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    2024中考数学新定义及探究题专题 《二次函数及新定义》 (含解析)
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    2024中考数学新定义及探究题专题 《二次函数及新定义》 (含解析)

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    这是一份2024中考数学新定义及探究题专题 《二次函数及新定义》 (含解析),共85页。

    1.(2023春·山东济南·九年级统考期末)新定义:若一个点的纵坐标是横坐标的2倍,则称这个点为二倍点.若二次函数(c为常数)在的图象上存在两个二倍点,则c的取值范围是( )
    A.B.C.D.
    2.(2023春·湖北咸宁·九年级统考期中)定义:我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”.若互异二次函数的对称轴为直线x=1且图象经过点(﹣1,0),则这个互异二次函数的二次项系数是( )
    A.B.C.1D.﹣1
    3.(2023春·广西南宁·九年级统考期中)新定义:在平面直角坐标系中,对于点P(m,n)和点P′(m,n′),若满足m≥0时,n′=n-4;m<0时,n′=-n,则称点P′(m,n′)是点P(m,n)的限变点.例如:点P1(2,5)的限变点是P1′(2,1),点P2(-2,3)的限变点是P2′(-2,-3).若点P(m,n)在二次函数y=-x2+4x+2的图象上,则当-1≤m≤3时,其限变点P′的纵坐标n'的取值范围是( )
    A.B.C.D.
    4.(2023春·湖南长沙·九年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考期末)定义:我们不妨把纵坐标是横坐标2倍的点称为“青竹点”.例如:点、……都是“青竹点”.显然,函数的图象上有两个“青竹点”:和.
    (1)下列函数中,函数图象上存在“青竹点”的,请在横线上打“√”,不存在“青竹点”的,请打“×”.
    ①________; ②________; ③________.
    (2)若抛物线(m为常数)上存在两个不同的“青竹点”,求m的取值范围;
    (3)若函数的图象上存在唯一的一个“青竹点”,且当时,a的最小值为c,求c的值.
    5.(2023春·江苏泰州·九年级统考期中)定义:两个二次项系数之和为,对称轴相同,且图像与轴交点也相同的二次函数互为友好同轴二次函数.例如:的友好同轴二次函数为.
    (1)函数的友好同轴二次函数为 .
    (2)当时,函数 的友好同轴二次函数有最大值为,求的值.
    (3)已知点分别在二次函数及其友好同轴二次函数的图像上,比较的大小,并说明理由.
    6.(2023春·浙江金华·九年级校考期中)定义:若抛物线y=ax2+bx+c与x轴两交点间的距离为4,称此抛物线为定弦抛物线.
    (1)判断抛物线y=x2+2x﹣3是否是定弦抛物线,请说明理由;
    (2)当一定弦抛物线的对称轴为直线x=1,且它的图像与坐标轴的交点间的连线所围成的图形是直角三角形,求该抛物线的表达式;
    (3)若定弦抛物线y=x2+bx+c(b<0)与x轴交于A、B两点(A在B左边),当2≤x≤4时,该抛物线的最大值与最小值之差等于OB之间的距离,求b的值.
    7.(2023春·浙江·九年级期末)定义:若抛物线与抛物线.同时满足且,则称这两条抛物线是一对“共轭抛物线”.
    (1)已知抛物线与是一对共轭抛物线,求的解析式;
    (2)如图1,将一副边长为的正方形七巧板拼成图2的形式,若以BC中点为原点,直线BC为x轴建立平面直角坐标系,设经过点A,E,D的抛物线为,经过A、B、C的抛物线为,请立接写出、的解析式并判断它们是否为一对共轭抛物线.
    8.(2023春·湖南长沙·九年级校联考期末)定义:如果抛物线与轴交于点,,那么我们把线段叫做雅礼弦,两点之间的距离称为抛物线的雅礼弦长.
    (1)求抛物线的雅礼弦长;
    (2)求抛物线的雅礼弦长的取值范围;
    (3)设,为正整数,且,抛物线的雅礼弦长为,抛物线的雅礼弦长为,,试求出与之间的函数关系式,若不论为何值,恒成立,求,的值.
    9.(2023春·河南濮阳·九年级统考期中)小明在课外学习时遇到这样一个问题:定义:如果二次函数y=a1x2+b1x+c1(a1≠0)与y=a2x2+b2x+c2(a2≠0)满足a1+a2=0,b1=b2,c1+c2=0,则称这两个函数互为“旋转函数”.求函数y=x2-3x-2的“旋转函数”.
    小明是这样思考的:由函数y=x2-3x-2可知,a1=1,b1=-3,c1=-2,根据a1+a2=0,b1=b2,c1+c2=0,求出a2,b2,c2,就能确定这个函数的“旋转函数”.
    请参考小明的方法解决下面问题:
    (1)直接写出函数y=x2-3x-2的“旋转函数” ;
    (2)若函数与y=x2-2nx+n互为“旋转函数”,求(m+n)2020的值;
    (3)已知函数的图象与x轴交于点A、B两点(A在B的左边),与y轴交于点C,点A、B、C关于原点的对称点分别是A1,B1,C1,试证明经过点A1,B1,C1的二次函数与函数互为“旋转函数”
    10.(2023春·山西大同·九年级统考期中)请阅读下列材料,并完成相应的任务:
    定义:我们把自变量为的二次函数与(,)称为一对“亲密函数”,如的“亲密函数”是.
    任务:
    (1)写出二次函数的“亲密函数”:______;
    (2)二次函数的图像与轴交点的横坐标为1和,它的“亲密函数”的图像与轴交点的横坐标为______,猜想二次函数()的图像与轴交点的横坐标与其“亲密函数”的图像与轴交点的横坐标之间的关系是______;
    (3)二次函数的图像与轴交点的横坐标为1和,请利用(2)中的结论直接写出二次函数的图像与轴交点的横坐标.
    【类型2 二次函数与一次函数综合问题中的新定义问题】
    (2023春·九年级课时练习)定义:由a,b构造的二次函数叫做一次函数y=ax+b的“滋生函数”,一次函数y=ax+b叫做二次函数的“本源函数”(a,b为常数,且).若一次函数y=ax+b的“滋生函数”是,那么二次函数的“本源函数”是 .
    2.(2023春·浙江湖州·九年级统考期中)定义:如果函数图象上存在横、纵坐标相等的点,则称该点为函数的不动点.例如,点是函数的不动点.已知二次函数(是实数).
    (1)若点是该二次函数的一个不动点,求的值;
    (2)若该二次函数始终存在不动点,求的取值范围.
    3.(2023·安徽·模拟预测)已知函数与函数,定义“和函数”.
    (1)若,则“和函数” ;
    (2)若“和函数”为,则 , ;
    (3)若该“和函数”的顶点在直线上,求.
    4.(2023·北京·模拟预测)城市的许多街道是相互垂直或平行的,因此,往往不能沿直线行走到达目的地,只能按直角拐弯的方式行走.可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系,对两点和,用以下方式定义两点间距离:.
    (1)①已知点,则______.
    ②函数的图象如图①所示,是图象上一点,,求点的坐标.
    函数的图象如图②所示,是图象上一点,求的最小值及对应的点的坐标.
    5.(2023春·上海·九年级上海市民办新复兴初级中学校考期中)我们定义【,,】为函数的“特征数”,如:函数的“特征数”是【2,,5】,函数的“特征数”是【0,1,2】
    (1)若一个函数的“特征数”是【1,,1】,将此函数图像先向左平移2个单位,再向上平移1个单位,得到一个图像对应的函数“特征数”是______;
    (2)将“特征数”是【0,,】的图像向上平移2个单位,得到一个新函数,这个函数的解析式是______;
    (3)在(2)中,平移前后的两个函数图像分别与轴交于A、两点,与直线分别交于、两点,在给出的平面直角坐标系中画出图形,并求出以A、、、四点为顶点的四边形的面积;
    (4)若(3)中的四边形与“特征数”是【1,,】的函数图像有交点,求满足条件的实数的取值范围.
    6.(2023春·福建龙岩·九年级校考期末)定义:对于给定的两个函数,任取自变量x的一个值,当x<0时,它们对应的函数值互为相反数;当x≥0时,它们对应的函数值相等.我们称这样的两个函数互为相关函数.例如:一次函数,它的相关函数为
    (1)已知点A(-2,1)在一次函数的相关函数的图象上时,求a的值.
    (2)已知二次函数.当点B(m,)在这个函数的相关函数的图象上时,求m的值.
    7.(2023春·江苏南通·九年级统考期末)定义:若图形与图形有且只有两个公共点,则称图形与图形互为“双联图形”,即图形是图形的“双联图形”,图形是图形的“双联图形”.
    (1)若直线与抛物线互为“双联图形”,且直线不是双曲线的“双联图形”,求实数的取值范围;
    (2)如图2,已知,,三点.若二次函数的图象与互为“双联图形”,直接写出的取值范围.
    8.(2023春·北京·九年级北京市第三中学校考期中)定义:在平面直角坐标系中,图形G上点P(x,y)的纵坐标y与其横坐标x的差y﹣x称为P点的“坐标差”,而图形G上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形G的“特征值”.
    (1)①点A(1,3)的“坐标差”为 ;
    ②抛物线y=﹣x2+3x+3的“特征值”为 ;
    (2)某二次函数y=﹣x2+bx+c(c≠0)的“特征值”为1,点B(m,0)与点C分别是此二次函数的图象与x轴和y轴的交点,且点B与点C的“坐标差”相等.
    ①直接写出m= ;(用含c的式子表示)
    ②求b的值.
    9.(2023春·北京·九年级人大附中校考期中)对某一个函数给出如下定义:若存在实数,对于任意的函数值,都满足,则称这个函数是有界函数,在所有满足条件的中,其最小值称为这个函数的边界值.例如,如图中的函数是有界函数,其边界值是.
    (1)直接写出有界函数的边界值;
    (2)已知函数是有界函数,且边界值为3,直接写出的最大值;
    (3)将函数的图象向下平移个单位,得到的函数的边界值是,直接写出的取值范围,使得.
    10.(2023春·湖南长沙·九年级校考期中)若定义:若一个函数图像上存在纵坐标是横坐标2倍的点,则把该函数称为“明德函数”,该点称为“明德点”,例如:“明德函数”,其“明德点”为(1,2).
    (1)①判断:函数 __________ “明德函数”(填“是”或“不是”);
    ②函数的图像上的明德点是 ___________;
    (2)若抛物线上有两个“明德点”,求m的取值范围;
    (3)若函数的图像上存在唯一的一个“明德点”,且当时,的最小值为,求的值.
    【类型3 二次函数与几何图形综合问题中的新定义问题】
    1.(2023春·四川绵阳·九年级统考期末)定义:我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”.如图,在正方形中,点,点,则互异二次函数与正方形有交点时的最大值和最小值分别是( )
    A.4,-1B.,-1C.4,0D.,-1
    2.(2023春·山东济南·九年级统考期末)定义:关于x轴对称且对称轴相同的两条抛物线叫作“同轴对称抛物线”.例如:y1=(x﹣1)2﹣2的“同轴对称抛物线”为y2=﹣(x﹣1)2+2.
    (1)请写出抛物线y1=(x﹣1)2﹣2的顶点坐标 ;及其“同轴对称抛物线”y2=﹣(x﹣1)2+2的顶点坐标 ;
    (2)求抛物线y=﹣2x2+4x+3的“同轴对称抛物线”的解析式.
    (3)如图,在平面直角坐标系中,点B是抛物线L:y=ax2﹣4ax+1上一点,点B的横坐标为1,过点B作x轴的垂线,交抛物线L的“同轴对称抛物线”于点C,分别作点B、C关于抛物线对称轴对称的点、,连接BC、、、.
    ①当四边形为正方形时,求a的值.
    ②当抛物线L与其“同轴对称抛物线”围成的封闭区域内(不包括边界)共有11个横、纵坐标均为整数的点时,直接写出a的取值范围.
    3.(2023春·北京门头沟·九年级大峪中学校考期中)定义:对于平面直角坐标系上的点和抛物线,我们称是抛物线的相伴点,抛物线是点的相伴抛物线.如图,已知点,,.
    (1)点的相伴抛物线的解析式为______;过,两点的抛物线的相伴点坐标为______;
    (2)设点 在直线上运动:
    ①点的相伴抛物线的顶点都在同一条抛物线上,求抛物线的解析式.
    ②当点的相伴抛物线的顶点落在内部时,请直接写出的取值范围.
    4.(2023春·浙江绍兴·九年级校联考期中)定义:如图1,抛物线与x轴交于A,B两点,点P在该抛物线上(P点与A. B两点不重合),如果△ABP中PA与PB两条边的三边满足其中一边是另一边倍,则称点P为抛物线的“好”点.
    (1)命题:P(0,3)是抛物线的“好”点.该命题是_____( 真或假)命题.
    (2)如图2,已知抛物线C:与轴交于A,B两点,点P(1,2)是抛物线C的“好”点,求抛物线C的函数表达式.
    (3)在(2)的条件下,点Q在抛物线C上,求满足条件S△ABQ=S△ABP的Q点(异于点P)的坐标.
    5.(2023·安徽安庆·九年级统考期末)在平面直角坐标系中,我们定义直线y=ax-a为抛物线y=ax2+bx+c(a、b、c为常数,a≠0)的“梦想直线”;有一个顶点在抛物线上,另有一个顶点在y轴上的三角形为其“梦想三角形”.已知抛物线y=-与其“梦想直线”交于A、B两点(点A在点B的左侧),与x轴负半轴交于点C.
    (1)填空:该抛物线的“梦想直线”的解析式为______,点A的坐标为______,点B的坐标为______.
    (2)如图,点M为线段CB上一动点,将△ACM以AM所在直线为对称轴翻折,点C的对称点为N,若△AMN为该抛物线的“梦想三角形”,求点M的坐标.

    6.(2023春·湖南长沙·九年级统考期中)定义:在线段MN上存在点P、Q将线段MN分为相等的三部分,则称P、Q为线段MN的三等分点.
    已知一次函数y=﹣x+3的图象与x、y轴分别交于点M、N,且A、C为线段MN的三等分点(点A在点C的左边).
    (1)直接写出点A、C的坐标;
    (2)①二次函数的图象恰好经过点O、A、C,试求此二次函数的解析式;
    ②过点A、C分别作AB、CD垂直x轴于B、D两点,在此抛物线O、C之间取一点P(点P不与O、C重合)作PF⊥x轴于点F,PF交OC于点E,是否存在点P使得AP=BE?若存在,求出点P的坐标?若不存在,试说明理由;
    (3)在(2)的条件下,将△OAB沿AC方向移动到△O'A'B'(点A'在线段AC上,且不与C重合),△O'A'B'与△OCD重叠部分的面积为S,试求当S=时点A'的坐标.
    7.(2023春·安徽合肥·九年级统考期中)定义:在平面直角坐标系中,图形G上点P(x,y)的纵坐标y与其横坐标x的差y﹣x称为点P的“坐标差”,而图形G上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形G的“特征值”.
    (1)求点A(2,1)的“坐标差”和抛物线y=﹣x2+3x+4的“特征值”.
    (2)某二次函数=﹣x2+bx+c(c≠0)的“特征值”为﹣1,点B与点C分别是此二次函数的图象与x轴和y轴的交点,且点B与点C的“坐标差”相等,求此二次函数的解析式.
    (3)如图所示,二次函数y=﹣x2+px+q的图象顶点在“坐标差”为2的一次函数的图象上,四边形DEFO是矩形,点E的坐标为(7,3),点O为坐标原点,点D在x轴上,当二次函数y=﹣x2+px+q的图象与矩形的边有四个交点时,求p的取值范围.
    8.(2023·浙江杭州·九年级统考期中)新定义:我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形.
    (1)初步尝试
    如图1,已知等腰直角△ABC,∠ACB=90°,请将它分成两个三角形,使它们成为偏等积三角形.
    (2)理解运用
    如图2,已知△ACD为直角三角形,∠ADC=90°,以AC,AD为边向外作正方向ACFB和正方形ADGE,连接BE,求证:△ACD与△ABE为偏等积三角形.
    (3)综合探究
    如图3,二次函数y=x2–x–5的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,在二次函数的图象上是否存在一点D,使△ABC与△ABD是偏等积三角形?若存在,请求出点D的坐标;若不存在,请说明理由.
    9.(2023春·江西赣州·九年级统考期末)我们给出如下定义:在平面直角坐标系xOy中,如果一条抛物线平移后得到的抛物线经过原抛物线的顶点,那么这条抛物线叫做原抛物线的过顶抛物线.
    如下图,抛物线F2都是抛物线F1的过顶抛物线,设F1的顶点为A,F2的对称轴分别交F1、F2于点D、B,点C是点A关于直线BD的对称点.
    (1)如图1,如果抛物线y=x2的过顶抛物线为y=ax2+bx,C(2,0),那么
    ①a= ,b= .
    ②如果顺次连接A、B、C、D四点,那么四边形ABCD为( )
    A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形
    (2)如图2,抛物线y=ax2+c的过顶抛物线为F2,B(2,c-1).求四边形ABCD的面积.
    (3)如果抛物线的过顶抛物线是F2,四边形ABCD的面积为 ,请直接写出点B的坐标.
    10.(2023春·江西赣州·九年级校考期末)定义:在平面直角坐标系中,抛物线y=a+bx+c(a≠0)与直线y=m交于点A、C(点C在点A右边)将抛物线y=a+bx+c沿直线y=m翻折,翻折前后两抛物线的顶点分别为点B、D.我们将两抛物线之间形成的封闭图形称为惊喜线,四边形ABCD称为惊喜四边形,对角线BD与AC之比称为惊喜度(Degreefsurprise),记作|D|=.
    (1)图①是抛物线y=﹣2x﹣3沿直线y=0翻折后得到惊喜线.则点A坐标 ,点B坐标 ,惊喜四边形ABCD属于所学过的哪种特殊平行四边形 ,|D|为 .
    (2)如果抛物线y=m﹣6m(m>0)沿直线y=m翻折后所得惊喜线的惊喜度为1,求m的值.
    (3)如果抛物线y=﹣6m沿直线y=m翻折后所得的惊喜线在m﹣1≤x≤m+3时,其最高点的纵坐标为16,求m的值并直接写出惊喜度|D|
    2024中考数学新定义及探究题专题 《二次函数及新定义》 (解析版)
    【类型1 二次函数问题中的新定义问题】
    1.(2023春·山东济南·九年级统考期末)新定义:若一个点的纵坐标是横坐标的2倍,则称这个点为二倍点.若二次函数(c为常数)在的图象上存在两个二倍点,则c的取值范围是( )
    A.B.C.D.
    【答案】D
    【分析】由点的纵坐标是横坐标的2倍可得二倍点在直线上,由可得二倍点所在线段的端点坐标,结合图象,通过求抛物线与线段的交点求解.
    【详解】解:由题意可得二倍点所在直线为,
    将代入得,
    将代入得,
    设,,如图,
    联立与,得方程,

    抛物线与直线有两个交点,

    解得,
    当直线和直线与抛物线交点在点A,上方时,抛物线与线段有两个交点,
    把代入,得,
    把代入得,

    解得,

    故选D.
    【点睛】本题考查二次函数图象与正比例函数图象的交点问题,解题关键掌握函数与方程及不等式的关系,将代数问题转化为图形问题求解.
    2.(2023春·湖北咸宁·九年级统考期中)定义:我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”.若互异二次函数的对称轴为直线x=1且图象经过点(﹣1,0),则这个互异二次函数的二次项系数是( )
    A.B.C.1D.﹣1
    【答案】B
    【分析】根据函数的对称轴和互异二次函数的特点计算即可;
    【详解】由题可知:此函数的横坐标与纵坐标互为相反数,且对称轴为直线x=1且图象经过点(﹣1,0),设此函数为,
    ∴,解得:,
    ∴此函数的二次项系数为;
    故选B.
    【点睛】本题主要考查了二次函数的性质,准确计算是解题的关键.
    3.(2023春·广西南宁·九年级统考期中)新定义:在平面直角坐标系中,对于点P(m,n)和点P′(m,n′),若满足m≥0时,n′=n-4;m<0时,n′=-n,则称点P′(m,n′)是点P(m,n)的限变点.例如:点P1(2,5)的限变点是P1′(2,1),点P2(-2,3)的限变点是P2′(-2,-3).若点P(m,n)在二次函数y=-x2+4x+2的图象上,则当-1≤m≤3时,其限变点P′的纵坐标n'的取值范围是( )
    A.B.C.D.
    【答案】D
    【分析】根据新定义得到当m≥0时,n′=-m2+4m+2-4=-(m-2)2+2,在0≤m≤3时,得到-2≤n′≤2;当m<0时,n′=m2-4m-2=(m-2)2-6,在-1≤m<0时,得到-2≤n′≤3,即可得到限变点P′的纵坐标n'的取值范围是-2≤n′≤3.
    【详解】解:由题意可知,
    当m≥0时,n′=-m2+4m+2-4=-(m-2)2+2,
    ∴当0≤m≤3时,-2≤n′≤2,
    当m<0时,n′=m2-4m-2=(m-2)2-6,
    ∴当-1≤m<0时,-2<n′≤3,
    综上,当-1≤m≤3时,其限变点P′的纵坐标n'的取值范围是-2≤n′≤3,
    故选:D.
    【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征,解题的关键是根据限变点的定义得到n′关于m的函数.
    4.(2023春·湖南长沙·九年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考期末)定义:我们不妨把纵坐标是横坐标2倍的点称为“青竹点”.例如:点、……都是“青竹点”.显然,函数的图象上有两个“青竹点”:和.
    (1)下列函数中,函数图象上存在“青竹点”的,请在横线上打“√”,不存在“青竹点”的,请打“×”.
    ①________; ②________; ③________.
    (2)若抛物线(m为常数)上存在两个不同的“青竹点”,求m的取值范围;
    (3)若函数的图象上存在唯一的一个“青竹点”,且当时,a的最小值为c,求c的值.
    【答案】(1)×;√;×
    (2)
    (3)
    【分析】(1)根据“青一函数”的定义直接判断即可;
    (2)根据题意得出关于的一元二次方程,再根据根的判别式得出关于m的不等式,即可求解;
    (3)根据题意得出关于的一元二次方程,再根据根的判别式得出关于a的二次函数,利用二次函数最值求解即可.
    【详解】(1)解:①令,方程无解,
    ∴函数图像上不存在“青竹点”,故答案为:×;
    ②令,
    解得:,,
    ∴函数图像上存在“青竹点”和,故答案为:√;
    ③令,方程无解,
    ∴函数图像上不存在“青竹点”,故答案为:×;
    (2)解:由题意得,
    整理,得,
    ∵抛物线(m为常数)上存在两个不同的“青竹点”,
    ∴,
    解得;
    (3)解:由题意得
    整理,得
    ∵函数的图像上存在唯一的一个“青竹点”,

    整理,得
    ∴当时,a的最小值为,
    ∵当时,a的最小值为c,

    ∴,
    【点睛】本题属于函数背景下新定义问题,主要考查二次函数的性质,二次函数与一元二次方程的关系,解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系,掌握二次函数与方程的关系,一元二次方程根的判别式.
    5.(2023春·江苏泰州·九年级统考期中)定义:两个二次项系数之和为,对称轴相同,且图像与轴交点也相同的二次函数互为友好同轴二次函数.例如:的友好同轴二次函数为.
    (1)函数的友好同轴二次函数为 .
    (2)当时,函数 的友好同轴二次函数有最大值为,求的值.
    (3)已知点分别在二次函数及其友好同轴二次函数的图像上,比较的大小,并说明理由.
    【答案】(1);
    (2);
    (3)当时,;当时,;当时,
    【分析】(1)根据友好同轴二次函数的定义,找出的友好同轴二次函数即可;
    (2)根据友好同轴二次函数的定义,找出的友好同轴二次函数,判断函数图像开口方向,利用函数的对称轴和自变量范围进行最大值讨论;
    (3)先根据友好同轴二次函数的定义,找出的友好同轴二次函数,再把两点代入,作差后比较大小,为含参数的二次不等式,求解的范围即可.
    【详解】(1)设友好同轴二次函数为,
    由函数可知,
    对称轴为直线,与轴交点为,
    ,,对称轴为直线,

    友好同轴二次函数为;
    (2)由函数 可求得,
    该函数的友好同轴二次函数为;
    ①当时,时,,
    解得:;
    ②当时,时,,
    解得:;
    综上所述,;
    (3)由函数可求得,
    该函数的友好同轴二次函数为,
    把分别代入可得,
    ,,
    则,


    ①当时,,即,

    解得:;
    ②当时,,即,

    解得:;
    ③当时,,即,

    解得:;
    综上所述,当时,;
    当时,;
    当时,.
    【点睛】本题考查二次函数的性质以及新定义问题,掌握二次函数的基本性质以及研究手段,准确根据题意求出符合要求的友好同轴二次函数是解题关键.
    6.(2023春·浙江金华·九年级校考期中)定义:若抛物线y=ax2+bx+c与x轴两交点间的距离为4,称此抛物线为定弦抛物线.
    (1)判断抛物线y=x2+2x﹣3是否是定弦抛物线,请说明理由;
    (2)当一定弦抛物线的对称轴为直线x=1,且它的图像与坐标轴的交点间的连线所围成的图形是直角三角形,求该抛物线的表达式;
    (3)若定弦抛物线y=x2+bx+c(b<0)与x轴交于A、B两点(A在B左边),当2≤x≤4时,该抛物线的最大值与最小值之差等于OB之间的距离,求b的值.
    【答案】(1)是定弦抛物线,理由见解析
    (2)或
    (3)b=﹣4或
    【分析】(1)令y=0,求出与x轴的交点坐标,可判断;
    (2)分开口向上向下讨论,利用定弦抛物线的定义和对称轴可求出与x轴交点坐标,用相似求出与y轴交点坐标,代入可得答案;
    (3)根据对称轴和所给范围分情况讨论即可.
    【详解】(1)解:当y=0时,x2+2x﹣3=0,
    解得:x1=1,x2=﹣3,
    则|x1 -x2|=4,
    即该抛物线是定弦抛物线;
    (2):当该抛物线开口向下时,如图所示.
    ∵该定弦抛物线的对称轴为直线x=1,


    解得:
    ∴ C(﹣1,0),D(3,0),
    ∵△CED为直角三角形
    ∴由题意可得∠CED=90°,
    ∵EO⊥CD,
    ∴△CEO∽△EDO,
    ∴OE2=OC·OD=3,
    ∴E(0,)
    设该定弦抛物线表达式为,
    把E(0,)代入求得
    ∴该定弦抛物线表达式为,
    当该抛物线开口向上时,
    同理可得该定弦抛物线表达式为,
    ∴综上所述,该定弦抛物线表达式为或;
    (3)解:若≤ 2,则在2≤ x ≤4中,
    当x=4时该定弦抛物线取最大值,当x=2时该定弦抛物线取最小值.
    ∴l6+4b+c-(4+2b+c)=+2,
    解得:b=﹣4,
    ∵≤ 2,
    ∴b≥﹣4,即b=﹣4,
    若≤ 3,则在2≤x≤4中,
    当x=4时该定弦抛物线取最大值,当x=时该定弦抛物线取最小值.
    ∴16+4b+c﹣=+2,
    解得:b1=﹣4,b2=﹣14,
    ∵2≤≤3,
    ∴﹣6≤ b≤﹣4,
    ∴b1=﹣4,b2=﹣14(舍去),
    若≤ 4,则在2≤ x ≤4中,
    当x=2时该定弦抛物线取最大值,当x=时该定弦抛物线取最小值.
    ∴4+2b+c﹣=+2,
    解得:b=﹣5,
    ∵≤4,
    ∴﹣8≤ b<﹣6,
    ∴b=﹣5不合题意,舍去,
    若>4,则在2≤ x≤ 4中,
    当x=2时该定弦抛物线取最大值,当x=4时该定弦抛物线取最小值.
    ∴4+2b+c-(16+4b+c)=+2,
    解得:b=-,
    ∵>4,
    ∴b<﹣8,
    ∴ b=﹣,
    ∴综上所述b=﹣4或.
    【点睛】本题考查了二次函数的综合性质,包括与x轴交点问题,最值问题,以及和相似的结合,准确地理解定弦抛物线的定义以及分类讨论是解决本题的关键.
    7.(2023春·浙江·九年级期末)定义:若抛物线与抛物线.同时满足且,则称这两条抛物线是一对“共轭抛物线”.
    (1)已知抛物线与是一对共轭抛物线,求的解析式;
    (2)如图1,将一副边长为的正方形七巧板拼成图2的形式,若以BC中点为原点,直线BC为x轴建立平面直角坐标系,设经过点A,E,D的抛物线为,经过A、B、C的抛物线为,请立接写出、的解析式并判断它们是否为一对共轭抛物线.
    【答案】(1)
    (2),,、是一对共轭抛物线
    【分析】(1)将化作顶点式,可求出,和的值,根据“共轭抛物线”的定义可求出,和的值,进而求出的解析式;
    (2)根据七巧板各个图形之间的关系可求出各个图形的边长,进而可表示点,,,,的坐标,分别求出和的解析式,再根据“共轭抛物线”的定义可求解.
    【详解】(1)解: ,
    ∴,,,
    ∵抛物线与是一对共轭抛物线,
    ∴,且,

    (2)解:如图,
    由题意得,,则,,,,,
    ∵点为的中点,∴,
    ∴,,,,,
    ∴可设抛物线,与抛物线,
    ∴,,解得:,,
    ∴抛物线,
    抛物线,
    ∴,,,,,,
    ∵,,
    ∴满足且,
    ∴、是一对共轭抛物线.
    【点睛】本题属于二次函数的新定义类问题,主要考查利用待定系数法求函数表达式,二次函数的顶点式,一般式及交点式三种方式的变换,熟知相关运算是解题关键.
    8.(2023春·湖南长沙·九年级校联考期末)定义:如果抛物线与轴交于点,,那么我们把线段叫做雅礼弦,两点之间的距离称为抛物线的雅礼弦长.
    (1)求抛物线的雅礼弦长;
    (2)求抛物线的雅礼弦长的取值范围;
    (3)设,为正整数,且,抛物线的雅礼弦长为,抛物线的雅礼弦长为,,试求出与之间的函数关系式,若不论为何值,恒成立,求,的值.
    【答案】(1)4
    (2)
    (3),或,
    【分析】(1)根据定义求得抛物线与x轴的交点坐标即可求解;
    (2)根据(1)的方法求得,根据的范围,即可求解.
    (3)根据题意,分别求得,根据,求得出与之间的函数关系式,根据恒成立,可得,根据,为正整数,且,即可求解.
    【详解】(1)解:,

    ,,
    雅礼弦长;
    (2),,

    ,,


    当时,最小值为,
    当时,最大值小于,

    (3)由题意,令,
    ,,
    则,
    同理,


    要不论为何值,恒成立,
    即:恒成立,
    由题意得:,,
    解得:,
    ,为正整数,且,
    则,或,.
    【点睛】本题考查了抛物线与坐标轴交点问题,一元二次方程根与系数的关系,综合运用以上知识是解题的关键.
    9.(2023春·河南濮阳·九年级统考期中)小明在课外学习时遇到这样一个问题:定义:如果二次函数y=a1x2+b1x+c1(a1≠0)与y=a2x2+b2x+c2(a2≠0)满足a1+a2=0,b1=b2,c1+c2=0,则称这两个函数互为“旋转函数”.求函数y=x2-3x-2的“旋转函数”.
    小明是这样思考的:由函数y=x2-3x-2可知,a1=1,b1=-3,c1=-2,根据a1+a2=0,b1=b2,c1+c2=0,求出a2,b2,c2,就能确定这个函数的“旋转函数”.
    请参考小明的方法解决下面问题:
    (1)直接写出函数y=x2-3x-2的“旋转函数” ;
    (2)若函数与y=x2-2nx+n互为“旋转函数”,求(m+n)2020的值;
    (3)已知函数的图象与x轴交于点A、B两点(A在B的左边),与y轴交于点C,点A、B、C关于原点的对称点分别是A1,B1,C1,试证明经过点A1,B1,C1的二次函数与函数互为“旋转函数”
    【答案】(1)y=-x2-3x+2;
    (2)1
    (3)见解析
    【分析】(1)根据y=a1x2+b1x+c1(a1≠0,a1,b1,c1是常数)与y=a2x2+b2x+c2(a2≠0,a2,b2,c2是常数)满足a1+a2=0,b1=b2,c1+c2=0,则称这两个函数互为“旋转函数”,可得a2,b2,c2,可得旋转函数;
    (2)根据y=a1x2+b1x+c1(a1≠0,a1,b1,c1是常数)与y=a2x2+b2x+c2(a2≠0,a2,b2,c2是常数)满足a1+a2=0,b1=b2,c1+c2=0,则称这两个函数互为“旋转函数”,可得a2,b2,c2,根据负数奇数次幂是负数,可得答案;
    (3)根据自变量与函数值的对应关系,可得A、B、C的坐标,根据关于原点对称的点横坐标互为相反数,纵坐标互为相反数,可得A1,B1,C1,根据待定系数法,可得函数解析式;根据y=a1x2+b1x+c1(a1≠0,a1,b1,c1是常数)与y=a2x2+b2x+c2(a2≠0,a2,b2,c2是常数)满足a1+a2=0,b1=b2,c1+c2=0,则称这两个函数互为“旋转函数”,可得a2,b2,c2,可得旋转函数.
    【详解】(1)解:由y=x2-3x-2函数可知a1=1,b1=-3,c1=−2.
    由a1+a2=0,b1=b2,c1+c2=0,得
    a2=-1,b2=-3,c2=2.
    函数y=x2+3x−2的“旋转函数”为y=-x2-3x+2;
    (2)由与y=x2−2nx+n互为“旋转函数“,
    得−2n=,−2+n=0.
    解得n=2,m=−3.
    当m=2,n=−3时,(m+n)2020=(2−3)2020=(−1)2020=1;
    (3)∵当y=0时,,解得x=−1,x=4,
    ∴A(−1,0),B(4,0).
    当x=0时,y=×(−4)=-2,即C(0,-2).
    由点A,B,C关于原点的对称点分别是A1,B1,C1,
    得A1(1,0),B1(−4,0),C1(0,2).
    设过点A1,B1,C1的二次函数y=a,将C1(0,2)代入,
    解得,
    ∴过点A1,B1,C1的二次函数

    ∴a1+a2=0,b1=b2,c1+c2=0,
    ∴经过点A1、B1、C1的二次函数与函数互为“旋转函数”.
    【点睛】本题考查了二次函数的综合题:熟练掌握关于原点对称的两点的坐标特征;会求二次函数图象与坐标轴的交点和待定系数法求二次函数解析式;对新定义的理解能力.
    10.(2023春·山西大同·九年级统考期中)请阅读下列材料,并完成相应的任务:
    定义:我们把自变量为的二次函数与(,)称为一对“亲密函数”,如的“亲密函数”是.
    任务:
    (1)写出二次函数的“亲密函数”:______;
    (2)二次函数的图像与轴交点的横坐标为1和,它的“亲密函数”的图像与轴交点的横坐标为______,猜想二次函数()的图像与轴交点的横坐标与其“亲密函数”的图像与轴交点的横坐标之间的关系是______;
    (3)二次函数的图像与轴交点的横坐标为1和,请利用(2)中的结论直接写出二次函数的图像与轴交点的横坐标.
    【答案】(1);(2)4和-1;互为相反数;(3)二次函数的图像与轴交点的横坐标为和
    【分析】(1)根据二次函数的“亲密函数”定义把一次项系数变为相反数即可;
    (2)利用“亲密函数”建立y=0时方程,解方程,得出“亲密函数”与x轴交点横坐标,与原函数与x轴交点横坐标比较,得出规律即可;
    (3)先将函数变形,发现与“亲密函数”类似,根据原函数与x轴交点横坐标得出“亲密函数”与x轴交点横坐标,利用2x等于交点横坐标,求出x得出所求函数与x轴的交点横坐标即可.
    【详解】解:(1)二次函数的“亲密函数”为,
    故答案为:;
    (2),解得,
    它的“亲密函数”的图像与轴交点的横坐标为4和-1,
    ∴二次函数()的图像与轴交点的横坐标与其“亲密函数”的图像与轴交点的横坐标之间的关系是互为相反数;
    故答案为4和-1;互为相反数;
    (3),
    ∵二次函数的图像与轴交点的横坐标为1和,
    ∴二次函数的图像与轴交点的横坐标为-1和,
    ∴图像与轴交点的横坐标为-1和,
    ∴2x=-1,2x=2021,
    ∴,,
    ∴二次函数的图像与轴交点的横坐标为和.
    【点睛】本题考查新定义函数,仔细阅读题目,抓住实质,抛物线与x轴交点横坐标和一元二次方程的根,利用“亲密函数”变形得出新函数图像与x轴的交点横坐标是解题关键.
    【类型2 二次函数与一次函数综合问题中的新定义问题】
    1.(2023春·九年级课时练习)定义:由a,b构造的二次函数叫做一次函数y=ax+b的“滋生函数”,一次函数y=ax+b叫做二次函数的“本源函数”(a,b为常数,且).若一次函数y=ax+b的“滋生函数”是,那么二次函数的“本源函数”是 .
    【答案】
    【分析】由“滋生函数”和“本源函数”的定义,运用待定系数法求出函数的本源函数.
    【详解】解:由题意得
    解得
    ∴函数的本源函数是.
    故答案为:.
    【点睛】本题考查新定义运算下的一次函数和二次函数的应用,解题关键是充分理解新定义“本源函数”.
    2.(2023春·浙江湖州·九年级统考期中)定义:如果函数图象上存在横、纵坐标相等的点,则称该点为函数的不动点.例如,点是函数的不动点.已知二次函数(是实数).
    (1)若点是该二次函数的一个不动点,求的值;
    (2)若该二次函数始终存在不动点,求的取值范围.
    【答案】(1)或
    (2)
    【分析】(1)根据“不动点”定义,建立方程求解即可;
    (2)根据不动点的定义求出函数,再根据判别式计算即可.
    【详解】(1)解:依题意把点代入解析式,
    得,化简得:,解得:;
    (2)解:设点是函数的一个不动点,
    则有,化简得,,
    关于的方程有实数解,
    ,解得:.
    【点睛】本题考查了二次函数与新定义“不动点”应用,涉及解一元二次方程、一元二次方程根的情况与判别式等知识,解题的关键是理解并利用新定义解决问题.
    3.(2023·安徽·模拟预测)已知函数与函数,定义“和函数”.
    (1)若,则“和函数” ;
    (2)若“和函数”为,则 , ;
    (3)若该“和函数”的顶点在直线上,求.
    【答案】(1).
    (2),.
    (3)或.
    【分析】(1)将代入函数中得出函数,再利用即可得出结论;
    (2)的解析式为,又, 利用两者相等即可得出结论;
    (3)先得出和函数,进而根据顶点在直线上得出,即可得出结论.
    【详解】(1)解:当时,,
    ∵函数,此时和函数,
    ∴,
    故答案为:.
    (2)解:∵函数与函数,和函数,
    ∴和函数的解析式为,
    ∵和函数的解析式为,
    ∴,,
    ∴,,
    故答案为:,.
    (3)解:由题意得和函数为


    ∴和函数的顶点为,
    ∵和函数的顶点在上,
    ∴,
    整理得,
    解得,.
    故答案为:或.
    【点睛】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的顶点坐标、二次函数的性质,熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键.
    4.(2023·北京·模拟预测)城市的许多街道是相互垂直或平行的,因此,往往不能沿直线行走到达目的地,只能按直角拐弯的方式行走.可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系,对两点和,用以下方式定义两点间距离:.
    (1)①已知点,则______.
    ②函数的图象如图①所示,是图象上一点,,求点的坐标.
    (2)函数的图象如图②所示,是图象上一点,求的最小值及对应的点的坐标.
    【答案】(1)①,②
    (2),
    【分析】(1)①根据公式直接计算即可;②根据函数的图象上的点的横纵坐标均非负,可得,,,再根据,可得,即有,进而可得,解方程即可求解;
    (2)函数化为顶点式为:,即可得,,根据点是图象上一点,可得,,,则有,即可得,问题随之得解.
    【详解】(1)①∵,,
    ∴,
    故答案为:;
    ②∵点B是函数的图象点,
    ∵函数的图象上的点的横纵坐标均非负,
    ∴,,,
    ∵,
    ∴,
    ∴,
    ∵,
    ∴,
    解得:,
    ∴B点坐标为:,
    (2)函数化为顶点式为:,
    ∴,
    ∵,点是图象上一点,
    ∴,,,
    ∴,
    ∴,
    ∴,
    ∴当时,有最小值,最小值为,
    ∴,
    ∴D点坐标为:,
    即最小值为3,D点坐标为.
    【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质,充分理解定义的两点间距离:,是解答本题的关键.
    5.(2023春·上海·九年级上海市民办新复兴初级中学校考期中)我们定义【,,】为函数的“特征数”,如:函数的“特征数”是【2,,5】,函数的“特征数”是【0,1,2】
    (1)若一个函数的“特征数”是【1,,1】,将此函数图像先向左平移2个单位,再向上平移1个单位,得到一个图像对应的函数“特征数”是______;
    (2)将“特征数”是【0,,】的图像向上平移2个单位,得到一个新函数,这个函数的解析式是______;
    (3)在(2)中,平移前后的两个函数图像分别与轴交于A、两点,与直线分别交于、两点,在给出的平面直角坐标系中画出图形,并求出以A、、、四点为顶点的四边形的面积;
    (4)若(3)中的四边形与“特征数”是【1,,】的函数图像有交点,求满足条件的实数的取值范围.
    【答案】(1)【1,0,】
    (2)
    (3)图见解析;面积为
    (4)
    【分析】(1)由已知可知,平移后的函数为,则可求“特征数”;
    (2)由已知可知函数为,平移后函数为;
    (3)令,求出,令,求出,,则,又由,可判断四边形是菱形;然后结合图形求面积即可;
    (4)由已知可得,则函数与AD边无交点,只能与BC边有交点,将代入函数,将代入函数求解即可得出结果.
    【详解】(1)解:∵函数的特征数是【1,,1】,
    ∴函数为,
    将函数向左平移2个单位,再向上平移1个单位得到,
    ∴函数的“特征数”是【1,0,】.
    故答案为:【1,0,】.
    (2)∵函数的“特征数”是【0,,】,
    ∴,
    ∵函数图象向上平移2个单位,
    ∴平移后函数为.
    故答案为:.
    (3)解:令,则,
    ∴,
    令,则,,
    ∴,,
    ∵,,
    ∴四边形是平行四边形,
    ∵,
    ∴四边形是菱形.

    (4)∵函数的“特征数”是【1,,】,
    ∴,
    ∴由函数图象得:函数与AD边无交点,
    ∴函数与BC边有交点,
    将代入函数得:,
    将代入函数得:,
    ∴.
    【点睛】本题考查二次函数的综合、新定义,函数的平移,理解定义,能将定义与所学函数知识结合是解题的关键.
    6.(2023春·福建龙岩·九年级校考期末)定义:对于给定的两个函数,任取自变量x的一个值,当x<0时,它们对应的函数值互为相反数;当x≥0时,它们对应的函数值相等.我们称这样的两个函数互为相关函数.例如:一次函数,它的相关函数为
    (1)已知点A(-2,1)在一次函数的相关函数的图象上时,求a的值.
    (2)已知二次函数.当点B(m,)在这个函数的相关函数的图象上时,求m的值.
    【答案】(1)a=-1;
    (2)m=2-或m=3或m=1.
    【分析】(1)函数y=ax-3的相关函数为y=,将点A(-2,1)代入y=-ax+3即可求解;
    (2)当m<0时,将B(m,)代入y=x2-4x+得m2-4m+=,可求得m的值;当m≥0时,将B(m,)代入y=-x2+4x-得:-m2+4m-=,可求得m的值.
    (1)
    解:函数y=ax-3的相关函数为y=,
    将点A(-2,1)代入y=-ax+3得:2a+3=1,解得:a=-1;
    (2)
    解:二次函数y=-x2+4x-的相关函数为y=,
    ①当m<0时,将B(m,)代入y=x2-4x+得m2-4m+=,
    解得:m=2+(舍去)或m=2-;
    ②当m≥0时,将B(m,)代入y=-x2+4x-得:-m2+4m-=,
    解得:m=3或m=1.
    综上所述:m=2-或m=3或m=1.
    【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用,解答本题主要应用了二次函数的图象和性质、函数图象上点的坐标与函数解析式的关系,理解互为相关函数的概念是解题的关键.
    7.(2023春·江苏南通·九年级统考期末)定义:若图形与图形有且只有两个公共点,则称图形与图形互为“双联图形”,即图形是图形的“双联图形”,图形是图形的“双联图形”.
    (1)若直线与抛物线互为“双联图形”,且直线不是双曲线的“双联图形”,求实数的取值范围;
    (2)如图2,已知,,三点.若二次函数的图象与互为“双联图形”,直接写出的取值范围.
    【答案】(1)的取值范围是
    (2)或
    【分析】(1)已知直线与抛物线有且只有两个公共点,
    ∴将代入抛物线中,得,
    配方得,
    ∵方程有实数解,
    ∴即
    又直线不是双曲线的“双联图形”,
    ∴直线与双曲线最多有一个公共点,
    即当时,代入得,,即,
    ∴实数的取值范围是;
    (2)∵是二次函数,

    ∵二次函数的顶点坐标为(-1,3),且对称轴为直线x=-1,
    ∴当时,二次函数的图象与的图象没有交点,
    ∴不成立;
    当时,二次函数的图象开口向下,为使它与互为双联图形,即有且只有两个公共点,
    ∴①当抛物线与AC和AB相交时,设直线BC的解析式为y=mx+n,
    把C(1,4),B(4,0)代入,得

    ∴,
    ∴y=-x+4,
    ∵抛物线与BC不想交,
    ∴,即ax2+(2a+1)x+a-1=0无实数根,
    ∴(2a+1)2-4a(a-1)<0,
    解得a<,
    又当时,要满足,相当于,所以;
    ∴;
    ②当抛物线与AC和BC相交时,
    当x=4时,要满足,相当于,所以,,
    ∴;
    综上,a的取值范围为:或
    8.(2023春·北京·九年级北京市第三中学校考期中)定义:在平面直角坐标系中,图形G上点P(x,y)的纵坐标y与其横坐标x的差y﹣x称为P点的“坐标差”,而图形G上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形G的“特征值”.
    (1)①点A(1,3)的“坐标差”为 ;
    ②抛物线y=﹣x2+3x+3的“特征值”为 ;
    (2)某二次函数y=﹣x2+bx+c(c≠0)的“特征值”为1,点B(m,0)与点C分别是此二次函数的图象与x轴和y轴的交点,且点B与点C的“坐标差”相等.
    ①直接写出m= ;(用含c的式子表示)
    ②求b的值.
    【答案】(1)①2;②5;(2)①m=-c;②或.
    【分析】(1)①由题中所给“坐标差”的定义即可得到点A(1,3)的坐标差.
    ②由坐标差的定义可得:二次函数y=-x2+3x+4图象上点的坐标差为:y-x=-x2+3x+4-x=-x2+2x+4,将此关系式配方即可求得y-x的最大值,从而得到抛物线y=-x2+3x+4的“特征值”.
    (2)①由题意可得:0-m=c-0,由此可得:m=-c.
    ②由m=-c可得点B的坐标为(-c,0),把点B的坐标代入y=x2+bx+c(c≠0)中可得c(c-b+1)=0,由c≠0可得c-b+1=0,即b=c+1,再由y-x=-x2+(b-1)x+c.
    (c≠0)的特征值为1可得:=1,两者即可解得b和c的值.
    【详解】解:(1)①根据图形G上点P(x,y)的纵坐标y与其横坐标x的差y﹣x称为P点的“坐标差”,
    点A(1,3)的“坐标差”为3-1=2,
    故答案为2;
    ②抛物线y=﹣x2+3x+4的“特征值”为-x2+3x+4-x
    -x2+3x+4-x=-x2+2x+4=-(x2-2x+1-1)+4=-(x-1)2+5,
    所以抛物线y=﹣x2+3x+4的“特征值”为5.
    故答案为5;
    (2)①∵点C是此二次函数的图象与y轴的交点,
    ∴C(0,c),
    ∵ B(m,0),点B与点C的“坐标差”相等.
    ∴c-0=0-m
    ∴m=-c,
    故答案为:m=-c.
    ②∵m=-c
    ∴B(-c,0)
    将其代入 y=-x2+bx+c中,
    得-c2-bc+c=0
    ∵c≠0
    ∴-c-b+1=0
    ∴b=-c+1①
    ∴其“坐标差”为:y-x=-x2+bx+c-x=-x2+(b-1)x+c.
    ∴y-x=-x2+(b-1)x+c=-[ x-()]2+
    ∵“特征值”为1.
    ∴=1②.
    将①代入②中,
    解得c=-2,
    当,,
    当,.
    【点睛】本题考查新定义“坐标差”“特征值”,仔细阅读,掌握新定义的特征,二次函数的性质,一元二次方程的解法,解题的解题关键是能够正确利用题意进行计算,正确利用“特征值”的定义计算.
    9.(2023春·北京·九年级人大附中校考期中)对某一个函数给出如下定义:若存在实数,对于任意的函数值,都满足,则称这个函数是有界函数,在所有满足条件的中,其最小值称为这个函数的边界值.例如,如图中的函数是有界函数,其边界值是.
    (1)直接写出有界函数的边界值;
    (2)已知函数是有界函数,且边界值为3,直接写出的最大值;
    (3)将函数的图象向下平移个单位,得到的函数的边界值是,直接写出的取值范围,使得.
    【答案】(1)
    (2)
    (3)或
    【分析】(1)先分别代入解析式,计算对应的函数值,再根据有界函数的定义确定边界值即可.
    (2)根据新定义可得当最大时的顶点在上,求得此时与的交点的线段长,即为所求;
    (3)分两种情况根据新定义分析即可.
    【详解】(1)解:解析式为,
    当时,;
    当时,;
    因为,
    根据定义可得
    所以函数的边界值是.
    (2)解:∵函数是有界函数,且边界值为3,
    ∴开口向上,
    如图,当最大时,的顶点在上,此时的长最大,
    设,
    当时,,
    解得:,
    ∴,
    即的最大值为.
    (3)解:∵函数的图象向下平移个单位,
    所以解析式为,
    当时,函数值为,是函数的最小值,
    当时,函数值为,
    所以边界值,与矛盾,
    所以不成立;
    当时,
    当时,函数,函数过点,此时函数有最小值,
    当时,函数,函数过点,
    当函数向下平移个单位后,两个点的坐标变为,,
    ∵函数的边界值是满足,
    ∴或
    解得或,
    故当或时,满足.
    【点睛】本题考查了一次函数的性质、二次函数的性质、有界函数的定义以及解一元一次不等式组,解题的关键是理解新定义,列出不等式.
    10.(2023春·湖南长沙·九年级校考期中)若定义:若一个函数图像上存在纵坐标是横坐标2倍的点,则把该函数称为“明德函数”,该点称为“明德点”,例如:“明德函数”,其“明德点”为(1,2).
    (1)①判断:函数 __________ “明德函数”(填“是”或“不是”);
    ②函数的图像上的明德点是 ___________;
    (2)若抛物线上有两个“明德点”,求m的取值范围;
    (3)若函数的图像上存在唯一的一个“明德点”,且当时,的最小值为,求的值.
    【答案】(1)①不是;②(2,4)
    (2)或,且
    (3)或
    【分析】(1)根据定义,即可得到结果;
    (2)根据抛物线上有两个“明德点”,可知,得到,求解一元二次不等式方程即可;
    (3)若函数的图像上存在唯一的一个“明德点”,可知 ,得到方程,再进行分类讨论即可求出值.
    【详解】(1)①时无解,
    不是“明德函数”;
    ②根据定义,
    解得:,(舍去),
    明德点是(2,4);
    (2)抛物线是“明德函数”,

    整理得:,
    抛物线上有两个“明德点”,

    即,
    解得:或,


    的取值范围为或且;
    (3)函数的图像上存在唯一的一个“明德点”,
    ,且,

    即,

    是关于的二次函数,对称轴为,
    ①若,则当,时,有最小值,
    ,即,
    解得:或(舍去);
    ②若 ,则当时,有最小值,
    ,即,

    方程没有实数根;
    ③若,则当时,有最小值,

    解得,
    综上可知:或.
    【点睛】本题考查二次函数的综合应用,理解新定义,将新定义与所学二次函数,一元二次方程的知识相结合,熟练掌握跟与系数关系是解题关键.
    【类型3 二次函数与几何图形综合问题中的新定义问题】
    1.(2023春·四川绵阳·九年级统考期末)定义:我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”.如图,在正方形中,点,点,则互异二次函数与正方形有交点时的最大值和最小值分别是( )
    A.4,-1B.,-1C.4,0D.,-1
    【答案】D
    【分析】分别讨论当对称轴位于y轴左侧、位于y轴与正方形对称轴x=1之间、位于直线x=1和x=2之间、位于直线x=2右侧共四种情况,列出它们有交点时满足的条件,得到关于m的不等式组,求解即可.
    【详解】解:由正方形的性质可知:B(2,2);
    若二次函数与正方形有交点,则共有以下四种情况:
    当时,则当A点在抛物线上或上方时,它们有交点,此时有,
    解得:;
    当时,则当C点在抛物线上或下方时,它们有交点,此时有,
    解得:;
    当时,则当O点位于抛物线上或下方时,它们有交点,此时有,
    解得:;
    当时,则当O点在抛物线上或下方且B点在抛物线上或上方时,它们才有交点,此时有,
    解得:;
    综上可得:的最大值和最小值分别是,.
    故选:D.
    【点睛】本题考查了抛物线与正方形的交点问题,涉及到列一元一次不等式组等内容,解决本题的关键是能根据图像分析交点情况,并进行分类讨论,本题综合性较强,需要一定的分析能力与图形感知力,因此对学生的思维要求较高,本题蕴含了分类讨论和数形结合的思想方法等.
    2.(2023春·山东济南·九年级统考期末)定义:关于x轴对称且对称轴相同的两条抛物线叫作“同轴对称抛物线”.例如:y1=(x﹣1)2﹣2的“同轴对称抛物线”为y2=﹣(x﹣1)2+2.
    (1)请写出抛物线y1=(x﹣1)2﹣2的顶点坐标 ;及其“同轴对称抛物线”y2=﹣(x﹣1)2+2的顶点坐标 ;
    (2)求抛物线y=﹣2x2+4x+3的“同轴对称抛物线”的解析式.
    (3)如图,在平面直角坐标系中,点B是抛物线L:y=ax2﹣4ax+1上一点,点B的横坐标为1,过点B作x轴的垂线,交抛物线L的“同轴对称抛物线”于点C,分别作点B、C关于抛物线对称轴对称的点、,连接BC、、、.
    ①当四边形为正方形时,求a的值.
    ②当抛物线L与其“同轴对称抛物线”围成的封闭区域内(不包括边界)共有11个横、纵坐标均为整数的点时,直接写出a的取值范围.
    【答案】(1)(1,﹣2),(1,2);(2)y=2(x﹣1)2﹣5;(3)①a=;②≤a≤1或﹣≤a<﹣
    【分析】(1)根据顶点式y=a(x﹣h)2+k的顶点坐标为(h,k);
    (2)先化成顶点式,再求“同轴对称抛物线”的解析式;
    (3)①写出点B的坐标,再由对称轴求出点B',然后结合正方形的性质列出方程求 a;
    ②先由对称性分析得到封闭区域内在x轴上整点的个数,然后针对抛物线L开口的不同进行分类讨论.
    【详解】解:(1)由y1=(x﹣1)2﹣2知顶点坐标为(1,﹣2),
    由y2=﹣(x﹣1)2+2知顶点坐标为(1,2),
    故答案为:(1,﹣2),(1,2).
    (2)∵y=﹣2x2+4x+3y=﹣2(x﹣1)2+5,
    ∴“同轴对称抛物线”的解析式为:y=2(x﹣1)2﹣5.
    (3)①当x=1时,y=1﹣3a,
    ∴B(1,1﹣3a),
    ∴C(1,3a﹣1),
    ∴BC=|1﹣3a﹣(3a﹣1)|=|2﹣6a|,
    ∵抛物线L的对称轴为直线x==2,
    ∴点B'(3,1﹣3a),
    ∴BB'=3﹣1=2,
    ∵四边形BB'C'C是正方形,
    ∴BC=BB',即|2﹣6a|=2,
    解得:a=0(舍)或a=.
    ②抛物线L的对称轴为直线x=2,顶点坐标为(2,1﹣4a),
    ∵L与“同轴对称抛物线”关于x轴对称,
    ∴整点数也是关于x轴对称出现的,
    ∴封闭区域内在x轴上的整点可以是3个或5个,L与x轴围成的区域内整点个数为4个或3个,
    (i)当a>0时,
    ∵L开口向上,与y轴交于点(0,1),
    ∴封闭区域内在x轴上只可能有3个整点,两个区域内各有4个整点,
    ∴当x=1时,﹣2≤1﹣3a<﹣1,当x=2时,﹣3≤1﹣4a<﹣2,
    解得:≤a≤1;
    (ii)当a<0时,
    ∵L开口向下,与y轴交于点(0,1),
    ∴封闭区域内在x轴上只可能有5个整点,两个区域内各有3个整点,
    ∴当x=2时,1<1﹣4a≤2,当x=﹣1时,5a+1<0,
    解得:,
    综上所述:≤a≤1或﹣≤a<﹣.
    【点睛】此题借助二次函数考查正方形的性质,根据二次函数顶点式找顶点坐标,及新定义“同轴对称抛物线”.
    3.(2023春·北京门头沟·九年级大峪中学校考期中)定义:对于平面直角坐标系上的点和抛物线,我们称是抛物线的相伴点,抛物线是点的相伴抛物线.如图,已知点,,.
    (1)点的相伴抛物线的解析式为______;过,两点的抛物线的相伴点坐标为______;
    (2)设点 在直线上运动:
    ①点的相伴抛物线的顶点都在同一条抛物线上,求抛物线的解析式.
    ②当点的相伴抛物线的顶点落在内部时,请直接写出的取值范围.
    【答案】(1),;(2)①抛物线的解析式为:;②
    【分析】(1)a=b=2,故抛物线的表达式为:y=x2-2x-2,故答案为:y=x2-2x-2;将点A、B坐标代入y=x2+ax+b并解得:a=-2,b=-10;
    (2)①直线AC的表达式为:y=2x+2,设点P(m,2m+2),则抛物线的表达式为:y=x2+mx+2m+2,顶点为:(m,m2+2m+2),即可求解;
    ②如图所示,Ω抛物线落在△ABC内部为EF段,即可求解.
    【详解】解:(1),
    故抛物线的表达式为:.
    故答案为:;
    将点、坐标代入得:

    解得:,.
    故答案为:;
    (2)①由点、的坐标得:直线的表达式为:,
    设点,则抛物线的表达式为:,
    顶点为:,
    令,则,

    即抛物线的解析式为:;
    ②如图所示,抛物线落在内部为段,
    抛物线与直线的交点为点;
    当时,即,解得:
    故点;
    故,由①知:,
    故:.
    【点睛】本题考查的是二次函数综合运用,涉及到一次函数的性质、解不等式等,这种新定义类题目,通常按照题设的顺序逐次求解.
    4.(2023春·浙江绍兴·九年级校联考期中)定义:如图1,抛物线与x轴交于A,B两点,点P在该抛物线上(P点与A. B两点不重合),如果△ABP中PA与PB两条边的三边满足其中一边是另一边倍,则称点P为抛物线的“好”点.
    (1)命题:P(0,3)是抛物线的“好”点.该命题是_____( 真或假)命题.
    (2)如图2,已知抛物线C:与轴交于A,B两点,点P(1,2)是抛物线C的“好”点,求抛物线C的函数表达式.
    (3)在(2)的条件下,点Q在抛物线C上,求满足条件S△ABQ=S△ABP的Q点(异于点P)的坐标.
    【答案】(1)假;(2);(3),.
    【分析】(1),则或,即点、的坐标分别为:、,即可求解;
    (2)分、两种情况,分别求解即可;
    (3),则点、关于抛物线对称轴对称,即可求解.
    【详解】解:(1)令,则或,即点、的坐标分别为:、,
    则,,
    则与两条边满足其中一边是另一边的倍,则该命题是假命题,
    故答案为:假;
    (2)将点的坐标代入抛物线表达式得:,
    点,则点,,点,
    则,,
    ①当时,
    即,解得:方程无解;
    ②当时,

    解得:,则,
    故抛物线的表达式为:;
    (3),则点、关于抛物线对称轴对称,
    函数的对称轴为:,
    则点的坐标为:,.
    【点睛】本题考查的是二次函数综合运用,这种新定义类的题目,通常按照题设的顺序逐次求解,其中(2),要注意分类求解,避免遗漏.
    5.(2023·安徽安庆·九年级统考期末)在平面直角坐标系中,我们定义直线y=ax-a为抛物线y=ax2+bx+c(a、b、c为常数,a≠0)的“梦想直线”;有一个顶点在抛物线上,另有一个顶点在y轴上的三角形为其“梦想三角形”.已知抛物线y=-与其“梦想直线”交于A、B两点(点A在点B的左侧),与x轴负半轴交于点C.
    (1)填空:该抛物线的“梦想直线”的解析式为______,点A的坐标为______,点B的坐标为______.
    (2)如图,点M为线段CB上一动点,将△ACM以AM所在直线为对称轴翻折,点C的对称点为N,若△AMN为该抛物线的“梦想三角形”,求点M的坐标.

    【答案】(1)y=-x+;(-2,2);(1,0);(2)N点坐标为(0,2-3)或(,)
    【分析】(1)由“梦想直线”的定义可求得其解析式,联立直线与抛物线的解析式可求得A,B的坐标;
    (2)根据“梦想三角形”的定义,分当点N在y轴上时和当M点在y轴上时两种情况讨论即可.
    【详解】解(1)由“梦想直线”的定义得,抛物线的“梦想直线”的解析式为y=-x+,
    联立梦想直线与抛物线解析式可得,解得或,
    ∴A(-2,2),B(1,0),
    故答案为:y=-x+;(-2,2);(1,0);
    (2)当点N在y轴上时,△AMN为梦想三角形,
    如图1,过A作AD⊥y轴于点D,则AD=2,
    在y=-x2-x+2中,令y=0可求得x=-3或x=1,
    ∴C(-3,0),且A(-2,2),
    ∴AC==,
    由翻折的性质可知AN=AC=,
    在Rt△AND中,由勾股定理可得DN==3,
    ∵OD=2,
    ∴ON=2-3或ON=2+3,
    当ON=2+3时,则MN>OD>CM,与MN=CM矛盾,不合题意,
    ∴N点坐标为(0,2-3);
    当M点在y轴上时,则M与O重合,过N作NP⊥x轴于点P,如图2,
    在Rt△AMD中,AD=2,OD=2,
    ∴∠DAM=60°,
    ∵AD∥x轴,
    ∴∠AMC=∠DAO=60°,
    又由折叠可知∠NMA=∠AMC=60°,
    ∴∠NMP=60°,且MN=CM=3,
    ∴MP=MN=,NP=MN=,
    ∴此时N点坐标为(,);
    综上可知N点坐标为(0,2-3)或(,);
    【点睛】此题主要考查了二次函数的应用,二次函数与一元二次方程的联系,翻折的性质,勾股定理,正确的理解“梦想直线”和“梦想三角的定义是解决问题的关键.
    6.(2023春·湖南长沙·九年级统考期中)定义:在线段MN上存在点P、Q将线段MN分为相等的三部分,则称P、Q为线段MN的三等分点.
    已知一次函数y=﹣x+3的图象与x、y轴分别交于点M、N,且A、C为线段MN的三等分点(点A在点C的左边).
    (1)直接写出点A、C的坐标;
    (2)①二次函数的图象恰好经过点O、A、C,试求此二次函数的解析式;
    ②过点A、C分别作AB、CD垂直x轴于B、D两点,在此抛物线O、C之间取一点P(点P不与O、C重合)作PF⊥x轴于点F,PF交OC于点E,是否存在点P使得AP=BE?若存在,求出点P的坐标?若不存在,试说明理由;
    (3)在(2)的条件下,将△OAB沿AC方向移动到△O'A'B'(点A'在线段AC上,且不与C重合),△O'A'B'与△OCD重叠部分的面积为S,试求当S=时点A'的坐标.
    【答案】(1)点A、C的坐标分别为:(1,2)、(2,1);(2)①抛物线的表达式为:y=﹣x2+x;②P的坐标为:(,);(3)点A′的坐标为:(,)
    【分析】(1)先求出M、N的坐标,再根据A、C为线段MN的三等分点,即可求解;
    (2)①设函数的表达式为:y=ax2+bx,将点A、C的坐标代入上式即可求解;
    ②设点P(m,﹣m2+m),AP=BE,则(m﹣1)2+(﹣m2+m﹣2)2=,即可求解;
    (3)S=S△A′GK﹣S△A′HR=×GK×A′K﹣HE×A′R=(1﹣m)(2﹣m)﹣(1﹣m)()=,即可求解.
    【详解】解:(1)一次函数y=﹣x+3的图象与x、y轴分别交于点M、N,令x=0,y=3,则M的坐标为(0,3),令y=0,x=3,则N的坐标为(3,0),由A、C为线段MN的三等分点,则点A、C的坐标分别为:(1,2)、(2,1);
    (2)①设函数的表达式为:y=ax2+bx,将点A、C的坐标代入上式得:,解得:,
    故抛物线的表达式为:y=﹣x2+x;
    ②存在,理由:
    设点P(m,﹣m2+m),
    直线OC的表达式为:y=x,则点B(1,),BE=,
    AP=BE,则(m﹣1)2+(﹣m2+m﹣2)2=,
    化简得:7m2﹣15m+7=0,
    解得:m=(舍去负值),
    故点P的坐标为:(,);
    (3)设直线A′O′交OC于点H,交x轴于点G,直线A′B′交OC于点R,交x轴于点K,过点H作HE⊥A′B′于点E,
    设点A向下平移m个单位向右平移m个单位得到A′(1+m,2﹣m),
    设直线O′A′的表达式为:y=2x+b,将点A′的坐标代入上式并解得:
    直线O′A′的表达式为:y=2x﹣3m①,
    故点G(,0),则GK=1+m﹣=1﹣m,
    直线OC的表达式为:y=x②,
    联立①②并解得:x=2m,故点H(2m,m),则HE=1+m﹣2m=1﹣m,
    点R(1+m,),则A′R=2﹣m﹣(m+1)=,
    S=S△A′GK﹣S△A′HR=×GK×A′K﹣HE×A′R=(1﹣m)(2﹣m)﹣·(1﹣m)=,
    解得:m=,
    故点A′的坐标为:(,).
    【点睛】本题是对二次函数知识的综合考查,难度较大,属于中考压轴题.
    7.(2023春·安徽合肥·九年级统考期中)定义:在平面直角坐标系中,图形G上点P(x,y)的纵坐标y与其横坐标x的差y﹣x称为点P的“坐标差”,而图形G上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形G的“特征值”.
    (1)求点A(2,1)的“坐标差”和抛物线y=﹣x2+3x+4的“特征值”.
    (2)某二次函数=﹣x2+bx+c(c≠0)的“特征值”为﹣1,点B与点C分别是此二次函数的图象与x轴和y轴的交点,且点B与点C的“坐标差”相等,求此二次函数的解析式.
    (3)如图所示,二次函数y=﹣x2+px+q的图象顶点在“坐标差”为2的一次函数的图象上,四边形DEFO是矩形,点E的坐标为(7,3),点O为坐标原点,点D在x轴上,当二次函数y=﹣x2+px+q的图象与矩形的边有四个交点时,求p的取值范围.
    【答案】(1)-1,5;(2) y=﹣x2+3x﹣2;(3) 2<p<10.
    【分析】(1)1-2=-1,故“坐标差”为-1,y-x=-x2+3x+4-x=-(x-1)2+5,故“特征值”为5;
    (2)由题意得:点C(0,c),故点B、C的“指标差”相等,故点B(-c,0),把点B的坐标代入y=-x2+(1-c)x+c得:0=-(-c)2+b(-c)+c,解得:b=1-c,故:y=-x2+(1-c)x+c,故抛物线的“特征值”为-1,y-x=-x2+(1-c)x+c-x=-x2-cx+c,故=-1,即可求解;
    (3)“坐标差”为2的一次函数为:y=x+2,对于图1,直线与矩形边的交点为:(1,3),则对称轴为:-=1,解得:p=2,对于图2,把点E(7,3)代入y=-(x-m)2+m+2并解得:m=5或10(舍去10),即可求解.
    【详解】解:(1)1﹣2=﹣1,故“坐标差”为﹣1,
    y﹣x=﹣x2+3x+4﹣x=﹣(x﹣1)2+5,故“特征值”为5;
    (2)由题意得:点C(0,c),且点B、C的“坐标差”相等,
    故点B(﹣c,0),把点B的坐标代入y=﹣x2+bx+c得:
    0=﹣(﹣c)2+b(﹣c)+c,
    解得:b=1﹣c,
    故:y=﹣x2+(1﹣c)x+c,
    故抛物线的“特征值”为﹣1,
    ∴y﹣x=﹣x2+(1﹣c)x+c﹣x=﹣x2﹣cx+c,
    故=﹣1.
    ∴c=﹣2,b=3,
    故抛物线的表达式为:y=﹣x2+3x﹣2;
    (3)“坐标差”为2的一次函数为:y=x+2,
    ∵抛物线y=﹣x2+px+q的图象的顶点在y=x+2上,
    ∴设抛物线的表达式为:y=﹣(x﹣m)2+m+2,
    当抛物线与矩形有3个交点时,如图1、2,
    对于图1,直线与矩形边的交点为:(1,3),
    则对称轴为:﹣=1,解得:p=2,
    对于图2,把点E(7,3)代入y=﹣(x﹣m)2+m+2并解得:
    m=5或10(舍去10),
    故﹣=5,解得:p=10,
    故二次函与矩形的边有四个交点时,求p的取值范围:2<p<10.
    【点睛】本题考查的是二次函数综合运用,涉及到待定系数法、二次函数的性质、一次函数、矩形性质等,这种新定义类的题目,通常按照题设的顺序逐次求解.
    8.(2023·浙江杭州·九年级统考期中)新定义:我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形.
    (1)初步尝试
    如图1,已知等腰直角△ABC,∠ACB=90°,请将它分成两个三角形,使它们成为偏等积三角形.
    (2)理解运用
    如图2,已知△ACD为直角三角形,∠ADC=90°,以AC,AD为边向外作正方向ACFB和正方形ADGE,连接BE,求证:△ACD与△ABE为偏等积三角形.
    (3)综合探究
    如图3,二次函数y=x2–x–5的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,在二次函数的图象上是否存在一点D,使△ABC与△ABD是偏等积三角形?若存在,请求出点D的坐标;若不存在,请说明理由.
    【答案】(1)见解析(2)见解析(3)(,5)或(,5)
    【详解】(1)如图1所示,取AC的中点D,连接BD,则△BAD和△BCD为偏等积三角形.
    (2)如图2所示:过点B作BH⊥EA交EA延长线于点H.
    ∵四边形ABFC和四边形ADGE均为正方形,
    ∴∠HAC+∠DAC=90°,∠BAH+∠HAC=90°,AB=AC,AD=AE.
    ∴∠BAH=∠DAC.
    在△ABH和△ACD中,,
    ∴△ABH≌△ACD.∴CD=HB.
    ∵S△ABE=AE•BH,S△CDA=AD•DC,AE=AD,CD=BH,
    ∴S△ABE=S△CDA.
    ∴△ACD与△ABE为偏等积三角形.
    (3)∵S△ABC=S△ABD,
    ∴点D到AB的距离等于点C到AB的距离.
    将x=0代入得:y=–5, ∴CO=5.
    ∴点D到AB的距离为5,即点D的纵坐标为±5.
    当点D的纵坐标为–5时,△ABC与△ABD全等(舍去).
    当点D的纵坐标为5时,x2–x–5=5,
    整理得:x2–3x–20=0,解得x1=,x2=.
    ∴点D的坐标为(,5)或(,5)
    9.(2023春·江西赣州·九年级统考期末)我们给出如下定义:在平面直角坐标系xOy中,如果一条抛物线平移后得到的抛物线经过原抛物线的顶点,那么这条抛物线叫做原抛物线的过顶抛物线.
    如下图,抛物线F2都是抛物线F1的过顶抛物线,设F1的顶点为A,F2的对称轴分别交F1、F2于点D、B,点C是点A关于直线BD的对称点.
    (1)如图1,如果抛物线y=x2的过顶抛物线为y=ax2+bx,C(2,0),那么
    ①a= ,b= .
    ②如果顺次连接A、B、C、D四点,那么四边形ABCD为( )
    A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形
    (2)如图2,抛物线y=ax2+c的过顶抛物线为F2,B(2,c-1).求四边形ABCD的面积.
    (3)如果抛物线的过顶抛物线是F2,四边形ABCD的面积为 ,请直接写出点B的坐标.
    【答案】(1)①a=1,b=2;②D;(2)4;(3)(,1),(,1).
    【分析】(1)根据待定系数法,可得函数解析式;根据自变量的值,可得相应的函数值,根据四边形对角线的关系,可得答案;
    (2)根据对称性,可得AC的长,根据顶点式解析式,可得F2根据待定系数法,可得,根据四边形的面积公式,可得答案;
    (3)分类讨论:B在A的右侧,B在A的左侧,AC=,BD=2,可得答案.
    【详解】解:(1)①由A、C点关于对称轴对称,得对称轴
    将C点坐标代入解析式,及对称轴公式,得
    解得:
    故答案为:.
    ②当时,,;
    ,;
    四边形ABCD的对角线相等互相平分,且互相垂直,
    四边形ABCD时正方形
    故选D.
    (2)∵B(2,c-1),
    ∴AC=2×2=4.
    ∵当x=0,y=c,
    ∴A(0,c).
    ∵F1:y=ax2+c,B(2,c-1).
    ∴设F2:y=a(x-2)2+c-1.
    ∵点A(0,c)在F2上,
    ∴4a+c-1=c,
    ∴.
    当时,,
    ∴BD=(4a+c)-(c-1)=2.
    ∴S四边形ABCD=4.
    (3)如图所示:
    设F2的解析式,
    B点在A点的右侧时,
    解得:,,
    B在点A的左侧时,
    解得:,,
    综上所述,,.
    【点睛】本题考查了二次函数的综合题,利用待定系数法求函数解析式,又利用了正方形的判定,分类讨论是解题的关键,以防遗漏.
    10.(2023春·江西赣州·九年级校考期末)定义:在平面直角坐标系中,抛物线y=a+bx+c(a≠0)与直线y=m交于点A、C(点C在点A右边)将抛物线y=a+bx+c沿直线y=m翻折,翻折前后两抛物线的顶点分别为点B、D.我们将两抛物线之间形成的封闭图形称为惊喜线,四边形ABCD称为惊喜四边形,对角线BD与AC之比称为惊喜度(Degreefsurprise),记作|D|=.
    (1)图①是抛物线y=﹣2x﹣3沿直线y=0翻折后得到惊喜线.则点A坐标 ,点B坐标 ,惊喜四边形ABCD属于所学过的哪种特殊平行四边形 ,|D|为 .
    (2)如果抛物线y=m﹣6m(m>0)沿直线y=m翻折后所得惊喜线的惊喜度为1,求m的值.
    (3)如果抛物线y=﹣6m沿直线y=m翻折后所得的惊喜线在m﹣1≤x≤m+3时,其最高点的纵坐标为16,求m的值并直接写出惊喜度|D|.
    【答案】(1)(-1,0);(1,-4);菱形;2;(2);(3) m=2, 或 m=10,.
    【分析】(1)联立两个函数的解析式,得到方程组,求得方程组的解,得A的坐标;利用配方法确定B的坐标;根据菱形的判定定理判定即可;根据惊喜度的定义计算即可;
    (2)联立两个函数的解析式,得到方程组,解方程组确定交点的坐标,根据惊喜度的定义计算即可;(3)计算对称轴,分三种情形计算.
    【详解】(1)根据题意,得 ,∴,
    解得,
    ∴解方程组的解为,,点A(-1,0);
    ∵y=﹣2x﹣3=,
    ∴点B的坐标为(1,-4);
    ∵翻折前后两抛物线的顶点分别为点B、D ,
    ∴直线BD是抛物线的对称轴,
    ∴BA=BC,DA=DC,
    根据翻折的意义,得BA=DA,BC=DC,
    ∴BA=BC=DA=DC,
    ∴四边形ABCD是菱形;
    设点D的纵坐标为n,
    根据题意,得,
    ∴n=4,
    ∴点D的坐标为(1,4),
    ∴AC=,BD=,
    ∴|D|===2;
    故答案为:(-1,0),(1,-4),菱形,2;
    (2)根据题意,得,解得,
    ∴解方程组的解为,,
    ∴点A(,m),点C(,m);
    ∴AC==2,
    ∵抛物线y=m﹣6m(m>0),
    ∴点B的坐标为(1,-6m);
    ∵翻折前后两抛物线的顶点分别为点B、D ,
    ∴直线BD是抛物线的对称轴,
    设点D的纵坐标为n,根据题意,得,
    ∴n=8m,
    ∴点D的坐标为(1,8m),
    ∴BD=,
    ∴|D|===1,
    ∴m=;
    (3)∵抛物线y=﹣6m,
    ∴抛物线的对称轴为x=1,
    (a)当m﹣1≤1 ≤m+3时,即﹣2≤m ≤2时,如图③,
    根据(2),得 点B的坐标为(1,-6m),点D的坐标为(1,8m),
    根据对称性,得点D是最高点,且最高点的纵坐标为16,
    ∴8m=16,
    ∴m=2,
    ∴BD==28,
    ∴,解得,
    ∴点A(,2),点C(,2);
    ∴AC==2,
    ∴|D|===;
    (b)当m﹣1>1 时,即m>2时,如图④,
    根据题意,得翻折前的坐标为(m-1,),翻折后对应点R的坐标为
    (m-1,16),
    根据对称性,得 =m,
    ∴,
    ∴m=2(舍去),m=10,
    ∴BD==140,
    ∴,解得,
    ∴点A(,10),点C(,10);
    ∴AC==2,
    ∴|D|===;
    (c)当m+3<1 时,即m<-2时,不能形成惊喜线,所以不存在m,
    综上所述,m=2, 或 m=10,.
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