第三章 函数的概念与性质综合测试（原卷及解析版）

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一、单选题
1．（2022·全国·高一期末）下列各组中的两个函数是同一函数的个数为（ ）
①，；
②，；
③，；
④，；
⑤，.
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
求出①②③④⑤中两个函数的定义域，并化简函数解析式，利用函数相等的概念判断可得出结论.
【详解】
对于①，函数的定义域为，函数的定义域为，
两个函数的定义域不同，①中的两个函数不是同一个函数；
对于②，对于函数，有，解得，
对于函数，有，解得或，
函数的定义域为，函数的定义域为，两个函数的定义域不同，②中的两个函数不是同一个函数；
对于③，，两个函数对应法则不同，③中的两个函数不是同一函数；
对于④，函数、的定义域均为，
且，④中的两个函数是同一个函数；
对于⑤，对于函数，有，可得，即函数的定义域为，
函数的定义域为，两个函数的定义域不同，⑤中的两个函数不是同一个函数.
故选：A.
2．（2022·陕西·铜川阳光中学高一期末）函数 的图像大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
判断函数的奇偶性和对称性，当时，，利用排除法进行判断即可．
【详解】
解：，即是奇函数，图象关于原点对称，排除，，
当时，，排除，
故选：．
3．（2022·全国·高一期末）已知是定义在上的减函数，那么的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
分段函数在定义域内单调递减，不仅要求每一段解析式为减函数，还要注意端点处的函数值的大小关系.
【详解】
因为函数是定义在上的减函数，
所以，
解得.
所以实数的取值范围为.
故选：C.
4．（2022·全国·高一）定义在R上的偶函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
结合函数的单调性与奇偶性解不等式即可.
【详解】
义在R上的偶函数在上单调递增，且，
所以在上单调递减，且，
或，
故或，
故选：C
5．（2022·全国·高一）设函数,则（ ）
A．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增B．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减
C．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增D．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减
【答案】A
【解析】
【分析】
根据函数的解析式可知函数的定义域为，利用定义可得出函数为奇函数，
再根据函数的单调性法则，即可解出．
【详解】
因为函数定义域为，其关于原点对称，而，
所以函数为奇函数．
又因为函数在上单调递增，在上单调递增，
而在上单调递减，在上单调递减，
所以函数在上单调递增，在上单调递增．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查利用函数的解析式研究函数的性质，属于基础题．
6．（2022·山东泰安·高一期末）某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为，第二年的增长率为，则该市这两年生产总值的年平均增长率为
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
【详解】
试题分析：设这两年年平均增长率为，因此解得．
考点：函数模型的应用．
7．（2022·新疆昌吉·高一期末）定义在上的偶函数满足：对任意的，，有，则（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
【详解】
由对任意x1，x2 [0，＋∞)(x1≠x2)，有 <0，得f(x)在[0，＋∞)上单独递减，所以，选A.
点睛：利用函数性质比较两个函数值或两个自变量的大小，首先根据函数的性质构造某个函数，然后根据函数的奇偶性转化为单调区间上函数值，最后根据单调性比较大小，要注意转化在定义域内进行
8．（2022·四川·遂宁中学高一开学考试）设函数y＝f（x）在R上有定义，对于任一给定的正数p，定义函数fp（x）＝，则称函数fp（x）为f（x）的“p界函数”若给定函数f（x）＝x2﹣2x﹣1，p＝2，则下列结论不成立的是（ ）
A．fp[f（0）]＝f[fp（0）]B．fp[f（1）]＝f[fp（1）]
C．fp[fp（2）]＝f[f（2）]D．fp[fp（3）]＝f[f（3）]
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意可得，然后逐个分析判断即可
【详解】
因为，
所以，
所以对于A，，所以A正确，
对于B，，所以B错误，
对于C，，所以C正确，
对于D，，所以D正确，
故选：B
二、多选题
9．（2022·甘肃酒泉·高一期末）下列函数中,是偶函数,且在区间上为增函数的是（ ）
A．B．y=1-x2C．D．
【答案】AD
【解析】
【分析】
根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．
【详解】
根据题意，依次分析选项：
对于A，y＝|x|，是偶函数，且在区间（0，+∞）上为增函数，符合题意；
对于B，y＝1﹣x2，是二次函数，在区间（0，1）上为减函数，不符合题意；
对于C，y，是反比例函数，是奇函数，不符合题意；
对于D，y＝2x2+4，为二次函数，是偶函数且在区间（0，+∞）上为增函数，符合题意；
故选：AD．
【点睛】
本题考查函数的奇偶性与单调性的判断，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性，属于基础题．
10．（2022·江西省丰城中学高一开学考试）已知函数图像经过点(4,2)，则下列命题正确的有（ ）
A．函数为增函数B．函数为偶函数
C．若，则D．若，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】
先代点求出幂函数的解析式，根据幂函数的性质直接可得单调性和奇偶性，由可判断C，利用展开和0比即可判断D.
【详解】
将点(4,2)代入函数得：，则.
所以，
显然在定义域上为增函数，所以A正确.
的定义域为，所以不具有奇偶性，所以B不正确.
当时，，即，所以C正确.
当若时，
=
=.
即成立，所以D正确.
故选：ACD.
【点睛】
本题主要考查了幂函数的性质，
11．（2021·全国·高一课时练习）若函数的定义域为，值域为，则正整数a的值可能是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】BC
【解析】
【分析】
画出函数的图象，结合值域可得实数的取值范围，从而可得正确的选项.
【详解】
函数的图象如图所示：
因为函数在上的值域为，结合图象可得，
结合a是正整数，所以BC正确.
故选： BC.
12．（2022·云南·高一阶段练习）德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其命名的函数，称为狄利克雷函数，则关于，下列说法正确的是（ ）
A．的值域为
B．的定义域为
C．
D．任意一个非零有理数， 对任意恒成立
【答案】BCD
【解析】
【分析】
根据分段函数的解析式和函数的性质逐一判断可得选项.
【详解】
因为函数，所以的值城为，故A不正确；
因为函数，所以的定义城为，故B正确；
因为，所以，故C正确；
对于任意一个非零有理数，若x是有理数，则x+T是有理数；若x是无理数，则x+T是无理数，根据函数的解析式，任取一个不为零的有理数T，都有对任意恒成立，故D正确，
故选：BCD.
三、填空题
13．（2022·广东中山·高一期末）已知幂函数在上单调递减，则___________.
【答案】
【解析】
【分析】
由系数为1解出的值，再由单调性确定结论．
【详解】
由题意，解得或，
若，则函数为，在上递增，不合题意．
若，则函数为，满足题意．
故答案为：．
14．（2022·江苏·高一）函数的定义域是_____.
【答案】.
【解析】
【分析】
由题意得到关于x的不等式，解不等式可得函数的定义域.
【详解】
由已知得,
即
解得，
故函数的定义域为.
【点睛】
求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．
15．（2021·江苏·高一专题练习）已知函数，则的最小值为________
【答案】
【解析】
【分析】
在同一坐标系作出的图象，然后根据的函数定义得到其函数图象，由图象可求解出的最小值.
【详解】
在同一坐标系作出的图象如下图：
根据取最大值函数的定义可知的图象如下图所示：
根据的图象可知，的最小值在的一个交点处取到，
令，解得或（舍），
所以，
故答案为：.
【点睛】
思路点睛：求解形如（或）的函数的最小值（或最大值）的步骤：
（1）根据，先求解出两个图象交点的横坐标；
（2）根据图象的相对位置对图象进行取舍，由此得到（或）的函数图象；
（3）直接根据函数图象确定出最大值（或最小值）.
16．（2022·重庆巫山·高一期末）符号表示不超过的最大整数，如，，定义函数：，在下列命题正确的是________．
①；
②当时，；
③函数的定义域为，值域为；
④函数是增函数，奇函数．
【答案】①②③
【解析】
【分析】
由题意可得表示数的小数部分，可得，当时，，即可判断正确结论．
【详解】
表示数的小数部分，则①正确，
当时，，②正确，
函数的定义域为，值域为，③正确，
当时，；当时，，
当时，；当时，，
则，即有不为增函数，
由，，可得，即有不为奇函数，④错误．
故答案为：①②③
【点睛】
本题考查函数新定义的理解和运用，考查函数的单调性和奇偶性的判断，以及函数值的求法，考查运算能力和推理能力，属于中档题．
四、解答题
17．（2021·全国·高一专题练习）已知函数.
（1）求；
（2）若，求的值.
【答案】（1）；（2）或.
【解析】
【分析】
（1）利用函数的解析式由内到外逐层计算可得出的值；
（2）分、、三种情况解方程，综合可得出实数的值.
【详解】
（1），所以，，，
因此，；
（2）当时，由，可得，舍去；
当时，由，可得；
当时，由，可得（舍）或.
综上所述，或.
18．（2022·湖北·江夏一中高一阶段练习）美国对中国芯片的技术封锁激发了中国“芯”的研究热潮.某公司研发的，两种芯片都已经获得成功.该公司研发芯片已经耗费资金千万元，现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入千万元，公司获得毛收入千万元；生产芯片的毛收入（千万元）与投入的资金（千万元）的函数关系为，其图像如图所示.
（1）试分别求出生产，两种芯片的毛收入（千万元）与投入资金（千万元）的函数关系式；
（2）现在公司准备投入0千万元资金同时生产，两种芯片，求可以获得的最大利润是多少.
【答案】（1）生产，两种芯片的毛收入（千万元）与投入资金（千万元）的函数关系式分别为， ，（2）9千万元
【解析】
【分析】
（1）根据待定系数法可求出函数解析式，
（2）将实际问题转换成二次函数求最值的问题即可求解
【详解】
解：（1）因为生产芯片的毛收入与投入的资金成正比，所以设，因为当时，，所以，所以，即生产芯片的毛收入（千万元）与投入资金（千万元）的函数关系式为，
对于生产芯片的，因为函数图像过点，所以
，解得，所以，即生产芯片的毛收入（千万元）与投入的资金（千万元）的函数关系为 ，
（2）设投入千万元生产芯片，则投入千万元生产芯片，则公司所获利用
，
所以当，即千万元时，公司所获利润最大，最大利润为9千万元
19．（2022·湖北·武汉东湖新技术开发区教育发展研究院高一期末）已知函数，.
(1)求方程的解集；
(2)定义：.已知定义在上的函数，求函数的解析式；
(3)在（2）的条件下，在平面直角坐标系中，画出函数的简图，并根据图象写出函数的单调区间和最小值.
【答案】(1)
(2)
(3)图象见解析，单调递减区间是，单调递增区间是，最小值为1
【解析】
【分析】
（1）根据题意可得，平方即可求解.
(2)由题意比较与的大小，从而可得出答案.
(3)由（2）得到的函数关系，作出函数图像，根据图像可得函数的单调区间和最小值.
(1)
由，得且，解得，；
所以方程的解集为
(2)
由已知得.
(3)
函数的图象如图实线所示：
函数的单调递减区间是，单调递增区间是，其最小值为1.
20．（2022·江苏·高一）函数是定义在上的奇函数，且.
(1)确定的解析式；
(2)判断在上的单调性，并用定义证明；
(3)解关于的不等式.
【答案】(1)；
(2)增函数，证明见解析
(3)
【解析】
【分析】
（1）由已知得，，经检验，求得函数的解析式；
（2）根据函数单调性的定义可证明；
（3）根据函数的单调性和奇偶性建立不等式组，求解即可.
(1)
解：由函数是定义在上的奇函数，得，解得，
经检验，时，，所以是上的奇函数，满足题意，
又，解得，
故；
(2)
解：函数在上为增函数.证明如下：
在任取且，
则，
因为，
所以，即，
所以在上为增函数.
(3)
解：因为为奇函数所以，
不等式可化为，即，
又在上是增函数，所以 ，解得
所以关于的不等式解集为.
21．（2022·河南省兰考县第一高级中学高一期末）函数的定义域为，且对一切，都有，当时，总有.
（1）求的值；
（2）判断单调性并证明；
（3）若，解不等式.
【答案】（1）（2）是上的增函数，证明见解析（3）
【解析】
【分析】
(1)令代入即可.
(2)证明单调性的一般思路是取,且再计算,故考虑取
,代入,再利用当时,总有即可算得的正负,即可证明单调性.
(3)利用将3写成的形式,再利用前两问的结论进行不等式的求解即可.
【详解】
(1)令,得,∴.
(2)是上的增函数,证明：任取,且,则,∴,∴,
即,
∴是上的增函数.
(3)由及,可得,结合（2）知不等式等价于,可得,解得.所以原不等式的解集为.
【点睛】
(1)单调性的证明方法：设定义域内的两个自变量,再计算，若，则为增函数；若，则为减函数．计算化简到最后需要判断每项的正负，从而判断的正负．
(2)利用单调性与奇偶性解决抽象函数不等式的问题,注意化简成的形式,
若在区间上是增函数,则,并注意定义域.
若在区间上是减函数,则,并注意定义域.
22．（2022·甘肃庆阳·高一期末）函数（）．
(1)当时，
①求函数的单调区间；
②求函数在区间的值域；
(2)当时，记函数的最大值为，求的表达式．
【答案】(1)①的单调递增区间为，；单调递减区间为；②
(2)
【解析】
【分析】
（1）①分别在和两种情况下，结合二次函数的单调性可确定结果；
②根据①中单调性可确定最值点，由最值可确定值域；
（2）分别在、、三种情况下，结合二次函数对称轴位置与端点值的大小关系可确定最大值，由此得到.
(1)
当时，；
①当时，，
在上单调递增；
当时，，
在上单调递减，在上单调递增；
综上所述：的单调递增区间为，；单调递减区间为
②由①知：在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
，；
，，，，
，，
在上的值域为.
(2)
由题意得：
①当，即时，，对称轴为；
当，即时，在上单调递增，
；
当，即时，在上单调递增，在上单调递减，
；
②当，即时，若，；若，；
当时，，对称轴，
在上单调递增，
；
③当，即时
在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
，
若，即时，；
若，即时，；
综上所述：.