专题07 代数部分测试检验卷（原卷及解析版）

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1．下列说法正确的是（ ）
①若，则
②，则；
③若，则；
④实数x，y，z满足，则的最大值是20
A．①②B．①③④C．①②③D．①②③④
【答案】A
【解析】
【分析】
先利用配方法将等式变形为，再根据偶次方的非负性即可判断①；利用整式的乘法法则求出，由此即可判断②；先将两个已知等式相加可得，令，则，解一元二次方程求出的值，由此即可判断③；先求出，从而可得，再利用完全平方公式求出的值，然后利用偶次方的非负性求出最大值即可判断④．
【详解】
解：，
，
，
，
，说法①正确；
，
，
，说法②正确；
，
，
，
令，则，
解得或，
即或，说法③错误；
，
，
，
，
则的最大值是28，说法④错误；
综上，说法正确的是①②，
故选：A．
【点睛】
本题考查了整式的乘法与完全平方公式、解一元二次方程，熟练掌握整式的运算法则是解题关键．
2．如图，下列图形都是由同样大小的圆按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有4个圆，第②个图形中一共有8个圆，第③个图形中一共有14个圆，第④个图形中一共有22个圆，…，按此规律排列下去，第⑨个图形中圆的个数是（ ）
A．100B．92C．90D．81
【答案】B
【解析】
【分析】
根据图形找出规律，得出第n个图形为2+n（n+1），第9个代入计算即可．
【详解】
解：第①个图形中一共有2+1×2=4个圆，
第②个图形中一共有2+2×3=8个圆，
第③个图形中一共有2+3×4=14个圆，
第④个图形中一共有2+4×5=22个圆，…，
按此规律排列下去，
第⑨个图形中圆的个数是2+9×10=92个圆．
故选：B．
【点睛】
本题考查了图形的规律探究，认真观察图形，并得出结论是解决问题的关键．
3．若关于x的不等式组无解，且一次函数的图象不经过第一象限，则符合条件的所有整数a的和是（ ）
A．7B．8C．9D．10
【答案】C
【解析】
【分析】
先解不等式组求出的取值范围，再根据一次函数的图象不经过第一象限求出的取值范围，从而可得符合条件的所有整数，然后求和即可得．
【详解】
解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
此不等式组无解，
，
解得，
一次函数的图象不经过第一象限，
，
解得，
，
则
所以符合条件的所有整数的和是，
故选：C．
【点睛】
本题考查了解一元一次不等式组、一次函数的图象，熟练掌握不等式组的解法和一次函数的图象特征是解题关键．
4．已知，则一定有，“”中应填的符号是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用不等式的性质判断即可得出答案．
【详解】
解： ，
不等式两边同时减去1得，，
不等式两边同时乘以得，，
故选： D.
【点睛】
本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质的内容是解此题的关键，注意：不等式的性质1是：不等式的两边都加( 或减)同一个数或式子，不等号的方向不变，不等式的性质2是：不等式的两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变，不等式的性质3是：不等式的两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
5．一次越野跑中，前a秒钟小明跑了1600m，小刚跑了1450m．小明、小刚此后所跑的总路程y（单位：m）与时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示，则图中b的值是（ ）
A．3050B．2250C．2050D．2890
【答案】C
【解析】
【分析】
设小明从1600处到终点的速度为m米/秒，小刚从1450米处到终点的速度为n米/秒，根据函数图象可以得由图象可得：小明跑用(a+100)秒与小刚跑用(a+100)秒，两人跑的距离相等，小明跑了a秒后还需要200秒到达终点，而小刚跑了a秒后还需要100秒到达终点，据此列出相应的二元一次方程组，从而可以解答本题．
【详解】
解：设小明从1600处到终点的速度为m米/秒，小刚从1450米处到终点的速度为n米/秒，根据题意，得
，
解得：，
故这次越野跑的全程为：1600+300×1.5=1600+450=2050（米），
即b=2050米．
故选：C．
【点睛】
本题考查一次函数的应用，二元一次议程组的应用，从函数图象获取到有用信息是解题的关键．
6．点P，Q，R在反比例函数（常数，）图像上的位置如图所示，分别过这三个点作x轴、y轴的平行线，图中所构成的三处阴影部分的面积从左到右依次为，，．若，，则的值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【解析】
【分析】
设，则点P ，Q，R，再根据，求出k值，进而求出．
【详解】
解：设，则点P ，Q，R，
∵，
∴，
解得k=18，
∴．
故选：B．
【点睛】
本题考查反比例函数系数k的几何意义，矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题．
7．某学校对教室采用药熏消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成正比例，药物燃烧完后，y与x成反比例（如图），现测得药物10分钟燃毕，此时室内空气中每立方米含药量为8毫克．研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于4毫克才有效，那么此次消毒的有效时间是（ ）
A．11分钟B．12分钟C．15分钟D．20分钟
【答案】C
【解析】
【分析】
先利用待定系数法求出和时，关于的函数关系式，再求出时，的值，然后结合函数图象即可得出答案．
【详解】
解：当时，设，
将点代入得：，解得，
则此时，
当时，设，
将点代入得：，
则此时，
综上，，
当时，，解得，
当时，，解得，
则当时，，
所以此次消毒的有效时间是（分钟），
故选：C．
【点睛】
本题考查了反比例函数与正比例函数的综合，熟练掌握待定系数法是解题关键．
8．央视“朗读者”节目感动无数观众，某中学开展了“我爱朗读”读书话动，为了解5月份全校学生读书情况，随机调查了八年级50名学生读书的册数，统计数据如下表所示：关于这组数据，下列说法错误的是（ ）
A．中位数是2B．众数是3C．平均数是2D．方差是2．
【答案】D
【解析】
【分析】
先根据表格中的数据得出50名学生读书的总册数，然后除以50即可求出平均数；在这组样本数据中，3出现的次数最多，即可求出众数；将这组样本数据按从小到大的顺序排列后，处于中间的两个数都是2，从而求出中位数；根据方差公式即可求得这组数据的方差，即可得出答案．
【详解】
解：A.∵将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是2，
∴这组数据的中位数为2，
故A正确，不符合题意；
B.∵这组样本数据中，3出现了17次，出现的次数最多，
∴这组数据的众数是3；
故B正确，不符合题意；
C.观察表格，可知这组样本数据的平均数为：，
故C正确，不符合题意；
D.方差为：
，
故D错误，符合题意，
故选：D．
【点睛】
本题考查了加权平均数、众数、方差以及中位数的求法，解题的关键是牢记概念及公式．
9．已知第一组数据：1、3、5、7的方差为；第二组数据：2022、2024、2026、2028的方差为，则，的大小关系是（ ）
A．>B．【答案】C
【解析】
【分析】
先计算出两组数据的平均数，再根据方差的定义计算出方差，从而得出答案．
【详解】
解：∵，，
∴，
，
∴．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查方差．解题的关键是掌握方差的定义：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．
10．如图，每一幅图中均含有若干个正方形，第1幅图中有1个正方形；第2幅图中有5个正方形……按这样的规律下去，第9幅图中正方形正的个数为（ ）
A．180B．204C．285D．385
【答案】C
【解析】
【分析】
从特殊情况开始，先算出前几幅图中正方形的个数，找出其中的规律，归纳得出一般情况，第n幅图中正方形个数的规律，于是可算出当n=9时的正方形的个数．
【详解】
第１幅图中有１个正方形；
第2幅图中有1+4=12+22=5个正方形；
第3幅图中有1+4+9=11+22+32=14个正方形；
第4幅图中有1+4+9+16=12+22+32+42=30个正方形；
…
第n幅图中有12+22+32+42+…+n2个正方形．
于是，当n=9时，正方形的个数为：12+22+32+42+52+62+72+82+92=30+25+36+49+64+81=285（个）
故选：C
【点睛】
本题考查了图形的变化规律，利用图形间的联系，得出数字间的运算规律，从而问题解决，体现了由特殊到一般的数学思想．
二、填空题
11．下列四个代数式①，②，③，④，若，则代数式的值最大的是______．（填序号）．
【答案】③
【解析】
【分析】
利用作差法比较大小即可．
【详解】
解：∵，
令②-①得：，∴②＞①，
令③-②得：，∴③＞②，
令③-④得：，∴③＞④，
∴代数式的值最大的是③，
故答案为：③
【点睛】
本题考查不等式的性质，利用不等式性质比较代数式的大小，解题的关键是掌握作差法比较大小．
12．已知，，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题中条件，结合完全平方公式，计算出的值即可求出答案．
【详解】
解：由题意知：
∵，
∴．
解得：．
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】
本题考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
13．设、分别为一元二次方程的两个实数根，则_____
【答案】-7
【解析】
【分析】
根据一元二次方程根与系数关系与方程解的概念得到，根据所求通过恒等变形求解即可．
【详解】
解：、分别为一元二次方程的两个实数根，
，
由可得，即，
，即，
故答案为：-7．
【点睛】
本题考查代数式求值，涉及到一元二次方程根与系数关系、方程解的概念，根据所求代数式，准确将已知条件恒等变形求值是解决问题的关键．
14．又是一年植树季，跟随春天的脚步，某校派出七、八年级学生代表参加义务植树活动．七年级进行了5天的植树工作，从第二天起每天都比前一天增加5个植树的人，但从第二天起每人每天都比前一天少植5棵树．八年级进行了4天的植树工作，每天植树的人数都相同，前两天植树的效率与七年级第一天相同，后两天植树的效率与七年级第二天相同，已知两个年级派出的总人数不超过180人，且每个人只参加某一天的植树，且同一天植树的人植树效率相同.若八年级派出的总人数与七年级的总人数之比是，两个年级共植树1682棵，则七年级的植树总量为______棵．
【答案】590
【解析】
【分析】
设八年级派出的总人数与七年级的总人数分别为4k，5k，根据题意求出k的取值范围，设七年级第一天每人每天植树x棵，则后面4天每人分别植树（x-5）棵，（x-10）棵，（x-15）棵，（x-20）棵，八年级前两天每人每天植树x棵，后两天每人每天植树（x-5）棵，
表示出七、八年级植树总量，根据两个年级共植树1682棵，求出k、x的关系式，根据x、k都是正整数，求出k、x的值，即可求出结果．
【详解】
解：∵八年级派出的总人数与七年级的总人数之比是4:5，
∴设八年级派出的总人数与七年级的总人数分别为4k，5k，则，
解得：，
令七年级5天中每条天植树的人数分别为（k-10）人，（k-5）人，k人，（k+5）人，（k+10）人，八年级每条植树的人数为k人，
而，解得，
∴，
设七年级第一天每人每天植树x棵，则后面4天每人分别植树（x-5）棵，（x-10）棵，（x-15）棵，（x-20）棵，八年级前两天每人每天植树x棵，后两天每人每天植树（x-5）棵，
∴七年级植树总量为：
（棵）
八年级植树总量为：
，
∵两个年级共植树1682棵，
∴，
整理得：，
∴，
∵x、k都是正整数，且，
∴式中必须是整数，
∵只有当时，是整数，
∴满足条件的x、k只有，
∴七年级的植树总量为：
（棵）．
故答案为：590．
【点睛】
本题主要考查了列方程解决实际问题，根据题意设出每天植树的人数和植树的棵树，列出方程，根据x、k都是正整数，且，求出x、k的值，是解题的关键．
15．端午节来临之际，商家推出了两种礼盒进行售卖．A类礼盒中有4个甜味粽，4个肉馅粽；B类礼盒中有2个甜味粽，4个肉馅粽，6个咸鸭蛋，两种礼盒的成本分别为盒中食品的成本之和，包装费用忽略不计．其中，每个咸鸭蛋的成本为每个肉馅粽成本的，每个甜味粽的成本比每个肉馅粽的成本少，且每个甜味粽和每个肉馅粽的成本均为整数．已知A类礼盒的售价为50元，利润率为25%．端午节当天一共卖出了两类礼盒共计128盒，且卖出的B类礼盒至少50盒．后续工作人员在核算总成本的过程中，把每个甜味粽和每个肉馅粽的成本看反了，并用看反的每个肉馅粽的成本的去计算每个成鸭蛋的成本，结果算出来的总成本比实际总成本少了480元，则当日实际卖出的两种礼盒的总成本为______元．
【答案】5360
【解析】
【分析】
根据A类礼盒的售价为50元，利润率为25%．可得A类礼盒的成本为40元，从而得到1个甜味粽，1个肉馅粽的成本总和为10元，然后设每个甜味粽的成本为x元，则每个肉馅粽的成本为（10-x）元，可得每个咸鸭蛋的成本为元，进而得到B类礼盒的成本为元，再设卖出A类礼盒m盒，则卖出B类礼盒（128-m）盒，根据把每个甜味粽和每个肉馅粽的成本看反了，并用看反的每个肉馅粽的成本的去计算每个成鸭蛋的成本，结果算出来的总成本比实际总成本少了480元，列出方程，可得到，再由当日实际卖出的两种礼盒的总成本为，整理后把4mx代入，即可求解．
【详解】
解：∵A类礼盒的售价为50元，利润率为25%．
∴A类礼盒的成本为元，
即4个甜味粽，4个肉馅粽的成本为40元，
∴1个甜味粽，1个肉馅粽的成本总和为10元，
设每个甜味粽的成本为x元，则每个肉馅粽的成本为（10-x）元，
∵每个咸鸭蛋的成本为每个肉馅粽成本的，
∴每个咸鸭蛋的成本为元，
∵B类礼盒中有2个甜味粽，4个肉馅粽，6个咸鸭蛋，
∴B类礼盒的成本为元，
设卖出A类礼盒m盒，则卖出B类礼盒（128-m）盒，
，
整理得：，
当日实际卖出的两种礼盒的总成本为


．
故答案为：5360
【点睛】
本题主要考查了列代数式，一元一次次方程的应用，明确题意，准确得到数量关系，利用整体代入思想解答是解题的关键．
16．如图1，四边形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，AC=AD．动点P从点B出发，沿折线B−A−D−C方向以a单位/秒的速度匀速运动，在整个运动过程中，△BCP的面积S与运动时间t（秒）的函数图象如图2所示，则四边形ABCD的面积是______．

【答案】90
【解析】
【分析】
从图2看，AB=3a，AD=8a-3a=5a=AC，过点A作AH⊥CD于点H，在Rt△ADH中，AD=5a，AB=3a=CH=DH，则AH=4a=BC，当点P在点D处时，S△PCB=S△BCD=×BC×CD=×4a×6a=12a2=60，解得a2=5，则四边形ABCD的面积=（AB+CD）×AH=×（3a+6a）•4a=18a2=90，即可求解．
【详解】
解：从图2看，AB=3a，AD=8a-3a=5a=AC，
过点A作AH⊥CD于点H，则DH=CH=CD，
在Rt△ADH中，AD=5a，AB=3a=CH=DH，
则AH==4a=BC，
当点P在点D处时，S△PCB=S△BCD=×BC×CD=×4a×6a=12a2=60，解得a2=5，
则四边形ABCD的面积=（AB+CD）×AH=×（3a+6a）•4a=18a2=90，
故答案为：90．
【点睛】
本题考查的是动点问题函数的图象问题，涉及到等腰三角形性质和勾股定理的运用等知识，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．
17．已知定点，且动点到点P的距离等于定长r，根据平面内两点间距离公式可得，这就是到定点P的距离等于定长r圆的方程．已知一次函数的的图象交y轴于点A，交x轴于点B，C是线段AB上的一个动点，则当以OC为半径的的面积最小时，的方程为_________________．
【答案】
【解析】
【分析】
由题可得，当时，的面积最小，求出此时的圆心坐标与半径，进而求出的方程．
【详解】
解：当时，的长度最小，的面积最小．
当时，，
，；
当时，，
，．
，
，
．
设点，则，
解得，
．
的方程为：．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了点到直线的最小距离，两点之间的距离公式，勾股定理的应用，一次函数的应用，解决本题的关键是理解圆的方程的定义及求法．
18．抛物线（a，b，c是常数）与y轴的正半轴相交，其顶点坐标为．下列四个结论：①；②；③；④点在抛物线上，则．其中正确结论是________（填写序号）．
【答案】①③④
【解析】
【分析】
根据抛物线与y轴的正半轴相交，顶点坐标为，可判定a、b同号，c为正，即可判定①；当x=-1时，a-b+c<0，又-=-1,可得出a-2b+4cc，可判定③；根据抛物线的对称性，当n=0时，m=c；当n≠0，则-n2-2<-2，可得出点A到对称轴x=-1的距离>点C到对称轴x=-1的距离，即可得m>c，从而可判定④．
【详解】
解：∵抛物线（a，b，c是常数）与y轴的正半轴相交，其顶点坐标为．
∴c>0，-=-1,
∴a、b同号，
∴abc>0，
故①正确；
∵抛物线（a，b，c是常数）顶点坐标为，
∴当x=-1时，a-b+c<0，
∴4a-4b+4c<0,
∵-=-1,
∴b=2a，
∴4a-4a-2b+4c<0,
∴-2b+4c<0，
∴a-2b+4c故②不正确；
∵抛物线（a，b，c是常数）顶点坐标为，
∴
∵-=-1,
∴b=2a，
∴，
∴a>c，
故③正确；
∵抛物线对称轴为直线x=-1，a>c＞0，
∴抛物线开口向上，
∴当y=c时，x1=0,x2=-2，
当-n2-2=-2时，即n=0时，m=c，
当n≠0，则-n2-2<-2，
∴点A(-n2-2,m)到直线x=-1的距离>1，
∵点C（0，c）到直线x=-1的距离=1,
∴点A到对称轴x=-1的距离>点C到对称轴x=-1的距离，
∴m>c，
综上，m≥c，
故④正确；
故答案为：①③④．
【点睛】
本题考查抛物线图象与系数的关系，抛物线的性质，抛物线顶点坐标、对称轴，熟练掌握抛物线的图象性质是解题的关键．
19．已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点．
（1）若，则b=______．
（2）若，，抛物线与线段没有交点，则b的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】
（1）把A(-1,0)代入，求解即可；
（2）分三种情况：当对称轴x=-b>1时，即b<-1，当x=-1，y<0，线段MN与抛物线无交点；当对称轴x=-b，-1≤-b≤1时，当x=-1，y<0，当x=1，y<0，线段MN与抛物线无交点；当对称轴x=-b，-b<-1，即b>1时，当x=1，y<0，线段MN与抛物线无交点；分别求解即可．
【详解】
解：（1）把A(-1,0)代入，得
0=-b-2，解得：b=-，
故答案为：-；
（2）抛物线对称轴为：直线x=，
当对称轴x=-b>1时，即b<-1，当x=-1，y<0，线段MN与抛物线无交点，
∴-b-2<0，解得：b>-，
∴-当对称轴x=-b，-1≤-b≤1时，当x=-1，y<0，当x=1，y<0，线段MN与抛物线无交点，
∴，解得：-1≤b≤1，
当对称轴x=-b，-b<-1，即b>1时，当x=1，y<0，线段MN与抛物线无交点，
∴+b-2<0，解得：b<,
∴1综上，当-故答案为：-【点睛】
本题考查待定系数法求抛物线解析式，抛物线与线段无交点问题，熟练掌握抛物线的图象与性质，利用数形结合求解是解题的关键．
20．已知y关于x的二次函数（m为常数）的顶点坐标为
（1）k关于h的函数解析式为_______．
（2）若抛物线不经过第三象限，且在时，二次函数最小值和最大值和为，则______．
【答案】 ； ##0.5
【解析】
【分析】
（1）把二次函数的解析式化为顶点式，即可求解；
（2）根据题意可得二次函数图象与y轴交于点，从而得到抛物线的对称轴，然后分两种情况：当时，当时，即可求解．
【详解】
解：（1）
，
∴二次函数图象的顶点坐标为，
∵二次函数（m为常数）的顶点坐标为，
∴，
∴k关于h的函数解析式为；
（2）令，则，
∴二次函数图象与y轴交于点，
∵，
∴二次函数图象的顶点坐标为，开口向上，
∵抛物线不经过第三象限，且，
∴抛物线的对称轴，
当时，当时，函数值最大，最大值为，
当时，函数值最小，最小值为，
∵在时，二次函数最小值和最大值和为，
∴，
解得：，
∵，
∴不符合题意，舍去；
当时，当时，函数值最大，最大值为，
当时，函数值最小，最小值为，
∵在时，二次函数最小值和最大值和为，
∴，
解得：（舍去），
综上所述，．
故答案为：；
【点睛】
本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
21．如图，曲线AB是抛物线的一部分（其中A是抛物线与y轴的交点，B是顶点），曲线BC是双曲线的一部分，曲线AB与BC组成图形W．由点C开始不断重复图形W形成一组“波浪线”．那么______；若点，在该“波浪线”上，则m的值为______，n的最大值为______．
【答案】 5 4 5
【解析】
【分析】
根据确定点B(1，5)，代入反比例函数解析式解困确定k值；根据平移规律，确定点在抛物线上，且与的纵坐标相同，根据“波浪线”的最高值为5，确定n的最大值为5．
【详解】
解：∵，
∴点B(1，5)，代入，
解得k=5；
根据平移规律，确定点在抛物线上，且与的纵坐标相同，
∴m=，
∵抛物线的最大值为5，
∴n的最大值为5，
故答案为：5；4；5．
【点睛】
本题考查了抛物线与反比例函数的综合，平移规律，熟练掌握抛物线的性质和反比例函数的性质是解题的关键．
22．已知x，y为实数，且满足，记的最大值为M，最小值为m，则M+m＝________．
【答案】
【解析】
【分析】
联立已知条件，将u转化为2xy+4，根据非负数的性质确定xy的范围，从而求出u的范围，得到M，m的大小即可得解．
【详解】
解：∵，
∴②－①，得2xy=u-4，
即u=2xy+4，
把①两边加5xy，得（x+2y）2=4+5xy⩾0，
解得：xy⩾−，
把①两边减3xy，得（x-2y）2=4-3xy⩾0，
解得：xy≤
∴，
解得，
，
，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了加减消元法，完全平方公式的应用，解一元一次不等式组，正确的计算是解题的关键．
三、解答题
23．计算：
(1)；
(2)；
(3)（运用乘法公式）；
(4)．
【答案】(1)2
(2)
(3)1
(4)
【解析】
【分析】
（1）由解答；
（2）先乘方，再乘除，最后计算加减，结合幂的乘除法、乘方法则、合并同类项进行计算；
（3）利用平方差公式解答；
（4）利用完全平方公式、单项式乘以多项式法则解答．
(1)
解：
；
(2)
；
(3)
；
(4)
【点睛】
本题考查整式的乘除法、幂的混合运算等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
24．在平面直角坐标系中，直线l经过点和点．点C的横坐标为，点D为线段的中点．
(1)求直线l的解析式．
(2)如图1，若点P为线段上的一个动点，当的值最小时，求出点P坐标．
(3)在（2）的条件下，点Q在线段上，若是等腰三角形，请直接写出满足条件的点Q的横坐标，并写出其中一个点Q的横坐标的求解过程．
【答案】(1)
(2)
(3)满足条件的点的横坐标为或或1，求解过程见解析
【解析】
【分析】
（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可得；
（2）作点关于轴的对称点，从而可得当点共线时，的值最小，再求出点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，由此即可得；
（3）设点的坐标为，先利用两点之间的距离公式分别求出的值，再分①，②和③三种情况，分别建立方程，解方程即可得．
(1)
解：设直线的解析式为，
将点和点代入得：，解得，
则直线的解析式为．
(2)
解：如图，作点关于轴的对称点，连接，
则，
，
由两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，
即直线与轴的交点为所求的点，
点为线段的中点，
，
，
对于函数，
当时，，即，
设直线的解析式为，
将点和点代入得：，解得，
则直线的解析式为，
当时，，解得，符合题意，
所以当的值最小时，点坐标为．
(3)
解：设点的坐标为，
则，
，
，
由题意，分以下三种情况：
①当时，是等腰三角形，
则，即，
解得或（不符题意，舍去），
此时点的横坐标为；
②当时，是等腰三角形，
则，即，
解得或（不符题意，舍去），
此时点的横坐标为；
③当时，是等腰三角形，
则，即，
解得，符合题意，
此时点的横坐标为1，
综上，满足条件的点的横坐标为或或1．
【点睛】
本题考查了利用待定系数法求一次函数的解析式、一次函数的几何应用、等腰三角形的定义、一元二次方程的应用，较难的是题（3），正确分三种情况讨论是解题关键．
25．某商场准备购进A，两种型号电脑，每台A型号电脑进价比每台型号电脑多500元，用40000元购进A型号电脑的数量与用30000元购进型号电脑的数量相同，请解答下列问题：
(1)A，型号电脑每台进价各是多少元？
(2)若每台A型号电脑售价为2500元，每台型号电脑售价为1800元，商场决定用不超过35000元同时购进A，两种型号电脑20台，且全部售出，请写出所获的利润（单位：元）与A型号电脑（单位：台）的函数关系式并求此时的最大利润．
【答案】(1)每台A型号电脑进价为2000元，每台型号电脑进价为1500元
(2)与的函数解析式为，此时最大利润为8000元
【解析】
【分析】
（1）设每台A型号电脑进价为元，根据题意列分式方程并求解，即可得到答案；
（2）根据一元一次不等式的性质，得；根据一次函数的递增性计算，即可得到答案．
(1)
设每台A型号电脑进价为元，则型号电脑进价为元
由题意，得，
解得：，
经检验是原方程的解，且符合题意，
∴型号电脑进价（元），
∴每台A型号电脑进价为2000元，每台型号电脑进价为1500元；
(2)
根据题意，得，
∵，
解得：，
∵，
∴随的增大而增大，
∴时，所获利润最大为元.
∴与的函数解析式为，此时最大利润为8000元．
【点睛】
本题考查了一次函数、一元一次不等式、分式方程的知识；解题的关键是熟练掌握一次函数、分式方程的性质，从而完成求解．
26．如图，某中学准备在校园里利用院墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD，已知院墙MN长为25米，篱笆长50米（篱笆全部用完），设篱笆的一面AB的长为x米．
(1)当AB的长为多少米时，矩形花园的面积为300平方米？
(2)若围成的矩形ABCD的面积为S平方米，当x为何值时，S有最大值，最大值是多少？
【答案】(1)AB的长为15米时，矩形花园的面积为300平方米
(2)当x为12.5米时，S有最大值，最大值是312.5平方米
【解析】
【分析】
（1）设篱笆的一面AB的长为x米，则，根据“矩形花园的面积为300平方米”列一元二次方程，求解即可；
（2）根据题意，可得，根据二次函数最值的求法求解即可．
(1)
设篱笆的一面AB的长为x米，则，
由题意得，，
解得，
，
，
，
所以，AB的长为15米时，矩形花园的面积为300平方米；
(2)
由题意得，
时，S取得最大值，此时，S=312.5，
所以，当x为12.5米时，S有最大值，最大值是312.5平方米．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的实际应用，二次函数的应用及最值问题，正确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．
27．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，．
(1)求的取值范围；
(2)若，求方程的两个根．
【答案】(1)且
(2)，
【解析】
【分析】
（1）根据一元二次方程的定义及方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，从而到关于的不等式，求出的范围即可；
（2）利用根与系数的关系可得，根据可得关于的方程，整理后即可解出的值，最后求出方程的根．
(1)
解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴且，
即且，
解得：且．
(2)
∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，，
∴，
∵，
∴，
解得：，
经检验：是分式方程的解，
∴当时，方程为：，
解得：，．
【点睛】
本题考查了根的判别式，根与系数的关系，一元二次方程以及分式方程等知识．关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系：⑴方程有两个不相等的实数根；⑵方程有两个相等的实数根；⑶方程没有实数根．以及根与系数的关系：，是一元二次方程的两根时，，．
28．如图所示，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于两点，，与y轴相交于点C．
(1)求反比例函数和一次函数的函数表达式；
(2)直接写出：不等式的解集是______；
(3)求的面积．
【答案】(1)，
(2)或
(3)4
【解析】
【分析】
（1）根据点，利用待定系数法可得反比例函数的解析式，从而可得点的坐标，再利用待定系数法可得一次函数的解析式；
（2）根据点的坐标，结合函数图像即可得；
（3）先根据一次函数的解析式求出点的坐标，再根据的面积等于与的面积之和即可得．
(1)
解：点代入得：，
则反比例函数的解析式为，
将点代入得：，
则，
将点代入得：，解得，
则一次函数的解析式为．
(2)
解：不等式表示一次函数的图像位于反比例函数的图像的上方，
则不等式的解集为或，
故答案为：或．
(3)
解：对于一次函数，
当时，，即，
则，
所以的面积为．
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握待定系数法是解题关键．
29．如图，点在反比例函数的图象上，⊥轴于点，的垂直平分线交双曲线与点．
(1)若点的坐标为，则点的坐标为 ．
(2)若⊥，点的横坐标为．
①求与之间的关系式；
②连接，，若的面积为6，求的值．
【答案】(1)；
(2)①；②．
【解析】
【分析】
（1）由点A坐标可求得反比例函数解析式，根据PD垂直平分AB可得P点纵坐标，进而可求P点横坐标；
（2）①首先证明△PAB，△DAP和△DBP是等腰直角三角形，可得DA＝DB＝DP＝，表示出P点坐标，代入反比例函数解析式，整理即可得出结果；
②过点P作PC⊥x轴于点C，求出S△AOP＝S梯形PABC＝6，根据梯形的面积公式列式计算即可．
(1)
解：将A代入得：，即，
∵PD垂直平分AB，AB＝8，
∴P点纵坐标为4，
∴P点横坐标为，
∴点的坐标为，
故答案为：；
(2)
①由题意得，点A的纵坐标为，即AB＝，
∵PD垂直平分AB，
∴PA＝PB，
∵⊥，
∴△PAB是等腰直角三角形，
∴∠PAB＝∠PBA＝45°，
∵PD⊥AB，
∴△DAP和△DBP是等腰直角三角形，
∴DA＝DB＝DP＝，
∴P（），
将P（）代入可得：，
整理得：；
②过点P作PC⊥x轴于点C，则四边形PABC是梯形，
∵S△AOB＝S△POC＝，
∴S△AOE＝S四边形PEBC，
∴S△AOP＝S梯形PABC＝6，
∴，整理得：，
∵，
∴，
解得：或（舍去），
∴．
【点睛】
本题考查了反比例函数的图象和性质，待定系数法的应用，线段垂直平分线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，反比例函数系数k的几何意义等，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特点是解题的关键．
30．我们约定[a，b，c]为二次函数的“相关数”．
【特例感知】
“相关数”为[1，4，3]的二次函数的解析式为，
“相关数”为[2，5，3]的二次函数的解析式为；
“相关数”为[3，6，3]的二次函数的解析式为；
（1）下列结论正确的是____________（填序号）．
①抛物线，，都经过点；
②抛物线，，与直线都有两个交点；
③抛物线，，有两个交点．
【形成概念】
把满足“相关数”为[n，n+3，3]（n为正整数）的抛物线称为“一簇抛物线”，分别记为，，，…，．抛物线与轴的交点为，．
【探究问题】
（2）①“—簇抛物线”，，，…，都经过两个定点，这两个定点的坐标分别为 ．
②拋物线的顶点为，是否存在正整数，使是直角三角形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
③当时，抛物线与轴的左交点，与直线的一个交点为，且点不在轴上．判断和是否相等，并说明理由．
【答案】（1）①②③
（2）①（0，3），（1，0）
②n=1或n=5；理由见解析
③；理由见解析
【解析】
【分析】
（1）①令x=0，得到，，，推出抛物线，，都经过点；②根据直线y=3，可知抛物线与直线y=3有两个交点（0，3）和（4，3）；抛物线与直线y=3有两个交点（0，3）和（2．5，3）；抛物线与直线y=3有两个交点（0，3）和（2，3）；推出抛物线，，与直线都有两个交点；③x=1时，得到，，，得到抛物线，，都经过点（1，0）；结合①问结论推出抛物线，，都经过点（1，0）和（0，3）两点；
（2）①写出“一簇抛物线”解析式：，，，…，，；令x=0，，令x=1，，得到“一簇抛物线”都经过（0，3），（1，0）两点；
②配方，得到顶点，设抛物线的对称轴交x轴于点D，得到，，根据对称性得到，，根据，得到，令，解得x=1或，得到，，推出，，得到，推出，求得n=1或n=5；
③根据在点处，，解得x=1（舍去），或，得到，同理可得，得到；根据在点处，，解得x=0（舍去），或，得到，从而得到，推出，得到．
【详解】
（1）①当x=0时，=3，=3，=3，
∴抛物线，，都经过点；故①正确；
②∵直线y=3，
∴当=3时，解得x=0或x=4，∴抛物线与直线y=3有两个交点（0，3）和（4，3）；
当=3时，解得x=0或x=2.5，∴抛物线与直线y=3有两个交点（0，3）和（2.5，3）；
当=3时，解得x=0或x=2，∴抛物线与直线y=3有两个交点（0，3）和（2，3）；故②正确；
③当x=1时，=0，=0，=0，
∴抛物线，，都经过点（1，0）
∵抛物线，，都经过点
∴抛物线，，都经过点，（1，0）两点；故③正确；
故答案为①②③；
（2）①“一簇抛物线”解析式为：
，
，
，
…，
，
当x=0时，，
当x=1时，，
故“一簇抛物线”都经过（0，3），（1，0）两点；
故答案为：（0，3），（1，0）；
②存在n=1或n=5，理由：
∵，
∴，
设抛物线的对称轴交x轴于点D，
则，，
由抛物线的对称性知，，
∴当为直角三角形时，，
∴，
令，则x=1或，
∴，，
∴，
∵，
∴
∵，
∴当n-3=0时，顶点在x轴上，，，三点重合，不能构成三角形，
∴n-3≠0，n≠0，
∴，
∴n=1或n=5；
③，理由：
在点处，，
则x=1（舍去），或，
∴
为与x轴的左交点，则，
∴，
在点处，，则x=0（舍去），或，
∴，
为与直线的一个交点，点不在轴上，
∴，
∴，
∴．
【点睛】
本题主要考查了新定义“相关数”和“一簇抛物线”，解决问题的关键是熟练掌握新定义，二次函数的性质，等腰直角三角形性质，两点间的距离公式．
31．已知二次函数的图象交x轴于点A（3，0），B（－1，0），交y轴于点C（0，－3），P这抛物线上一动点，设点P的横坐标为m．
(1)求抛物线的解析式：
(2)当△PAC是以AC为直角边的直角三角形时，求点P的坐标：
(3)抛物线上是否存在点P，使得以点P为圆心，2为半径的圆既与x轴相切，又与抛物线的对称轴相交？若存在，求出点P的坐标，并求出抛物线的对称轴所截的弦MN的长度；若不存在，请说明理由．（写出过程）
【答案】(1)
(2)点P的坐标为（-2，5）或（1，-4）；
(3)点P的坐标为或，抛物线的对称轴所截的弦MN的长度为
【解析】
【分析】
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）分当∠PAC=90°时，当∠PCA=90°时，两种情况讨论求解即可；
（3）由圆P的半径为2，且圆P与抛物线对称轴有交点，且与x轴相切，可得点P的纵坐标为-2，由此求出点P的坐标即可；过点P作PE⊥MN于E，由垂径定理可得MN=2ME，利用勾股定理求出ME即可得到答案．
(1)
解：设抛物线解析式为，把点C（0，-3）代入得，
，
∴，
∴抛物线解析式为；
(2)
解：如图所示，当∠PAC=90°时，设PA与y轴交点为D，
∵点A坐标为（3，0），点C坐标为（0，-3），
∴OA=OC=3，
∵∠AOC=90°，
∴∠CAO=45°，
∴∠DAO=45°，
∴OA=OD=3，
∴点D的坐标为（0，3），
设直线AD的解析式为，
∴，
∴，
∴直线AD的解析式为，
联立，
解得或（舍去），
∴点P的坐标为（-2，5）；
当∠PCA=90°，设直线PC与x轴的交点为E，
同理可证∠ECO=45°，即OE=OC，
∴点E的坐标为（-3，0），
同理可以求出直线PC的解析式为，
联立，
解得或（舍去），
∴点P的坐标为（1，-4），
综上所述，点P的坐标为（-2，5）或（1，-4）；
(3)
解：∵抛物线解析式为，
∴抛物线对称轴为直线，
∴点A和点B到抛物线的对称轴的距离都为2，
∵圆P的半径为2，且圆P与抛物线对称轴有交点，且与x轴相切，
∴点P的纵坐标为-2，
当时，，
解得，
∴点P的坐标为或，
过点P作PE⊥ME交抛物线对称轴于E，
∴或，，
∴，
∴，
∴点P的坐标为或，抛物线的对称轴所截的弦MN的长度为
【点睛】
本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，圆与函数综合，待定系数法求函数解析式等等，正确理解题意，利用分类讨论和数学结合的思想求解是解题的关键．
32．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于、两点，与轴交于点，连接、，其中，．
(1)求该抛物线的函数解析式；
(2)点是直线上方抛物线上一点，过点作轴交直线于点，求的最大值，并写出此时点的坐标；
(3)如图2，设点是原抛物线的顶点，轴上有一点，将原抛物线沿轴正方向平移恰好经过点时停止，得到新抛物线，点为的对称轴上任意一点，连接，当是等腰三角形时，直接写出所有符合条件的点的坐标．
【答案】(1)
(2)当时，取最大值，此时
(3)，，，
【解析】
【分析】
（1）待定系数法求二次函数解析式即可求解．
（2）过点作交于点，令，得点坐标为，即直线的解析式为，由题设：，，求得，根据，可得，根据二次函数的性质即可求解；
（3）根据平移的性质求得，分别利用勾股定理求得的长，根据等腰三角形的性质，建立方程即可求解，最后求得直线，检验时，是否有点在直线上，从而取舍点的坐标．
(1)
在中，，
∴，
∴.
将，代入得：
解得：
∴该抛物线的解析式为；
(2)
如图，过点作交于点
令，
解得
则点坐标为，
设直线的解析式为，
，
解得，
即直线的解析式为，
由题设：，，
∴，
，
当时，取最大值，此时；
(3)
轴上有一点，将原抛物线沿轴正方向平移恰好经过点时停止，得到新抛物线，
则的对称轴为，
设，，，
设直线的解析式为，
，
，
直线的解析式为，
，
，
当时， ，
解得，
当时，，
解得，
当时，，
解得，，
直线的解析式为，当时，，
即在直线上，
不能构成三角形，
，，，，
【点睛】
本题考查了二次函数综合问题，待定系数法求二次函数解析式，线段最值问题，二次函数最值问题，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，综合运用以上知识是解题的关键．
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