考点20与圆有关的位置关系及计算（精讲）-2024年中考数学一轮复习之核心考点精讲精练（全国通用）原卷版+解析版

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与圆相关的位置关系也是各地中考数学中的必考考点之一，主要内容包括点、直线与圆的位置关系、切线的性质和判定、三角形的内切圆和外接圆三块，在解答题中想必还会考查切线的性质和判定，和直角三角形结合的求线段长的问题和三角函数结合的求角度的问题等知识点综合，考查形式多样，多以动点、动图的形式给出，难度较大。关键是掌握基础知识、基本方法，力争拿到全分。
【知识清单】
1：点、直线与圆的位置关系类（☆☆）
1）点和圆的位置关系：已知⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，则：
图1 图2
(1)dr⇔点在⊙O外，如图3．
解题技巧：掌握已知点的位置，可以确定该点到圆心的距离与半径的关系，反过来已知点到圆心的距离与半径的关系，可以确定该点与圆的位置关系。
2）直线和圆的位置关系：
设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则直线和圆的位置关系如下：
图1 图2 图3
(1)d>r⇔相离，如图1；(2)d=r⇔相切，如图2；(3)d2：切线的性质与判定（☆☆☆）
1）切线的性质：（1）切线与圆只有一个公共点；（2）切线到圆心的距离等于圆的半径；（3）切线垂直于经过切点的半径。
解题技巧：利用切线的性质解决问题时，通常连过切点的半径，利用直角三角形的性质来解决问题。
2）切线的判定
（1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）；
（2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线（数量关系法）；
（3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线（判定定理法）。
切线判定常用的证明方法：①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径。
3）切线长定理
定义：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。
定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
解题技巧：切线长定理经常用来证明线段相等，通常要连接圆心与切点构造直角三角形来求解。
3：三角形的外接圆与内切圆（☆☆☆）
1）三角形外接圆：经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形。
2）三角形内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。
3）三角形的外心：三角形三边中垂线的交点，叫该三角形的外心。
4）三角形的内心：三角形三条角平分线的交点，叫该三角形的内心。

5）常见结论
（1）三角形内切圆半径： ，其中S为三角形的面积；C为三角形的周长；
（2）直角三角形内切圆半径： ，其中a，b为直角三角形的直角边长，c为斜边长。
【易错点归纳】
1. 由于圆是轴对称和中心对称图形，当题目中未给出具体图形时，要结合题意画出符合题意的图形，并进行分类讨论，否则比较容易漏解。
2. 一个三角形有且只有一个内切圆和一个外接圆，而一个圆有无数个外切三角形和内接三角形。
【核心考点】
核心考点1. 点、直线与圆的位置关系类
◇典例1：（2023·上海闵行·校联考模拟预测）矩形中，，，点在边上，且，如果圆是以点为圆心，为半径的圆，那么下列判断正确的是（ ）

A．点，均在圆外B．点在圆外，点在圆内
C．点在圆内，点在圆外D．点，均在圆内
【答案】C
【分析】由，得到，，再根据勾股定理，在中计算出，在中计算出，则，然后根据点与圆的位置关系进行判断．
【详解】解：如图，

四边形为矩形，，，，，，
在中，，，，
在中，，，，
，点在圆内，点在圆外．故选：．
【点睛】本题考查了点与圆的位置：设的半径为，点到圆心的距离，则有：点在圆外；点在圆上；点在圆内．
变式1．（2023·浙江·模拟预测）已知的半径为3，点P到圆心O的距离为2，则点P与的位置关系是（ ）
A．点P在外B．点P在上C．点P在内D．无法确定
【答案】C
【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，根据点到圆心距离为d，半径为r，当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内，即可解答．
【详解】解：∵的半径为3，点P到圆心O的距离为2，，∴点P在内，故选：C．
变式2．（2023年江苏省宿迁市中考数学真题）在同一平面内，已知的半径为2，圆心O到直线l的距离为3，点P为圆上的一个动点，则点P到直线l的最大距离是（ ）
A．2B．5C．6D．8
【答案】B
【分析】过点作于点，连接，判断出当点为的延长线与的交点时，点到直线的距离最大，由此即可得．
【详解】解：如图，过点作于点，连接，，，当点为的延长线与的交点时，点到直线的距离最大，最大距离为，故选：B．
【点睛】本题考查了圆的性质，正确判断出点到直线的距离最大时，点的位置是解题关键．
变式3．（2024·山东·统考模拟预测）在中，，，，D为的中点．以A为圆心，r为半径作⊙A，若B、C、D三点中只有一点在内，则的半径r的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查勾股定理，点与圆的位置关系．
由勾股定理可求得的长，进而得到的长．再根据题意画出简单示意图，由图形可知当r的长度为和长度之间时，B、C、D三点中只有点D在内，据此即可解答．
【详解】∵在中，，，∴，
∵D为的中点，∴．

由上图可知，当的半径时，点D在上，
当的半径时，点C在上，点D在圆内，
当的半径时，点B在上，点C、D在圆内，
当的半径满足时，点D在内，
当的半径满足时，点C、D在内，
当的半径满足时，点B、C、D在内，
∴若B、C、D三点中只有一点在内，则的半径r的取值范围是．故选：A
例2：（2023·广东广州·统考二模）的半径r和圆心O到直线l的距离d分别为关于x的一元二次方程的两根和与两根积，则直线l与的位置关系是 ．
【答案】相交
【分析】由以及题意知，，，由，可判断直线l与的位置关系．
【详解】解：，由题意知，，
∵，∴直线l与相交，故答案为：相交．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，直线与圆的位置关系．解题关键在于对知识的熟练掌握．
变式1．（2023·浙江杭州·统考二模）已知的直径为4，圆心O到直线l的距离为2，则直线l与（ ）
A．相交B．相切C．相离D．无法确定
【答案】B
【分析】根据的半径和圆心O到直线l的距离的大小，相交：；相切：；相离：；即可选出答案．
【详解】解：∵的直径为4，∴的半径为2，∵圆心O到直线l的距离为2，∴，
∴直线l与的位置关系是相切，故B正确．故选：B．
【点睛】本题主要考查对直线与圆的位置关系的性质的理解和掌握，能熟练地运用性质进行判断是解此题的关键．
变式2．（2023年江苏省镇江市中考数学真题）已知一次函数的图像经过第一、二、四象限，以坐标原点O为圆心、r为半径作．若对于符合条件的任意实数k，一次函数的图像与总有两个公共点，则r的最小值为 ．
【答案】2
【分析】由的图像经过第一、二、四象限，可知，由过定点，可知当圆经过时，由于直线呈下降趋势，因此必然与圆有另一个交点，进而可得r的最小值是2．
【详解】解：∵的图像经过第一、二、四象限，∴，随的增大而减小，
∵过定点，∴当圆经过时，由于直线呈下降趋势，因此必然与圆有另一个交点，
∴r的临界点是2，∴r的最小值是2，故答案为：2．
【点睛】本题考查一次函数图像，直线与圆的位置关系．解题关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
变式3．（2023·陕西西安·校考一模）在中，，，．若与相离，则半径为r满足（ ）
A． B． C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查直线与圆的位置关系，勾股定理和含30度直角三角形的性质，
根据含30度直角三角形的性质和勾股定理得到和的长度，再根据与相离可知半径小于点C到的距离，即可进行求解．
【详解】解：∵，，，∴∴，
∵∴，解得：，∴
设点C到的距离为h，则，∴，∴，
∵若与相离，∴故选：C．
例3：（2023·上海·校考一模）已知与两圆外切，，的半径为3，那么的半径为 ．
【答案】2
【分析】由两圆外切，圆心距等于两圆半径的和，即可求得结果．
【详解】与两圆外切，,，故答案为：2．
【点睛】本题考查了两圆的位置关系：两圆外切时两圆的圆心距与两圆半径的关系，掌握这一关系是解题的关键．
变式1．（2023·上海徐汇·统考二模）如图，在梯形中，已知，，，，，分别以、为直径作圆，这两圆的位置关系是（ ）
A．内切B．外切C．相交D．外离
【答案】D
【分析】先求出两圆的圆心距，和的一半为两圆的半径，利用半径之和和两圆的圆心距的大小关系求解．
【详解】解：∵分别以、为直径作圆，
∴两圆的圆心分别是、的中点，∴两圆心的连线是梯形的中位线．
∵，，∴两圆的圆心距为，
∵，，∴两圆的半径分别为3和2，∵，∴两圆外离，故选：D．
【点睛】本题考查了梯形的中位线，以及圆与圆的位置关系，解题的关键是分别求得两圆的圆心距和两圆的半径．
变式2．（2023·山东·统考一模）已知在中，，，那么以边长的倍为半径的圆A与以为直径的圆的位置关系是（ ）
A．外切B．相交C．内切D．内含
【答案】C
【分析】取边的中点D，连接，根据题意可设，可得，，再根据圆与圆的位置关系，即可求解．
【详解】解：如图，取边的中点D，连接，
中，，，∴，可设，
∴，∴，，
∴即以边长的倍为半径的圆A与以为直径的圆的两圆心的距离等于两圆的半径之和，
∴以边长的倍为半径的圆A与以为直径的圆的位置关系是内切．故选：C
【点睛】本题主要考查解直角三角形，圆与圆的位置关系，掌握圆与圆的位置关系是解题的关系．
变式3．（2023·上海崇明·统考二模）已知在中，，，如果以A为圆心r为半径的和以为直径的相交，那么r的取值范围（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】首先利用勾股定理求得两圆的圆心距，然后利用两圆相交时两圆的圆心距和两圆的半径之间的关系求解．
【详解】解：如图，由题意得：，，
由勾股定理得：，设的半径为，
根据两圆相交得：，解答：，故选：C．
【点睛】本题考查两圆之间的位置关系．熟练掌握两圆之间的位置关系的判定方法，是解题的关键．
核心考点2. 切线的性质与判定
例4：（2023年四川省眉山市中考数学真题）如图，切于点B，连接交于点C，交于点D，连接，若，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】如图，连接，证明，，可得，从而可得．
【详解】解：如图，连接，∵切于点B，∴，

∵， ，∴，∴，∴；故选C
【点睛】本题考查的是切线的性质，圆周角定理的应用，三角形的内角和定理的应用，掌握基本图形的性质是解本题的关键．
变式1.（2023年黑龙江省哈尔滨市中考数学真题）如图，是的切线，A为切点，连接﹐点C在上，，连接并延长，交于点D，连接．若，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用垂线的性质及切线的性质得到和，再利用四边形的内角和为进而可求得，再利用等边对等角及三角形的内角和即可求解．
【详解】解：，，又是的切线，，，
又，，，
又，，，故选B．
【点睛】本题考查了圆的切线的性质，四边形内角和是，等腰三角形的性质及三角形的内角和，熟练掌握其基本知识是解题的关键．
变式2.（2023年重庆市中考数学真题（B卷））如图，为的直径，直线与相切于点C，连接，若，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】连接，先根据圆的切线的性质可得，从而可得，再根据等腰三角形的性质即可得．
【详解】解：如图，连接，直线与相切，，，

，，，，故选：B．
【点睛】本题考查了圆的切线的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握圆的切线的性质是解题关键．
例5：（2023年四川省泸州市中考数学真题）如图，在中，，点在斜边上，以为直径的半圆与相切于点，与相交于点，连接．若，，则的长是（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】连接，，首先根据勾股定理求出，然后证明出，利用相似三角形的性质得到，，证明出，利用相似三角形的性质求出．
【详解】如图所示，连接，，

∵，，，∴，
∵以为直径的半圆与相切于点，∴，
∵，∴，∴，∴，∴，
∴，即，∴，，
∴，∴，
∵，∴，
∵，，∴，
又∵，∴，∴，即，∴解得．故选：B．
【点睛】此题考查了圆与三角形综合题，切线的性质定理，相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
变式1．（2023年湖南省湘西初中学业水平数学试题）如图，为的直径，点在的延长线上，，与相切，切点分别为C，D．若，则等于（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】连接、、，交于，如图，利用切线的性质和切线长定理得到，，平分，根据等腰三角形的性质得到，则，根据圆周角定理得到，所以，然后求出即可．
【详解】解：连接、、，交于，如图，

，与相切，切点分别为，，
，，平分，，，，
，，∵∴
∵∴在中，，
，．故选：D．
【点睛】本题考查切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查圆周角定理和解直角三角形．
变式2．（2023年北京市中考数学真题）如图，是的半径，是的弦，于点D，是的切线，交的延长线于点E．若，，则线段的长为 ．

【答案】
【分析】根据，得出，，根据等腰直角三角形的性质得出，即，根据，，得出为等腰直角三角形，即可得出．
【详解】解：∵，∴，．∵，∴为等腰直角三角形，
∴，∴．∵是的切线，∴，
∵，∴为等腰直角三角形，∴．故答案为：．
【点睛】本题主要考查了垂径定理，等腰直角三角形的判定和性质，切线的性质，解题的关键是熟练掌握垂径定理，得出．
例6：（2023年湖北省潜江、天门、仙桃、江汉油田中考数学真题）如图，在中，的内切圆与分别相切于点，，连接的延长线交于点，则 ．

【答案】/度
【分析】如图所示，连接，设交于H，由内切圆的定义结合三角形内角和定理求出，再由切线长定理得到，进而推出是的垂直平分线，即，则．
【详解】解：如图所示，连接，设交于H，
∵是的内切圆，∴分别是的角平分线，
∴，∵，∴，
∴，∴，
∵与分别相切于点，，∴，
又∵，∴是的垂直平分线，∴，即，
∴，故答案为：．

【点睛】本题主要考查了三角形内切圆，切线长定理，三角形内角和定理，线段垂直平分线的判定，三角形外角的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
变式1．（2023·山东菏泽·校联考一模）如图，、切⊙O于点A、B，，切于点E，交、于C、D两点，则的周长是（ ）
A．10B．18C．20D．22
【答案】C
【分析】根据切线长定理得出，，，求出的周长是，代入求出即可．
【详解】解：∵、切⊙O于点A、B，切于点E，∴，，，
∴的周长是．故选：C．
【点睛】本题考查了切线长定理的应用，解题的关键是求出的周长．
变式2．（2023·湖北咸宁·校考模拟预测）如图，中，，与相切于D，与的延长线分别相切于E、F，则的半径为

【答案】3
【分析】连接，设的半径为r，根据切线长定理可得，，，根据勾股定理求解，即可求解．
【详解】解：连接，如图，

设的半径为r，∵，∴四边形是矩形，∴，
∵，∴，
∵与相切于D，与的延长线分别相切于E、F，
∴，，，
∴，∴，解得：，故答案为：3．
【点睛】本题考查了，直角三角形的性质，切线的性质，勾股定理，掌握切线的性质是解题的关键．
例7：（2023年江苏省扬州市中考数学真题）如图，在中，，点D是上一点，且，点O在上，以点O为圆心的圆经过C、D两点．
(1)试判断直线与的位置关系，并说明理由；(2)若的半径为3，求的长．

【答案】(1)直线与相切，理由见解析(2)6
【分析】（1）连接，根据圆周角定理，得到，进而得到，即可得出与相切；（2）解直角三角形，求出的长，进而求出的长，再解直角三角形，求出的长即可．
【详解】（1）解：直线与相切，理由如下：
连接，则：，

∵，即：，∴，
∵，∴，∴，∴，
∵为的半径，∴直线与相切；
（2）解：∵，的半径为3，
∴，∴，∴，
∵，∴，设：，
则：，∴，∴．
【点睛】本题考查切线的判定，解直角三角形．熟练掌握切线的判定方法，正弦的定义是解题关键．
变式1.（2023年辽宁省盘锦市中考数学真题）如图，内接于，为的直径，延长到点G，使得，连接，过点C作，交于点F，交点于点D，过点D作．交的延长线于点E． (1)求证：与相切．(2)若，，求的长．

【答案】(1)见详解(2)
【分析】（1）连接，结合圆周角定理，根据，可得，再根据平行的性质，即有，进而可得，问题随之得证；（2）过C点作于点K，先证明四边形是平行四边形，即有，求出，即有，利用三角形函数有，同理，即可得，，进而有，再证明，可得，即可得，在中，有，问题随之得解．
【详解】（1）连接，如图，

∵为的直径，∴，∴，∵，∴，
∵，∴，∴，即，
∵，∴，∴半径，∴与相切；
（2）过C点作于点K，如图，
∵，，∴四边形是平行四边形，∴，
∵，，∴，∴，
∵，∴，∴在，，同理，
∵在中，，∴，，
∴，∵，，∴，∴，
∴，∴，∴，
∴在中，，∴．
【点睛】本题是一道综合题，主要考查了圆周角定理，切线的判定，相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，三角函数以及勾股定理等知识，掌握切线的判定以及相似三角形的判定与性质，是解答本题的关键．
变式2.（2023年江苏省盐城市中考数学真题）如图，在中，是上（异于点，）的一点，恰好经过点，，于点，且平分．

(1)判断与的位置关系，并说明理由；(2)若，，求的半径长．
【答案】(1)见解析(2)的半径长为．
【分析】（1）连接，证明，即可证得，从而证得是圆的切线；
（2）设，则，利用勾股定理求得，推出，利用相似三角形的性质列得比例式，据此求解即可．
【详解】（1）证明：连接，如下图所示，

∵是的平分线，∴，
又∵，∴，∴，
∴，∴，即，
又∵过半径的外端点B，∴与相切；
（2）解：设，则，
∵在中，，，，∴，
∵，∴，∴，即，解得．故的半径长为．
【点睛】本题考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，以及勾股定理，熟练掌握切线的判定是解本题的关键．
变式3．（2023年湖北省黄石市中考数学真题）如图，为的直径，和相交于点F，平分，点C在上，且，交于点P．(1)求证：是的切线；(2)求证：；(3)已知，求的值．

【答案】(1)见解析(2)见解析(3)
【分析】（1）连接，由等腰三角形的性质得，再证，则，然后证，即可得出结论；（2）由圆周角定理得，再证，然后证，得，即可得出结论；（3）过P作于点E，证，再证，得，则，进而得，然后由角平分线的性质和三角形面积即可得出结论．
【详解】（1）证明：如图1，连接，

∵，∴，
∵平分，∴，∴，∴，
∵，∴，∴是的切线；
（2）证明：∵为的直径，∴，
∵平分，∴，∵，∴，
又∵，∴，∴，∴；
（3）如图2，过P作于点E，
由（2）可知，，∵，∴，
∵，∴，∵为的直径，∴，∴，
∵，∴，∴，
∴，∴，∴，
∵为的直径，∴，∴，∵平分，∴，
∵，∴．
【点睛】本题是圆的综合题目，考查了圆周角定理、切线的判定、相似三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、等腰三角形的性质、角平分线的性质以及三角形面积等知识，本题综合性强，熟练掌握圆周角定理和切线的判定，证明三角形相似是解题的关键．
考点三 三角形的外接圆与内切圆
例8：（2023年内蒙古包头市中考数学真题）如图，是锐角三角形的外接圆，，垂足分别为，连接．若的周长为21，则的长为（ ）

A．8B．4C．3.5D．3
【答案】B
【分析】根据三角形外接圆的性质得出点D、E、F分别是的中点，再由中位线的性质及三角形的周长求解即可．
【详解】解：∵是锐角三角形的外接圆，，
∴点D、E、F分别是的中点，∴，
∵的周长为21，∴即，
∴，故选：B．
【点睛】本题考查三角形外接圆的性质及中位线的性质，理解题意，熟练掌握三角形外接圆的性质是解题关键．
变式1．（2023·浙江杭州·校考二模）如图，O为等腰三角形的外心，，连接，记，，则满足的关系式为（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据等腰三角形的判定和性质以及三角形的内角和定理即可得到结论．
【详解】解：∵，，∴，∴，连接，

∵O为等腰三角形的外心，∴，∴，
∴，∴，
∴，∴，故选：D．
【点睛】本题考查三角形的外接圆与外心，等腰三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题关键．
变式2．（2023·陕西渭南·统考二模）如图，在中，，是的外接圆，是的直径，点在上，连接交于点，连接，若，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】连接，根据等腰三角形的性质得到，根据平角的定义得到，根据圆周角定理得到，求得，根据圆周角定理得到，根据三角形内角和定理即可得到结论．
【详解】解：连接，，，，，
是的直径，，，，，
，，故选：D．

【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，等腰直角三角形的性质，圆周角定理，正确地作出辅助线是解题的关键．
变式3．（2023·湖北襄阳·校考二模）已知两边长分别是和，则它的外接圆的半径是 ．
【答案】或/4cm或5cm
【分析】分为直角边和为斜边两种情况，结合直角三角形的外接圆半径为斜边长的一半和勾股定理求解即可．
【详解】解：若为直角边时，则斜边长为，则的外接圆的半径是，
若为斜边长时，的外接圆的半径是，
综上，的外接圆的半径是或，故答案为：或．
【点睛】本题考查直角三角形的外接圆、勾股定理，熟知直角三角形的外接圆半径为斜边长的一半，本题容易忽视对边的讨论而导致错误，故需分类讨论进行求解．
例9：（2023·湖北武汉·校考模拟预测）如图，是的内切圆，，则的大小为（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先由三角形内角和定理求出的度数，再由是的内接圆得到，，最后根据三角形内角和定理即可求出．
【详解】解：∵，，∴，
∵是的内切圆，∴，，
∴，，
∴
，故选：B．
【点睛】本题主要考查了三角形的内切圆与内心，三角形内角和定理，由三角形的内切圆与内心及三角形内角和定理求出的度数是解决问题的关键．
变式1．（2023·湖南永州·统考二模）如图，在中，，点I是内心，则的大小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先根据三角形内角和定理得到，再由内心的定义得到，则，由此即可求出答案．
【详解】解：∵，∴，
∵点I是内心，∴分别是的角平分线，
∴，∴，
∴，故选D．
【点睛】本题主要考查了与角平分线有关的三角形内角和定理，三角形内心的定义，灵活运用所学知识是解题的关键．
变式2．（2023·湖南常德·统考模拟预测）如图，是边长为的正三角形的内切圆，与边、均相切，且与外切，则的半径为 ．

【答案】
【分析】由切线的性质得到，，又，得到平分，因此得到，同理得到，故，推出，由锐角的正切即可求出的长．
【详解】解：设与切于，与相切于，连接，连接，，，

，，，平分，，
是等边三角形，，，
同理：，，，，
∵，．故答案为：．
【点睛】本题考查切线的性质，等边三角形的性质，解直角三角形，三角形的内切圆与内心，等腰三角形的性质，关键是由以上知识点推出，得到是中点，应用锐角的正切即可求解．
例10：（2023年山东省聊城市中考数学真题）如图，点O是外接圆的圆心，点I是的内心，连接，．若，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据三角形内心的定义可得的度数，然后由圆周角定理求出，再根据三角形内角和定理以及等腰三角形的性质得出答案．
【详解】解：连接，∵点I是的内心，，
∴，∴，
∵，∴，故选：C．

【点睛】本题考查三角形内心的定义和圆周角定理，熟知三角形的内心是三角形三个内角平分线的交点是解题的关键．
变式1．（2023·湖北武汉·校考模拟预测）图，是△ABC的外接圆，点I是△ABC内心，连接AI并延长交⊙O于点D，若AB＝9，BC＝14，CA＝13，则的值是（ ）
A．B．C． D．
【答案】C
【分析】作BM∥AD交CA延长线于点M，连接BI，可得∠ABM=∠BAD，∠CAD=∠M，再由点I是△ABC内心，可得∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠IBC，从而得到∠M=∠ABM=∠BAD=∠CAD，AB=AM=9，∠CBD=∠BAD，进而得到BD=ID，再证得△MBC∽△ABD，可得，即可求解．
【详解】：如图，作BM∥AD交CA延长线于点M，连接BI，∴∠ABM=∠BAD，∠CAD=∠M，
∵点I是△ABC内心，∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠IBC，∴∠M=∠ABM=∠BAD=∠CAD，
∴AB=AM=9，∴MC=AM+AC=22，∵∠CBD=∠CAD，∴∠CBD=∠BAD，
∵∠BAD+∠ABI=∠BID，∠IBC+∠BAD=∠IBD，∴∠IBD=∠BID，∴BD=ID，
∵∠D=∠C，∴△MBC∽△ABD，∴，∴，
∴，解得：，∴．故选：C
【点睛】本题主要考查了三角形的内切圆和外接圆的综合，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，作出适当辅助线是解题的关键．
变式2．（2023·河北邢台·统考模拟预测）如图，在⊙O中，，BC＝6，AC．I是△ABC的内心，则线段OI的值为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】B
【分析】连接AO，延长AO交BC于H，连接OB．想办法求出OH，IH即可解决问题．
【详解】解：如图，连接AO，延长AO交BC于H，连接OB．
∵，∴AB=AC，AH⊥BC，∴BH=CH=3，∴AH==9，设OA=OB=x，
在Rt△BOH中，∵OB2=OH2+BH2，∴x2=（9-x）2+32，∴x=5，∴OH=AH-AO=9-5=4，
∵S△ABC=•BC•AH=•（AB+AC+BC）•IH，∴IH=，
∴OI=OH-IH=4-（-1）=5-，故选：B．
【点睛】本题主要考查的是三角形的内心和外心、等腰三角形的性质，勾股定理等知识，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．
例11：（2023年四川省攀枝花市中考数学真题）已知的周长为，其内切圆的面积为，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题意可得，，，由面积关系可求解．
【详解】解：如图，设内切圆与相切于点，点，点，连接，，，，，，
切于，，，，同理：，，
，，，选A
【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心，掌握内切圆的性质是解题的关键．
变式1.（2023年江苏省镇江市中考数学真题）《九章算术》中记载：“今有勾八步，股一十五步．问勾中容圆，径几何？”译文：现在有一个直角三角形，短直角边的长为8步，长直角边的长为15步．问这个直角三角形内切圆的直径是多少？书中给出的算法译文如下：如图，根据短直角边的长和长直角边的长，求得斜边的长．用直角三角形三条边的长相加作为除数，用两条直角边相乘的积再乘2作为被除数，计算所得的商就是这个直角三角形内切圆的直径．根据以上方法，求得该直径等于 步．（注：“步”为长度单位）

【答案】6
【分析】根据勾股定理求出直角三角形的斜边，根据直角三角形的内切圆的半径的求法确定出内切圆半径，得到直径．
【详解】解：根据勾股定理得：斜边为，
则该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）半径（步），即直径为6步，故答案为：6．
【点睛】此题考查了三角形的内切圆与内心，掌握中，两直角边分别为、，斜边为，其内切圆半径是解题的关键．
变式2．（2023·四川泸州·统考模拟预测）如图，在中，，，，为的内切圆，则图中阴影部分的面积为(结果保留)( )

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了三角形内切圆的性质；勾股定理求得，进而根据等面积法求得，三角形的内切半径，根据，即可求解．
【详解】解：中，，，，
，，内切圆半径，
，设与切于点，与切于点，连接、，
则四边形为正方形，．故选：