2023-2024学年福建省泉州市石狮市七年级（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年福建省泉州市石狮市七年级（下）期末数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若3a−1=2a，则a等于( )
A. 1B. −1C. 15D. −15
2.对称性揭示了自然的秩序与和谐，是数学之美的体现，在数学活动课中，同学们利用画图工具绘制出下列图形，其中是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.若某三角形的三边长分别为4、8、x，则x的值可以是( )
A. 3B. 4C. 5D. 13
4.下列正多边形中，能够铺满地面的是( )
A. 正五边形B. 正六边形C. 正八边形D. 正十二边形
5.若a>b，则下列不等式一定成立的是( )
A. a−1−b
6.《增删算法统宗》记载：“有个学生资性好，一部孟子三日了，每日增添一倍多，问若每日读多少？”其大意是：有个学生天资聪慧，三天读完一部《孟子》，每天阅读的字数是前一天的两倍，问他每天各读多少个字？已知《孟子》一书共有34685个字，设他第一天读x个字，则下面所列方程正确的是( )
A. x+2x+4x=34685B. x+2x+3x=34685
C. x+2x+2x=34685D. x+12x+14x=34685
7.将如图所示的正五角星绕着它的中心点O顺时针旋转一定角度后能与原图形重合，则这个旋转角的大小不可能是( )
A. 72°
B. 144°
C. 150°
D. 216°
8.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，AD是BC边上的中线，则△ABD的面积为( )
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
9.把边长相等的正五边形ABCDE和正方形DEFG按如图方式拼在一起，延长AE交FG于点H，则∠FEH的度数为( )
A. 10°
B. 15°
C. 18°
D. 20°
10.如图，△ABC中，点D在BC边上，过D作DE⊥BC交AB于点E，P为DC上的一个动点，连接PA、PE，若PA+PE最小，则点P应该满足( )
A. PA=PCB. PA=PE
C. ∠APE=90°D. ∠APC=∠DPE
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.十边形的外角和的度数是______．
12.如图，AC⊥BE，DE⊥BE，垂足分别为点C、E.若△ABC≌△BDE，AC=5，DE=2，则CE= ______．
13.如图，△ABC沿射线AC的方向平移，得到△CDE.若AE=6，则B，D两点的距离为______．
14.已知关于x、y的方程组2x+m=1,y=m+3若用含x的代数式来表示y，则y= ______．
15.整式mx+2n的值随x的取值不同而不同，下表是当x取不同值时对应的整式的值，则关于x的方程2mx+4n=−4的解是______．
16.有一条65cm长的塑料卷尺.若在刻度4cm处折叠(如图1所示)，上层(阴影层)与下层的整数刻度就会叠合在一起，如刻度0与8，1与7，2与6，3与5叠合.若沿上层刻度2cm的位置用剪刀剪开(如图2所示)，并将中间叠合的那段展开铺平，可得到三段卷尺.小明同学选择在刻度30cm处将该卷尺折叠，并在上层某整数刻度处剪开并展平，得到三段卷尺，若其中一段长是另一段长的3倍，则上层剪开处的刻度是______cm．
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
解方程：x−32−2x+13=−1．
18.(本小题8分)
解方程组：x−y=2①2x+y=16②．
19.(本小题8分)
解不等式组，并把不等式①、②的解集在同一数轴上表示出来．
x−1>4x+11①3(x−2)−1≤2(1+x)②
20.(本小题8分)
某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得茅盾文学奖的甲、乙两种书共100本.已知购买2本甲种书和1本乙种书共需100元；购买3本甲种书和2本乙种书共需165元．
(1)求甲、乙两种书的单价分别为多少元；
(2)若学校决定购买以上两种书的总费用不超过3200元，那么该校最多可以购买甲种书多少本？
21.(本小题8分)
如图，在△ABC中，∠A=∠B=2∠ACB，∠ACD是△ABC的外角，CE平分∠ACD．
(1)求∠A的度数；
(2)AB与EC平行吗？请说明理由．
22.(本小题10分)
在如图所示的方格图中，每个小正方形的顶点称为“格点”，△ABC的三个顶点均在“格点”上，每个小正方形的边长均为1．
(1)在方格图中，将△ABC沿着射线BB′方向平移，使点B与点B′对应，请画出平移后的△A′B′C′；
(2)请直接写出直线BB′与线段A′C′的位置关系，不必说明理由；
(3)试求出在平移过程中，线段BC所扫过部分的面积．
23.(本小题10分)
如图，在△ABC中，∠B=40°，∠BAC=80°，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度后得到△ADE．
(1)求∠E的度数；
(2)当AB//DE时，求∠DAC的度数．
24.(本小题13分)
阅读理解：
定义：若一个方程(组)的解也是一个不等式(组)的解，我们称这个方程(组)的解是这个不等式(组)的“友好解”.例如，方程2x−1=1的解是x=1，同时x=1也是不等式x+1>0的解，则称方程2x−1=1的解x=1是不等式x+1>0的“友好解”．
(1)试判断方程32x−2=12x+1的解是不是不等式x−32>0的“友好解”？不必说明理由；
(2)若关于x、y的方程组2x+3y=5k+2,5x−y=4k+5的解是不等式32x−2y>7的“友好解”，求k的取值范围；
(3)当k<3时，方程3(x−1)=k的解是不等式4x−125.(本小题13分)
在△ABC中，∠ACB=90°，点D、E分别在直线AC、AB上，∠ADE=∠ABC．
(1)如图1，当点D在边AC上，点E在边AB上时，试说明：DE⊥AB；
(2)如图2，当点D在CA的延长线上，点E在BA的延长线上时，直线DE与BC交于点F，点G在EF上，且∠F=2∠DGA，AG平分∠EAC吗？请说明理由；

(3)如图3，在(2)的条件下，连接BG，当BG平分∠ABC时，将△AGB沿AG折叠至△AGH，试判断∠HGD与∠F之间的数量关系，并说明理由．
答案解析
1.A
【详解】解：3a−1=2a，
3a−2a=1，
a=1，
故选：A．
2.D
【详解】解：A.不是中心对称图形，不符合题意；
B.不是中心对称图形，不符合题意；
C.不是中心对称图形，不符合题意；
D.是中心对称图形，符合题意；
故选：D．
3.C
【详解】解：∵三角形的三边长分别为4，8，x，
∴8−4即4故选：C．
4.B
【详解】解：A.正五边形每个内角为108°，不能整除360°，所以不能铺满地面；
B.正六边形每个内角为120°，能整除360°，所以能铺满地面；
C.正八边形每个内角为135°，不能整除360°，所以不能铺满地面；
D.正十二边形每个内角为150°，不能整除360°，所以不能铺满地面；
故选：B．
5.B
【详解】解：∵a>b，
∴a−1>b−1，
∴选项A错误，不符合题意；
a>b，
b−a<0一定成立，例如：a=2，b=−4时，−4−2<0，故B正确，符合题意；
∵a>b，
a2>b2，
∴选项C错误，不符合题意；
∵a>b，
∴−a<−b，故D错误，不符合题意；
故选：B．
6.A
【详解】解：设他第一天读x个字，
根据题意可得：x+2x+4x=34685，
故选：A．
7.C
【详解】解：由题知，
360°÷5=72°，
所以当正五角星绕着它的中心点O顺时针旋转72°的整数倍后，能与原图形重合，
显然四个选项中只有C选项符合题意．
故选：C．
8.A
【详解】解：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，
∴S△ABC=12AB⋅AC=12×3×4=6；
在Rt△ABC中，AD是BC边上的中线，
∴BD=12BC，
∴S△ABD=12S△ABC=12×6=3，
故选：A．
9.C
【详解】解：正五边形ABCDE的外角∠DEH=360°5=72°，
正方形DEFG的内角∠DEF=90°，
∴∠FEH=90°−72°=18°，
故选：C．
10.D
【详解】解：如图，作点E关于直线BC的对称点F，连接AF交BC于P，此时PA+PE的值最小．
由对称性可知：∠EPD=∠FPD，
∵∠CPA=∠FPD，
∴∠APC=∠DPE，
∴DP+PB最小时，点P应该满足∠APC=∠DPE，
故选D．
11.360°
【详解】解：∵任意多边形的外角和等于360°，
∴十边形的外角和的度数为360°．
故答案为：360°．
12.3
【详解】解：∵△ABC≌△BDE，AC=5，DE=2，
∴BE=AC=5，BC=DE=2，
∴CE=BE−BC=5−2=3，
故答案为：3．
13.3
【详解】解：∵△ABC沿射线AC的方向平移，得到△CDE，
∴AC=CE，
∵AE=6，
∴AC=3，
∴BD=AC=3，
故答案为：3．
14.−2x+4
【详解】解：2x+m=1①y=m+3②，
由①得，m=1−2x③，
将③代入②得，y=1−2x+3，
即y=−2x+4，
故答案为：−2x+4．
15.x=0
【详解】解：由表中可知：当x=−1时，mx+2n=0，当x=0时，mx+2n=−2，
所以−m+2n=02n=−2，
解得：m=−2n=−1，
代入方程2mx+4n=0得：−4x−4=−4，
解得：x=0，
故答案为：x=0．
16.9或12或25
【详解】解：设上层剪开处的刻度是x cm，则得到三段卷尺的长度分别为x cm，2(30−x)cm，[65−x−2(30−x)]=(5+x)cm，
当x=3×2(30−x)时，x=1807(不符合题意，舍去)
当x=3(5+x)时，x=152(不符合题意，舍去)；
当2(30−x)=3x时，x=12；
当5+x=3x时，x=52(不符合题意，舍去)；
当2(30−x)=3(5+x)时，x=9；
当5+x=3×2(30−x)时，x=25．
综上所述，上层剪开处的刻度是9或12或25．
故答案为：9或12或25．
17.解：去分母，得3(x−3)−2(2x+1)=−6，
去括号，得3x−9−4x−2=−6，
移项、合并同类项，得−x=5，
两边同时乘以−1，得x=−5．
【详解】先去分母，再去括号，移项，合并同类项，把x的系数化为1即可．
18.解：x−y=2①2x+y=16②，
①+②，可得3x=18，
解得x=6，
把x=6代入①，可得：6−y=2，
解得y=4，
∴原方程组的解是x=6y=4．
【详解】应用加减消元法，求出方程组的解即可．
19.解：解不等式①得：x<−4，
解不等式②得：x≤9，
则不等式组的解集为x<−4，
将不等式①、②的解集在同一数轴上表示出来如下：

【详解】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
20.解：设甲、乙两种书的单价分别为x元和y元，依题意得，
2x+y=100,3x+2y=165.
解得 x=35,y=30.
答：甲种书的单价为35元，乙种书的单价为30元．；
(2)设该校购买甲种书a本，则购买乙种书(100−a)本，依题意得，
35a+30(100−a)≤3200，
解得 a≤40．
所以该校最多可以购买甲种书40本．
【详解】(1)设甲种书的单价是x元，乙种书的单价是y元，根据“购买2本甲种书和1本乙种书共需100元；购买1本甲种书和2本乙种书共需165元”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设该校购买甲种书m本，则购买乙种书(100−m)本，利用总价=单价×数量，结合总价不超过3200元，可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．
21.解：(1)根据三角形内角和定理得：∠A+∠B+∠ACB=180°，
∵∠A=∠B=2∠ACB，
∴2∠ACB+2∠ACB+∠ACB=180°，
∴∠ACB=36°，
∴∠A=2∠ACB=72°；
(2)AB与EC平行，理由如下：
由(1)可知：∠A=∠B=72°，
∴∠ACD=∠A+∠B=144°，
∵CE平分∠ACD，
∴∠DCE=ACE=12∠ACD=72°，
∴∠DCE=∠B=72°，
∴AB//CE．
【详解】(1)根据三角形内角和定理及∠A=∠B=2∠ACB得∠ACB=36°，进而可得∠A的度数；
(2)由(1)可知∠A=∠B=72°，则∠ACD=∠A+∠B=144°，再由角平分线定义得∠DCE=ACE=12∠ACD=72°，由此得∠DCE=∠B=72°，据此即可得出结论．
22.解：(1)如图，△A′B′C′即为所求．

(2)由图可得，直线BB′⊥A′C′．
(3)在平移过程中，线段BC所扫过部分的面积为S四边形BB′C′C=4×3=12．
【详解】(1)根据平移的性质作图即可．
(2)由图可得出答案．
(3)求出四边形BB′C′C的面积即可．
23.解：(1)由图形旋转的特征可得：∠E=∠C．
∵∠B=40°，∠BAC=80°，
∴∠C=180°−∠B−∠BAC=60°．
∴∠E=60°．
(2)如图1，当DE在AB下方时．

由图形旋转的特征可得：∠D=∠B=40°．
∵AB//DE，
∴∠BAD=∠D=40°．
∴∠DAC=∠BAC−∠BAD=80°−40°=40°．
如图2，当DE在AB上方时．

∵AB//DE，
∴∠BAD+∠D=180°，
∴∠BAD=180°−∠D=180°−40°=140°．
∴∠DAC=360°−∠BAC−∠BAD=360°−80°−140°=140°．
综上所述，∠DAC的度数为40°或140°．
【详解】(1)依据题意，由图形旋转的特征可得：∠E=∠C，再由∠B=40°，∠BAC=80°，可得∠C=180°−∠B−∠BAC=60°，进而可以得解；
(2)依据题意，根据当DE在AB下方时和当DE在AB上方时．分别进行分析即可得解．
24.解：(1)解方程32x−2=12x+1，得x=3，
解不等式x−32>0，得x>3，
所以方程32x−2=12x+1的解不是不等式x−32>0的“友好解”；
(2)解法一：2x+3y=5k+2①5x−y=4k+5②，
由②−①，得 3x−4y=3−k，
由32x−2y>7，得：3x−4y>14，
∴3−k>14，
解得k<−11；
解法二：2x+3y=5k+2①5x−y=4k+5②，
由②×3+①，得17x=17k+17，
x=k+1，
把x=k+1代入②，得y=k，
∵方程组2x+3y=5k+2,5x−y=4k+5的解是不等式32x−2y>7的“友好解”，
∴32(k+1)−2k>7，
解得k<−11；
(3)解法一：由3(x−1)=k，得x=k3+1，
∵k<3，
∴k3<1，
∴k3+1<2，即x<2，
由4x−1∵方程3(x−1)=k的解是不等式4x−1∴2m+13≥2，
解得 m≥52，
∴m的最小整数值为3．
解法二：由3(x−1)=k，得x=k3+1，
∵方程3(x−1)=k的解是不等式4x−1∴4(k3+1)−1<(k3+1)+2m，
解得m>k+22，
∵k<3，
∴k+2<5，
∴k+22<52，
∴m≥52，
∴m的最小整数值为3．
【详解】(1)根据若一个方程(组)的解也是一个不等式(组)的解，我们称这个方程(组)的解是这个不等式(组)的“友好解”判断即可；
(2)根据“定义”解答即可；
(3)根据“定义”解答即可．
25.(1)证明：∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∵∠ADE=∠B，
∴∠A+∠ADE=90°，
∴∠AED=90°，
∴DE⊥AB；
(2)解：AG平分∠EAC，理由如下：
∵∠ACB=90°，
∴∠BAC+∠B=90°，DC⊥BF，
∵∠BAC=∠DAE，∠B=∠D，
∴∠DAE+∠D=90°，
∴BE⊥DF，
∵∠F=2∠DGA，
∴∠DGA=12∠F，
在△AEG中，∠EAG=90°−∠DGA=90°−12∠F，
在△ADG中，∠GAC=∠D+∠DGA=(90°−∠F)+12∠F=90°−12∠F，
∴∠EAG=∠GAC，
∴AG平分∠EAC；
(3)解：∠F+2∠HGD=90°，理由如下：
解法一：
设∠F=α，则∠ABC=90°−α，
由(2)知：∠EAG=90°−12∠F=90°−12α，∠DGA=12∠F=12α，
∵BG平分∠ABC，
∴∠ABG=12∠ABC=12(90°−α)=45°−12α，
∵∠EAG是△ABG的外角，
∴∠AGB=∠EAG−∠ABG=(90°−12α)−(45°−12α)=45°，
由图形折叠的特征可知：∠AGH=∠AGB=45°，
∴∠HGD=∠AGH−∠DGA=45°−12α，
∴∠F+2∠HGD=α+2(45°−12α)=90°；
解法二：
设∠F=α，则∠ADE=∠ABC=90°−α，
∵BG平分∠ABC，
∴∠ABG=12∠ABC=12(90°−α)=45°−12α，
由图形折叠的特征可知：
∠H=∠ABG=45°−12α，∠GAH=∠GAB，
由(2)知：∠EAG=∠GAC，
∴∠GAH+∠GAC=∠GAB+∠EAG=180°，
∴H、A、C三点共线，
∴∠ADE=∠H+∠HGD，
∴∠HGD=∠ADE−∠H=(90°−α)−(45°−12α)=45°−12α，
∴∠F+2∠HGD=α+2(45°−12α)=90°．
【详解】(1)证明∠A+∠ADE=90°，得出∠AED=90°，即可得到DE⊥AB；
(2)在△AEG中，∠EAG=90°−∠DGA=90°−12∠F，在△ADG中，∠GAC=∠D+∠DGA=(90°−∠F)+12∠F=90°−12∠F，得到∠EAG=∠GAC，得出AG平分∠EAC；
(3)设∠F=α，∠HGD=∠AGH−∠DGA=45°−12α，∠F+2∠HGD=α+2(45°−12α)=90°．x
−2
−1
0
1
2
mx+2n
2
0
−2
−4
−6