客人数是多少？
（3）若9月30日的游客人数为2万人，门票每人10元，问黄金周期间淮安动物园门票收入是多少元？
【完整解答】（1）（万人）；
（2）七天内游客人数分别是，，，，，，，
所以3日人最多．
（3）（万人），
黄金周期间该公园门票收入是（元．
20．(2023秋•兴化市期中）为鼓励节约用水，某地推行阶梯式水价计费制，标准如下：每户每月用水不超过的按每立方米元计费；超过按每立方米元计费．
（1）小明家上月用水，应交水费 元（用含、的代数式表示）；
（2）若，且小红家上月用水，缴纳水费55元，试求的值；
（3）在（2）的条件下，小华家上月用水 ，请用含的代数式表示出他家上月应交水费．
【完整解答】（1）小明家上月用水，应交水费元，
故答案为：；
（2）根据题意得，
解得：；
（3）当时，应交水费为；
当时，应交水费为．
百合
薰衣草
玫瑰
蔷薇
向日葵
康乃馨
12元支
2元支
5元支
4元支
15元支
3元支
母亲节期间包装免费
成本（元个）
售价（元个）
5
8
7
9
工地
仓库
工地
工地
仓库
每吨15元
每吨12元
仓库
每吨10元
每吨9元
6
4
0
4
6
、两点的距离
2



6
4
0
4
6
、两点的距离
2
6
10
12
日期
10月1日
10月2日
10月3日
10月4日
10月5日
10月6日
10月7日
人数变化（单位：万人）