四川省遂宁市2023-2024学年高二下学期期末质量监测数学试题

这是一份四川省遂宁市2023-2024学年高二下学期期末质量监测数学试题，共14页。试卷主要包含了答非选择题时，必须使用0，考试结束后，只将答题卡交回等内容，欢迎下载使用。

数学试题
本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答题前，务必将自己的姓名､座位号和准考证号填写在答题卡规定的位置上.
2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.
5.考试结束后，只将答题卡交回.
第I卷（选择题，共58分）
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.根据物理中的胡克定律，弹簧伸长的长度与所受的外力成正比.测得一根弹簧伸长长度x和相应所受外力F的一组数据如下：
据此给出以下结论：
①这两变量不相关；②这两个变量负相关；③这两个变量正相关.
其中所有正确结论的个数是（ ）
A.3 B.2 C.1 D.0
2.已知，，则（ ）
A. B. C. D.
3.一名同学有4本不同的数学书，5本不同的物理书，3本不同的化学书，现要将这些书全部放在一个单层的书架上，且同科目的书不分开，则不同的放法种数为（ ）
A. B. C. D.
4.某种生态鱼在某个池塘一年的生长量X（单位：克）服从正态分布，则概率为（ ）
参考数据：①；②；③

5.已知函数，有大于的极值点，则a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
6.的展开式中，各项系数和与含项的系数分别是（ ）
A.4092，495 B.8188，220 C.4092，220 D.8188，495
7.已知函数的最大值为a，令，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
8.一个直四棱柱的底面为梯形，这个四棱柱的每两个顶点相连形成多条直线，这些直线最多能组成（ ）对异面直线
A.174 B.180 C.210 D.368
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.下列有关样本相关系数r，叙述正确的是（ ）
A.r的取值范围是
B.r的取值范围是
C.越接近1，表示两变量的线性相关程度越强
D.越接近0，表示两变量的线性相关程度越强
10.在一个大型公司中，技术部门员工占，非技术部门员工占.在技术部门中，有的员工持有硕士学位，而在非技术部门中，只有的员工持有硕士学位.现从该公司随机抽取一名员工.则下列结论正确的是（ ）
A.抽到的员工是技术部门且持有硕士学位的概率为
B.抽到的员工持有硕士学位的概率为
C.若抽到的员工持有硕士学位，则该员工是技术部门的概率为
D.若抽到的员工持有硕士学位，则该员工是非技术部门的概率为
11.对于可以求导的函数，如果它的导函数也是可导函数，那么将的导函数记为.如果有零点，则称其为的“驻点”；如果有零点，则称点为的“拐点”.
某同学对三次函数和进行探究发现，得到如下命题，其中真命题为：（ ）
A.在“驻点”处取得最值
B.一定有“拐点”，但不一定有“驻点”
C.若有3个零点，则
D.存在实数m，，使得对于任意不相等的两实数，都有
第Ⅱ卷（非选择题，共92分）
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知x，y之间的一组数据：
若y与x满足回归方程，则b的值为___________.
13.第33届夏季奥运会于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，某高校欲从4名男生､5名女生中选派5名大学生到奥运会的3个项目当志愿者（每个项目必须有志愿者），则志愿者中至少有4名女生的分配方法共有___________种（用数作答）.
14.已知函数则关于x的方程根的个数为___________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（13分）
已知的展开式中所有的二项式系数之和为64.
（1）求n的值；
（2）求该展开式的常数项.
16.（15分）设，，，两个函数的图象如下图所示.
（1）过点作的切线l，求l的方程；
（2）判断，的图象与，之间的对应关系，根据这些关系，写出一个不等式，并证明.
17.（15分）
竹编是某地的地方特色，某地区相关部门对该地居民在过去两年内学习竹编次数进行了详尽统计，然后随机抽取了80名居民的学习数据，现将整理后的结果呈现如下表：
（1）若将这两年学习竹编的次数为3次及3次以上的，称为学习竹编“先锋”，其余的称为学习竹编“后起之秀”.请完成以下列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为性别因素与学习竹编有关系；
（2）若将这两年内学习竹编6次的居民称为竹编“爱好者”，为进一步优化竹编技术，在样本的“爱好者”中，随机抽取3人进行访谈，设抽取的3人中男性人数为Y，求Y的分布列和数学期望.
附：，
18.（17分）
随着信息技术的飞速进步，大数据的应用领域正日益扩大，它正成为推动社会进步的关键力量.某研究机构开发了一款数据分析软件，该软件能够精准地从海量数据中提取有价值的信息.在软件测试阶段，若输入的数据集质量高，则软件分析准确的概率为0.8；若数据集质量低，则分析准确的概率为0.3.已知每次输入的数据集质量低的概率为0.1.
（1）求一次数据能被软件准确分析的概率；
（2）在连续次测试中，每次输入一个数据集，每个数据集的分析结果相互独立.设软件准确分析的数据集个数为X.
①求X的方差；
②当n为何值时，的值最大？
19.（17分）
已知函数，记.
（1）判断的单调性；
（2）若存在极值点，且，
①求a的取值范围；
②求证：.
数学试题参考答案及评分标准
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
1.【命题意图】本小题主要考查现实情况下两个变量的相关性与理想状态下两个变量相关性的认识，从测量数据的随机性进行分析.考查化归与转化等数学思想，考查数据分析､数学运算等数学核心素养.本题根据教材选必三第104页第3题改编.
【答案】C
【解析】根据这些数据可得这两个变量具有相关性，而且具有正相关性.
2.【命题意图】本小题主要考查学生对条件概率等基础知识的认识.既检验了学生对条件概率概念的理解，又考查了他们的数学运算能力，还能够提升数学抽象､数学运算和逻辑推理等核心素养.
【答案】C
【解析】由条件概率的计算公式求解即可.由题意，知.
3.【命题意图】本小题主要考查排列组合的应用，特别是当元素分组且组与组之间有顺序时的排列问题.题目通过设置一个实际情境，即书籍的排列问题，来考查学生对排列组合原理的理解和应用能力.同时，题目也考查了学生的逻辑思维能力和数学运算能力.通过解决这类问题，学生不仅能够加深对排列组合知识的理解，还能够提高解决实际问题的能力，培养数据分析，数学抽象等数学核心素养.本题根据教材选必三习题6.2第26页第5题改编.
【答案】D
【解析】根据题意，将全部的书放在书架上，且不使同类的书分开，则数学书有种放法，物理书有种放法，化学书有种放法，3种书共有种排法，共有种放法.
4.【命题意图】本小题考查正态分布的性质和应用，特别是对称性和概率计算.通过设置生态鱼生长量的实际问题，考查学生对正态分布的理解和运算能力.本题旨在培养学生的数据分析､逻辑推理和数学运算等核心素养.本题根据教材选必三习题7.5第87页第2题改编.
【答案】B
【解析】因为，所以，因为.
5.【命题意图】本小题考查了极值点的定义与性质，特别是结合函数与方程参变分离的解题方法.题目通过设置具体函数，要求学生判断极值点的存在性并求解参数的取值范围，旨在考查学生
的逻辑思维能力和数学运算能力.通过解决这类问题，学生能够加深对极值点知识的理解，培养逻辑推理､数学运算等数学核心素养.本题根据教材选必二第95页例7改编.
【答案】D
【解析】由题意有大于-1的根，即方程有大于-1的根，而当时，，所以的取值范围为.
6.【命题意图】本小题旨在考查学生对二项式定理展开式中特定项系数及所有项系数和的求解能力，进一步加深对二项式定理的理解.通过本题，培养学生逻辑推理､数学运算等核心素养.本题根据教材选必三复习参考题6第38页第9题改编.
【答案】A
【解析】令，便可以得到各项的系数和，.
因为展开式的第为.所以没有含项，中含项的系数是中含项的系数是中含项的系数是.
所以的展开式中含项的系数为.
7.【命题意图】本小题考查函数的单调性与导数的关系及最值问题，需要学生利用导数判断函数单调性，进而求解最值.题目旨在提升学生的数学运算能力和逻辑推理能力，培养数学抽象､数据分析和逻辑推理等核心素养.
【答案】A
【解析】通过求出函数的导函数，得到该函数在为增函数，在为减函数，所以该函数的最大值，而通过求导得到为的增函数，所以.从而.
8.【命题意图】本小题考查学生对组合数在立体几何中应用的理解，以及空间几何中异面直线概念的应用.本题旨在培养学生的空间直观想象､逻辑推理和数学运算等核心素养.本题根据教材选必三复习参考题6第26页第3题改编.
【答案】B
【解析】如图，从这8个点中任取4点得，四点共面的情况有，6个表面，每个表面的4点共面；4个对角面（面，面，面，面），每个面的4点共面，所以这8点形成个四面体，每个四面体3对异面直线，所以这些直线最多能组成180对异面直线.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.
9.【命题意图】本小题旨在考查学生对样本相关系数的理解与应用，涉及统计与概率的基础知识.通过选项辨析，考查学生的对相关系数的认识和逻辑推理能力.本题旨在培养学生的数学抽象､逻辑推理等核心素养.本题根据教材选必三第96页~103页提炼改编.
【答案】AC
【解析】解答该问题，我们需要理解样本相关系数的基本性质.样本相关系数的取值范围是，因此选项A是正确的，而选项B是错误的.越接近1，表示两变量的线性相关程度越强，因此选项C是正确的.相反，越接近0，表示两变量的线性相关程度越弱，因此选项D是错误的.
10.【命题意图】本小题考查了条件概率､全概率公式及分类加法计数原理等概率统计知识，强调了对概率模型的构建及概率计算的理解与应用.本题旨在培养学生的逻辑推理､数学运算和数据分析等核心素养.本题根据教材选必三习题7.1第52页第1题改编.
【答案】AD
【解析】A选项，用分别表示抽到的员工是技术部门员工､非技术部门员工，用B表示抽到的员工持有学士学位.
由题意得，则，
故抽到的学生是技术部门员工且持有学士学位的概率为A正确；
B选项，由全概率公式得，B错误；
C选项，由B选项可得错误；
D选项，由选项可得，D正确.
11.【命题意图】本小题旨在考查导数在函数极值与单调性中的应用，通过探究三次函数的特性，考查学生的逻辑推理与转化能力.同时，本题也强调了对函数图象与性质的理解与运用，意在培养数学抽象､逻辑推理和数学运算等核心素养.本题根据教材选择性必修二第87页例3改编.
【答案】BC
【解析】函数的定义域为.对求导数，得
.所以的两个零点为，或.
所以A错误，C正确.
对于B，是一个关于的二次函数，二次函数不一定有零点，故不一定有“驻点”，但是是一个关于的一次函数，一次函数一定有零点，故一定有“拐点”，故B正确；
对于D，当且没有零点时，为上的增函数，无减区间，故D错误.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.【答案】
【命题意图】本小题主要考查线性回归方程的应用，特别是通过给定的数据点求解回归系数的能力.题目旨在考查学生的数据分析､数学建模和数学运算等核心素养，通过解决实际问题，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力.
【解析】，点在直线上，则，解得.
13.【命题意图】本小题考查组合计数原理､分组分配问题的实际应用，以及分类讨论的数学思想.通过解决实际问题，旨在提升学生解决实际问题的能力.考查学生的逻辑推理､数学运算和数学建模等核心素养.
【答案】3150
【解析】由题意可得恰有4名女生人选的选法有种，恰有5名女生人选的选法有种，将5名大学生按要求分成3组，可以按照“”和“”进行分组，共有，将三个组分配到三个项目中去有6种分法，所以最后的分配方法有（种），故答案为3150.
14.【命题意图】本小题考查学生利用三角函数的导数回归性､函数与方程思想解决复杂问题的能力，以及对函数周期性和零点存在性的理解.本题旨在培养数学抽象､逻辑推理和数学运算等核心素养.
【解析】当时，，且和仅1个交点，即仅1根，
当时，，
当时，，则，
当时，，则，
以此类推得出，而，
当有3个交点，以后每个周期内和有2个交点，且在区
间无交点，所以共有个交点，即关于的方程根的
个数为31.
四､解答题：本题共5小题，共77分.
15.（13分）
【命题意图】本小题旨在考查二项式定理的应用，特别是二项式系数之和与展开式通项公式的应用，很好的锻炼了学生的逻辑思维和运算能力.本题要培养出的高中数学核心素养包括逻辑推理､数学运算和数据分析.
【解析】（1）由题意可得，，解得.
（2），
二项展开式的通项为.
由，得.
所以，展开式的常数项为.
16.（15分）
【命题意图】本小题考查导数在几何中的应用，特别是切线方程的求解与函数图象的关系.题目旨在通过切线与函数图象的对比，培养学生的几何直观与逻辑思维能力.同时，也锻炼了学生分析图象､推导不等式等数学能力.本题要培养高中数学中的逻辑推理､直观想象和数学运算等核心素养.本题根据教材选择性必修二第89页例4改编.
【解析】因为，所以.
（1）设切点为，则，
代入得，，解得，
所以.
（2）当时，；当时，；当时，.
所以，在上都是增函数.在区间上，的图象比的图象要“陡峭”；在区间上，的图象比的图象要“平缓”.
所以，的图象依次是图中的.（只要判断出这个结果就可以了）
根据图象和第（1）的切线，可以写出以下不等式，并给出一个不等式的证明均可.
①；②；③；
下面证明①.
设，则
当时，，所以为减函数，
当时，，所以为增函数，
所以，即，命题得证.
下面证明②；
，
，
当时，，所以为增函数，
当时，，所以为减函数，
所以，即，命题得证.
下面证明③.
即证，
而恒成立，
所以得证.
17.（15分）
【命题意图】主要考查学生对统计数据的理解和分析能力，包括数据的整理､表格解读以及概率计算等.通过本题，旨在培养学生的数据分析､逻辑推理和数学运算等核心素养，提升其解决实际问题的能力.
【解析】（1）根据统计表格数据可得列联表如下：
零假设为：性别与学习竹编情况独立，即性别因素与学习竹编无关；
根据列联表的数据计算可得
.
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即该地区性别因素与学习竹编有关系，此推断犯错误的概率不超过0.1.
（2）易知样本中“爱好者”共10名，其中6名男生，4名女生，
所以的所有可能取值为，
且服从超几何分布：
，
.
故所求分布列为
可得.
18.（17分）
【命题意图】通过考查学生对概率基础知识的理解和应用，特别是在条件概率和独立事件概率计算方面的掌握情况，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力.本题旨在培养学生的数学运算､逻辑推理和数据分析核心素养.
【解析】（1）记“输入的数据集质量高”为事件，“一次数据能被软件准确分析”为事件，由题意可知：，则，所以.
所以一次数据能被软件准确分析的概率0.75.
（2）由（1）可知：，
①依题意，，所以的方差；
②可知，
令，则，
令，解得，可知当，可得；
令，解得，可知当，可得；
于是
所以当时，最大，即时，的值最大.
19.（17分）
【命题意图】本小题主要考查应用导数解决函数的单调性､极值判断与求解，以及参数取值范围的确定.题目涉及导数应用､不等式性质等知识点，考查逻辑推理､数学运算和直观想象等核心素养.通过本题，旨在提升学生综合应用数学知识解决问题的能力.
【解析】（1）由题知，
即，则，它为增函数，
当时，在为增函数，
当时，函数的零点，
所以在区间上，，则为减函数，
在区间上，，则为增函数.
（2）①，
（i）当时，在区间为增函数，
所以为区间的增函数，不符合题意.
（ii）当时，在区间为减函数，
在区间为增函数，
所以，
当时，，此时增函数，无极值点，不合题意，舍去.
当时，
令，
当时，为减函数，
当时，为增函数，
所以，故，
若，则由且在区间为增函数得，在为增函数，
所以，
所以在无零点，即无正数极值点.
若，则由得，
又因为且，
所以存在，使得，
且当为减函数，当为增函数，
所以是极小值点，即存在正数极值点.
综上所述，的取值范围是.
②由（1）知，，则，其中，
，
令，
于是时，单调递增，
时，单调递减，
故在处取得最大值，
故，所以，
所以，.编号
1
2
3
4
5
6
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2.0
3.08
3.76
4.31
5.02
5.51
6.25
x
1
4
9
16
y
5.5
4
3.5
3
学习竹编次数
0
1
2
3
4
5
6
合计
男
1
3
5
7
9
9
6
40
女
5
6
7
7
6
5
4
40
合计
6
9
12
14
15
14
10
80
性别
学习竹编
合计
后起之秀
先锋
男生
女生
合计
0.1
0.05
0.01
2.706
3.841
6.635
-1
2
+
0
-
0
+
极大值
极小值
单调递增
单调递减
单调递增
性别
学习竹编
合计
后起之秀
先锋
男
9
31
40
女
18
22
40
合计
27
53
80
0
1
2
3