人教A版普通高中数学一轮复习第四章第五节函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及简单应用学案

这是一份人教A版普通高中数学一轮复习第四章第五节函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及简单应用学案，共26页。学案主要包含了常用结论等内容，欢迎下载使用。

2．能借助图象理解参数A，ω，φ的意义，了解参数的变化对函数图象的影响．
3．会用三角函数解决简单的实际问题，体会利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型．
自查自测
知识点一 简谐运动的有关概念
函数y＝2sin 2x+π4的振幅、频率和初相分别为( )
A．2，1π，π4B．2，12π，π4
C.2，1π，π8D．2，12π，－π8
A 解析：由振幅、频率和初相的定义可知，函数y＝2sin 2x+π4的振幅为2，频率为1π，初相为π4．
核心回扣
已知函数y＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，x≥0.
自查自测
知识点二 由函数y＝sin x的图象变换得到y＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象的方法
1.判断下列说法的正误，正确的打“√”，错误的打“×”．
(1)函数f (x)＝sin 2x的图象向右平移π6个单位长度后得到函数g(x)＝sin 2x-π6的图象．( × )
(2)把y＝sin x的图象上各点的横坐标缩短为原来的12，所得函数解析式为y＝sin 12x.( × )
(3)把y＝cs x的图象上各点的纵坐标伸长为原来的2倍，所得函数解析式为y＝2cs x． ( √ )
2.(教材改编题)将函数y＝3sin 2x+π4的图象向左平移π3个单位长度后得到函数y＝g(x)的图象，则g(x)＝ ．
3sin 2x+11π12 解析：g(x)＝f x+π3＝3sin 2x+π3+π4＝3sin 2x+11π12．
核心回扣
1.两种方法
2.两种变换的区别：①先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位长度；②先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是φω个单位长度．
注意点：
无论哪种变换，每一个变换总是针对自变量x而言的，即图象变换要看“自变量x”发生多大变化，而不是看角“ωx＋φ”的变化．
【常用结论】
1.函数y＝A sin (ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”．
2.函数y＝A sin (ωx＋φ)图象的对称轴由ωx＋φ＝kπ＋π2，k∈Z确定；对称中心的横坐标由ωx＋φ＝kπ，k∈Z确定．
3.用“五点法”画函数y＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表：
应用1 用“五点法”画函数y＝sin 2x+π4的图象时，下列不是关键点的是( )
A．-π8，0 B．π8，1
C．3π8，0 D．0，22
D 解析：“五点法”作图的五个点是一个周期内的5个特殊位置，即最值点和函数与x轴的交点，因此0，22不满足题意．
应用2 把函数y＝sin x的图象先向左平移π4个单位长度，然后再向上平移3个单位长度得到的函数图象对应的解析式为 ．
y＝sin x+π4＋3 解析：把函数y＝sin x的图象先向左平移π4个单位长度得到函数y＝sin x+π4的图象，再向上平移3个单位长度得到的函数图象对应的解析式为y＝sin x+π4＋3.
应用3 函数f (x)＝sin 2x+π3的图象的对称轴为 ．
x＝kπ2＋π12(k∈Z) 解析：由2x＋π3＝kπ＋π2(k∈Z)，得x＝kπ2＋π12(k∈Z)．
由图象确定y＝A sin (ωx＋φ)的解析式
1．(2024·日照模拟)函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)＋bA＞0，ω＞0，φ＜π2的一部分图象如图所示，则( )
A．f (x)＝3sin 2x-π6＋1
B．f (x)＝2sin 3x+π3＋2
C．f (x)＝2sin 3x-π6＋2
D．f (x)＝2sin 2x+π6＋2
D 解析：根据题图知A+b=4，b-A=0，所以A＝2，b＝2.又T＝45π12-π6＝π，所以ω＝2ππ＝2.
又函数的图象经过最高点π6，4，
代入函数f (x)＝2sin (2x＋φ)＋2，
得sin 2×π6+φ＝1.
因为φ＜π2，所以φ＝π6，
所以f (x)＝2sin 2x+π6＋2.
2．(多选题)如图是函数y＝sin (ωx＋φ)的部分图象，则sin (ωx＋φ)＝( )
A．sin x+π3B．sin π3-2x
C．cs 2x+π6D．cs 5π6-2x
BC 解析：由题图可知，函数的最小正周期T＝22π3-π6＝π，所以2πω＝π，ω＝±2.
不妨取ω＝2，则y＝sin (2x＋φ)．
将点π6，0代入，得sin 2×π6+φ＝0，
所以2×π6＋φ＝2kπ＋π，k∈Z，
即φ＝2kπ＋2π3，k∈Z.
取k＝0，则y＝sin 2x+2π3，故A错误；
sin 2x+2π3＝sin π-π3-2x＝sin π3-2x，故B正确；
sin 2x+2π3＝sin 2x+π2+π6＝cs 2x+π6，故C正确；
由C知sin 2x+2π3＝cs 2x+π6＝cs π+
2x-5π6＝－cs 5π6-2x，故D错误．
3．(2021·全国甲卷)已知函数f (x)＝2cs (ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f π2＝ ．
－3 解析：由题意，可得34T＝13π12－π3＝3π4，
所以T＝π，|ω|＝2πT＝2，
不妨取ω＝2，
当x＝13π12时，ωx＋φ＝2×13π12＋φ＝2kπ，k∈Z，
所以φ＝2kπ－13π6(k∈Z)．
令k＝1可得φ＝－π6，
据此有f (x)＝2cs 2x-π6，
f π2＝2cs 2×π2-π6＝2cs 5π6＝－3.
确定函数y＝A sin (ωx＋φ)＋b
(A＞0，ω＞0)的解析式的步骤和方法
(1)求A，b.确定函数的最大值M和最小值m，则A＝M-m2，b＝M+m2．
(2)求ω.确定函数的最小正周期T，则ω＝2πT．
(3)求φ.把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间内还是在下降区间内)或把图象的最高点(最低点)代入．
函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象变换
【例1】(1)(2024·成都模拟)把函数y＝f (x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移π3个单位长度，得到函数y＝sin x-π4的图象，则f (x)等于( )
A．sin x2-7π12B．sin x2+π12
C．sin 2x-7π12D．sin 2x+π12
B 解析：由已知的函数y＝sin x-π4进行逆向变换，即将y＝sin x-π4的图象向左平移π3个单位长度，再将所得曲线上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y＝f (x)的图象，所以y＝sin x-π4的图象 向左平移 π3个单位长度 y＝sin x+π12的图象 纵坐标不变 横坐标伸长到原来的2倍 y＝f (x)＝sin x2+π12的图象．
(2)(2023·全国甲卷)已知f (x)为函数y＝cs 2x+π6的图象向左平移π6个单位长度所得函数图象对应的解析式，则函数y＝f (x)的图象与直线y＝12x－12的交点个数为( )
A．1B．2
C．3D．4
C 解析：因为y＝cs 2x+π6的图象向左平移π6个单位长度所得函数图象对应的解析式为y＝cs 2x+π6+π6＝cs 2x+π2＝－sin 2x，所以f (x)＝－sin 2x.
而直线y＝12x－12显然过0，-12与(1，0)两点．
作出函数f (x)与直线y＝12x－12的部分图象大致如下：
当x＝－3π4时，f -3π4＝－sin -3π2＝－1，y＝12×-3π4－12＝－3π+48＜－1；
当x＝3π4时，f 3π4＝－sin 3π2＝1，y＝12×3π4－12＝3π-48＜1；
当x＝7π4时，f 7π4＝－sin 7π2＝1，y＝12×7π4－12＝7π-48＞1，
所以由图可知，f (x)与y＝12x－12的交点个数为3.
[变式] 本例(1)改为：把函数y＝f (x)图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移π3个单位长度，得到函数y＝sin x-π4的图象，则f (x)＝ ．
sin 2x-7π12 解析：依题意，将y＝sin x-π4的图象向右平移π3个单位长度得到y＝sin x-7π12的图象．
再将y＝sin x-7π12的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变得到原函数y＝f (x)＝sin 2x-7π12的图象，即f (x)＝sin 2x-7π12．
函数图象的变换的解题策略
(1)由y＝sin ωx的图象到y＝sin (ωx＋φ)(ω＞0，φ＞0)的图象的变换：向左平移φω个单位长度而非φ个单位长度．
(2)如果平移前后两个图象对应的函数的名称不一致，那么应先利用诱导公式化为同名函数，ω为负时应先变成正值．
1．已知函数f (x)＝sin 2x+π6，若将f (x)的图象向右平移π6个单位长度后，再把所得曲线上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象，则( )
A．g(x)＝sin 4x-π6
B．g(x)＝sin 4x
C．g(x)＝sin x
D．g(x)＝sin x-π6
D 解析：将函数f (x)＝sin 2x+π6的图象向右平移π6个单位长度，可得函数y＝sin 2x-π6+π6＝sin 2x-π6的图象；再把所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)得到函数g(x)＝sin x-π6的图象．
2．(2024·南昌模拟)要得到y＝cs 3x-π4的图象，只需将y＝sin 3x的图象( )
A．向左平移π4个单位长度
B．向右平移π12个单位长度
C．向左平移π12个单位长度
D．向左平移5π12个单位长度
C 解析：因为y＝cs 3x-π4＝sin 3x-π4+π2＝sin 3x+π4＝sin 3x+π12，
所以要得到y＝cs 3x-π4的图象，只需将y＝sin 3x的图象向左平移π12个单位长度．
3．把函数f (x)＝2cs 2x-π4的图象向左平移m(m＞0)个单位长度，得到函数g(x)＝2sin 2x-π3的图象，则m的最小值是( )
A．7π24 B．17π24
C．5π24 D．19π24
B 解析：把函数f (x)＝2cs 2x-π4的图象向左平移m(m＞0)个单位长度，得到函数y＝2cs 2x+m-π4＝2cs 2x+2m-π4的图象．
g(x)＝2sin 2x-π3＝2cs π2-2x-π3＝2cs 5π6-2x＝2cs 2x-5π6，
令2m－π4＝－5π6＋2kπ，k∈Z，得m＝－7π24＋kπ，k∈Z.
因为m＞0，所以当k＝1时，m取得最小值，此时m＝π－7π24＝17π24．
三角函数模型及其应用
【例2】已知某海滨浴场的海浪高度y(单位：米)是时间t(单位：时)的函数，其中0≤t≤24，记y＝f (t)，下表是某日各时的浪高数据：
经长期观测，y＝f (t)的图象可近似地看成函数y＝A cs ωt＋b的图象．
(1)根据以上数据，求其最小正周期、振幅及函数解析式；
(2)根据规定，当海浪高度大于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的8：00到20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行活动？
解：(1)由表中数据可知，T＝12，所以ω＝π6．又t＝0时，y＝1.5，所以A＋b＝1.5；t＝3时，y＝1.0，得b＝1.0，所以振幅A＝12，所以函数解析式为y＝12cs π6t＋1(0≤t≤24)．
(2)因为当y＞1时，才对冲浪爱好者开放，所以y＝12cs π6t＋1＞1，cs π6t＞0，则2kπ－π2＜π6t＜2kπ＋π2(k∈Z)，即12k－3＜t＜12k＋3(k∈Z)．又0≤t≤24，所以0≤t＜3或9＜t＜15或21＜t≤24，所以在8：00到20：00之间只有6个小时可供冲浪爱好者进行活动，即9＜t＜15.
[变式] 若将本例(2)中“大于1米”改为“大于1.25米”，结果又如何？
解：由y＝12cs π6t＋1＞1.25，得cs π6t＞12，则2kπ－π3＜π6t＜2kπ＋π3，k∈Z，即12k－2＜t＜12k＋2，k∈Z.
又0≤t≤24，所以0≤t＜2或10＜t＜14或22＜t≤24，
所以在8：00到20：00之间只有4个小时可供冲浪爱好者进行活动，即10＜t＜14.
利用三角函数模型解决实际问题的步骤
(1)寻找与角有关的信息，确定选用正弦、余弦还是正切型函数模型．
(2)寻找数据，建立函数解析式并解题．
(3)将所得结果“翻译”成实际答案，要注意根据实际作答．
解题思路如下：
如图所示，某大风车的半径为2 m，每12 s旋转一周，它的最低点O离地面0.5 m．风车圆周上一点A从最低点O开始，运动t s后与地面的距离为h m.
(1)求函数h＝f (t)的关系式；
(2)当1≤t≤8时，求h的取值范围．
解：(1)如图所示，以O为原点，过点O的圆的切线为x轴，建立平面直角坐标系．过点A作y轴的垂线段，垂足为B，连接O1A．
设点A的坐标为(x，y)，
则h＝y＋0.5.
设∠OO1A＝θ，则cs θ＝2-y2，
所以y＝－2cs θ＋2.
又θ＝2π12t，即θ＝π6t，
所以y＝－2cs π6t＋2，
故h＝f (t)＝－2cs π6t＋2.5.
(2)当1≤t≤8时，则π6≤π6t≤4π3，
所以－1≤cs π6t≤32，
所以2.5－3≤h≤4.5，
即当1≤t≤8时，h的取值范围是[2.5－3，4.5].
三角函数图象与性质的综合问题
【例3】(1)(多选题)(2024·济南模拟)若将函数f (x)＝cs 2x+π12的图象向左平移π8个单位长度，得到函数g(x)的图象，则下列说法正确的是( )
A．g(x)的最小正周期为π
B．g(x)在区间0，π2上单调递减
C．x＝－π6是函数g(x)的图象的一条对称轴
D．g(x)的图象关于点-5π12，0对称
ACD 解析：将函数f (x)＝cs 2x+π12的图象向左平移π8个单位长度，得到函数g(x)＝cs 2x+π8+π12＝cs 2x+π3的图象．
对于A，g(x)的最小正周期为T＝2π2＝π，故A正确；
对于B，由0≤x≤π2，得π3≤2x＋π3≤4π3，当π≤2x＋π3≤4π3，即π3≤x≤π2时，g(x)单调递增，故B不正确；
对于C，g-π6＝cs 2×-π6+π3＝cs 0＝1，所以x＝－π6是函数g(x)的图象的一条对称轴，故C正确；
对于D，g-5π12＝cs 2×-5π12+π3＝cs -π2＝cs π2＝0，所以g(x)的图象关于点-5π12，0对称，D正确．
(2)已知关于x的方程2sin2x－3sin2x＋m－1＝0在π2，π上有两个不同的实数根，则m的取值范围是 ．
(－2，－1) 解析：方程2sin2x－3sin2x＋m－1＝0可转化为m＝1－2sin2x＋3sin2x＝cs 2x＋3sin 2x＝2sin 2x+π6．
设2x＋π6＝t，x∈π2，π，则t∈7π6，13π6，
题目条件可转化为m2＝sin t，t∈7π6，13π6有两个不同的实数根，
所以y＝m2和y＝sin t，t∈7π6，13π6的图象有两个不同的交点，如图所示．
由图象观察知，m2的取值范围为-1，-12，故m的取值范围是(－2，－1)．
1．研究y＝A sin (ωx＋φ)的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题．
2．方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数．
(多选题)(2024·邯郸模拟)已知函数f (x)＝2sin (ωx＋φ)ω＞0，φ＜π2的图象过点(0，1)，最小正周期为π2，则( )
A．函数f (x)在π6，5π6上单调递减
B.函数f (x)的图象向右平移π6个单位长度后得到的图象对应的函数为偶函数
C．函数f (x)在(0，π)上有且仅有4个零点
D.函数f (x)在区间π4，5π12上有最小值无最大值
BCD 解析：依题意，f (0)＝2sin φ＝1，即sin φ＝12，而|φ|＜π2，则φ＝π6．又最小正周期为π2，得ω＝4，则f (x)＝2sin 4x+π6．
对于A，由x∈π6，5π6，得4x＋π6∈5π6，7π2，则f (x)在π6，5π6上不单调，故A不正确；
对于B，f (x)的图象向右平移π6个单位长度后得函数f (x)＝2sin 4x-π6+π6＝2sin 4x-π2＝－2cs 4x的图象，是偶函数，故B正确；
对于C，当0＜x＜π时，π6＜4x＋π6＜4π＋π6，则当4x＋π6＝π，2π，3π，4π时，有x＝5π24，11π24，17π24，23π24，可得f (x)在(0，π)上有且仅有4个零点，故C正确；
对于D，当π4＜x＜5π12时，7π6＜4x＋π6＜11π6，当4x＋π6＝3π2时，f (x)取得最小值－2，无最大值，故D正确．

[试题呈现]
将函数y＝3cs x＋sin x(x∈R)的图象向左平移m(m＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是( )
A．π12 B．π6
C．π3D．5π6
[四字程序]
[一题多解]
思路参考：构造正弦型函数的解析式．
B 解析：函数y＝3cs x＋sin x＝2sin x+π3的图象向左平移m(m＞0)个单位长度，得到y＝2sin x+m+π3的图象．由x＋m＋π3＝kπ＋π2(k∈Z)，得函数y＝2sin x+m+π3的图象的对称轴为直线x＝π6－m＋kπ(k∈Z)．因为所得的图象关于y轴对称，所以有π6－m＋kπ＝0(k∈Z)，即m＝kπ＋π6(k∈Z)，则m的最小值为π6．
思路参考：构造余弦型函数的解析式．
B 解析：函数y＝3cs x＋sin x＝2cs x-π6的图象向左平移m(m＞0)个单位长度，得到y＝2cs x+m-π6的图象．因为此函数图象关于y轴对称，所以y＝2cs x+m-π6为偶函数，易知m的最小值为π6．
思路参考：根据图象对称轴与函数最值的关系．
B 解析：由解法1知，平移后得到y＝2sin x+m+π3的图象．因为所得的图象关于y轴对称，可得当x＝0时，y＝±2，进而sin m+π3＝±1.又m＞0，易知m的最小值为π6．
思路参考：利用函数图象．
B 解析：y＝3cs x＋sin x＝2sin x+π3，可得此函数图象的对称轴为x＝kπ＋π6(k∈Z)，可知离y轴最近的对称轴为x＝π6．由图象向左平移m(m＞0)个单位长度后关于y轴对称，易知m的最小值为π6．
课时质量评价(二十五)
1．为了得到函数y＝3sin 12x+π5的图象，只需把y＝3cs x2图象上的所有点( )
A．向右平移3π5个单位长度
B．向右平移2π5个单位长度
C．向左平移2π5个单位长度
D．向左平移3π5个单位长度
A 解析：为了得到函数y＝3sin 12x+π5＝3cs 12x+π5-π2＝3cs 12x-3π10＝3cs 12x-3π5的图象，只需把y＝3cs x2图象上的所有点向右平移3π5个单位长度即可．
2．(2024·烟台模拟)函数f (x)＝sin 2x-π3的图象是由函数g(x)的图象向左平移φ0＜φ＜π2个单位长度得到的．若gπ3＝－f π3，则φ的值为( )
A．π3 B．π4
C．π6D．π12
A 解析：因为函数f (x)＝sin 2x-π3的图象是由函数g(x)的图象向左平移φ0＜φ＜π2个单位长度得到，所以g(x)＝sin 2x-φ-π3＝sin 2x-π3-2φ．
因为gπ3＝－f π3，所以sin π3-2φ＝－32，
故可得π3－2φ＝2kπ－π3，k∈Z或π3－2φ＝2kπ－2π3，k∈Z.
又0＜φ＜π2，所以φ＝π3．
3．(多选题)(数学与生活)血压(BP)是指血液在血管内流动时作用于单位面积血管壁的侧压力，它是推动血液在血管内流动的动力．血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压．在未使用抗高血压药的前提下，18岁以上成人的收缩压≥140 mmHg或舒张压≥90 mmHg，则说明该成人有高血压．设从未使用抗高血压药的陈华今年45岁，从某天早晨6点开始计算(即早晨6点时，t＝0 h)，他的血压p(t)(mmHg)与经过的时间t(h)满足关系式p(t)＝115＋20sin π6t+π3，则下列选项中正确的是( )
A．当天早晨6～7点，陈华的血压逐渐上升
B.当天早晨9点时陈华的血压为125 mmHg
C．当天陈华没有高血压
D.当天陈华的收缩压与舒张压之差为40 mmHg
ABD 解析：由已知，对于A，当天早晨6～7点，则t∈[0，1]，π3≤π6t＋π3≤π2，所以函数p(t)在[0，1]上单调递增，陈华的血压逐渐上升，故该选项正确；
对于B，当t＝3时，p(t)＝115＋20sin 5π6＝125，所以当天早晨9点时陈华的血压为125 mmHg，故该选项正确；
对于C，D，因为函数p(t)的最大值为115＋20＝135，最小值为115－20＝95＞90，所以陈华的收缩压为135 mmHg，舒张压为95 mmHg，因此陈华有高血压，且他的收缩压与舒张压之差为40 mmHg，故选项C错误，选项D正确．
4．已知函数f (x)＝－sin2ωx(ω＞0)的最小正周期为π，若将其图象沿x轴向右平移a(a＞0)个单位长度，所得图象关于直线x＝π3对称，则实数a的最小值为( )
A．πB．π3
C．3π4 D．π4
B 解析：函数f (x)＝－sin2ωx＝cs2ωx-12＞0)的最小正周期为2π2ω＝π，所以ω＝1，
所以f (x)＝cs2x-12．
若将其图象沿x轴向右平移a(a＞0)个单位长度，可得y＝cs2x-2a-12的图象，
再根据所得图象关于直线x＝π3对称，可得2×π3－2a＝kπ，k∈Z，故a＝π3－kπ2．
令k＝0，可得实数a的最小值为π3．
5．已知函数f (x)＝2sin x+π6，将函数y＝f (x)的图象向左平移π6个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，则g(x)在[0，2π]上的单调递减区间为 ．
π6，7π6 解析：将函数y＝f (x)的图象向左平移π6个单位长度，得f x+π6＝2sin x+π3，即g(x)＝2sin x+π3．由x∈[0，2π]，得π3≤x＋π3≤7π3，令π2≤x＋π3≤3π2，得π6≤x≤7π6．
6．函数y＝sin (2x＋φ)φ＜π2的图象向右平移π6个单位长度后所得函数图象关于y轴对称，则φ＝ ．
－π6 解析：由y＝sin (2x＋φ)的图象向右平移π6个单位长度后，可得f (x)＝sin 2x-π6+φ＝sin 2x-π3+φ的图象．因为f (x)＝sin 2x-π3+φ的图象关于y轴对称，所以－π3＋φ＝kπ＋π2，k∈Z，解得φ＝kπ＋5π6，k∈Z.因为|φ|＜π2，所以φ＝－π6．
7．(2024·南昌模拟)函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)A＞0，ω＞0，φ＜π2的部分图象如图所示．若x1，x2∈-π6，π3，且f (x1)＝f (x2)，则f (x1＋x2)＝ ．
32 解析：根据题图可得A＝1，周期T＝2π3--π6＝π，所以ω＝2.
又函数的图象过点-π6，0，
即2×-π6＋φ＝2kπ，k∈Z，
所以φ＝π3＋2kπ，k∈Z.
又|φ|＜π2，所以φ＝π3，所以f (x)＝sin 2x+π3．
因为π3+-π62＝π12，所以图中最高点的坐标为π12，1．
又x1，x2∈-π6，π3，且f (x1)＝f (x2)，
所以x1＋x2＝π12×2＝π6，
所以f (x1＋x2)＝sin 2×π6+π3＝32．
8．(2024·杭州模拟)已知函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)的图象如图所示，M，N是直线y＝－1与曲线y＝f (x)的两个交点，且|MN|＝2π9，则f (π)的值为( )
A．2B．－1
C．－2D．－3
D 解析：由函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)的图象知A＝2，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)(x2＞x1)，
由|MN|＝2π9，可得x2－x1＝2π9，
令2sin (ωx＋φ)＝－1，即sin (ωx＋φ)＝－12，
结合图象可得ωx1＋φ＝－5π6，ωx2＋φ＝－π6，
作差得ω(x2－x1)＝2π3，
即ω×2π9＝2π3，所以ω＝3.
把-4π9，0代入f (x)＝2sin (3x＋φ)，
即2sin -4π3+φ＝0，
所以φ＝(2k－1)π＋4π3，k∈Z，
则f (π)＝2sin 3π+2k-1π+4π3＝2sin 4π3＝－3.
9．(多选题)已知函数f (x)＝cs 2x-π3，先将其图象上的所有点的横坐标伸长到原来的4倍(纵坐标不变)，再将所得图象向右平移2π3个单位长度，得到函数g(x)的图象，则( )
A．g(x)的最小正周期是4π
B．g(x)的最小值为－2
C．g(x)在(0，π)上单调递增
D．g(x)的图象关于点π2，0对称
AC 解析：由题先将其图象上的所有点的横坐标伸长到原来的4倍(纵坐标不变)得y＝cs 12x-π3的图象，
再将所得图象向右平移2π3个单位长度得
y＝cs 12x-2π3-π3＝cs 12x-2π3的图象，
所以g(x)＝cs 12x-2π3，其最小正周期为4π，最小值为－1，故A正确，B错误；
令－π＋2kπ≤12x－2π3≤2kπ(k∈Z)，解得x∈-2π3+4kπ，4π3+4kπ(k∈Z)，令k＝0，则g(x)在-2π3，4π3上是单调递增的，故C正确；
令12x－2π3＝－π2＋kπ(k∈Z)，解得x＝π3＋2kπ(k∈Z)，所以其图象关于点π3+2kπ，0(k∈Z)对称，故D错误．
10．函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)＋bA＞0，ω＞0，φ＜π2的图象如图，则S＝f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 020)＋f (2 021)＋f (2 022)＋f (2 023)的值为 ．
2 024 解析：由图象知T=2πω=4，A+b=32，-A+b=12，
所以ω＝π2，b＝1，A＝12，
所以f (x)＝12sin π2x+φ＋1.
由f (x)的图象过点1，32得12sin π2+φ＋1＝32，
所以φ＝2kπ，k∈Z.
又|φ|＜π2，则φ＝0.
所以f (x)＝12sin π2x＋1，
所以f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝12sin0+1＋12sinπ2+1＋12sinπ+1＋12sin3π2+1＝4.
又2 024＝4×506，所以S＝4×506＝2 024.
11．(2024·深圳模拟)已知函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)，其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜π，函数f (x)图象上相邻的两个对称中心之间的距离为π4，且在x＝π3处取到最小值－2.
(1)求函数f (x)的解析式；
(2)若将函数f (x)图象上所有点的横坐标先伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移π6个单位长度，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)的单调递增区间；
(3)若关于x的方程g(x)＝m＋2在x∈0，9π8上有两个不同的实根，求实数m的取值范围．
解：(1)由题意知函数f (x)的最小正周期为2×π4＝2πω，解得ω＝4，
所以f (x)＝A sin (4x＋φ)．
又函数f (x)在x＝π3处取到最小值－2，
所以A＝2，且f π3＝－2，
即4π3＋φ＝2kπ＋3π2，k∈Z.
令k＝0，可得φ＝π6，所以f (x)＝2sin 4x+π6．
(2)函数f (x)＝2sin 4x+π6图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，
得y＝2sin 2x+π6的图象，
再向左平移π6个单位长度可得
g(x)＝2sin 2x+π6+π6＝2cs 2x的图象，
令－π＋2kπ≤2x≤2kπ，k∈Z，
解得－π2＋kπ≤x≤kπ，k∈Z，
所以g(x)的单调递增区间为-π2+kπ，kπ(k∈Z)．
(3)因为方程g(x)＝m＋2在x∈0，9π8上有两个不同的实根，
函数g(x)＝2cs 2x，x∈0，9π8的图象如图所示．
由图可知－2＜m＋2≤2或m＋2＝2，
解得－4＜m≤2－2或m＝0.
所以实数m的取值范围为(－4，2－2]∪{0}．振幅
A
周期
T＝2πω
频率
f ＝1T＝ω2π
相位
ωx＋φ
初相
φ
ωx＋φ
0
π2
π
3π2
2π
x
-φω
π2-φω
π-φω
3π2-φω
2π-φω
y＝A sin (ωx＋φ)
0
A
0
－A
0
t
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y
1.5
1.0
0.5
1.0
1.5
1.0
0.5
0.99
1.5
读
向左平移，图象关于y轴对称，求m的最小值
想
1.辅助角公式．
2．平移变换的规则：左加右减．
3．图象关于y轴对称说明在x＝0处取得最值
算
1.三角恒等变换．
2．图象的对称轴方程
思
1.平移变换前后，解析式之间的关系．
2．正弦(或余弦)型函数图象的对称性