吉林省白城市洮北区白城市实验高级中学2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试题

这是一份吉林省白城市洮北区白城市实验高级中学2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试题，共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题（共8小题）
1. 已知 x,y∈R，则“ xy=0”是“ x2+y2=0”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2. 对集合{1，5，9，13，17}用描述法来表示，其中正确的是 ( )
A. {x|x是小于18的正奇数} B.
C. D.
3. 下列关于回归分析与独立性检验的说法正确的是( )
①回归分析和独立性检验没有什么区别；
②回归分析是对两个变量准确关系的分析，而独立性检验是分析两个变量之间的不确定性关系；
③回归分析研究两个变量之间的相关关系，独立性检验是对两个变量是否具有某种关系的一种检验；
④独立性检验可以100%确定两个变量之间是否具有某种关系．
A. ①② B. ③ C. ③④ D. ①②③④
4. y＝在[3,4]上的最大值为( )
A. 2 B. C. D. 4
5. （2023·广西八市联考10月月考）已知是定义在上的偶函数，对任意实数满足，且在上单调递增，设，则的大小关系是( )
A. B. C. D.
6. 设a＝lg0.20.3，b＝lg23，c＝lg46，则( )
A. a＜b＜c B. b＜a＜c C. c＜a＜b D. a＜c＜b
7. (2020·新高考全国Ⅰ卷)某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是( )
A. 62% B. 56% C. 46% D. 42%
8. 若偶函数f(x)(x∈R)满足f(x+2)=f(x)且x∈[0,1]时，f(x)=x，则方程f(x)=lg3|x|的根有（ ）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 1个
二、多选题（共4小题）
9. 已知 X的分布列为
则（ ）
A. PX=1=14 B. EX=-14 C. DX=34 D. PX2=1=34
10. 设(2-x)5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5,那么( )
A. a0+a2+a4=122
B. a0+a1+a2+a3+a4+a5=1
C. a1+a3+a5=-121
D. a1+a3=20
11. （2023·江苏省盐城市联盟五校第一次学情调研）已知定义在R上的函数，其导函数的定义域也为R.若，且为奇函数，则( )
A. B. C. D.
12. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 函数 fx有极小值
B. 函数 fx在x=0处切线的斜率为4
C. 当时， fx=k恰有三个实根
D. 若时，f(x)max= 6e2，则t的最小值为2
三、填空题（共5小题）
13. （2023·湖北省荆州市公安县车胤中学11月月考）已知函数，若当时，恒成立，则实数的取值范围为_________．
14. 已知随机变量 X∼B2,23，则 PX≥1= .
15. 新冠肺炎疫情发生以来，中医药全面参与疫情防控救治，做出了重要贡献.某中医药企业根据市场调研与模拟，得到研发投入 x（亿元）与产品收益 y（亿元）的数据统计如下表：
用最小二乘法求得 y关于 x的经验回归直线方程是 y^=b^x+2.9，当研发投入 20亿元时，相应的产品收益估计值为 .
16. (2023·江苏海安高级中学模拟)函数f(x)＝x2－4x＋2在区间[a，b]上的值域为[－2，2]，则b－a的取值范围是________.
17. 设函数f(x)＝，若函数f(x)在x＝1处的切线斜率为，则a＝________．
四、解答题（共6小题）
18. 在某果园的苗圃进行果苗病虫害调查，随机调查了200棵受到某病虫害的果苗，并测量其高度 h（单位： cm)，得到如下的样本数据的频率分布直方图.
(1)估计该苗圃受到这种病虫害的果苗的平均高度（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
(2)估计该苗圃一棵受到这种病虫害的果苗高度位于区间 30,45的概率；
(3)已知该苗圃的果苗受到这种病虫害的概率为 3%，果苗高度位于区间 40,50的棵数占该果苗总棵数的 20%.从该苗圃中任选一棵高度位于区间 40,50的果苗，求该棵果苗受到这种病虫害的概率（以样本数据中受到病虫害果苗的高度位于各区间的频率作为受到病虫害果苗的高度位于该区间的概率）.
19. 求下列函数的导数.
（1）；
（2）；
（3）.
20. 设函数 a∈R.
（1）求函数的单调增区间；
（2）当a=1时，记，是否存在整数 λ，使得关于x的不等式有解？若存在，请求出 λ的最小值；若不存在，请说明理由.（参考数据：）
21. 7人站成一排．
(1)甲必须在乙的前面(不一定相邻)，则有多少种不同的排列方法？
(2)甲、乙、丙三人自左向右的顺序不变(不一定相邻)，则有多少种不同的排列方法？
22. 某跨国公司决定将某种智能产品大量投放中国市场，已知该产品年固定研发成本30万元，每生产一台需另投入90元，设该公司一年内生产该产品x万台且全部售完，每万台的销售收入为G(x)万元，G(x)＝ 250-3x,025.
（1）写出年利润S（万元）关于年产量x（万台）的函数解析式（利润＝销售收入﹣成本）；
（2）当年产量为多少万台时，该公司获得的利润最大？并求出最大利润.
23. 设f(x)＝lga(1＋x)＋lga(3－x)(a>0，且a≠1)，且f(1)＝2.
(1)求实数a的值及f(x)的定义域；
(2)求f(x)在区间 0,32上的最大值．
参考答案
1. 【答案】B
【解析】由 xy=0，可得 x=0或 y=0；
由 x2+y2=0可得 x=0且 y=0，
所以由 xy=0不能推出 x2+y2=0，但由 x2+y2=0能推出 xy=0，
所以“ xy=0”是“ x2+y2=0”的必要不充分条件.
故选：B.
2. 【答案】D
【解析】对于A：{x|x是小于18的正奇数}＝，故A错误；对于B：＝，故B错误；对于C：＝，故C错误；对于D：＝，故D正确．
3. 【答案】B
【解析】回归分析是对两个变量之间的相关关系的一种分析，而相关关系是一种不确定关系，通过回归分析来研究两个变量之间具有的相关关系．
独立性检验是对两个变量之间是否具有某种关系的分析，并且可以分析这两个变量在多大程度上具有这种关系，但不能100%肯定这种关系．故①②④错误，③正确．
故选B.
4. 【答案】A
【解析】y＝＝＝＋1，
∵y＝＋1在[3,4]上单调递减，
∴当x＝3时，y取得最大值，最大值为＋1＝2.
5. 【答案】A
【解析】根据题意可知，即可得，
所以函数是以2为周期的偶函数，
又在上单调递增，所以可得在上单调递增；
根据偶函数性质可知在上单调递减，
又
显然，所以可得，即；
因此可得.
故选：A.
6. 【答案】D
【解析】因为a＝lg0.20.3＜lg0.20.2＝1，b＝lg23＝lg49，
又c＝lg46，lg49＞lg46＞lg44＝1，所以b＞c＞a，故选D.
7. 【答案】C
【解析】用Venn图表示该中学喜欢足球和游泳的学生所占比例之间的关系如图，
设既喜欢足球又喜欢游泳的学生占该中学学生总数的比例为x，
则(60%－x)＋(82%－x)＋x＝96%，解得x＝46%.
8. 【答案】C
【解析】f(x)=lg3|x|的解的个数，等价于y=f(x)的图象与函数y=lg3|x|的图象的交点个数，
因为函数f(x)满足f(x+2)=f(x)，所以周期T=2，
当x∈[0,1]时，f(x)=x，且f(x)为偶函数，
在同一个坐标系中画出函数y=f(x)的图象与函数y=lg3|x|的图象，如图所示：
显然函数y=f(x)的图象与函数y=lg3|x|的图象有4个交点，故f(x)=有4个实数根.
9. 【答案】ABD
【解析】对于A，由分布列的性质可得 12+14+m=1，解得 m=14，则 PX=1=14，A正确；
对于B， EX=-1×12+0×14+1×14=-14，B正确；
对于C， DX=-1+142×12+0+142×14+1+142×14=1116，C错误；
对于D，当 X=-1或 X=1时， X2=1，
所以， PX2=1=PX=-1+PX=1=12+14=34，D正确.
故选：ABD.
10. 【答案】ABC
【解析】令x=1,可得a0+a1+a2+a3+a4+a5=1,再令x=-1,可得a0-a1+a2-a3+a4-a5=35.
两式相加除以2求得a0+a2+a4=122,两式相减除以2可得a1+a3+a5=-121.
又由条件可知a5=-1,故a1+a3=-120.
11. 【答案】ACD
【解析】对于A选项：注意到，又是由向左平移1个单位得到的，
且注意到为奇函数，因此的对称中心为即，因此；故A选项符合题意.
对于B选项：令，此时满足题意，但，故B选项不符题意.
对于C选项：因为的对称中心为，所以，又已知，
所以，这表明了关于直线对称，即，
由复合函数求导法则且同时两边对求导得；故C选项符合题意.
对于D选项：由的对称中心为，即，两边对求导得，
结合C选项分析结论，可知，
所以这表明了的周期为4，
因此，注意到，
所以；故D选项符合题意.
故选：ACD.
12. 【答案】ABD
【解析】由已知，，
当x<-2或x>2时，，当-2所以 fx在 -∞,-2和 2,+∞上单调递减，在 -2,2上单调递增，
fx极小值， fx极大值，A正确；
时，，时，，，B正确；
当时， fx=k只有两个根，C错；
若时，f(x)max= 6e2，则，t的最小值为2，D正确．
故选：ABD．
13. 【答案】
【解析】由题意，，即，可得，
即对任意的恒成立，
令，则，
∴当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
∴当时，是的极小值，也是最小值，
∴当时，．
令，则，则对任意的恒成立，
等价于对任意的恒成立，
∴对任意的恒成立，则当时，．
令，则，则在上单调递增，
∴是在上的最小值，即，
∴，即实数的取值范围为．
故答案为：.
14. 【答案】 89
【解析】因为 X∼B2,23，所以 PX≥1=C21×23×1-23+C22×232=89.
故答案为： 89.
15. 【答案】 36.9亿元
【解析】由表格中的数据可得 x¯=1+2+3+4+55=3， y¯=3+7+9+10+115=8，
将样本中心点 x¯,y¯代入回归直线方程可得 3b^+2.9=8，解得 b^=1.7，
所以，回归直线方程为 y^=1.7x+2.9，
当 x=20时， y^=1.7×20+2.9=36.9（亿元），
因此，当研发投入 20亿元时，相应的产品收益估计值为 36.9亿元.
故答案为： 36.9亿元.
16. 【答案】[2，4]
【解析】解方程f(x)＝x2－4x＋2＝2，
解得x＝0或x＝4，
解方程f(x)＝x2－4x＋2＝－2，
解得x＝2，
由于函数f(x)在区间[a，b]上的值域为[－2，2].
若函数f(x)在区间[a，b]上单调，
则[a，b]＝[0，2]或[a，b]＝[2，4]，
此时b－a取得最小值2；
若函数f(x)在区间[a，b]上不单调，且当b－a取最大值时，[a，b]＝[0，4]，
所以b－a的最大值为4.
所以b－a的取值范围是[2，4].
17. 【答案】1
【解析】∵函数f(x)＝，∴f′(x)＝，
又∵f′(1)＝＝，∴＝，则a＝1.
18. 【答案】解：（1）由频率分布直方图得该苗圃受到这种病虫害的果苗的平均高度为：
h-=0.02×5×22.5+0.05×5×27.5+0.06×5×32.5+0.04×5×37.5+0.02×5×42.5+0.01×5×47.5=33cm.
（2）该苗圃一棵受到这种病虫害的果苗高度位于区间 30,45的频率为： 0.06+0.04+0.02×5=0.6.
所以，估计该苗圃一颗受到这种病虫害的果苗高度位于区间 30,45的概率为0.6.
（3）设从苗圃中任选一棵高度位于区间 40,50的果苗为事件 A，该棵果苗受到这种病虫害为事件 B，则 PBA=PABPA=3%×0.02+0.01×520%=0.0225.
19. 【答案】解 （1）函数可以看作函数和的复合函数，
由复合函数的求导法则可得.
（2）函数可以看作函数和的复合函数，
由复合函数的求导法则可得.
（3）函数可以看作函数和的复合函数，
由复合函数的求导法则可得.
20. 【答案】解 （1）因为，
所以，
①当a=0时，由 φ'x>0，解得x>0；
②当a>1时，由 φ'x>0，解得；
③当00，解得x>0；
④当a=1时，由 φ'x>0，解得x>0；
⑤当a<0时，由 φ'x>0，解得，
综上所述，当a<0时， φx的增区间为；
当时， φx的增区间为 0,+∞；
当a>1时， φx的增区间为.
（2）当a=1时，，所以，
而，
因为均为 0,+∞上的增函数，
故为 0,+∞上的增函数，
而，，
故 h'x在 0,+∞上有且只有一个零点 x0，
且且当时， h'x<0；当时， h'x>0，
故 hx在上单调递减，在上单调递增，
故，
因为，所以，
所以，
而整数 λ，使得关于x的不等式有解，故，
故存在整数 λ满足题意，且 λ的最小值为0.
21. 【答案】解 (1)甲在乙前面的排法种数占全排列种数的一半，故有＝2 520(种)不同的排法．
(2)甲、乙、丙自左向右的顺序保持不变，即甲、乙、丙自左向右顺序的排法种数占全排列种数的.
故有＝840(种)不同的排法．
22. 【答案】解 （1）年利润 -3x2+160x-30,025.
（2）当0所以S在 0,25上单调递增，
所以；
当x>25时，，
当且仅当10x= 9000x，即x =30时，等号成立，此时 Smax=2370，
因为2370>2095，所以x =30， Smax=2370，
故当年产量为30万台时，该公司获得的利润最大，最大利润为2370万元.
23. 【答案】解 (1)∵f(1)＝2，∴lga4＝2(a>0，且a≠1)，
∴a＝2.由 1+x>0,3-x>0,得－1∴函数f(x)的定义域为(－1,3)．
(2)f(x)＝lg2(1＋x)＋lg2(3－x)
＝lg2[(1＋x)(3－x)]＝lg2[－(x－1)2＋4]，
∴当x∈[0,1]时，f(x)单调递增；
当x∈ 1,32时，f(x)单调递减，
故函数f(x)在 0,32上的最大值是f(1)＝lg24＝2.