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考点05一次方程（组）（精练）-2024年中考数学一轮复习之核心考点精讲精练（全国通用）原卷版+解析版
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这是一份考点05一次方程（组）（精练）-2024年中考数学一轮复习之核心考点精讲精练（全国通用）原卷版+解析版，文件包含考点05一次方程组精练原卷版docx、考点05一次方程组精练解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共37页， 欢迎下载使用。
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】运用等式的基本性质解题即可．
【详解】解：∵∴两边同时减去a得：
∴两边同时乘以得： 故选A．
【点睛】本题考查等式的基本性质，掌握等式的基本性质是解题的关键．
2.（2023·河北唐山·统考一模）有三种不同质量的物体“■”“▲”“●”，其中同一种物体的质量都相等．下列四个天平中只有一个天平没有处于平衡状态，则该天平是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】设“■”的质量为x，“▲”的质量为y “●”的质量为m，列出等式，根据等式的性质计算判断即可．
【详解】设“■”的质量为x，“▲”的质量为y “●”的质量为m，
根据题意，得即，故A正确，不符合题意；
∴，故C正确，不符合题意；故B不正确，符合题意；
∴，故D正确，不符合题意；故选B．
【点睛】本题考查了等式的性质，正确理解等式的性质是解题的关键．
3.（2023·河北张家口·统考一模）不是下列哪个方程的解（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】将代入各个方程，即可判断．
【详解】经代入计算，可知能使方程、、成立，
不能使成立，不是的解．故选：C．
【点睛】本题考查了二元次一方程的解的定义，正确代入计算，是解答本题的关键．
4．（2023·浙江温州·统考一模）将方程去分母，结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据解一元一次方程的步骤可进行求解．
【详解】解：将方程去分母得：；故选A．
【点睛】本题主要考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．
5．（2023·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）若关于x，y的二元一次方程组的解满足，满足条件的m的所有正整数值为（ ）
A．0，1，2 B．0，1，2，3 C．1，2，3 D．1，2，3，4
【答案】D
【分析】先解方程组求得x、y的值，再根据列出关于m的不等式，解之求得m的取值范围即可求解．
【详解】解：解方程组得，
∵，∴，解得，
∴正整数m的值为1、2、3、4，故选：D．
【点睛】本题考查解二元一次方程组和一元一次不等式，根据题意列出关于m的不等式是解题的关键．
6．（2023·浙江衢州·校考一模）若x、y是两个实数，且，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据x、y的取值范围，去绝对值符号并分别讨论求得方程组的解，再代入代数式计算求解即可．
【详解】解：当，时，原方程组为：，方程组无解；
当，时，原方程组为：，解得，；
当，时，原方程组为：，方程组无解；
当，时，原方程组为：，方程组无解；
综上得，原方程组的解为：，∴，故答案选C．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，涉及到绝对值计算，根据未知数的范围判断去绝对值后的符号是解此题的关键．
7．（2023·浙江·模拟预测）一宾馆有一人间、两人间、三人间三种客房供游客租住，某旅行团共15人准备租用客房共7间，如果每个房间都住满，租房方案有（ ）
A．6种B．5种C．4种D．3种
【答案】C
【分析】设一人间x间，二人间y间，三人间间，根据旅行团共15人列出方程，解方程即可．
【详解】解：设一人间x间，二人间y间，三人间间．根据题意得：，
整理得：，
当时，，；
当时，，；
当时，，；
当时，，．
∴有4种租房方案：①租一人间3间，二人间0间，三人间4间；②租一人间2间，二人间2间，三人间3间；③租一人间1间，二人间4间，三人间2间；④租一人间0间，二人间6间，三人间1间．
故选：C．
【点睛】本题是二元一次方程的应用，此题难度较大，解题的关键是理解题意，根据题意列方程，然后根据x，y是整数求解，注意分类讨论思想的应用．
8．（2023·安徽六安·校考二模）已知a，b，c均为非负整数，且，．当时，则这三个数字组成的最大三位数可能是（ ）
A．340B．430C．520D．610
【答案】C
【分析】根据进行分类讨论即可求解．
【详解】解：，且均为非负整数，①当时，
，，
，，会组成四位数，不满足题意；
②当时，，，
，，故组成最大的三位数为：；
③时，，，
，解得：，组成最大的三位数为：
综上所述，它们最大三位数是，故选：C．
【点睛】本题主要考查了三元一次方程组，掌握三元一次方程组的解法是解题的关键，同时要运用了分类讨论的数学思想．
9.（2023·浙江·模拟预测）关于的方程有无数多个实根，则实数的值为（ ）
A．1B．C．1或D．有无数个取值
【答案】C
【分析】根据绝对值的性质，进行分类讨论：①当时，②当时，即可求解．
【详解】解：①当时，
，，
当时，，只有一个实数根，不符合题意；
当时，解得：，左边，右边，
此时方程有无数个解，符合题意；
②当时，，，
当时，，只有一个实数根，不符合题意；
当时，解得：，左边，右边，
此时方程有无数个解，符合题意；
综上：实数的值为1或，故选：C．
【点睛】本题主要考查了绝对值的定义，解一元一次方程，解题的关键是掌握正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．
10．（2023·重庆中考模拟）阅读理解：，，，是实数，我们把符号称为阶行列式，并且规定：，例如：.二元一次方程组的解可以利用阶行列式表示为：；其中，，.问题：对于用上面的方法解二元一次方程组时，下面说法错误的是（ ）
A．B．C．D．方程组的解为
【答案】C
【分析】根据阅读材料中提供的方法逐项进行计算即可得.
【解析】A、D==2×（-2）-3×1=﹣7，故A选项正确，不符合题意；
B、Dx==﹣2﹣1×12=﹣14，故B选项正确，不符合题意；
C、Dy==2×12﹣1×3=21，故C选项不正确，符合题意；
D、方程组的解：x==2，y==﹣3，故D选项正确，不符合题意，故选C．
【点睛】本题考查了阅读理解型问题，考查了2×2阶行列式和方程组的解的关系，读懂题意，根据材料中提供的方法进行解答是关键.
11．（2023·浙江杭州·校联考三模）已知关于x，y的方程组的解是，则直线与的交点坐标为 ．
【答案】
【分析】把代入即可求出m的值，再根据二元一次方程组和一次函数的关系，即可进行解答．
【详解】解：把代入，得：，
关于x、y的方程组的解是，
直线与的交点坐标为，故答案为：．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，以及二元一次方程组和一次函数的关系，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的解是对应两个一次函数图象交点的横坐标和纵坐标．
12．（2023·江西南昌·校考一模）二元一次方程组的解满足，则的值为 ．
【答案】
【分析】将方程组中的两个方程相加可得，进而得到，再根据可得一个关于的一元一次方程，解方程即可得．
【详解】解：，由得：，∴
二元一次方程组的解满足，
，解得，故答案为：．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，正确发现方程组中的两个方程与之间的联系是解题关键．
13．（2023·浙江·模拟预测）实数满足．则 ．
【答案】
【分析】由得：，，由得：，从而得到，即可求解．
【详解】解：，
由得：，∴，
由得：，∴，
∴，
∴．故答案为：
【点睛】本题主要考查了求代数式的值，三元一次方程组，根据题意得到，是解题的关键．
14．（2023·辽宁沈阳·校考三模）关于的二元一次方程组的解是，则的值为 ．
【答案】0
【分析】把的值代入方程计算求出的值，代入进行计算即可得到答案．
【详解】解：把代入，得：，解得：，
，故答案为：0．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．
15．（2023·四川南充·统考一模）已知关于x，y的二元一次方程组的解都为非负数，若，则W的最大值为 ．
【答案】1
【分析】先求出方程组的解，再由二元一次方程组的解都为非负数，可得关于a的不等式组，确定a的取值范围，再由一次函数的增减性求解即可．
【详解】解：，解得：，
∵二元一次方程组的解都为非负数，∴，解得：．
∵，W随a的增大而增大，∴当时，，故答案为：1
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组及一次函数的基本性质，熟练掌握解二元一次方程组，解一元一次不等式组的方法是解题的关键．
16.（2023·江西赣州·统考二模）如图1，河图洛书是中国古代流传下来的两幅神秘图案，被誉为“宇宙魔方”，是中华文化、阴阳五行术数之源．图2是由河图洛书得到的的一个九宫格，把从1~9这九个数填入方格中，使其行，列及对角线上的三个数之和都分别相等，则图2中x的值应为 ．
【答案】1
【分析】设左上角的数字为，依题意，则，解方程即可求解．
【详解】解：如图所示，
设左上角的数字为，依题意，则解得：，故答案为：1．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
17．（2023·广东深圳·校联考模拟预测）20世纪70年代，数学家罗杰·彭罗斯使用两种不同的菱形，完成了非周期性密铺，如下图，使用了，两种菱形进行了密铺，则菱形的锐角的度数为 °．
【答案】36
【分析】如图，设菱形B的锐角为x，菱形A的锐角和钝角分别为y、z，根据密铺的图案中一个顶点处的周角为列出方程组，解答即可．
【详解】解：如图，设菱形B的锐角为x，菱形A的锐角和钝角分别为y、z，根据题意，得
，解得，故答案为：36．
【点睛】本题常考了密铺问题，涉及了菱形的性质、多边形的内角和、三元一次方程组等知识，正确理解题意、得出方程组是解题的关键．
18．（2023·黑龙江绥化·模拟预测）我市各单位为同学们的返校复学采取了一系列举措．复课返校后，为了拉开学生锻炼的间距，某学校决定增购适合独立训练的两种体育器材：跳绳和毽子，原来购进根跳绳和个毽子共需元；购进根跳绳和个毽子共需元．学校计划购进跳绳和毽子两种器材共个，由于受疫情影响，商场决定对这两种器材打折销售，其中跳绳以八折出售，毽子以七五折出售，学校要求跳绳的数量不少于毽子数量的倍，跳绳的数量不多于根，则最少费用是 元．
【答案】
【分析】设打折前跳绳的单价为元，毽子的单价为元，根据“打折前，购进根跳绳和个毽子共需元；购进根跳绳和个毽子共需元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之可得出跳绳及毽子的单价，设购买跳绳根，则购买个，根据“购进跳绳的数量不少于毽子数量的倍，且跳绳的数量不多于根”，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，设购买跳绳和毽子的总费用为元，利用总价单价数量，可找出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
【详解】解：设打折前跳绳的单价为元，毽子的单价为元，
根据题意得：，解得：，打折前跳绳的单价为元，毽子的单价为元．
设购买跳绳根，则购买毽子个，根据题意得：，解得：．
设购买跳绳和毽子的总费用为元，则，即，
，随的增大而增大，又，且为正整数，
当时，取得最小值，最小值，
最少费用是元．故答案为：．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式是解题的关键．
19．（2023·湖南长沙·校考二模）下面是小颖同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并解答问题．
(1)以上求解过程中，第三步的依据是_________．
A．等式的基本性质 B．不等式的基本性质 C．分式的基本性质 D．乘法分配律
(2)从第_________步开始出现错误；(3)该方程正确的解为____________
【答案】(1)A(2)一(3)
【分析】（1）根据移项的变形依据回答即可；（2）根据去分母漏乘没有分母的项回答即可；
（3）写出正确的解题过程，即可得到答案．
【详解】（1）解：移项的依据是等式的基本性质，故选：A
（2）从第一步开始出现错误，方程右边的1没有乘以6，故答案为：一
（3）
解：去分母，得……第一步
去括号，得……第二步
移项，得……第三步
合并同类项，得，……第四步
方程两边同除以－1，得．……第五步
故答案为：
【点睛】此题考查了一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．
20．（2023·山西忻州·校联考模拟预测）下面是小彬同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
填空：①以上求解步骤中，第一步的依据是 ；
②第二步的基本思想是“消元”，即把“二元”变为“一元”，在此过程中体现的数学思想是 （填序号）；
A．数形结合 B．类比思想 C．转化思想 D．分类讨论
③小彬同学的解题过程从第 步开始出现错误，直接写出该方程组的正确解： ．
【答案】①等式的性质2；②C；③二；
【分析】①根据等式的性质进行计算即可；②将“二元”转化为“一元”，进而得到解决；
③利用二元一次方程组的解法求解即可．
【详解】解：①把的两边都乘以3得，根据是等式的性质2，故答案为：等式的性质2；
②第二步的基本思想是“消元”，即把“二元”变为“一元”，在此过程中体现的数学思想是转化思想，答案：C；
③小彬同学的解题过程从第二步开始出现错误，正确的解答如下：
解：①，得③，
②③，得，，
代入①，得，
所以，原方程组的解为， 故答案为：二，．
【点睛】本题考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的解法是正确解答的前提．
21．（2023·黑龙江·统考三模）某手机经销商计划同时购进甲乙两种型号手机，若购进2部甲型号手机和5部乙型号手机，共需要资金6000元；若购进3部甲型号手机和2部乙型号手机，共需要资金4600元．(1)求甲、乙型号手机每部进价各为多少元；(2)该店预计用不少于1.78万元且不多于1.92万元的资金购进这两种型号手机共20部，请问有多少种进货方案？(3)若甲型号手机的售价为1500元，乙型号手机的售价为1450元，为了促销，公司决定每售出一台乙型号手机．返还顾客现金a元，甲型号手机售价不变，要使（2）中购进的手机全部售完，每种方案获利相同，求a的值．
【答案】(1)甲型号手机每部进价为1000元，乙型号手机每部进价为800元．(2)8种(3)a的值为150．
【分析】（1）设未知数列二元一次方程组解方程即可；（2）设未知数列不等式，解不等式，考虑实际问题中取整得到解的可能情况；（3）用（2）中未知数和a列出利润计算式，根据m的值不影响利润结果得到含m的项系数为0，求出a即可．
【详解】（1）设甲型号手机每部进价为x元，乙型号手机每部进价为y元．
依题意，得．解得．
答：甲型号手机每部进价为1000元，乙型号手机每部进价为800元．
（2）设购进甲型号手机m部，则购进乙型号手机部．
依题意，得，解得．
又m为整数，m可以为9，10，11，12，13，14，15，16．有8种进货方案．
（3）设20部手机全部销售完后获得的总利润相等，则
．
（2）中每种方案获利相同，利润计算式中不能有含的项，
．．答：a的值为150．
【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，及定值问题．注意定值问题中一个式子的值与m无关，则含有m的项中，m的系数为0．
22．（2023·广东河源·二模）西安的大唐不夜城，已成为游客们必去的打卡之地，在其商业街上，摆放着琳琅满目的具有古风特色的商品，其中做工精致的扇子深受大家的喜爱，某店铺老板用元购进了折扇和团扇共把，这两种扇子的进价、标价如表所示：
(1)折扇和团扇各购进了多少把？(2)店铺老板将这两种扇子打折出售，全部售出后，该店铺共获利元，已知折扇按标价的九折出售，则团扇的折扣是多少？
【答案】(1)折扇购进了把，团扇购进了把(2)团扇的折扣是七五折
【分析】（1）设折扇购进了把，团扇购进了把，根据“店铺老板用元购进了折扇和团扇共把”，和表格中折扇和团扇的进价，列出二元一次方程组，解二元一次方程组即可；
（2）设团扇的折扣是折，根据“全部售出后，该店铺共获利元”，折扇购进了把，团扇购进了把，和表格中折扇和团扇的进价与标价，列出一元一次方程，解一元一次方程即可．
【详解】（1）解：设折扇购进了把，团扇购进了把，
根据题意得：，解得：．
答：折扇购进了把，团扇购进了把；
（2）解：设团扇的折扣是折，
根据题意得：，解得：．
答：团扇的折扣是七五折．
【点睛】本题考查了一元一次方程、二元一次方程组的应用，读懂题意、列方程是解题的关键．
23．（2023·山西大同·统考模拟预测）阅读与思考
小敏在九年级复习阶段，针对“一次方程的解”整理得出以下几种方法，请仔细阅读并完成相应的任务.
任务：
(1)解方程的基本思想是（ ）
A．方程思想 B．转化思想 C． 数形结合 D．分类讨论
(2)解方程的步骤从第__________步开始出现错误，错误的原因是_________________，方程正确的解为___________________________.
(3)实际上，除了解二元一次方程组外，初中数学还有一些知识也可以用函数的观点来认识.例如：可以用函数的观点来认识一元一次方程的解，请你再举出一例；
【答案】(1)B(2)一，移项时没有变号；(3)见解析
【分析】（1）根据题中解方程的方法即可得到解方程的基本思想是；
（2）根据移项、合并同类项、系数化为1解方程，再进行判断即可；
（3）根据函数与方程的关系举例即可．
【详解】（1）解：由题意可得，解方程的基本思想是是转化思想，故选：B．
（2）解：由题意可得，第一步：移项得，，
第二步：合并同类项得，，第三步：化系数为1得，，
∴从第一步开始出错，原因是：x移项时没有变号，
故答案为：一，移项时没有变号，．
（3）解：用二次函数的观点认识一元二次方程的解（用函数的观点认识一元一次不等式的解集）．
【点睛】本题考查解一元一次方程和二元一次方程组、函数与方程的关系，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．
限时检测2：最新各地中考真题（40分钟）
1．（2022·贵州黔西·统考中考真题）小明解方程的步骤如下：
解：方程两边同乘6，得①
去括号，得②
移项，得③
合并同类项，得④
以上解题步骤中，开始出错的一步是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【答案】A
【分析】按照解一元一次方程的一般步骤进行检查，即可得出答案．
【详解】解：方程两边同乘6，得①
∴开始出错的一步是①，故选：A．
【点睛】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤以及注意事项是解决问题的关键．
2．（2023·四川南充·统考中考真题）《孙子算经》记载：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”（尺、寸是长度单位，1尺＝10寸）．意思是，现有一根长木，不知道其长短．用一根绳子去度量长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再度量长木，长木还剩余1尺．问长木长多少？设长木长为x尺，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设长木长为x尺，则绳子长为尺，根据“将绳子对折再度量长木，长木还剩余1尺”，可列出方程．
【详解】设长木长为x尺，则绳子长为尺，根据题意，得 故选：A
【点睛】本题考查一元一次方程解决实际问题，理解题意，找出等量关系列出方程是解题的关键．
3．（2023年山东省威海市中考数学真题）常言道：失之毫厘，谬以千里．当人们向太空发射火箭或者描述星际位置时，需要非常准确的数据．的角真的很小．把整个圆等分成360份，每份这样的弧所对的圆心角的度数是．．若一个等腰三角形的腰长为1千米，底边长为4.848毫米，则其顶角的度数就是．太阳到地球的平均距离大约为千米．若以太阳到地球的平均距离为腰长，则顶角为的等腰三角形底边长为（ ）
A．24.24千米B．72.72千米C．242.4千米D．727.2千米
【答案】D
【分析】设以太阳到地球的平均距离为腰长，则顶角为的等腰三角形底边长为x毫米，根据顶角相等的两等腰三角形相似，相似三角形的对应边成比例，可列出方程，求解即可．
【详解】解：设以太阳到地球的平均距离为腰长，则顶角为的等腰三角形底边长为x毫米，根据题意，得解得：
∴等腰三角形底边长为毫米千米．故选：D．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用．据相似三角形判定与性质列出方程是解题的关键，注意单位换算．
4．（2023年江苏省连云港市中考数学真题）元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？其大意是：快马每天行里，慢马每天行里，驽马先行天，快马几天可追上慢马？若设快马天可追上慢马，由题意得（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设快马天可追上慢马，根据路程相等，列出方程即可求解．
【详解】解：设快马天可追上慢马，由题意得故选：D．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
5．（2023年黑龙江省齐齐哈尔市中考数学真题）为提高学生学习兴趣，增强动手实践能力，某校为物理兴趣小组的同学购买了一根长度为的导线，将其全部截成和两种长度的导线用于实验操作（每种长度的导线至少一根），则截取方案共有（ ）
A．5种B．6种C．7种D．8种
【答案】C
【分析】设和两种长度的导线分别为根，根据题意，得出，进而根据为正整数，即可求解．
【详解】解：设和两种长度的导线分别为根，根据题意得，
，即，∵为正整数，∴
则，故有7种方案，故选：C．
【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，根据题意列出方程求整数解是解题的关键．
6．（2023年四川省眉山市中考数学真题）已知关于的二元一次方程组的解满足，则m的值为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【分析】将方程组的两个方程相减，可得到，代入，即可解答．
【详解】解：，得，，
代入，可得，解得，故选：B．
【点睛】本题考查了根据解的情况求参数，熟练利用加减法整理代入是解题的关键．
7．（2023年四川省南充市中考数学真题）关于x，y的方程组的解满足，则的值是（ ）
A．1B．2C．4D．8
【答案】D
【分析】法一：利用加减法解方程组，用表示出，再将求得的代数式代入，得到的关系，最后将变形，即可解答．
法二：中得到，再根据求出代入代数式进行求解即可.
【详解】解：法一：，
得，解得，
将代入，解得，
，，得到，
，
法二： 得：，即：，
∵，∴，，故选：D．
【点睛】本题考查了根据二元一次方程解的情况求参数，同底数幂除法，幂的乘方，熟练求出的关系是解题的关键．
8．（2022·河北·中考真题）“曹冲称象”是流传很广的故事，如图．按照他的方法：先将象牵到大船上，并在船侧面标记水位，再将象牵出．然后往船上抬入20块等重的条形石，并在船上留3个搬运工，这时水位恰好到达标记位置．如果再抬入1块同样的条形石，船上只留1个搬运工，水位也恰好到达标记位置．已知搬运工体重均为120斤，设每块条形石的重量是x斤，则正确的是（ ）
A．依题意B．依题意
C．该象的重量是5040斤D．每块条形石的重量是260斤
【答案】B
【分析】根据题意列出方程即可解答．
【详解】解：根据题意可得方程；故选：B．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，根据题意真确列出方程是解题的关键．
9．（2022年湖北省宜昌市中考数学真题）五一小长假，小华和家人到公园游玩.湖边有大小两种游船．小华发现1艘大船与2艘小船一次共可以满载游客32人，2艘大船与1艘小船一次共可以满载游客46人．则1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客的人数为（ ）
A．30B．26C．24D．22
【答案】B
【分析】设1艘大船与1艘小船分别可载x人，y人，根据“1艘大船与2艘小船一次共可以满载游客32人”和“2艘大船与1艘小船一次共可以满载游客46人”这两个等量关系列方程组，解出（x+y）即可．
【详解】设1艘大船与1艘小船分别可载x人，y人，
依题意：（①+②）÷3得： 故选：B．
【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用；注意本题解出（x+y）的结果即可．
10．（2022·四川成都·统考中考真题）中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样一个题目：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，四文钱买苦果七，十一文钱九个甜，甜苦两果各几个？其大意是：用九百九十九文钱共买了一千个苦果和甜果，其中四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个．问：苦、甜果各有几个？设苦果有个，甜果有个，则可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意可以列出相应的方程组，从而可以解答本题．
【详解】解：设苦果有个，甜果有个，由题意可得，故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组的有关知识，正确找到相等关系是解决本题的关键．
11．（2023·四川泸州·统考中考真题）关于，的二元一次方程组的解满足，写出的一个整数值___________．
【答案】7（答案不唯一）
【分析】先解关于x、y的二元一次方程组的解集，再将代入，然后解关于a的不等式的解集即可得出答案．
【详解】将两个方程相减得，
∵，∴，∴，
∵，∴，∴，
∴的一个整数值可以是7．故答案为：7（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组和解一元一次不等式，整体代入的思想方法是解答本题的
12.（2023·四川南充·统考中考真题）小伟用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为1000N和0.6m，当动力臂由1.5m增加到2m时，撬动这块石头可以节省________N的力．（杜杆原理：阻力阻力臂动力动力臂）
【答案】100
【分析】设动力为，根据阻力阻力臂动力动力臂，分别解得动力臂在1.5m和2m时的动力，即可解答．
【详解】解：设动力为，根据阻力阻力臂动力动力臂，
当动力臂在1.5m时，可得方程，解得，
当动力臂在2m时，可得方程，解得，
，故节省100N的力，故答案为：100．
【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用，根据题目中给出的等量关系，正确列方程是解题的关键．
13．（2021·浙江嘉兴市·中考真题）已知二元一次方程，请写出该方程的一组整数解_________．
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据题意确定出方程的整数解即可．
【详解】解：方程的一组整数解为故答案为：（答案不唯一）
【点睛】此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
14．（2022·山东威海·中考真题）幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图1），将9个数填在3×3（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图2的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则mn＝_____．
【答案】1
【分析】由第二行方格的数字，字母，可以得出第二行的数字之和为m，然后以此得出可知第三行左边的数字为4，第一行中间的数字为m-n+4，第三行中间数字为n-6，第三行右边数字为，再根据对角线上的三个数字之和相等且都等于m可得关于m，n方程组，解出即可．
【详解】如图，根据题意，可得
第二行的数字之和为：m+2+(-2)=m可知第三行左边的数字为：m-(-4)-m=4
第一行中间的数字为：m-n-(-4)=m-n+4 第三行中间数字为m-2-(m-n+4)=n-6
第三行右边数字为：m-n-(-2)=m-n+2
再根据对角线上的三个数字之和相等且都等于m可得方程组为：
解得 ∴ 故答案为：1
【点睛】本题考查了有理数加法，列代数式，以及二元一次方程组，解题的关键是根据表格，利用每行，每列，每条对角线上的三个数之和相等列方程．
15．（2023·浙江衢州·统考中考真题）小红在解方程时，第一步出现了错误：
(1)请在相应的方框内用横线划出小红的错误处；(2)写出你的解答过程．
【答案】(1)划线见解析 (2)，过程见解析
【分析】（1）根据解一元一次方程去分母的过程，即可解答；
（2）根据解一元一次方程的步骤，计算即可．
【详解】（1）解：划线如图所示：
（2）解：，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟知解方程的步骤是解题的关键．
16．（2023年江苏省扬州市中考数学真题）近年来，市民交通安全意识逐步增强，头盔需求量增大．某商店购进甲、乙两种头盔，已知购买甲种头盔20只，乙种头盔30只，共花费2920元，甲种头盔的单价比乙种头盔的单价高11元．
(1)甲、乙两种头盔的单价各是多少元？
(2)商店决定再次购进甲、乙两种头盔共40只，正好赶上厂家进行促销活动，促销方式如下：甲种头盔按单价的八折出售，乙种头盔每只降价6元出售．如果此次购买甲种头盔的数量不低于乙种头盔数量的一半，那么应购买多少只甲种头盔，使此次购买头盔的总费用最小？最小费用是多少元？
【答案】(1)甲、乙两种头盔的单价各是65元， 54元．
(2)购14只甲种头盔，此次购买头盔的总费用最小,最小费用为1976元．
【分析】（1）设购买乙种头盔的单价为x元，则甲种头盔的单价为元，根据题意，得，求解；
（2）设购m只甲种头盔，此次购买头盔的总费用最小,设总费用为w,则，解得，故最小整数解为，，根据一次函数增减性，求得最小值=．
【详解】（1）解:设购买乙种头盔的单价为x元，则甲种头盔的单价为元，根据题意，得解得，，，
答：甲、乙两种头盔的单价各是65元， 54元．
（2）解：设购m只甲种头盔，此次购买头盔的总费用最小,设总费用为w,
则，解得，故最小整数解为，
，
∵，则w随m的增大而增大，
∴时，w取最小值，最小值．
答：购14只甲种头盔，此次购买头盔的总费用最小,最小费用为1976元．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，一次函数的性质，一次函数的应用、一元一次不等式的应用；根据题意列出函数解析式，确定自变量取值范围是解题的关键．
17．（2023年河北省中考数学真题）某磁性飞镖游戏的靶盘如图．珍珍玩了两局，每局投10次飞镖，若投到边界则不计入次数，需重新投，计分规则如下：
在第一局中，珍珍投中A区4次，B区2次，脱靶4次．
(1)求珍珍第一局的得分；(2)第二局，珍珍投中A区k次，B区3次，其余全部脱靶．若本局得分比第一局提高了13分，求k的值．
【答案】(1)珍珍第一局的得分为6分；(2)．
【分析】（1）根据题意列式计算即可求解；（2）根据题意列一元一次方程即可求解.
【详解】（1）解：由题意得(分)，
答：珍珍第一局的得分为6分；
（2）解：由题意得，解得：．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
18．（2023年北京市中考数学真题）对联是中华传统文化的瑰宝，对联装裱后，如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边．一般情况下，天头长与地头长的比是，左、右边的宽相等，均为天头长与地头长的和的．某人要装裱一幅对联，对联的长为，宽为．若要求装裱后的长是装裱后的宽的4倍，求边的宽和天头长．（书法作品选自《启功法书》）
【答案】边的宽为，天头长为
【分析】设天头长为，则地头长为，边的宽为，再分别表示础装裱后的长和宽，根据装裱后的长是装裱后的宽的4倍列方程求解即可．
【详解】解：设天头长为，
由题意天头长与地头长的比是，可知地头长为，
边的宽为，
装裱后的长为，
装裱后的宽为，
由题意可得：解得，∴，
答：边的宽为，天头长为．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，题中的数量关系较为复杂，需要合理设未知数，找准数量关系．
19．（2023年山东省临沂市中考数学真题）大学生小敏参加暑期实习活动，与公司约定一个月（30天）的报酬是M型平板电脑一台和1500元现金，当她工作满20天后因故结束实习，结算工资时公司给了她一台该型平板电脑和300元现金．(1)这台M型平板电脑价值多少元？
(2)小敏若工作m天，将上述工资支付标准折算为现金，她应获得多少报酬（用含m的代数式表示）？
【答案】(1)这台M型平板电脑的价值为元 (2)她应获得元的报酬
【分析】（1）设这台M型平板电脑的价值为元，根据题意，列出方程进行求解即可；
（2）根据题意，列出代数式即可．
【详解】（1）解：设这台M型平板电脑的价值为元，由题意，得：
， 解得：；∴这台M型平板电脑的价值为元；
（2）解：由题意，得：；答：她应获得元的报酬．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用．找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键．
20．（2023年湖南省长沙市中考数学真题）为提升学生身体素质，落实教育部门“在校学生每天锻炼时间不少于1小时”的文件精神．某校利用课后服务时间，在八年级开展“体育赋能，助力成长”班级篮球赛，共个班级参加．(1)比赛积分规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场积分，负一场积分．某班级在场比赛中获得总积分为分，问该班级胜负场数分别是多少？(2)投篮得分规则：在分线外投篮，投中一球可得分，在分线内含分线投篮，投中一球可得分，某班级在其中一场比赛中，共投中个球只有分球和分球，所得总分不少于分，问该班级这场比赛中至少投中了多少个分球？
【答案】(1)该班级胜负场数分别是场和场；(2)该班级这场比赛中至少投中了个分球．
【分析】（1）设胜了场，负了场，根据场比赛中获得总积分为分可列方程组，求解即可．
（2）设班级这场比赛中投中了个分球，则投中了个分球，根据所得总分不少于分，列出相应的不等式，从而可以求出答案．
【详解】（1）解：设胜了场，负了场，根据题意得：，解得，
答：该班级胜负场数分别是场和场；
（2）设班级这场比赛中投中了个分球，则投中了个分球，
根据题意得：，解得，答：该班级这场比赛中至少投中了个分球．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组和不等式．
解方程：
解：去分母，得……第一步
去括号，得……第二步
移项，得……第三步
合并同类项，得，……第四步
方程两边同除以－1，得．……第五步
解方程组：
解：①，得．③第一步
②③，得．第二步
．第三步
代入①，得．第四步
所以，原方程组的解为．第五步
种类价格
折扇
团扇
进价（元/把）
标价（元/把）
九年级总复习笔记
引例：求一元一次方程和方程组的解.
基本步骤：去括号，去分母，移项合并同类项，化系数为
基本思想：________________
解答：
第一步：
移项得：
第二步：
合并同类项得：
第三步：
化系数为1得：
方法一：
由得
，
把代入①中得
所以原方程组的解为
方法二：利用两条直线的交点坐标求得方程组的解为
投中位置
A区
B区
脱靶
一次计分（分）
3
1
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】运用等式的基本性质解题即可．
【详解】解：∵∴两边同时减去a得：
∴两边同时乘以得： 故选A．
【点睛】本题考查等式的基本性质，掌握等式的基本性质是解题的关键．
2.（2023·河北唐山·统考一模）有三种不同质量的物体“■”“▲”“●”，其中同一种物体的质量都相等．下列四个天平中只有一个天平没有处于平衡状态，则该天平是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】设“■”的质量为x，“▲”的质量为y “●”的质量为m，列出等式，根据等式的性质计算判断即可．
【详解】设“■”的质量为x，“▲”的质量为y “●”的质量为m，
根据题意，得即，故A正确，不符合题意；
∴，故C正确，不符合题意；故B不正确，符合题意；
∴，故D正确，不符合题意；故选B．
【点睛】本题考查了等式的性质，正确理解等式的性质是解题的关键．
3.（2023·河北张家口·统考一模）不是下列哪个方程的解（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】将代入各个方程，即可判断．
【详解】经代入计算，可知能使方程、、成立，
不能使成立，不是的解．故选：C．
【点睛】本题考查了二元次一方程的解的定义，正确代入计算，是解答本题的关键．
4．（2023·浙江温州·统考一模）将方程去分母，结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据解一元一次方程的步骤可进行求解．
【详解】解：将方程去分母得：；故选A．
【点睛】本题主要考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．
5．（2023·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）若关于x，y的二元一次方程组的解满足，满足条件的m的所有正整数值为（ ）
A．0，1，2 B．0，1，2，3 C．1，2，3 D．1，2，3，4
【答案】D
【分析】先解方程组求得x、y的值，再根据列出关于m的不等式，解之求得m的取值范围即可求解．
【详解】解：解方程组得，
∵，∴，解得，
∴正整数m的值为1、2、3、4，故选：D．
【点睛】本题考查解二元一次方程组和一元一次不等式，根据题意列出关于m的不等式是解题的关键．
6．（2023·浙江衢州·校考一模）若x、y是两个实数，且，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据x、y的取值范围，去绝对值符号并分别讨论求得方程组的解，再代入代数式计算求解即可．
【详解】解：当，时，原方程组为：，方程组无解；
当，时，原方程组为：，解得，；
当，时，原方程组为：，方程组无解；
当，时，原方程组为：，方程组无解；
综上得，原方程组的解为：，∴，故答案选C．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，涉及到绝对值计算，根据未知数的范围判断去绝对值后的符号是解此题的关键．
7．（2023·浙江·模拟预测）一宾馆有一人间、两人间、三人间三种客房供游客租住，某旅行团共15人准备租用客房共7间，如果每个房间都住满，租房方案有（ ）
A．6种B．5种C．4种D．3种
【答案】C
【分析】设一人间x间，二人间y间，三人间间，根据旅行团共15人列出方程，解方程即可．
【详解】解：设一人间x间，二人间y间，三人间间．根据题意得：，
整理得：，
当时，，；
当时，，；
当时，，；
当时，，．
∴有4种租房方案：①租一人间3间，二人间0间，三人间4间；②租一人间2间，二人间2间，三人间3间；③租一人间1间，二人间4间，三人间2间；④租一人间0间，二人间6间，三人间1间．
故选：C．
【点睛】本题是二元一次方程的应用，此题难度较大，解题的关键是理解题意，根据题意列方程，然后根据x，y是整数求解，注意分类讨论思想的应用．
8．（2023·安徽六安·校考二模）已知a，b，c均为非负整数，且，．当时，则这三个数字组成的最大三位数可能是（ ）
A．340B．430C．520D．610
【答案】C
【分析】根据进行分类讨论即可求解．
【详解】解：，且均为非负整数，①当时，
，，
，，会组成四位数，不满足题意；
②当时，，，
，，故组成最大的三位数为：；
③时，，，
，解得：，组成最大的三位数为：
综上所述，它们最大三位数是，故选：C．
【点睛】本题主要考查了三元一次方程组，掌握三元一次方程组的解法是解题的关键，同时要运用了分类讨论的数学思想．
9.（2023·浙江·模拟预测）关于的方程有无数多个实根，则实数的值为（ ）
A．1B．C．1或D．有无数个取值
【答案】C
【分析】根据绝对值的性质，进行分类讨论：①当时，②当时，即可求解．
【详解】解：①当时，
，，
当时，，只有一个实数根，不符合题意；
当时，解得：，左边，右边，
此时方程有无数个解，符合题意；
②当时，，，
当时，，只有一个实数根，不符合题意；
当时，解得：，左边，右边，
此时方程有无数个解，符合题意；
综上：实数的值为1或，故选：C．
【点睛】本题主要考查了绝对值的定义，解一元一次方程，解题的关键是掌握正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．
10．（2023·重庆中考模拟）阅读理解：，，，是实数，我们把符号称为阶行列式，并且规定：，例如：.二元一次方程组的解可以利用阶行列式表示为：；其中，，.问题：对于用上面的方法解二元一次方程组时，下面说法错误的是（ ）
A．B．C．D．方程组的解为
【答案】C
【分析】根据阅读材料中提供的方法逐项进行计算即可得.
【解析】A、D==2×（-2）-3×1=﹣7，故A选项正确，不符合题意；
B、Dx==﹣2﹣1×12=﹣14，故B选项正确，不符合题意；
C、Dy==2×12﹣1×3=21，故C选项不正确，符合题意；
D、方程组的解：x==2，y==﹣3，故D选项正确，不符合题意，故选C．
【点睛】本题考查了阅读理解型问题，考查了2×2阶行列式和方程组的解的关系，读懂题意，根据材料中提供的方法进行解答是关键.
11．（2023·浙江杭州·校联考三模）已知关于x，y的方程组的解是，则直线与的交点坐标为 ．
【答案】
【分析】把代入即可求出m的值，再根据二元一次方程组和一次函数的关系，即可进行解答．
【详解】解：把代入，得：，
关于x、y的方程组的解是，
直线与的交点坐标为，故答案为：．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，以及二元一次方程组和一次函数的关系，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的解是对应两个一次函数图象交点的横坐标和纵坐标．
12．（2023·江西南昌·校考一模）二元一次方程组的解满足，则的值为 ．
【答案】
【分析】将方程组中的两个方程相加可得，进而得到，再根据可得一个关于的一元一次方程，解方程即可得．
【详解】解：，由得：，∴
二元一次方程组的解满足，
，解得，故答案为：．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，正确发现方程组中的两个方程与之间的联系是解题关键．
13．（2023·浙江·模拟预测）实数满足．则 ．
【答案】
【分析】由得：，，由得：，从而得到，即可求解．
【详解】解：，
由得：，∴，
由得：，∴，
∴，
∴．故答案为：
【点睛】本题主要考查了求代数式的值，三元一次方程组，根据题意得到，是解题的关键．
14．（2023·辽宁沈阳·校考三模）关于的二元一次方程组的解是，则的值为 ．
【答案】0
【分析】把的值代入方程计算求出的值，代入进行计算即可得到答案．
【详解】解：把代入，得：，解得：，
，故答案为：0．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．
15．（2023·四川南充·统考一模）已知关于x，y的二元一次方程组的解都为非负数，若，则W的最大值为 ．
【答案】1
【分析】先求出方程组的解，再由二元一次方程组的解都为非负数，可得关于a的不等式组，确定a的取值范围，再由一次函数的增减性求解即可．
【详解】解：，解得：，
∵二元一次方程组的解都为非负数，∴，解得：．
∵，W随a的增大而增大，∴当时，，故答案为：1
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组及一次函数的基本性质，熟练掌握解二元一次方程组，解一元一次不等式组的方法是解题的关键．
16.（2023·江西赣州·统考二模）如图1，河图洛书是中国古代流传下来的两幅神秘图案，被誉为“宇宙魔方”，是中华文化、阴阳五行术数之源．图2是由河图洛书得到的的一个九宫格，把从1~9这九个数填入方格中，使其行，列及对角线上的三个数之和都分别相等，则图2中x的值应为 ．
【答案】1
【分析】设左上角的数字为，依题意，则，解方程即可求解．
【详解】解：如图所示，
设左上角的数字为，依题意，则解得：，故答案为：1．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
17．（2023·广东深圳·校联考模拟预测）20世纪70年代，数学家罗杰·彭罗斯使用两种不同的菱形，完成了非周期性密铺，如下图，使用了，两种菱形进行了密铺，则菱形的锐角的度数为 °．
【答案】36
【分析】如图，设菱形B的锐角为x，菱形A的锐角和钝角分别为y、z，根据密铺的图案中一个顶点处的周角为列出方程组，解答即可．
【详解】解：如图，设菱形B的锐角为x，菱形A的锐角和钝角分别为y、z，根据题意，得
，解得，故答案为：36．
【点睛】本题常考了密铺问题，涉及了菱形的性质、多边形的内角和、三元一次方程组等知识，正确理解题意、得出方程组是解题的关键．
18．（2023·黑龙江绥化·模拟预测）我市各单位为同学们的返校复学采取了一系列举措．复课返校后，为了拉开学生锻炼的间距，某学校决定增购适合独立训练的两种体育器材：跳绳和毽子，原来购进根跳绳和个毽子共需元；购进根跳绳和个毽子共需元．学校计划购进跳绳和毽子两种器材共个，由于受疫情影响，商场决定对这两种器材打折销售，其中跳绳以八折出售，毽子以七五折出售，学校要求跳绳的数量不少于毽子数量的倍，跳绳的数量不多于根，则最少费用是 元．
【答案】
【分析】设打折前跳绳的单价为元，毽子的单价为元，根据“打折前，购进根跳绳和个毽子共需元；购进根跳绳和个毽子共需元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之可得出跳绳及毽子的单价，设购买跳绳根，则购买个，根据“购进跳绳的数量不少于毽子数量的倍，且跳绳的数量不多于根”，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，设购买跳绳和毽子的总费用为元，利用总价单价数量，可找出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
【详解】解：设打折前跳绳的单价为元，毽子的单价为元，
根据题意得：，解得：，打折前跳绳的单价为元，毽子的单价为元．
设购买跳绳根，则购买毽子个，根据题意得：，解得：．
设购买跳绳和毽子的总费用为元，则，即，
，随的增大而增大，又，且为正整数，
当时，取得最小值，最小值，
最少费用是元．故答案为：．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式是解题的关键．
19．（2023·湖南长沙·校考二模）下面是小颖同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并解答问题．
(1)以上求解过程中，第三步的依据是_________．
A．等式的基本性质 B．不等式的基本性质 C．分式的基本性质 D．乘法分配律
(2)从第_________步开始出现错误；(3)该方程正确的解为____________
【答案】(1)A(2)一(3)
【分析】（1）根据移项的变形依据回答即可；（2）根据去分母漏乘没有分母的项回答即可；
（3）写出正确的解题过程，即可得到答案．
【详解】（1）解：移项的依据是等式的基本性质，故选：A
（2）从第一步开始出现错误，方程右边的1没有乘以6，故答案为：一
（3）
解：去分母，得……第一步
去括号，得……第二步
移项，得……第三步
合并同类项，得，……第四步
方程两边同除以－1，得．……第五步
故答案为：
【点睛】此题考查了一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．
20．（2023·山西忻州·校联考模拟预测）下面是小彬同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
填空：①以上求解步骤中，第一步的依据是 ；
②第二步的基本思想是“消元”，即把“二元”变为“一元”，在此过程中体现的数学思想是 （填序号）；
A．数形结合 B．类比思想 C．转化思想 D．分类讨论
③小彬同学的解题过程从第 步开始出现错误，直接写出该方程组的正确解： ．
【答案】①等式的性质2；②C；③二；
【分析】①根据等式的性质进行计算即可；②将“二元”转化为“一元”，进而得到解决；
③利用二元一次方程组的解法求解即可．
【详解】解：①把的两边都乘以3得，根据是等式的性质2，故答案为：等式的性质2；
②第二步的基本思想是“消元”，即把“二元”变为“一元”，在此过程中体现的数学思想是转化思想，答案：C；
③小彬同学的解题过程从第二步开始出现错误，正确的解答如下：
解：①，得③，
②③，得，，
代入①，得，
所以，原方程组的解为， 故答案为：二，．
【点睛】本题考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的解法是正确解答的前提．
21．（2023·黑龙江·统考三模）某手机经销商计划同时购进甲乙两种型号手机，若购进2部甲型号手机和5部乙型号手机，共需要资金6000元；若购进3部甲型号手机和2部乙型号手机，共需要资金4600元．(1)求甲、乙型号手机每部进价各为多少元；(2)该店预计用不少于1.78万元且不多于1.92万元的资金购进这两种型号手机共20部，请问有多少种进货方案？(3)若甲型号手机的售价为1500元，乙型号手机的售价为1450元，为了促销，公司决定每售出一台乙型号手机．返还顾客现金a元，甲型号手机售价不变，要使（2）中购进的手机全部售完，每种方案获利相同，求a的值．
【答案】(1)甲型号手机每部进价为1000元，乙型号手机每部进价为800元．(2)8种(3)a的值为150．
【分析】（1）设未知数列二元一次方程组解方程即可；（2）设未知数列不等式，解不等式，考虑实际问题中取整得到解的可能情况；（3）用（2）中未知数和a列出利润计算式，根据m的值不影响利润结果得到含m的项系数为0，求出a即可．
【详解】（1）设甲型号手机每部进价为x元，乙型号手机每部进价为y元．
依题意，得．解得．
答：甲型号手机每部进价为1000元，乙型号手机每部进价为800元．
（2）设购进甲型号手机m部，则购进乙型号手机部．
依题意，得，解得．
又m为整数，m可以为9，10，11，12，13，14，15，16．有8种进货方案．
（3）设20部手机全部销售完后获得的总利润相等，则
．
（2）中每种方案获利相同，利润计算式中不能有含的项，
．．答：a的值为150．
【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，及定值问题．注意定值问题中一个式子的值与m无关，则含有m的项中，m的系数为0．
22．（2023·广东河源·二模）西安的大唐不夜城，已成为游客们必去的打卡之地，在其商业街上，摆放着琳琅满目的具有古风特色的商品，其中做工精致的扇子深受大家的喜爱，某店铺老板用元购进了折扇和团扇共把，这两种扇子的进价、标价如表所示：
(1)折扇和团扇各购进了多少把？(2)店铺老板将这两种扇子打折出售，全部售出后，该店铺共获利元，已知折扇按标价的九折出售，则团扇的折扣是多少？
【答案】(1)折扇购进了把，团扇购进了把(2)团扇的折扣是七五折
【分析】（1）设折扇购进了把，团扇购进了把，根据“店铺老板用元购进了折扇和团扇共把”，和表格中折扇和团扇的进价，列出二元一次方程组，解二元一次方程组即可；
（2）设团扇的折扣是折，根据“全部售出后，该店铺共获利元”，折扇购进了把，团扇购进了把，和表格中折扇和团扇的进价与标价，列出一元一次方程，解一元一次方程即可．
【详解】（1）解：设折扇购进了把，团扇购进了把，
根据题意得：，解得：．
答：折扇购进了把，团扇购进了把；
（2）解：设团扇的折扣是折，
根据题意得：，解得：．
答：团扇的折扣是七五折．
【点睛】本题考查了一元一次方程、二元一次方程组的应用，读懂题意、列方程是解题的关键．
23．（2023·山西大同·统考模拟预测）阅读与思考
小敏在九年级复习阶段，针对“一次方程的解”整理得出以下几种方法，请仔细阅读并完成相应的任务.
任务：
(1)解方程的基本思想是（ ）
A．方程思想 B．转化思想 C． 数形结合 D．分类讨论
(2)解方程的步骤从第__________步开始出现错误，错误的原因是_________________，方程正确的解为___________________________.
(3)实际上，除了解二元一次方程组外，初中数学还有一些知识也可以用函数的观点来认识.例如：可以用函数的观点来认识一元一次方程的解，请你再举出一例；
【答案】(1)B(2)一，移项时没有变号；(3)见解析
【分析】（1）根据题中解方程的方法即可得到解方程的基本思想是；
（2）根据移项、合并同类项、系数化为1解方程，再进行判断即可；
（3）根据函数与方程的关系举例即可．
【详解】（1）解：由题意可得，解方程的基本思想是是转化思想，故选：B．
（2）解：由题意可得，第一步：移项得，，
第二步：合并同类项得，，第三步：化系数为1得，，
∴从第一步开始出错，原因是：x移项时没有变号，
故答案为：一，移项时没有变号，．
（3）解：用二次函数的观点认识一元二次方程的解（用函数的观点认识一元一次不等式的解集）．
【点睛】本题考查解一元一次方程和二元一次方程组、函数与方程的关系，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．
限时检测2：最新各地中考真题（40分钟）
1．（2022·贵州黔西·统考中考真题）小明解方程的步骤如下：
解：方程两边同乘6，得①
去括号，得②
移项，得③
合并同类项，得④
以上解题步骤中，开始出错的一步是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【答案】A
【分析】按照解一元一次方程的一般步骤进行检查，即可得出答案．
【详解】解：方程两边同乘6，得①
∴开始出错的一步是①，故选：A．
【点睛】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤以及注意事项是解决问题的关键．
2．（2023·四川南充·统考中考真题）《孙子算经》记载：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”（尺、寸是长度单位，1尺＝10寸）．意思是，现有一根长木，不知道其长短．用一根绳子去度量长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再度量长木，长木还剩余1尺．问长木长多少？设长木长为x尺，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设长木长为x尺，则绳子长为尺，根据“将绳子对折再度量长木，长木还剩余1尺”，可列出方程．
【详解】设长木长为x尺，则绳子长为尺，根据题意，得 故选：A
【点睛】本题考查一元一次方程解决实际问题，理解题意，找出等量关系列出方程是解题的关键．
3．（2023年山东省威海市中考数学真题）常言道：失之毫厘，谬以千里．当人们向太空发射火箭或者描述星际位置时，需要非常准确的数据．的角真的很小．把整个圆等分成360份，每份这样的弧所对的圆心角的度数是．．若一个等腰三角形的腰长为1千米，底边长为4.848毫米，则其顶角的度数就是．太阳到地球的平均距离大约为千米．若以太阳到地球的平均距离为腰长，则顶角为的等腰三角形底边长为（ ）
A．24.24千米B．72.72千米C．242.4千米D．727.2千米
【答案】D
【分析】设以太阳到地球的平均距离为腰长，则顶角为的等腰三角形底边长为x毫米，根据顶角相等的两等腰三角形相似，相似三角形的对应边成比例，可列出方程，求解即可．
【详解】解：设以太阳到地球的平均距离为腰长，则顶角为的等腰三角形底边长为x毫米，根据题意，得解得：
∴等腰三角形底边长为毫米千米．故选：D．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用．据相似三角形判定与性质列出方程是解题的关键，注意单位换算．
4．（2023年江苏省连云港市中考数学真题）元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？其大意是：快马每天行里，慢马每天行里，驽马先行天，快马几天可追上慢马？若设快马天可追上慢马，由题意得（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设快马天可追上慢马，根据路程相等，列出方程即可求解．
【详解】解：设快马天可追上慢马，由题意得故选：D．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
5．（2023年黑龙江省齐齐哈尔市中考数学真题）为提高学生学习兴趣，增强动手实践能力，某校为物理兴趣小组的同学购买了一根长度为的导线，将其全部截成和两种长度的导线用于实验操作（每种长度的导线至少一根），则截取方案共有（ ）
A．5种B．6种C．7种D．8种
【答案】C
【分析】设和两种长度的导线分别为根，根据题意，得出，进而根据为正整数，即可求解．
【详解】解：设和两种长度的导线分别为根，根据题意得，
，即，∵为正整数，∴
则，故有7种方案，故选：C．
【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，根据题意列出方程求整数解是解题的关键．
6．（2023年四川省眉山市中考数学真题）已知关于的二元一次方程组的解满足，则m的值为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【分析】将方程组的两个方程相减，可得到，代入，即可解答．
【详解】解：，得，，
代入，可得，解得，故选：B．
【点睛】本题考查了根据解的情况求参数，熟练利用加减法整理代入是解题的关键．
7．（2023年四川省南充市中考数学真题）关于x，y的方程组的解满足，则的值是（ ）
A．1B．2C．4D．8
【答案】D
【分析】法一：利用加减法解方程组，用表示出，再将求得的代数式代入，得到的关系，最后将变形，即可解答．
法二：中得到，再根据求出代入代数式进行求解即可.
【详解】解：法一：，
得，解得，
将代入，解得，
，，得到，
，
法二： 得：，即：，
∵，∴，，故选：D．
【点睛】本题考查了根据二元一次方程解的情况求参数，同底数幂除法，幂的乘方，熟练求出的关系是解题的关键．
8．（2022·河北·中考真题）“曹冲称象”是流传很广的故事，如图．按照他的方法：先将象牵到大船上，并在船侧面标记水位，再将象牵出．然后往船上抬入20块等重的条形石，并在船上留3个搬运工，这时水位恰好到达标记位置．如果再抬入1块同样的条形石，船上只留1个搬运工，水位也恰好到达标记位置．已知搬运工体重均为120斤，设每块条形石的重量是x斤，则正确的是（ ）
A．依题意B．依题意
C．该象的重量是5040斤D．每块条形石的重量是260斤
【答案】B
【分析】根据题意列出方程即可解答．
【详解】解：根据题意可得方程；故选：B．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，根据题意真确列出方程是解题的关键．
9．（2022年湖北省宜昌市中考数学真题）五一小长假，小华和家人到公园游玩.湖边有大小两种游船．小华发现1艘大船与2艘小船一次共可以满载游客32人，2艘大船与1艘小船一次共可以满载游客46人．则1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客的人数为（ ）
A．30B．26C．24D．22
【答案】B
【分析】设1艘大船与1艘小船分别可载x人，y人，根据“1艘大船与2艘小船一次共可以满载游客32人”和“2艘大船与1艘小船一次共可以满载游客46人”这两个等量关系列方程组，解出（x+y）即可．
【详解】设1艘大船与1艘小船分别可载x人，y人，
依题意：（①+②）÷3得： 故选：B．
【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用；注意本题解出（x+y）的结果即可．
10．（2022·四川成都·统考中考真题）中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样一个题目：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，四文钱买苦果七，十一文钱九个甜，甜苦两果各几个？其大意是：用九百九十九文钱共买了一千个苦果和甜果，其中四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个．问：苦、甜果各有几个？设苦果有个，甜果有个，则可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意可以列出相应的方程组，从而可以解答本题．
【详解】解：设苦果有个，甜果有个，由题意可得，故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组的有关知识，正确找到相等关系是解决本题的关键．
11．（2023·四川泸州·统考中考真题）关于，的二元一次方程组的解满足，写出的一个整数值___________．
【答案】7（答案不唯一）
【分析】先解关于x、y的二元一次方程组的解集，再将代入，然后解关于a的不等式的解集即可得出答案．
【详解】将两个方程相减得，
∵，∴，∴，
∵，∴，∴，
∴的一个整数值可以是7．故答案为：7（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组和解一元一次不等式，整体代入的思想方法是解答本题的
12.（2023·四川南充·统考中考真题）小伟用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为1000N和0.6m，当动力臂由1.5m增加到2m时，撬动这块石头可以节省________N的力．（杜杆原理：阻力阻力臂动力动力臂）
【答案】100
【分析】设动力为，根据阻力阻力臂动力动力臂，分别解得动力臂在1.5m和2m时的动力，即可解答．
【详解】解：设动力为，根据阻力阻力臂动力动力臂，
当动力臂在1.5m时，可得方程，解得，
当动力臂在2m时，可得方程，解得，
，故节省100N的力，故答案为：100．
【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用，根据题目中给出的等量关系，正确列方程是解题的关键．
13．（2021·浙江嘉兴市·中考真题）已知二元一次方程，请写出该方程的一组整数解_________．
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据题意确定出方程的整数解即可．
【详解】解：方程的一组整数解为故答案为：（答案不唯一）
【点睛】此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
14．（2022·山东威海·中考真题）幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图1），将9个数填在3×3（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图2的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则mn＝_____．
【答案】1
【分析】由第二行方格的数字，字母，可以得出第二行的数字之和为m，然后以此得出可知第三行左边的数字为4，第一行中间的数字为m-n+4，第三行中间数字为n-6，第三行右边数字为，再根据对角线上的三个数字之和相等且都等于m可得关于m，n方程组，解出即可．
【详解】如图，根据题意，可得
第二行的数字之和为：m+2+(-2)=m可知第三行左边的数字为：m-(-4)-m=4
第一行中间的数字为：m-n-(-4)=m-n+4 第三行中间数字为m-2-(m-n+4)=n-6
第三行右边数字为：m-n-(-2)=m-n+2
再根据对角线上的三个数字之和相等且都等于m可得方程组为：
解得 ∴ 故答案为：1
【点睛】本题考查了有理数加法，列代数式，以及二元一次方程组，解题的关键是根据表格，利用每行，每列，每条对角线上的三个数之和相等列方程．
15．（2023·浙江衢州·统考中考真题）小红在解方程时，第一步出现了错误：
(1)请在相应的方框内用横线划出小红的错误处；(2)写出你的解答过程．
【答案】(1)划线见解析 (2)，过程见解析
【分析】（1）根据解一元一次方程去分母的过程，即可解答；
（2）根据解一元一次方程的步骤，计算即可．
【详解】（1）解：划线如图所示：
（2）解：，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟知解方程的步骤是解题的关键．
16．（2023年江苏省扬州市中考数学真题）近年来，市民交通安全意识逐步增强，头盔需求量增大．某商店购进甲、乙两种头盔，已知购买甲种头盔20只，乙种头盔30只，共花费2920元，甲种头盔的单价比乙种头盔的单价高11元．
(1)甲、乙两种头盔的单价各是多少元？
(2)商店决定再次购进甲、乙两种头盔共40只，正好赶上厂家进行促销活动，促销方式如下：甲种头盔按单价的八折出售，乙种头盔每只降价6元出售．如果此次购买甲种头盔的数量不低于乙种头盔数量的一半，那么应购买多少只甲种头盔，使此次购买头盔的总费用最小？最小费用是多少元？
【答案】(1)甲、乙两种头盔的单价各是65元， 54元．
(2)购14只甲种头盔，此次购买头盔的总费用最小,最小费用为1976元．
【分析】（1）设购买乙种头盔的单价为x元，则甲种头盔的单价为元，根据题意，得，求解；
（2）设购m只甲种头盔，此次购买头盔的总费用最小,设总费用为w,则，解得，故最小整数解为，，根据一次函数增减性，求得最小值=．
【详解】（1）解:设购买乙种头盔的单价为x元，则甲种头盔的单价为元，根据题意，得解得，，，
答：甲、乙两种头盔的单价各是65元， 54元．
（2）解：设购m只甲种头盔，此次购买头盔的总费用最小,设总费用为w,
则，解得，故最小整数解为，
，
∵，则w随m的增大而增大，
∴时，w取最小值，最小值．
答：购14只甲种头盔，此次购买头盔的总费用最小,最小费用为1976元．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，一次函数的性质，一次函数的应用、一元一次不等式的应用；根据题意列出函数解析式，确定自变量取值范围是解题的关键．
17．（2023年河北省中考数学真题）某磁性飞镖游戏的靶盘如图．珍珍玩了两局，每局投10次飞镖，若投到边界则不计入次数，需重新投，计分规则如下：
在第一局中，珍珍投中A区4次，B区2次，脱靶4次．
(1)求珍珍第一局的得分；(2)第二局，珍珍投中A区k次，B区3次，其余全部脱靶．若本局得分比第一局提高了13分，求k的值．
【答案】(1)珍珍第一局的得分为6分；(2)．
【分析】（1）根据题意列式计算即可求解；（2）根据题意列一元一次方程即可求解.
【详解】（1）解：由题意得(分)，
答：珍珍第一局的得分为6分；
（2）解：由题意得，解得：．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
18．（2023年北京市中考数学真题）对联是中华传统文化的瑰宝，对联装裱后，如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边．一般情况下，天头长与地头长的比是，左、右边的宽相等，均为天头长与地头长的和的．某人要装裱一幅对联，对联的长为，宽为．若要求装裱后的长是装裱后的宽的4倍，求边的宽和天头长．（书法作品选自《启功法书》）
【答案】边的宽为，天头长为
【分析】设天头长为，则地头长为，边的宽为，再分别表示础装裱后的长和宽，根据装裱后的长是装裱后的宽的4倍列方程求解即可．
【详解】解：设天头长为，
由题意天头长与地头长的比是，可知地头长为，
边的宽为，
装裱后的长为，
装裱后的宽为，
由题意可得：解得，∴，
答：边的宽为，天头长为．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，题中的数量关系较为复杂，需要合理设未知数，找准数量关系．
19．（2023年山东省临沂市中考数学真题）大学生小敏参加暑期实习活动，与公司约定一个月（30天）的报酬是M型平板电脑一台和1500元现金，当她工作满20天后因故结束实习，结算工资时公司给了她一台该型平板电脑和300元现金．(1)这台M型平板电脑价值多少元？
(2)小敏若工作m天，将上述工资支付标准折算为现金，她应获得多少报酬（用含m的代数式表示）？
【答案】(1)这台M型平板电脑的价值为元 (2)她应获得元的报酬
【分析】（1）设这台M型平板电脑的价值为元，根据题意，列出方程进行求解即可；
（2）根据题意，列出代数式即可．
【详解】（1）解：设这台M型平板电脑的价值为元，由题意，得：
， 解得：；∴这台M型平板电脑的价值为元；
（2）解：由题意，得：；答：她应获得元的报酬．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用．找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键．
20．（2023年湖南省长沙市中考数学真题）为提升学生身体素质，落实教育部门“在校学生每天锻炼时间不少于1小时”的文件精神．某校利用课后服务时间，在八年级开展“体育赋能，助力成长”班级篮球赛，共个班级参加．(1)比赛积分规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场积分，负一场积分．某班级在场比赛中获得总积分为分，问该班级胜负场数分别是多少？(2)投篮得分规则：在分线外投篮，投中一球可得分，在分线内含分线投篮，投中一球可得分，某班级在其中一场比赛中，共投中个球只有分球和分球，所得总分不少于分，问该班级这场比赛中至少投中了多少个分球？
【答案】(1)该班级胜负场数分别是场和场；(2)该班级这场比赛中至少投中了个分球．
【分析】（1）设胜了场，负了场，根据场比赛中获得总积分为分可列方程组，求解即可．
（2）设班级这场比赛中投中了个分球，则投中了个分球，根据所得总分不少于分，列出相应的不等式，从而可以求出答案．
【详解】（1）解：设胜了场，负了场，根据题意得：，解得，
答：该班级胜负场数分别是场和场；
（2）设班级这场比赛中投中了个分球，则投中了个分球，
根据题意得：，解得，答：该班级这场比赛中至少投中了个分球．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组和不等式．
解方程：
解：去分母，得……第一步
去括号，得……第二步
移项，得……第三步
合并同类项，得，……第四步
方程两边同除以－1，得．……第五步
解方程组：
解：①，得．③第一步
②③，得．第二步
．第三步
代入①，得．第四步
所以，原方程组的解为．第五步
种类价格
折扇
团扇
进价（元/把）
标价（元/把）
九年级总复习笔记
引例：求一元一次方程和方程组的解.
基本步骤：去括号，去分母，移项合并同类项，化系数为
基本思想：________________
解答：
第一步：
移项得：
第二步：
合并同类项得：
第三步：
化系数为1得：
方法一：
由得
，
把代入①中得
所以原方程组的解为
方法二：利用两条直线的交点坐标求得方程组的解为
投中位置
A区
B区
脱靶
一次计分（分）
3
1
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