苏科版八年级数学上册必考重难点突破【期中满分押题】夯实基础培优卷(考试范围：第1章~第3章)(原卷版+解析)

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（考试范围：第1章~第3章 考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列各选项中的两个图形是全等图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．关于全等三角形，下列说法正确的是（ ）
A．大小相等的三角形是全等三角形 B．面积相等的三角形是全等三角形
C．三个角对应相等的三角形是全等三角形 D．两个三角形全等，它们的形状一定相同
3．如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，能得出的依据是（ ）
A． B． C． D．
4．在以下节水、绿色食品、质量安全、可回收物等四个标志中，是轴对称图形的有（ ）个．

A．1B．2C．3D．4
5．如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面5m的B处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部12m的A处，则旗杆折断部分AB的高度是（ ）
A．5mB．12mC．13mD．18m
6．如图，在的正方形网格中，有三个小正方形已经涂成灰色，若再任意涂灰1个白色的小正方形，使新构成灰色部分的图形是轴对称图形，满足条件的小正方形有（ ）
A．3个B．2个C．1个D．0个
7．如图，与关于直线对称，其中，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，在中，，为边上的高，为边的中点，点在边上，，若，，则边的长为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共有10小题，每题3分，共30分）
9．如图，四边形ABCD≌四边形A′B′C′D′，则∠A的大小是______．
10．如图，是轴对称图形且只有两条对称轴的是__________(填序号)．
11．如图，在中，，，，将沿AB向右平移到的位置，A、B、C的对应点分别为、、，连接，若是等边三角形，则平移距离是______．
12．如图，在四边形中，为的中点，于点，，，，，则四边形的面积为_____．
13．如图，圆柱形容器高为12cm，底面周长为10cm．在容器内壁距离容器底部3cm 的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，距离容器上沿3cm与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子需爬行的最短距离为________（不计壁厚）．
14．如图，点F，A，D，C在同一条直线上，，，，则AC等于_____．
15．如图正方形的面积可以用两种方法得出：即或，由此可推出，若直角三角形中两直角边的和，斜边，利用该等式来计算一个直角三角形的面积是 ___________ .
16．如图，在3×3的正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．图中的△ABC为格点三角形．在图中最多能画出 ___个格点三角形与△ABC成轴对称．
17．如图，已知四边形ABCD中，AB＝12cm，BC＝10cm，CD＝14cm，∠B＝∠C，点E为AB的中点．如果点P在线段BC上以2cm/s的速度沿B﹣C运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为 _______cm/s时，能够使△BPE与△CQP全等．
18．图，已知为等边三角形，D、E分别为、上一点，并满足，连接、相交于F点，连接，且，过点B作，与相交于G点，现将沿翻折得到，点I为中点，且，则点I到的距离为______．
三、解答题（本大题共有10小题，共66分；第19-24每小题5分，第25-26每小题6分，第27小题10分，第28小题14分）
19．如图，在中，于点．
(1)尺规作图：作的平分线交于点(保留作图痕迹，不写作法)；
(2)在（1）所作的图形中，求的度数．
20．如图，点B，F，C，E在直线l上（F，C之间不能直接测量），点A，D在l异侧，测得AB=DE，ABDE，∠A=∠D．
(1)求证：△ABC≌△DEF；
(2)若BE=10m，BF=3m，则FC的长度为 m．
21．如图，在四边形中，与交于点，，；，，垂足分别为，.
(1)求证：≌；
(2)求证：.
22．小明和同桌小聪在课后复习时，对练习册“目标与评定”中的一道思考题进行了认真地探索，（思考题）如图，一架2.5米长的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上，这时B到墙C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么点B将向外移动多少米？
23．已知：在中，∠ACB=90°，点E在边AC上，连接BE，点F在线段BC上，连接EF，点D在BC的延长线上，CD=CE，∠CAF=∠CBE．
(1)如图1，若点E是AC中点，点F是BD中点，且BF=4，DE=，求的面积．
(2)如图1，若EF平分∠BEC交BC于F，求证：BE-AE=DE．
(3)如图2，若∠CAF=15°，且EF⊥DE，直接写出的值．
24．已知，如图，
点，，分别在等边三角形ABC的三边上，且，求证：是等边三角形，小聪在做完课本中的这道题后提出了两个问题：
(1)若把原命题中“”的条件与原命题中的“是等边三角形”的结论互换位置，此时的命题仍是真命题，聪明的你请帮助小聪完成证明他提出的问题；
(2)在（1）的基础上，若的面积为，，求的长．
25．如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝120°．延长BA至点E，并使得AE＝AF（AE(1)求证：EF⊥BC．
(2)将△AEF沿AC折叠．并记点E沿AC折叠时的落点为点D．
①当点D落在△ABC内部时，AE的取值范围是多少？
②P，Q分别是边AC，BC上的动点，连结DP，DQ．若EF＝1，求DP＋DQ的最小值．
26．让我们一起来探索直角三角形分割成若干个等腰三角形的问题：
(1)如图1是一个任意直角，，请用尺规作图把它分割成两个等腰三角形．
(2)如图2，中，，，，请用两种方法把直角三角形分割成三个等腰三角形（可以不用尺规作图），并直接写出每种方法中两条分割线的长．
27．在△ABC中，AB，BC，AC三边的长分别为、、，求这个三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．
(1)请你将△ABC的面积直接填写在横线上______．
(2)画△DEF，DE，EF，DF三边的长分别为、、．
①判断三角形的形状，说明理由．
②求这个三角形的面积．
28．在△ABC和△CED中，AB＝AC，∠BAC＝60°，CE＝DE，∠CED＝120°，连接AE．
(1)当B、C、D在一条直线上时，
①如图1，若A、E、D也在同一直线上，且BC＝CD，求证：∠AEC＝60°；
②如图2，若BC≠CD，点F是BD的中点，连接EF，求证：∠AEF＝60°；
(2)如图3，当B、C、D不在一条直线上时，且BC≠CD，连接BD，点F是BD的中点，连接EF，求证：∠AEF＝60°．
【高效培优】2022—2023学年八年级数学上册必考重难点突破必刷卷（苏科版）
【期中满分押题】夯实基础培优卷
（考试范围：第1章~第3章 考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列各选项中的两个图形是全等图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据全等的定义分析，能够完全重合的两个图形叫做全等形可得答案．
【详解】A.不是全等图形，故该选项不符合题意；B.是全等图形，故该选项符合题意；C.不是全等图形，故该选项不符合题意；D.不是全等图形，故该选项不符合题意；
故选B
【点睛】本题考查了本题考查的是全等形的识别、全等图形的基本性质，理解定义是解题的关键．
2．关于全等三角形，下列说法正确的是（ ）
A．大小相等的三角形是全等三角形 B．面积相等的三角形是全等三角形
C．三个角对应相等的三角形是全等三角形 D．两个三角形全等，它们的形状一定相同
【答案】D
【分析】根据全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形，对各个选项进行判断即可．
【详解】解：A、大小相等的三角形，形状不一定相同，所以不一定完全重合，故该选项不符合题意；
B、面积相等的三角形，形状不一定相同，所以不一定完全重合，故该选项不符合题意；
C、三个角对应相等的三角形，边长不一定相等，所以不一定完全重合，故该选项不符合题意；
D、两个三角形全等，它们的形状一定相同，故该选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了全等三角形的概念，熟记概念，要从形状和大小两个方面来考虑两个三角形是否完全重合是解题关键．
3．如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，能得出的依据是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】解：可以通过其作图的步骤来进行分析，作图时满足了三条边对应相等，于是我们可以判定是运用，答案可得．
【详解】作图的步骤：
①以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点C、D；
②任意作一点，作射线，以为圆心，长为半径画弧，交于点；
③以为圆心，长为半径画弧，交前弧于点；
④过点作射线．
即：；
在与，，，，
∴，
∴，
即运用的判定方法是．
故选：C．
【点睛】本题考查了基本作图---作与已知角相等的角，全等三角形的判定与性质；由全等得到角相等是用的全等三角形的性质，熟练掌握三角形全等的性质是正确解答本题的关键．
4．在以下节水、绿色食品、质量安全、可回收物等四个标志中，是轴对称图形的有（ ）个．

A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
【详解】解：第一个图不是轴对称图形，不符合题意；
第二个图是轴对称图形，符合题意；
第三个图不是轴对称图形，不符合题意；
第四个图不是轴对称图形，不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查轴对称图形的知识点，解题的关键是确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
5．如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面5m的B处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部12m的A处，则旗杆折断部分AB的高度是（ ）
A．5mB．12mC．13mD．18m
【答案】C
【分析】根据勾股定理求解即可．
【详解】由题意得：
则（m）
故选：C．
【点睛】本题主要考查了勾股勾股定理求解直角三角形的边长，熟练掌握在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键．
6．如图，在的正方形网格中，有三个小正方形已经涂成灰色，若再任意涂灰1个白色的小正方形，使新构成灰色部分的图形是轴对称图形，满足条件的小正方形有（ ）
A．3个B．2个C．1个D．0个
【答案】B
【分析】根据轴对称图形的定义进行设计即可得到答案．
【详解】解：如图所示，当在1和2位置涂成灰色时，可以使灰色部分的图形是轴对称图形，
∴满足题意的小正方形有2个，
故选B．
【点睛】本题主要考查了在网格中设计轴对称图形，熟知轴对称图形的定义是解题的关键．
7．如图，与关于直线对称，其中，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据轴对称的性质可得，从而得到，再由三角形内角和定理，即可求解．
【详解】解：∵与关于直线对称，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选∶A．
【点睛】本题考查的是轴对称的性质，熟知关于轴对称的两个图形全等是解答此题的关键．
8．如图，在中，，为边上的高，为边的中点，点在边上，，若，，则边的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】作AB的中点M，连接ME，过F点作，首先证得是等边三角形，再证明，从而得到，利用勾股定理求得DF的长度，从而得到DE的长度，再根据在中E是中点，从而计算出BC的长度．
【详解】如下图所示，作AB的中点M，连接ME，过F点作，垂足为N
在中，M是中点，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∵，
∴，
∴，
∵M、E为中点，
∴ ，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
在中，，，
∴，
在中，，，
∴，
在中，E是中点，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考虑直角三角形、等边三角形、全等三角形的性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形、等边三角形、全等三角形的相关知识．
二、填空题（本大题共有10小题，每题3分，共30分）
9．如图，四边形ABCD≌四边形A′B′C′D′，则∠A的大小是______．
【答案】95°
【分析】根据两个多边形全等，则对应角相等，利用四边形内角和为360°即可求解.
【详解】∵四边形ABCD≌四边形A′B′C′D′
∴∠D=∠D′=130゜
∵四边形ABCD的内角和为360゜
∴∠A=360゜-∠B-∠C-∠D=95゜
故答案为：95゜
【点睛】本题考查了多边形全等的性质、多边形的内角和定理，掌握多边形全等的性质是关键．
10．如图，是轴对称图形且只有两条对称轴的是__________(填序号)．
【答案】①②##②①
【分析】一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就是轴对称图形，这条直线就是它的一条对称轴，由此即可判断图形的对称轴条数及位置．
【详解】图标中，是轴对称图形的有①②③，其中只有2条对称轴的是①②，有4条对称轴的是③。
故答案为：①②．
【点睛】此题考查了利用轴对称图形的定义判断轴对称图形的对称轴条数的灵活应用，这里要求学生熟记已学过的特殊图形的对称轴特点进行解答．
11．如图，在中，，，，将沿AB向右平移到的位置，A、B、C的对应点分别为、、，连接，若是等边三角形，则平移距离是______．
【答案】5
【分析】根据含30°角的直角三角形的性质得BCAB＝5，由平移得＝BC＝5，由是等边三角形可得BB′＝＝5，可得出AA′＝5，即可求解．
【详解】解：在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝10，
∴BCAB＝5，
由平移得＝BC＝5，
∵是等边三角形，
∴BB′＝＝5，
∴平移距离是5，
故答案为：5．
【点睛】本题考查含30°角的直角三角形的性质、平移的性质，等边三角形等知识，熟练掌握含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．
12．如图，在四边形中，为的中点，于点，，，，，则四边形的面积为_____．
【答案】##
【分析】连接BD，先求出BD的长，再根据勾股定理的逆定理得出△BCD是直角三角形，进而利用三角形的面积公式解答即可．
【详解】解：连接，
为的中点，，
∴DE是AB的垂直平分线，，
∵，
，
，
，
，，
，
是直角三角形，
四边形的面积
，
故答案为：．
【点睛】此题考查了勾股定理及勾股定理的逆定理，关键是根据勾股定理的逆定理得出△BCD是直角三角形解答．
13．如图，圆柱形容器高为12cm，底面周长为10cm．在容器内壁距离容器底部3cm 的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，距离容器上沿3cm与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子需爬行的最短距离为________（不计壁厚）．
【答案】13
【分析】将容器侧面展开，建立A关于EF的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求．
【详解】解：如图，将容器侧面展开，作A关于EF的对称点，
连接，则即为最短距离，
∴=5cm，=3cm，
∴BD=12cm，
=13（cm）．
故壁虎捕捉蚊子的最短距离为13cm．
故答案为：13．
【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．
14．如图，点F，A，D，C在同一条直线上，，，，则AC等于_____．
【答案】6.5
【分析】由全等三角形的性质可得到AC=DF，从而推出AF=CD，再由，，求出，则．
【详解】解：∵△ABC≌△DEF，
∴AC=DF，即AF+AD=CD+AD，
∴AF=CD，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：6.5．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，线段的和差，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质．
15．如图正方形的面积可以用两种方法得出：即或，由此可推出，若直角三角形中两直角边的和，斜边，利用该等式来计算一个直角三角形的面积是 ___________ .
【答案】
【分析】根据勾股定理得出，求出，把a+b=4和c=3代入求出ab的值，即可求出答案．
【详解】解：∵，
∴，
又∵a+b=4，斜边c＝3，
∴，
∴ab=，
∴直角三角形的面积为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了完全平方公式和勾股定理的应用，能根据公式和定理求出ab的值是解此题的关键．
16．如图，在3×3的正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．图中的△ABC为格点三角形．在图中最多能画出 ___个格点三角形与△ABC成轴对称．
【答案】6
【分析】根据网格结构分别确定出不同的对称轴，然后作出轴对称三角形即可得解
【详解】解：如图，以AB的中垂线为对称轴如图1，以BC边所在直线为对称轴如图2，以AB边所在三网格中间网格的垂直平分线为对称轴如图3，以BC边中垂线为对称轴，以3×3网格的对角线所在直线为对称轴如图5，图6，最多能画出6个格点三角形与△ABC成轴对称．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构并准确找出对应点的位置是解题的关键，本题难点在于确定出不同的对称轴．
17．如图，已知四边形ABCD中，AB＝12cm，BC＝10cm，CD＝14cm，∠B＝∠C，点E为AB的中点．如果点P在线段BC上以2cm/s的速度沿B﹣C运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为 _______cm/s时，能够使△BPE与△CQP全等．
【答案】2或
【分析】设运动时间为t秒，点Q的运动速度是vcm/s，则BP=2t cm，CQ=vt cm，CP=（10-2t）cm，求出BE=6cm，根据全等三角形的判定得出当BE=CP，BP=CQ或BE=CQ，BP=CP时，△BPE与以C、P、Q三点所构成的三角形全等，再代入求出t、v即可．
【详解】设运动时间为t秒，点Q的运动速度是vcm/s，则BP=2t cm，CQ=vt cm，CP=（10-2t）cm，
∵E为AB的中点，AB=12cm，
∴BE=AE=6cm，
∵∠B=∠C，
∴要使△BPE与以C、P、Q三点所构成的三角形全等，必须BE=CP，BP=CQ或BE=CQ，BP=CP，
当BE=CP，BP=CQ时，6=10-2t，2t=vt，
解得：t=2，v=2，即点Q的运动速度是2cm/s，
当BE=CQ，BP=CP时，6=vt，2t=10-2t，
解得：t=，v=，即点Q的运动速度是cm/s，
故答案为2或
【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL等．
18．图，已知为等边三角形，D、E分别为、上一点，并满足，连接、相交于F点，连接，且，过点B作，与相交于G点，现将沿翻折得到，点I为中点，且，则点I到的距离为______．
【答案】
【分析】过点作于点，过点作于点，连接，其中交于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，从而可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，从而可得，然后根据直角三角形斜边上的中线性质、等边三角形的判定与性质可得，由此证出，根据全等三角形的性质可得，利用直角三角形的性质、勾股定理可得，最后利用的面积公式可得的长，利用的面积公式即可得出答案．
【详解】：如图，过点作于点，过点作于点，连接，其中交于点，
是等边三角形，
，
在和中，，
，
，
，
，
，
，即，
在和中，，
，
，
，即，
点是斜边上的中点，
，
是等边三角形，
，
在和中，，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
由轴对称的性质得：，垂直平分，
，
设，则，
，
，
解得，
，
，
，
，
又
即点到的距离为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线、轴对称等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形和直角三角形是解题关键．
三、解答题（本大题共有10小题，共66分；第19-24每小题5分，第25-26每小题6分，第27小题10分，第28小题14分）
19．如图，在中，于点．
(1)尺规作图：作的平分线交于点(保留作图痕迹，不写作法)；
(2)在（1）所作的图形中，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)11°
【分析】（1）根据角平分线的作图方法作图解答即可；
（2）根据三角形内角和定理及角平分线定义求出∠CAE，根据直角三角形的性质求出∠CAD，即可得到的度数．
【详解】（1）如图，AE即为所求；
（2）解：∵∠B=46°，∠C=68°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=66°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE=33°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴∠CAD=90°-∠C=22°，
∴∠DAE=∠CAE-∠CAD=33°-22°=11°．
【点睛】此题考查了角平分线的作图，三角形内角和定理，直角三角形两锐角互余的性质，正确掌握角平分线的作图及直角三角形的性质是解题的关键．
20．如图，点B，F，C，E在直线l上（F，C之间不能直接测量），点A，D在l异侧，测得AB=DE，ABDE，∠A=∠D．
(1)求证：△ABC≌△DEF；
(2)若BE=10m，BF=3m，则FC的长度为 m．
【答案】(1)见解析
(2)4
【分析】（1）先证明∠ABC=∠DEF，再根据ASA即可证明．
（2）根据全等三角形的性质即可解答．
【详解】（1）证明：∵ABDE
∴∠ABC=∠DEF
在△ABC与△DEF中，
∴△ABC≌△DEF(ASA)
（2）解：∵△ABC≌△DEF，
∴BC=EF，
∴BF+FC=EC+FC，
∴BF=EC，
∵BE=10m，BF=3m，
∴FC=10﹣3﹣3=4m．
故答案为：4．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形的条件，记住平行线的判定方法，属于基础题，中考常考题型．
21．如图，在四边形中，与交于点，，；，，垂足分别为，.
(1)求证：≌；
(2)求证：.
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据垂直的定义及全等三角形的判定和性质直接证明即可；
（2）由图中线段的数量关系得出DE=BF，再由全等三角形的判定和性质即可证明．
【详解】（1）证明：∵AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，
∴∠AEB=∠CFD=90°，∠AED=∠CFB=90°，
在△ABE和△CDF中，
∴∆ABE∆CDF(SAS)；
（2）证明：∵BE=DF，
∴DF＋EF=BE＋EF，
∴DE=BF，
在△ADE和△CBF中，
，
∴∆ADE∆CBF(SAS)；
∴AD=BC．
【点睛】题目主要考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．
22．小明和同桌小聪在课后复习时，对练习册“目标与评定”中的一道思考题进行了认真地探索，（思考题）如图，一架2.5米长的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上，这时B到墙C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么点B将向外移动多少米？
【答案】0.8米
【分析】在中根据勾股定理求得，进而求得，在中，求得，根据即可求解．
【详解】解：在中，∵，
∴，
又∵，
∴，
在中，，
∴．
答：梯子底部B外移0.8米．
【点睛】此题考查勾股定理的应用，关键是根据勾股定理进行解答．
23．已知：在中，∠ACB=90°，点E在边AC上，连接BE，点F在线段BC上，连接EF，点D在BC的延长线上，CD=CE，∠CAF=∠CBE．
(1)如图1，若点E是AC中点，点F是BD中点，且BF=4，DE=，求的面积．
(2)如图1，若EF平分∠BEC交BC于F，求证：BE-AE=DE．
(3)如图2，若∠CAF=15°，且EF⊥DE，直接写出的值．
【答案】(1)12
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质结合勾股定理可求出．再由线段中点的定义可求出AC=4，BC=5，最后由三角形面积公式求解即可；
（2）过点F作于点G，由角平分线的性质可得出CF=GF，从而可证(HL)，(AAS)，得出CE=GE，，即可求出．最后由等腰直角三角形的性质结合勾股定理即可证明；
（3）在BC上取一点H，连接EH使得EH=BH．设CD=CE=x，由三角形外角性质可求出，再利用含30°角的直角三角形的性质和勾股定理可用x表示出BE，最后求比值即可．
【详解】（1）由题意可知∠ECD=90°，
∵，
∴．
∵点E是AC中点，
∴AC=4．
∵点F是BD中点，且BF=4，
∴BD=8，
∴BC=BD-CD=6，
∴；
（2）如图，过点F作于点G，
∵EF平分∠BEC，∠ACB=90°，
∴CF=GF．
又∵EF=EF，
∴(HL)，
∴CE=GE．
∵∠CAF=∠CBE，即∠CAF=∠GBF，
又∵∠ACF=∠BGF=90°，
∴(AAS)，
∴，
∴．
∵，
∴；
（3）如图，在BC上取一点H，连接EH使得EH=BH．
设CD=CE=x，
∵EH=BH，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，含30°角的直角三角形的性质和勾股定理等知识，综合性较强，较难．正确的作出辅助线是解题关键．
24．已知，如图，
点，，分别在等边三角形ABC的三边上，且，求证：是等边三角形，小聪在做完课本中的这道题后提出了两个问题：
(1)若把原命题中“”的条件与原命题中的“是等边三角形”的结论互换位置，此时的命题仍是真命题，聪明的你请帮助小聪完成证明他提出的问题；
(2)在（1）的基础上，若的面积为，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)4
【分析】（1）根据、是等边三角形，证明，继而证明
，得到，同理可证即可．
（2）先根据的面积为，求得的长，作，根据勾股定理分别求得EC，的长，求和即可．
【详解】（1）因为、是等边三角形，
所以，，
所以，
所以，
所以，
所以，
同理可证，，
所以，
所以此命题是真命题．
（2）
作于点G，
因为是等边三角形，
所以，，，
所以，，
因为的面积为，
所以，
所以，
解得，
作，
因为∠C=60°，，
所以，EC=1，，
所以，
所以．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形三线合一，勾股定理，三角形全等的判定和性质，熟练掌握等边三角形的判定性质，勾股定理，三角形全等的判定是解题的关键．
25．如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝120°．延长BA至点E，并使得AE＝AF（AE(1)求证：EF⊥BC．
(2)将△AEF沿AC折叠．并记点E沿AC折叠时的落点为点D．
①当点D落在△ABC内部时，AE的取值范围是多少？
②P，Q分别是边AC，BC上的动点，连结DP，DQ．若EF＝1，求DP＋DQ的最小值．
【答案】(1)见解析
(2)①；②2.5
【分析】（1）由等腰三角形的性质和对顶角相等，以及三角形的内角和，即可得到EH⊥BC；
（2）因为△AEF为等边三角形，所以当E、P、Q共线时DP+DQ的值最小，由此可计算DP+DQ的最小值．
【详解】（1）延长EF交BC于点H，
∵∠BAC＝120°，AB＝AC，
∴∠EAC＝60°，∠B＝∠C＝30°
∵AE＝AF，
∴∠E＝∠AFE＝60°，
∴∠EHB＝90°
∴EF⊥BC．
（2）当点D在BC上时，
由折叠知，AE＝AD，∠DAC＝∠EAC＝60°，
∴∠BAD＝60°，
∴∠ADB＝90°
∵∠B＝30°，∴，
∴AE的取值范围是0∵AE＝AF，∠EAC＝60°，
∴△AEF是等边三角形．
∴AE＝EF＝1，即点D在△ABC内部
∵D，E关于AC对称，
当E，P，Q三点共线且垂直BC时，DP＋DQ的值最小且DP＋DQ＝EH
∵∠B＝30°，
∴，
即DP＋DQ的最小值为2.5．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，涉及折叠等相关知识，掌握并熟练使用相关知识，精准识图，注意在解题过程中需注意的事项是本题的解题关键．
26．让我们一起来探索直角三角形分割成若干个等腰三角形的问题：
(1)如图1是一个任意直角，，请用尺规作图把它分割成两个等腰三角形．
(2)如图2，中，，，，请用两种方法把直角三角形分割成三个等腰三角形（可以不用尺规作图），并直接写出每种方法中两条分割线的长．
【答案】(1)作图见详解
(2)作图见详解，图1分割线长度：，；图2分割线长度：，
【分析】（1）作出斜边的垂直平分线，交于点D，连接，即有，问题即可得解；
（2）根据等腰三角形等边对等角、等角对等边的性质以及给出的角度灵活作图即可，再结合等腰三角形的性质即可求出切割线的长度．
【详解】（1）解：分别以A、B为圆心，以大于一半的长度为半径画弧，四弧交于两点，连接两个交点的直线交于点D，连接，即将分割成两个等腰三角形，
作图如下，
根据作图可知，D点是线段的垂直平分线与其交点，则为边上的中线，
∵，
∴是直角三角形，
∵是斜边的边上的中线，
∴，
∴和是等腰三角形，
即割线即为所求，和是等腰三角形；
（2）
解：作图如下：
图1，作，，即割线、把分割成三个等腰三角形；
图2，作，，即割线、把分割成三个等腰三角形；
∵中，，，，
∴，，，
∴，
第一种方法：如图1，
∵，，
∴，，
∴，，
∴，，，
∴，
∴，
∴、割线把分成了三个等腰三角形，
∵，
∴，，
∵，
∴，
即此时两条割线的长度为：，；
第二种方法：如图2，
∵，，
∴，，，，
∴，，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，，
∴割线、把分割成三个等腰三角形，
∵，，
∴根据，可得，
∴，
∴，
∴，
即此时两条割线的长度为：，．
即：图1分割线长度：，；图2分割线长度：，．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的判定和性质、直角三角形斜边中线定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
27．在△ABC中，AB，BC，AC三边的长分别为、、，求这个三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．
(1)请你将△ABC的面积直接填写在横线上______．
(2)画△DEF，DE，EF，DF三边的长分别为、、．
①判断三角形的形状，说明理由．
②求这个三角形的面积．
【答案】(1)
(2)①画图见解析；直角三角形；理由见解析②2
【分析】（1）利用正方形的面积减去三个直角三角形的面积即可得解；
（2）①根据勾股定理的逆定理得到三角形为直角三角形；②利用长方形的面积减去三个直角三角形的面积进行计算即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：①画图如下：△DEF即为所求；
由图可知：，，
∴，
∴△DEF是直角三角形；
②．
【点睛】本题考查勾股定理的应用和勾股定理逆定理．熟练掌握勾股定理和逆定理是解题的关键．
28．在△ABC和△CED中，AB＝AC，∠BAC＝60°，CE＝DE，∠CED＝120°，连接AE．
(1)当B、C、D在一条直线上时，
①如图1，若A、E、D也在同一直线上，且BC＝CD，求证：∠AEC＝60°；
②如图2，若BC≠CD，点F是BD的中点，连接EF，求证：∠AEF＝60°；
(2)如图3，当B、C、D不在一条直线上时，且BC≠CD，连接BD，点F是BD的中点，连接EF，求证：∠AEF＝60°．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）①可直接得出∠AEC=180°-∠CED=60°；
②延长EF至G，使GF=EF，证△BGF≌△EDF，再证△ABG≌△ACE，可推出△AEG是等边三角形，命题得证；
（2）与②方法相同．
【详解】（1）解：①证明：∠AEC=180°-∠CED
=180°-120°
=60；
②证明：如图2，
∵CE=DE，∠CED=120°，
∴∠D=∠ECD=30°，
∵AB=AC，∠BAC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，AB=AC，
∴∠ACE=180°-∠ACB-∠ECD=90°，
延长EF至G，使GF=EF，连接BG，AG，
∵∠BFG=∠EFD，BF=DF，
∴△BFG≌△DFE（SAS），
∴∠GBF=∠D=30°，BG=DE=CE，
∴∠ABG=∠ABC+∠FBG=90°，
∴∠ABG=∠ACE，
∴△ABG≌△ACE（SAS），
∴AG=AE，∠BAG=∠CAE，
∴∠BAG+∠GAC=∠CAE+∠GAC，
∴∠GAE=∠BAC=60°，
∴△AGE是等边三角形，
∴∠AEF=60°；
（2）
如图3，延长EF至G，使GF=EF，连接BG，AG，
不妨设∠CDF=α，∠CBD=β，
由②得，△BFG≌△DFE，AB=AC，
∴BG=DE=CE，∠GBF=∠EDF=30°+α，
∵∠ACE=360°-∠ABC-∠ECD-∠BCD，∠BCD=180°-（180°-∠CBD-∠CDF），
∴∠ACE=360°-60°-30°-（180°-α-β）=90°+α+β，
∵∠ABG=∠ABC+∠CBD+∠GBF=60°+β+（30°+α）=90°+α+β，
∴∠ABG=∠ACE，
∴△ABG≌△ACE（SAS），
故由②得，∠AEF=60°．
【点睛】本题考查了等边三角形性质，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟悉“倍长中线”辅助线．