2024中考数学新定义及探究题专题 《三角函数及新定义（一）》 （含解析）

这是一份2024中考数学新定义及探究题专题 《三角函数及新定义（一）》 （含解析），共77页。
【知识储备】
模型1、新定义模型
此类模型主要包含高中数学中的三角函数和解三角形的相关定理（公式），而这些定理（公式）也可利用初中数学知识证明。
若无特殊说明，一般认为△ABC的3个角∠A、∠B、∠C，分别对应边a、b、c；
1）正弦定理：如图1，（其中R是三角形外接圆的半径）。

图1 图2
2）余弦定理：如图2， ．
3）正弦面积公式：如图2，.
4）同角三角函数的基本关系式:，。
5）和（差）、二倍角角公式：
; .
; .
.
例1．（2023·福建厦门·统考模拟预测）阅读理解：如图，Rt中，，，分别是，，的对边，，其外接圆半径为根据锐角三角函数的定义：，，可得，即：，（规定）．
探究活动：如图，在锐角中，，，分别是，，的对边，其外接圆半径为，试证明：．
学以致用：如图，在某次数学活动中，小凤同学测量一古塔的高度，在处用测角仪测得塔顶的仰角为15°，又沿古塔的方向前行了到达处，此时，，三点在一条直线上，在处测得塔顶的仰角为45°，求古塔的高度（结果保留小数点后一位）．（，）

例2．（2023秋·广东九年级课时练习）我们知道，直角三角形的边角关系可用三角函数来描述，那么在任意三角形中，边角之间是否也存在某种关系呢？（已知）
如图，锐角中，、、所对的边分别为a、b、c，过点C作，
在中，，∴，
在中，由勾股定理得，即，
整理可得：，同理可得：．
利用上述结论解答下列问题：（1）在中，，求a和的大小；
（2）在中，，其中，求边长c的长度．
例3．（2023秋·重庆九龙坡·九年级统考期末）问题：阅读下面材料，解决后面的问题：
我们知道，三角形的面积等于二分之一底乘高，在学习了三角函数后，还可以这样求三角形的面积：对，a，b，c分别为，，的对边，则其面积
(1)在中，，，，求b边对应的高的长度．
(2)如图，在中，已知，，D为上一点，证明：.
(3)正数a，b，c，d，e，f满足，证明：．

例4．（2022春·辽宁沈阳·九年级校考开学考试）设一个三角形的三边长分别为，，，，则有下面的面积公式
（海伦公式）
（秦九韶公式）
若一个三角形的三边长依次为5，6，7，则这个三角形的面积为 （可以直接利用上面的面积公式）
例5．（2022秋·湖南永州·九年级校考阶段练习）关于三角函数有如下公式：
，
，
（其中：）
例如：．利用上述公式计算下列三角函数：①，②，③，④
其中正确的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
例6．（2022春·浙江·九年级专题练习）1.某数学兴趣小组在探究如何求tan15°的值，经过思考、讨论、交流，得到以下思路：
思路一 如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，延长CB至点D，使BD=BA，连接AD．设AC=1，则BD=BA=2，BC=，tanD=tan15°==．
思路二 利用科普书上的和（差）角正切公式：tan（α±β）=．假设α=60°，β=45°代入差角正切公式：tan15°=tan（60°﹣45°）==．
请解决下列问题（上述思路仅供参考）．(1)类比：求出tan75°的值；(2)应用：如图2，某电视塔建在一座小山上，山高BC为30米，在地平面上有一点A，测得A，C两点间距离为60米，从A测得电视塔的视角（∠CAD）为45°，求这座电视塔CD的高度．
例7．（2022·山东济南·统考模拟预测）通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（）．如果中，，那么顶角A的正对记作，这时=．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，填空：如果的正弦函数值为，那么的值为___________．
例8．（2023·湖南·统考一模）已知，（其中和都表示角度），比如求，可利用公式得，又如求，可利用公式得，请你结合材料，若（为锐角），则的度数是 ．
例9．（2023秋·山东·九年级专题练习）已知：根据图中数据完成填空，再按要求答题：

如图1： ，如图2： ，如图3：
①观察上述等式，猜想：如图4，在中，，都有 ；
②如图4，在中，，，，的对边分别是，，，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想；③已知：，且，求．
例10．（2023春·湖北·九年级专题练习）在初中，我们学习过锐角的正弦、余弦、正切和余切四种三角函数，即在图1所示的直角三角形，是锐角，那么的对边÷斜边，的邻边÷斜边，的对边÷的邻边．为了研究需要，我们再从另一个角度来规定一个角的三角函数的意义：设有一个角α，我们以它的顶点作为原点，以它的始边作为x轴的正半轴，建立直角坐标系（图2），在角α的终边上任取一点P，它的横坐标是x，纵坐标是y，点P和原点的距离为（r总是正的），然后把角α的三角函数规定为：，，．我们知道，图1的四个比值的大小与角A的大小有关，而与直角三角形的大小无关，同样图2中四个比值的大小也仅与角α的大小有关，而与点P在角α的终边位置无关．比较图1与图2，可以看出一个角的三角函数的意义的两种规定实际上是一样的，根据第二种定义回答下列问题：
(1)若，则角α的三角函数值、、，其中取正值的是 ；
(2)若角α的终边与直线重合，则的值；
(3)若角α是钝角，其终边上一点，且，求的值；
(4)若，则的取值范围是 ．
专项训练（一）
1．（2023春·广东深圳·九年级校联考开学考试）数学中余弦定理是这样描述的：在中，、、所对的边分别为、、，则三角形中任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边及这两边的夹角的余弦值的乘积的2倍，用公式可描述为：，，．在中，，，，则的值是（ ）
A．5B．C．D．2
2．（2022·广东东莞·校考一模）关于三角函数有如下的公式：，由该公式可求得的值是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023春·湖南湘西·八年级统考阶段练习）已知三角形的三边长分别为，求其面积问题，中外数学家曾经进行过深入研究，古希腊的几何学家海伦（，约公元50年）给出求其面积的海伦公式，其中；我国南宋时期数学家秦九韶（约1202-约1261）曾提出利用三角形的三边求其面积的秦九韶公式．若一个三角形的三边长分别为2，3，4，则其面积是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023秋·山东济南·九年级统考期末）定义一种运算：，．例如：当，时，，则的值为 ．
5．（2022秋·上海青浦·九年级校考期中）若定义等腰三角形顶角的值为等腰三角形底边和底边上高的比值，即，若等腰，，且，则 ．
6．（2023·河北石家庄·九年级统考期中）阅读下面的材料，先完成阅读填空，再按要求答题．
sin230°＋cs230°＝ ；
sin245°＋cs245°＝ ；
sin260°＋cs260°＝ ；……
观察上述等式，猜想：对任意锐角A，都有sin2A＋cs2A＝ ．
（2023·湖南娄底·统考一模）同学们，在我们进入高中以后，还将学到下面三角函数公式：
，，，．例：．若已知锐角满足条件，则 ．
8．（2023秋·河南南阳·九年级统考阶段练习）【素材引入】若一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，即p为的周长的一半，则（表示的面积），把这个公式称为海伦公式．
【思考应用】某中学准备开辟一块面积为5平方米的空地作为劳动实践用地，现有一块三角形空地，它的三边长分别为米，米，米，那么这块三角形空地能否满足学校的需求，请通过计算说明理由．
9．（2023秋·湖北·九年级专题练习）我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角正对（），如图①，在中，，顶角A的正对记作，这时．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：

(1)________．(2)对于，的正对值的取值范围是________．
(3)如图②，已知，其中为锐角，试求的值．
10．（2023·山东·一模）小明学完了“锐角三角函数”的相关知识后，通过研究发现：如图1，在Rt△ABC中，如果∠C=90°，∠A=30°，BC=a=1，AC=b=，AB=c=2，那么．通过上网查阅资料，他又知“sin90°=1”，因此他得到“在含30°角的直角三角形中，存在着的关系”．
这个关系对于一般三角形还适用吗？为此他做了如下的探究：
（1）如图2，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c，请判断此时“”的关系是否成立？ 答：______________．
（2）完成上述探究后，他又想“对于任意的锐角△ABC，上述关系还成立吗？”因此他又继续进行了如下的探究：如图3，在锐角△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，过点C作CD⊥AB于D，设CD=h，
∵在Rt△ADC和Rt△BDC中，∠ADC=∠BDC=90°，
∴sinA=______________，sinB=______________．
∴=_____________，=____________．
∴
同理，过点A作AH⊥BC于H，可证∴
请将上面的过程补充完整．（3）运用上面结论解答下列问题：
①如图4，在△ABC中，如果∠A=75°，∠B=60°，AB=6，求AC的长．
②在△ABC中，如果∠B=30°，AB=，AC=2，那么△ABC内切圆的半径为______．
11．（2022春·山东东营·九年级自主招生）关于三角函数有如下公式：sin（α+β）=sinαcsβ+csαsinβ；
sin（α﹣β）=sinαcsβ﹣csαsinβ；cs（α+β）=csαcsβ﹣sinαsinβ；cs（α﹣β）=csαcsβ+sinαsinβ
tan（α+β）=（1﹣tanαtanβ≠0）；tan（α﹣β）=（1+tanαtanβ≠0）
利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值．
如：tan105°=tan（45°+60°）=
根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面问题：如图，两座建筑物AB和DC的水平距离BC为24米，从点A测得点D的俯角α=15°，测得点C的俯角β=75°，求建筑物CD的高度．
12．（2023·浙江杭州·九年级校考阶段练习）阅读下列材料，并解决问题．
如图（1），在锐角ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，过点A作AD⊥BC于点D，则，，即AD＝csinB，AD＝bsinC．于是csinB＝bsinC，即．同理有：，，所以．即在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．在锐角三角形中，若已知三个元素（至少有一条边），运用上述结论就可以求出其余三个未知元素．
（1）如图（2），一货轮在B处测得灯塔A在货轮的北偏东15°的方向上，随后货轮以80海里/时的速度向正东方向航行，半小时后到达C处，此时又测得灯塔A在货轮的北偏西30°的方向上，求此时货船距灯塔A的距离AC．（2）在（1）的条件下，试求75°的正弦值．（结果保留根号）
13．（2023·浙江杭州·九年级期中）观察与思考：阅读下列材料，并解决后面的问题．
在锐角△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，过A作AD⊥BC于D(如图1)，则sinB＝，sinC＝，即AD＝csinB，AD＝bsinC，于是csinB＝bsinC，即．同理有：，，所以=，即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．在锐角三角形中，若已知三个元素(至少有一条边)，运用上述结论和有关定理就可以求出其余三个未知元素．根据上述材料，完成下列各题．(1)如图2，△ABC中，∠B＝45°，∠C＝75°，BC＝60，则∠A＝_____；AC＝_____；
(2)如图3，一货轮在C处测得灯塔A在货轮的北偏西30°的方向上，随后货轮以60海里/时的速度按北偏东30°的方向航行，半小时后到达B处，此时又测得灯塔A在货轮的北偏西75°的方向上(如图3)，求此时货轮距灯塔A的距离AB．
14．（2023·浙江·九年级专题练习）亲爱的同学们，在我们进入高中以后，将还会学到三角函数公式：，．
例：．
试仿照例题，求出的准确值；（2）我们知道：，试求出的准确值；
15．（2023.广东九年级期中）阅读：△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，△ABC的边角有如下性质：①正弦定理：＝＝
②余弦定理：a2＝b2+c2﹣2bccsA，b2＝a2+c2﹣2accsB，c2＝a2+b2﹣2abcsC．
③S△ABC＝absinC＝bcsinA＝acsinB
请你根据上述结论求解下列问题：在锐角△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，且2asinB＝b．
（1）求角A的大小；（2）若a＝6，b+c＝8，求△ABC的面积．
16．（2022春·浙江·九年级专题练习）阅读材料：
一般地，当α、β为任意角时，tan（α+β）与tan（α﹣β）的值可以用下面的公式求得：tan（α±β）=．
例如：tan15°=tan（45°﹣30°）== == =．
根据以上材料，解决下列问题：（1）求tan75°的值；
（2）都匀文峰塔，原名文笔塔，始建于明代万历年间，系五层木塔，文峰塔的木塔年久倾毁，仅存塔基，1983年，人民政府拨款维修文峰塔，成为今天的七层六面实心石塔（图1），小华想用所学知识来测量该铁搭的高度，如图2，已知小华站在离塔底中心A处5.7米的C处，测得塔顶的仰角为75°，小华的眼睛离地面的距离DC为1.72米，请帮助小华求出文峰塔AB的高度．（精确到1米，参考数据≈1.732，≈1.414）
2024中考数学新定义及探究题专题 《三角函数及新定义（一）》 （解析版）
【类型1 二次函数问题中的新定义问题】
1．（2023春·山东济南·九年级统考期末）新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点．若二次函数（c为常数）在的图象上存在两个二倍点，则c的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由点的纵坐标是横坐标的2倍可得二倍点在直线上，由可得二倍点所在线段的端点坐标，结合图象，通过求抛物线与线段的交点求解．
【详解】解：由题意可得二倍点所在直线为，
将代入得，
将代入得，
设，，如图，
联立与，得方程，
即
抛物线与直线有两个交点，
，
解得，
当直线和直线与抛物线交点在点A，上方时，抛物线与线段有两个交点，
把代入，得，
把代入得，
，
解得，
．
故选D．
【点睛】本题考查二次函数图象与正比例函数图象的交点问题，解题关键掌握函数与方程及不等式的关系，将代数问题转化为图形问题求解．
2．（2023春·湖北咸宁·九年级统考期中）定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．若互异二次函数的对称轴为直线x＝1且图象经过点（﹣1，0），则这个互异二次函数的二次项系数是（ ）
A．B．C．1D．﹣1
【答案】B
【分析】根据函数的对称轴和互异二次函数的特点计算即可；
【详解】由题可知：此函数的横坐标与纵坐标互为相反数，且对称轴为直线x＝1且图象经过点（﹣1，0），设此函数为，
∴，解得：，
∴此函数的二次项系数为；
故选B．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，准确计算是解题的关键．
3．（2023春·广西南宁·九年级统考期中）新定义：在平面直角坐标系中，对于点P（m，n）和点P′（m，n′），若满足m≥0时，n′=n-4；m＜0时，n′=-n，则称点P′（m，n′）是点P（m，n）的限变点．例如：点P1（2，5）的限变点是P1′（2，1），点P2（-2，3）的限变点是P2′（-2，-3）．若点P（m，n）在二次函数y=-x2+4x+2的图象上，则当-1≤m≤3时，其限变点P′的纵坐标n'的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据新定义得到当m≥0时，n′=-m2+4m+2-4=-（m-2）2+2，在0≤m≤3时，得到-2≤n′≤2；当m＜0时，n′=m2-4m-2=（m-2）2-6，在-1≤m＜0时，得到-2≤n′≤3，即可得到限变点P′的纵坐标n'的取值范围是-2≤n′≤3．
【详解】解：由题意可知，
当m≥0时，n′=-m2+4m+2-4=-（m-2）2+2，
∴当0≤m≤3时，-2≤n′≤2，
当m＜0时，n′=m2-4m-2=（m-2）2-6，
∴当-1≤m＜0时，-2＜n′≤3，
综上，当-1≤m≤3时，其限变点P′的纵坐标n'的取值范围是-2≤n′≤3，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据限变点的定义得到n′关于m的函数．
4．（2023春·湖南长沙·九年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考期末）定义：我们不妨把纵坐标是横坐标2倍的点称为“青竹点”．例如：点、……都是“青竹点”．显然，函数的图象上有两个“青竹点”：和．
(1)下列函数中，函数图象上存在“青竹点”的，请在横线上打“√”，不存在“青竹点”的，请打“×”．
①________； ②________； ③________．
(2)若抛物线（m为常数）上存在两个不同的“青竹点”，求m的取值范围；
(3)若函数的图象上存在唯一的一个“青竹点”，且当时，a的最小值为c，求c的值．
【答案】(1)×；√；×
(2)
(3)
【分析】（1）根据“青一函数”的定义直接判断即可；
（2）根据题意得出关于的一元二次方程，再根据根的判别式得出关于m的不等式，即可求解；
（3）根据题意得出关于的一元二次方程，再根据根的判别式得出关于a的二次函数，利用二次函数最值求解即可．
【详解】（1）解：①令，方程无解，
∴函数图像上不存在“青竹点”，故答案为：×；
②令，
解得：，，
∴函数图像上存在“青竹点”和，故答案为：√；
③令，方程无解，
∴函数图像上不存在“青竹点”，故答案为：×；
（2）解：由题意得，
整理，得，
∵抛物线（m为常数）上存在两个不同的“青竹点”，
∴，
解得；
（3）解：由题意得
整理，得
∵函数的图像上存在唯一的一个“青竹点”，
∴
整理，得
∴当时，a的最小值为，
∵当时，a的最小值为c，
∴
∴，
【点睛】本题属于函数背景下新定义问题，主要考查二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系，一元二次方程根的判别式．
5．（2023春·江苏泰州·九年级统考期中）定义：两个二次项系数之和为，对称轴相同，且图像与轴交点也相同的二次函数互为友好同轴二次函数.例如：的友好同轴二次函数为．
(1)函数的友好同轴二次函数为 ．
(2)当时，函数 的友好同轴二次函数有最大值为，求的值．
(3)已知点分别在二次函数及其友好同轴二次函数的图像上，比较的大小，并说明理由．
【答案】(1)；
(2)；
(3)当时，；当时，；当时，
【分析】（1）根据友好同轴二次函数的定义，找出的友好同轴二次函数即可；
（2）根据友好同轴二次函数的定义，找出的友好同轴二次函数，判断函数图像开口方向，利用函数的对称轴和自变量范围进行最大值讨论；
（3）先根据友好同轴二次函数的定义，找出的友好同轴二次函数，再把两点代入，作差后比较大小，为含参数的二次不等式，求解的范围即可．
【详解】（1）设友好同轴二次函数为，
由函数可知，
对称轴为直线，与轴交点为，
，，对称轴为直线，
，
友好同轴二次函数为；
（2）由函数 可求得，
该函数的友好同轴二次函数为；
①当时，时，，
解得：；
②当时，时，，
解得：；
综上所述，；
（3）由函数可求得，
该函数的友好同轴二次函数为，
把分别代入可得，
，，
则，
，
，
①当时，，即，
，
解得：；
②当时，，即，
，
解得：；
③当时，，即，
，
解得：；
综上所述，当时，；
当时，；
当时，．
【点睛】本题考查二次函数的性质以及新定义问题，掌握二次函数的基本性质以及研究手段，准确根据题意求出符合要求的友好同轴二次函数是解题关键．
6．（2023春·浙江金华·九年级校考期中）定义：若抛物线y＝ax2+bx+c与x轴两交点间的距离为4，称此抛物线为定弦抛物线．
(1)判断抛物线y＝x2+2x﹣3是否是定弦抛物线，请说明理由；
(2)当一定弦抛物线的对称轴为直线x＝1，且它的图像与坐标轴的交点间的连线所围成的图形是直角三角形，求该抛物线的表达式；
(3)若定弦抛物线y＝x2+bx+c（b＜0）与x轴交于A、B两点（A在B左边），当2≤x≤4时，该抛物线的最大值与最小值之差等于OB之间的距离，求b的值．
【答案】(1)是定弦抛物线，理由见解析
(2)或
(3)b＝﹣4或
【分析】（1）令y＝0，求出与x轴的交点坐标，可判断；
（2）分开口向上向下讨论，利用定弦抛物线的定义和对称轴可求出与x轴交点坐标，用相似求出与y轴交点坐标，代入可得答案；
（3）根据对称轴和所给范围分情况讨论即可．
【详解】（1）解：当y＝0时，x2+2x﹣3＝0，
解得：x1＝1，x2＝﹣3，
则|x1 -x2|＝4，
即该抛物线是定弦抛物线；
（2）：当该抛物线开口向下时，如图所示．
∵该定弦抛物线的对称轴为直线x＝1，
设
则
解得：
∴ C（﹣1，0），D（3，0），
∵△CED为直角三角形
∴由题意可得∠CED＝90°，
∵EO⊥CD，
∴△CEO∽△EDO，
∴OE2＝OC·OD＝3，
∴E（0，）
设该定弦抛物线表达式为，
把E（0，）代入求得
∴该定弦抛物线表达式为，
当该抛物线开口向上时，
同理可得该定弦抛物线表达式为，
∴综上所述，该定弦抛物线表达式为或；
（3）解：若≤ 2，则在2≤ x ≤4中，
当x＝4时该定弦抛物线取最大值，当x＝2时该定弦抛物线取最小值．
∴l6+4b+c-(4+2b+c)＝+2，
解得：b＝﹣4，
∵≤ 2，
∴b≥﹣4，即b＝﹣4，
若≤ 3，则在2≤x≤4中，
当x＝4时该定弦抛物线取最大值，当x＝时该定弦抛物线取最小值．
∴16+4b+c﹣＝+2，
解得：b1＝﹣4，b2＝﹣14，
∵2≤≤3，
∴﹣6≤ b≤﹣4，
∴b1＝﹣4，b2＝﹣14（舍去），
若≤ 4，则在2≤ x ≤4中，
当x＝2时该定弦抛物线取最大值，当x＝时该定弦抛物线取最小值．
∴4+2b+c﹣＝+2，
解得：b＝﹣5，
∵≤4，
∴﹣8≤ b＜﹣6，
∴b＝﹣5不合题意，舍去，
若＞4，则在2≤ x≤ 4中，
当x＝2时该定弦抛物线取最大值，当x＝4时该定弦抛物线取最小值．
∴4+2b+c-(16+4b+c)＝+2，
解得：b＝-，
∵＞4，
∴b＜﹣8，
∴ b＝﹣，
∴综上所述b＝﹣4或．
【点睛】本题考查了二次函数的综合性质，包括与x轴交点问题，最值问题，以及和相似的结合，准确地理解定弦抛物线的定义以及分类讨论是解决本题的关键．
7．（2023春·浙江·九年级期末）定义：若抛物线与抛物线．同时满足且，则称这两条抛物线是一对“共轭抛物线”．
(1)已知抛物线与是一对共轭抛物线，求的解析式；
(2)如图1，将一副边长为的正方形七巧板拼成图2的形式，若以BC中点为原点，直线BC为x轴建立平面直角坐标系，设经过点A，E，D的抛物线为，经过A、B、C的抛物线为，请立接写出、的解析式并判断它们是否为一对共轭抛物线．
【答案】(1)
(2)，，、是一对共轭抛物线
【分析】（1）将化作顶点式，可求出，和的值，根据“共轭抛物线”的定义可求出，和的值，进而求出的解析式；
（2）根据七巧板各个图形之间的关系可求出各个图形的边长，进而可表示点，，，，的坐标，分别求出和的解析式，再根据“共轭抛物线”的定义可求解．
【详解】（1）解： ，
∴，，，
∵抛物线与是一对共轭抛物线，
∴，且，
．
（2）解：如图，
由题意得，，则，，，，，
∵点为的中点，∴，
∴，，，，，
∴可设抛物线，与抛物线，
∴，，解得：，，
∴抛物线，
抛物线，
∴，，，，，，
∵，，
∴满足且，
∴、是一对共轭抛物线．
【点睛】本题属于二次函数的新定义类问题，主要考查利用待定系数法求函数表达式，二次函数的顶点式，一般式及交点式三种方式的变换，熟知相关运算是解题关键．
8．（2023春·湖南长沙·九年级校联考期末）定义：如果抛物线与轴交于点，，那么我们把线段叫做雅礼弦，两点之间的距离称为抛物线的雅礼弦长．
(1)求抛物线的雅礼弦长；
(2)求抛物线的雅礼弦长的取值范围；
(3)设，为正整数，且，抛物线的雅礼弦长为，抛物线的雅礼弦长为，，试求出与之间的函数关系式，若不论为何值，恒成立，求，的值．
【答案】(1)4
(2)
(3)，或，
【分析】（1）根据定义求得抛物线与x轴的交点坐标即可求解；
（2）根据（1）的方法求得，根据的范围，即可求解．
（3）根据题意，分别求得，根据，求得出与之间的函数关系式，根据恒成立，可得，根据，为正整数，且，即可求解．
【详解】（1）解：，
，
，，
雅礼弦长；
（2），，
，
，，
，
，
当时，最小值为，
当时，最大值小于，
；
（3）由题意，令，
，，
则，
同理，
，
，
要不论为何值，恒成立，
即：恒成立，
由题意得：，，
解得：，
，为正整数，且，
则，或，．
【点睛】本题考查了抛物线与坐标轴交点问题，一元二次方程根与系数的关系，综合运用以上知识是解题的关键．
9．（2023春·河南濮阳·九年级统考期中）小明在课外学习时遇到这样一个问题：定义：如果二次函数y=a1x2+b1x+c1（a1≠0）与y=a2x2+b2x+c2（a2≠0）满足a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，则称这两个函数互为“旋转函数”．求函数y=x2-3x-2的“旋转函数”．
小明是这样思考的：由函数y=x2-3x-2可知，a1=1，b1=-3，c1=-2，根据a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，求出a2，b2，c2，就能确定这个函数的“旋转函数”．
请参考小明的方法解决下面问题：
(1)直接写出函数y=x2-3x-2的“旋转函数” ；
(2)若函数与y=x2-2nx+n互为“旋转函数”，求(m+n)2020的值；
(3)已知函数的图象与x轴交于点A、B两点（A在B的左边），与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分别是A1，B1，C1，试证明经过点A1，B1，C1的二次函数与函数互为“旋转函数”
【答案】(1)y＝-x2-3x＋2；
(2)1
(3)见解析
【分析】（1）根据y＝a1x2＋b1x＋c1（a1≠0，a1，b1，c1是常数）与y＝a2x2＋b2x＋c2（a2≠0，a2，b2，c2是常数）满足a1＋a2＝0，b1＝b2，c1＋c2＝0，则称这两个函数互为“旋转函数”，可得a2，b2，c2，可得旋转函数；
（2）根据y＝a1x2＋b1x＋c1（a1≠0，a1，b1，c1是常数）与y＝a2x2＋b2x＋c2（a2≠0，a2，b2，c2是常数）满足a1＋a2＝0，b1＝b2，c1＋c2＝0，则称这两个函数互为“旋转函数”，可得a2，b2，c2，根据负数奇数次幂是负数，可得答案；
（3）根据自变量与函数值的对应关系，可得A、B、C的坐标，根据关于原点对称的点横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得A1，B1，C1，根据待定系数法，可得函数解析式；根据y＝a1x2＋b1x＋c1（a1≠0，a1，b1，c1是常数）与y＝a2x2＋b2x＋c2（a2≠0，a2，b2，c2是常数）满足a1＋a2＝0，b1＝b2，c1＋c2＝0，则称这两个函数互为“旋转函数”，可得a2，b2，c2，可得旋转函数．
【详解】（1）解：由y=x2-3x-2函数可知a1＝1，b1＝-3，c1＝−2．
由a1＋a2＝0，b1＝b2，c1＋c2＝0，得
a2＝-1，b2＝-3，c2＝2．
函数y＝x2＋3x−2的“旋转函数”为y＝-x2-3x＋2；
（2）由与y＝x2−2nx＋n互为“旋转函数“，
得−2n＝，−2＋n＝0．
解得n＝2，m＝−3．
当m＝2，n＝−3时，(m+n)2020＝（2−3）2020＝（−1）2020＝1；
（3）∵当y＝0时，，解得x＝−1，x＝4，
∴A（−1，0），B（4，0）．
当x＝0时，y＝×（−4）＝-2，即C（0，-2）．
由点A，B，C关于原点的对称点分别是A1，B1，C1，
得A1（1，0），B1（−4，0），C1（0，2）．
设过点A1，B1，C1的二次函数y＝a，将C1（0，2）代入，
解得，
∴过点A1，B1，C1的二次函数
而
∴a1＋a2＝0，b1＝b2，c1＋c2＝0，
∴经过点A1、B1、C1的二次函数与函数互为“旋转函数”．
【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握关于原点对称的两点的坐标特征；会求二次函数图象与坐标轴的交点和待定系数法求二次函数解析式；对新定义的理解能力．
10．（2023春·山西大同·九年级统考期中）请阅读下列材料，并完成相应的任务：
定义：我们把自变量为的二次函数与（，）称为一对“亲密函数”，如的“亲密函数”是．
任务：
（1）写出二次函数的“亲密函数”：______；
（2）二次函数的图像与轴交点的横坐标为1和，它的“亲密函数”的图像与轴交点的横坐标为______，猜想二次函数（）的图像与轴交点的横坐标与其“亲密函数”的图像与轴交点的横坐标之间的关系是______；
（3）二次函数的图像与轴交点的横坐标为1和，请利用（2）中的结论直接写出二次函数的图像与轴交点的横坐标．
【答案】（1）；（2）4和-1；互为相反数；（3）二次函数的图像与轴交点的横坐标为和
【分析】（1）根据二次函数的“亲密函数”定义把一次项系数变为相反数即可；
（2）利用“亲密函数”建立y=0时方程，解方程，得出“亲密函数”与x轴交点横坐标，与原函数与x轴交点横坐标比较，得出规律即可；
（3）先将函数变形，发现与“亲密函数”类似，根据原函数与x轴交点横坐标得出“亲密函数”与x轴交点横坐标，利用2x等于交点横坐标，求出x得出所求函数与x轴的交点横坐标即可．
【详解】解：（1）二次函数的“亲密函数”为，
故答案为：；
（2），解得，
它的“亲密函数”的图像与轴交点的横坐标为4和-1，
∴二次函数（）的图像与轴交点的横坐标与其“亲密函数”的图像与轴交点的横坐标之间的关系是互为相反数；
故答案为4和-1；互为相反数；
（3），
∵二次函数的图像与轴交点的横坐标为1和，
∴二次函数的图像与轴交点的横坐标为-1和，
∴图像与轴交点的横坐标为-1和，
∴2x=-1,2x=2021，
∴，，
∴二次函数的图像与轴交点的横坐标为和．
【点睛】本题考查新定义函数，仔细阅读题目，抓住实质，抛物线与x轴交点横坐标和一元二次方程的根，利用“亲密函数”变形得出新函数图像与x轴的交点横坐标是解题关键．
【类型2 二次函数与一次函数综合问题中的新定义问题】
1．（2023春·九年级课时练习）定义：由a，b构造的二次函数叫做一次函数y＝ax＋b的“滋生函数”，一次函数y＝ax＋b叫做二次函数的“本源函数”（a，b为常数，且）．若一次函数y＝ax＋b的“滋生函数”是，那么二次函数的“本源函数”是 ．
【答案】
【分析】由“滋生函数”和“本源函数”的定义，运用待定系数法求出函数的本源函数．
【详解】解：由题意得
解得
∴函数的本源函数是．
故答案为：．
【点睛】本题考查新定义运算下的一次函数和二次函数的应用，解题关键是充分理解新定义“本源函数”．
2．（2023春·浙江湖州·九年级统考期中）定义：如果函数图象上存在横､纵坐标相等的点，则称该点为函数的不动点．例如，点是函数的不动点．已知二次函数（是实数）．
(1)若点是该二次函数的一个不动点，求的值；
(2)若该二次函数始终存在不动点，求的取值范围．
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）根据“不动点”定义，建立方程求解即可；
（2）根据不动点的定义求出函数，再根据判别式计算即可．
【详解】（1）解：依题意把点代入解析式，
得，化简得：，解得：；
（2）解：设点是函数的一个不动点，
则有，化简得，，
关于的方程有实数解，
，解得：．
【点睛】本题考查了二次函数与新定义“不动点”应用，涉及解一元二次方程、一元二次方程根的情况与判别式等知识，解题的关键是理解并利用新定义解决问题．
3．（2023·安徽·模拟预测）已知函数与函数，定义“和函数”．
(1)若，则“和函数” ；
(2)若“和函数”为，则 ， ；
(3)若该“和函数”的顶点在直线上，求．
【答案】(1)．
(2)，．
(3)或．
【分析】（1）将代入函数中得出函数，再利用即可得出结论；
（2）的解析式为，又， 利用两者相等即可得出结论；
（3）先得出和函数，进而根据顶点在直线上得出，即可得出结论．
【详解】（1）解：当时，，
∵函数，此时和函数，
∴，
故答案为：．
（2）解：∵函数与函数，和函数，
∴和函数的解析式为，
∵和函数的解析式为，
∴，，
∴，，
故答案为：，．
（3）解：由题意得和函数为
，
，
∴和函数的顶点为，
∵和函数的顶点在上，
∴，
整理得，
解得，．
故答案为：或．
【点睛】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的顶点坐标、二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．
4．（2023·北京·模拟预测）城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系，对两点和，用以下方式定义两点间距离：．
(1)①已知点，则______．
②函数的图象如图①所示，是图象上一点，，求点的坐标．
(2)函数的图象如图②所示，是图象上一点，求的最小值及对应的点的坐标．
【答案】(1)①，②
(2)，
【分析】（1）①根据公式直接计算即可；②根据函数的图象上的点的横纵坐标均非负，可得，，，再根据，可得，即有，进而可得，解方程即可求解；
（2）函数化为顶点式为：，即可得，，根据点是图象上一点，可得，，，则有，即可得，问题随之得解．
【详解】（1）①∵，，
∴，
故答案为：；
②∵点B是函数的图象点，
∵函数的图象上的点的横纵坐标均非负，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴B点坐标为：，
（2）函数化为顶点式为：，
∴，
∵，点是图象上一点，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴当时，有最小值，最小值为，
∴，
∴D点坐标为：，
即最小值为3，D点坐标为．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，充分理解定义的两点间距离：，是解答本题的关键．
5．（2023春·上海·九年级上海市民办新复兴初级中学校考期中）我们定义【，，】为函数的“特征数”，如：函数的“特征数”是【2，，5】，函数的“特征数”是【0，1，2】
(1)若一个函数的“特征数”是【1，，1】，将此函数图像先向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得到一个图像对应的函数“特征数”是______；
(2)将“特征数”是【0，，】的图像向上平移2个单位，得到一个新函数，这个函数的解析式是______；
(3)在（2）中，平移前后的两个函数图像分别与轴交于A、两点，与直线分别交于、两点，在给出的平面直角坐标系中画出图形，并求出以A、、、四点为顶点的四边形的面积；
(4)若（3）中的四边形与“特征数”是【1，，】的函数图像有交点，求满足条件的实数的取值范围．
【答案】(1)【1，0，】
(2)
(3)图见解析；面积为
(4)
【分析】（1）由已知可知，平移后的函数为，则可求“特征数”；
（2）由已知可知函数为，平移后函数为；
（3）令，求出，令，求出，，则，又由，可判断四边形是菱形；然后结合图形求面积即可；
（4）由已知可得，则函数与AD边无交点，只能与BC边有交点，将代入函数，将代入函数求解即可得出结果．
【详解】（1）解：∵函数的特征数是【1，，1】，
∴函数为，
将函数向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到，
∴函数的“特征数”是【1，0，】．
故答案为：【1，0，】．
（2）∵函数的“特征数”是【0，，】，
∴，
∵函数图象向上平移2个单位，
∴平移后函数为．
故答案为：．
（3）解：令，则，
∴，
令，则，，
∴，，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形．
；
（4）∵函数的“特征数”是【1，，】，
∴，
∴由函数图象得：函数与AD边无交点，
∴函数与BC边有交点，
将代入函数得：，
将代入函数得：，
∴．
【点睛】本题考查二次函数的综合、新定义，函数的平移，理解定义，能将定义与所学函数知识结合是解题的关键．
6．（2023春·福建龙岩·九年级校考期末）定义：对于给定的两个函数，任取自变量x的一个值，当x