中考数学一轮复习满分突破(全国通用)专题20蚂蚁爬行模型(原卷版+解析)

这是一份中考数学一轮复习满分突破(全国通用)专题20蚂蚁爬行模型(原卷版+解析)，共40页。

蚂蚁爬行模型的实质：两点之间，线段最短。
模型一：蚂蚁沿着长方体表面爬行，从点A到点B的最短距离：
解题方法：在长方体问题中，我们需要将长方体展开，然后利用两点之间线段最短画图求解。如果长方体的长、宽、高各不相同，一般分三种情况讨论。
模型二：蚂蚁沿着圆柱表面爬行，求最短距离：
解题方法：在圆柱体中爬行，要分两种情况，圆柱的侧面展开图是长方形，可能爬行了长方形的一半，也有可能爬行了整个长方形
模型三（蚂蚁吃蜂蜜问题）：求蚂蚁从点A沿着外壁爬行再沿着内壁爬行到点B蜂蜜处的最短距离。
模型四：蚂蚁爬楼梯问题
模型五：蚂蚁爬圆锥问题
【培优过关练】
1．（2022秋·河北石家庄·九年级石家庄市第十七中学校考阶段练习）如图，有一圆锥形粮堆，其主视图是边长为的正三角形，母线的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，小猫从B处沿圆锥表面去偷袭老鼠， 则小猫经过的最短路程是（ ）．
A．B．4C．D．6
2．（2022春·吉林长春·九年级校考阶段练习）如图，点是棱长为的正方体的一个顶点，点是一条棱的中点，将正方体按图中所示展开，则在展开图中两点间的距离为（ ）
A．B．C．D．
3．（2022秋·广东惠州·九年级校考阶段练习）如图，圆锥的底面半径，母线，为底面直径，为底面圆周上一点，，为上一点，，现在有一只蚂蚁，沿圆锥表面从点爬到点，则蚂蚁爬行的最短路程是（ ）
A．B．C．D．
4．（2022春·九年级课时练习）如图，圆柱的底面周长为12cm，AB是底面圆的直径，在圆柱表面的高BC上有一点D，且，．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱体的表面爬行到点D的最短路程是（ ）cm．
A．14B．12C．10D．8
5．（2022·山东淄博·统考二模）如图，一只蚂蚁要从圆柱体下底面的点，沿圆柱侧面爬到与相对的上底面的点，圆柱底面直径为4，母线为6，则蚂蚁爬行的最短路线长为（ ）
A．B．
C．D．10
6．（2022·山东东营·统考二模）如图一个圆柱，底圆周长10cm，高4cm，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A点爬到B点，则最少要爬行（ ）cm ．
A．9B．14C．D．
7．（2022春·九年级课时练习）已知圆锥底面半径为1，母线长为4，地面圆周上有一点A，一只蚂蚁从点A出发沿圆锥侧面运动一周后到达母线PA中点B，则蚂蚁爬行的最短路程为（ ）
A．B．C．D．
8．（2022·全国·九年级专题练习）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（ ）
A．cmB．13cmC．cmD．cm
9．（2022秋·安徽芜湖·九年级校考开学考试）如图，长方体的长为，宽为，高为，点离点的距离为，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离是（ ）
A．B．C．D．
10．（2022秋·浙江·九年级专题练习）如图所示是一个几何体的三视图，如果一只蚂蚁从这个几何体的点B出发，沿表面爬到AC的中点D处，则最短路线长为（ ）
A．B．C．D．2
11．（2021春·广东肇庆·八年级统考期末）如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为和和是这个台阶两个相对的端点，点有一只蚂蚁，想到点去吃可口的食物．则这只蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程是（ ）
A．B．C．D．
12．（2022秋·广东梅州·九年级校考阶段练习）如图，一只蚂蚁沿着边长为 的正方体表面从点出发，经过 个面爬到点，如果它运动的路径是最短的，则的长为____．
13．（2022春·广东茂名·九年级统考期末）如图，圆柱形玻璃容器高12cm，底面周长为24cm，在容器外侧距下底1cm的点A处有一只蚂蚁，在蚂蚁正对面距容器上底2cm的点B处有一滴蜂蜜，则蚂蚁要吃到蜂蜜所爬行的最短距离为______cm．
14．（2022秋·山东临沂·九年级统考期末）如图，已知长方体的长为5cm，宽为4cm，高为3cm．一只蚂蚁如果沿长方体的表面A点爬到C点，那么这只蚂蚁需要走的最短路程为___________．
15．（2022·山东临沂·校考二模）如图，圆柱底面半径为4厘米，高厘米，点A、B分别是圆柱两底面圆周上的点，且A、B在同一母线上，用一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B，求棉线最短为__________．
16．（2022·江苏扬州·统考一模）如图，已知长方体的三条棱AB、BC、BD分别为4，5，2，蚂蚁从A点出发沿长方体的表面爬行到M的最短路程的平方是_____.
17．（2021·全国·九年级专题练习）如图所示的长方体的长、宽、高分别为厘米、厘米、厘米．若一只蚂蚁从点出发沿着长方体的表面爬行到棱的中点处．则蚂蚁需爬行的最短路程是_______________厘米．
18．（2022春·陕西西安·九年级校考期中）如图，有一个圆柱形食品盒，它的高为10cm，底面圆周长为24cm，如果在盒外AD的中点P处有一只蚂蚁，蚂蚁爬行的速度为2cm/s，它想吃到点B处（点A、B正好相对）的食物，那么它至少需要爬行 _____s．
19．（2023秋·广东佛山·八年级佛山市高明区沧江中学校考期末）如图，台阶A处的蚂蚁要爬到B处搬运食物，则它爬行的最短距离为 _____．
20．（2022秋·河北邢台·九年级金华中学校考期末）一个几何体的三视图如图所示，如果一只蚂蚁要从这个几何体中的点出发，沿表面爬到的中点，请你求出这条线路的最短路径．
21．（2022秋·九年级单元测试）如图，是一块长、宽、高分别是，和的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点处，沿着长方体的表面到长方体上和相对的顶点处吃食物，那么它需要爬行的最短路径是多少？
22．（2022秋·浙江宁波·九年级校考期中）葛藤是一种刁钻的植物．它自己腰托不硬，为了争夺雨露阳光，常常绕着树干盘旋而上，它还有一手绝招，就是绕树盘旋上升的路段，总是沿着最短路线——盘旋前进的，难道植物也懂得数学吗？阅读以上信息，你能设计一种方法解决下列问题吗？
(1)如图，如果树干的周长（即底面圆的周长）为30cm，从点A绕一圈到点B，葛藤升高40cm，则它爬行路程是多少厘米？
(2)如果树干的周长（即底面圆的周长）为40cm，绕一圈爬行50cm，则爬行一圈升高多少厘米？如果爬行10圈到达树顶，则树干高多少厘米？
23．（2022秋·辽宁沈阳·九年级校考阶段练习）如图，两个一样的长方体礼品盒，其底面是边长为的正方形，高为；现有彩带若干（足够用），数学组的小明和小刚分别采用自己喜欢的方式用彩带装饰两个礼品盒（假设彩带完美贴合长方体礼品盒）.
(1)如图1，小明从底面点A开始均匀缠绕长方体侧面，刚好缠绕2周到达点B，求所用彩带的长度；
(2)如图2，小刚沿着长方体的表面从点C缠绕到点D，点D与点E的距离是5cm，请问小刚所需要的彩带最短是多少？（注：以上两问均要求画出平面展开示意图，再解答）
24．（2022秋·辽宁葫芦岛·九年级校考阶段练习）如图1，等腰三角形中，当顶角的大小确定时，它的对边（即底边）与邻边（即腰或）的比值也就确定了，我们把这个比值记作，即 ，当时，如．
(1) ， ，的取值范围是 ；
(2)如图2，圆锥的母线长为18，底面直径，一只蚂蚁从点P沿着圆锥的侧面爬行到点Q，求蚂蚁爬行的最短路径长．（精确到0.1，参考数据：，）
25．（2022·江苏·九年级专题练习）在几何体表面上，蚂蚁怎样爬行路径最短？
（1）如图①，圆锥的母线长为，B为母线的中点，点A在底面圆周上，的长为．在图②所示的圆锥的侧面展开图中画出蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径，并标出它的长（结果保留根号）．
（2）图③中的几何体由底面半径相同的圆锥和圆柱组成．O是圆锥的顶点，点A在圆柱的底面圆周上．设圆锥的母线长为l，圆柱的高为h．
①蚂蚁从点A爬行到点O的最短路径的长为________（用含l，h的代数式表示）．
②设的长为a，点B在母线上，．圆柱的侧面展开图如图④所示，在图中画出蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径的示意图，并写出求最短路径的长的思路．
26．（2022秋·浙江·九年级专题练习）李老师在与同学进行“蚂蚁怎样爬最近”的课题研究时设计了以下三个问题，请你根据下列所给的重要条件分别求出蚂蚁需要爬行的最短路程的长．
（1）如图1，正方体的棱长为一只蚂蚁欲从正方体底面上的点沿着正方体表面爬到点处；
（2）如图2，正四棱柱的底面边长为，侧棱长为，一只蚂蚁从正四棱柱底面上的点沿着棱柱表面爬到处；
（3）如图3，圆锥的母线长为4cm，圆锥的侧面展开图如图4所示，且，一只蚂蚁欲从圆锥的底面上的点出发，沿圆锥侧面爬行一周回到点．
27．（2023春·八年级课时练习）如图有一个四级台阶，它的每一级的长、宽分别为18分米、4分米．
(1)如果给台阶表面8个矩形区域铺上定制红毯，需要定制红毯的面积为432平方分米，那么每一级台阶的高为多少分米？
(2)A和C是这个台阶上两个相对的端点，台阶角落点A处有一只蚂蚁，想到台阶顶端点C处去吃美味的食物，则蚂蚁沿着台阶面从点A爬行到点C的最短路程为多少分米？
分类讨论
示意图
展开图
最短距离
小结
前+上
AB=a2+（b+c）2=a2+b2+c2+2bc
最小值取决于
ab，bc，ac
的大小
左+上
AB=b2+（a+c）2=a2+b2+c2+2ac
前+右
AB=c2+（a+b）2=a2+b2+c2+2ab
分类讨论
示意图
展开图
最短距离
爬行半圈
最短距离=（Πr）2+h2
爬行一圈
最短距离=（2Πr）2+h2
示意图
展开图
作法
最短距离
点A’为点A关于圆柱上沿的对称点，若点A’与点B的垂直距离为h，则问题转化为将军饮马问题求解
AB=（Πr）2+h2
问题
示意图
展开图
最短距离
如图，三级台阶的每一级的长，宽，高分别为20 dm，3 dm，2 dm，A和B 是这个台阶两相对的端点，A点有一只蚂蚁想到B点去吃可口的食物，求最短路程
AB=[(3+2)×3]2+202
=25
问题
示意图
展开图
最短距离
如图，现有一个圆锥，圆锥的底面直径为4cm，母线长为6cm，一只蚂蚁在点A位置，食物在母线BC的中点点D处，蚂蚁沿着圆锥表面由点A向点D处爬行觅食，路线如图所示，求最短距离
先利用扇形弧长公式求圆心角，再根据勾股定理求AD长
专题20 蚂蚁爬行模型
蚂蚁爬行模型的概述：蚂蚁在某几何体的一个顶点，爬行到另外一个相对的顶点去吃食物，求所走的最短路径是多少。
蚂蚁爬行模型的实质：两点之间，线段最短。
模型一：蚂蚁沿着长方体表面爬行，从点A到点B的最短距离：
解题方法：在长方体问题中，我们需要将长方体展开，然后利用两点之间线段最短画图求解。如果长方体的长、宽、高各不相同，一般分三种情况讨论。
模型二：蚂蚁沿着圆柱表面爬行，求最短距离：
解题方法：在圆柱体中爬行，要分两种情况，圆柱的侧面展开图是长方形，可能爬行了长方形的一半，也有可能爬行了整个长方形
模型三（蚂蚁吃蜂蜜问题）：求蚂蚁从点A沿着外壁爬行再沿着内壁爬行到点B蜂蜜处的最短距离。
模型四：蚂蚁爬楼梯问题
模型五：蚂蚁爬圆锥问题
【培优过关练】
1．（2022秋·河北石家庄·九年级石家庄市第十七中学校考阶段练习）如图，有一圆锥形粮堆，其主视图是边长为的正三角形，母线的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，小猫从B处沿圆锥表面去偷袭老鼠， 则小猫经过的最短路程是（ ）．
A．B．4C．D．6
【答案】C
【分析】求这只小猫经过的最短距离的问题首先应转化为圆锥的侧面展开图的问题，转化为平面上两点间的距离的问题．根据圆锥的轴截面是边长为的等边三角形可知，展开图是半径是4的半圆．点是半圆的一个端点，而点是平分半圆的半径的中点，根据勾股定理就可求出两点和在展开图中的距离，就是这只小猫经过的最短距离．
【详解】解：圆锥主视图是边长为的正三角形，
圆锥的底面周长是，则，
，即圆锥侧面展开图的圆心角是180度．
如图，在圆锥侧面展开图中，，度．
在圆锥侧面展开图中．
故小猫经过的最短距离是．
故选：C．
【点睛】本题考查的是平面展开最短路线问题，根据题意画出圆锥的侧面展开图，利用勾股定理求解是解答此题的关键．
2．（2022春·吉林长春·九年级校考阶段练习）如图，点是棱长为的正方体的一个顶点，点是一条棱的中点，将正方体按图中所示展开，则在展开图中两点间的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】连接，根据和勾股定理可得出两点间的距离．
【详解】解：如图，
在中，，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理，得出正方体上两点间的距离为直角三角形的斜边是解题关键．
3．（2022秋·广东惠州·九年级校考阶段练习）如图，圆锥的底面半径，母线，为底面直径，为底面圆周上一点，，为上一点，，现在有一只蚂蚁，沿圆锥表面从点爬到点，则蚂蚁爬行的最短路程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】首先得到弧的长，然后求得弧所对的圆心角的度数，从而得到直角三角形，利用勾股定理求得的长即可．
【详解】解：如图：
∵，
∴设弧所对的圆心角的度数为n，
∴，
解得，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】求立体图形中两点之间的最短路线长，一般应放在平面内，构造直角三角形，求两点之间的线段的长度．解题的关键是理解并掌握圆锥的弧长等于底面周长．
4．（2022春·九年级课时练习）如图，圆柱的底面周长为12cm，AB是底面圆的直径，在圆柱表面的高BC上有一点D，且，．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱体的表面爬行到点D的最短路程是（ ）cm．
A．14B．12C．10D．8
【答案】C
【分析】首先画出圆柱的侧面展开图，根据底面周长12cm，求出 AB 的值，由BC=10cm，DC=2cm，求出 DB的值，再在 Rt△ ABD 中，根据勾股定理求出 AD 的长，即可得答案．
【详解】解：圆柱侧面展开图如下图所示，
∵圆柱的底面周长为12cm，
∴ AB =6cm，
∵BC=10cm，DC=2cm，
∴DB=8，
在 Rt△ABD 中，( cm )，
即蚂蚁从 A 点出发沿着圆柱体的表面爬行到点 D 的最短距离是10cm，
故选： C ．
【点睛】此题主要考查了圆柱的平面展开图，以及勾股定理的应用，解题的关键是画出圆柱的侧面展开图．
5．（2022·山东淄博·统考二模）如图，一只蚂蚁要从圆柱体下底面的点，沿圆柱侧面爬到与相对的上底面的点，圆柱底面直径为4，母线为6，则蚂蚁爬行的最短路线长为（ ）
A．B．
C．D．10
【答案】B
【分析】要求最短路线，首先要把圆柱的侧面展开，利用两点之间线段最短，再利用勾股定理来求．
【详解】解：把圆柱侧面展开，展开图如图所示，点A，B的最短距离为线段AB的长，
BC＝6，AC为底面半圆弧长，AC＝2π，
所以AB＝．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了平面展开图的最短路径问题，本题的关键是要明确，要求两点间的最短线段，就要把这两点放到一个平面内，即把圆柱的侧面展开再计算．
6．（2022·山东东营·统考二模）如图一个圆柱，底圆周长10cm，高4cm，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A点爬到B点，则最少要爬行（ ）cm ．
A．9B．14C．D．
【答案】C
【分析】要求蚂蚁爬行的最短距离，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．
【详解】解：将圆柱展开，侧面为矩形，如图所示：
∵底面⊙O的周长为10cm，
∴AC=5cm，
∵高BC=4cm，
∴AB==cm．
故选C．
【点睛】此题考查了圆柱的平面展开---最短路径问题，将圆柱展成矩形，求对角线的长即为最短路径．
7．（2022春·九年级课时练习）已知圆锥底面半径为1，母线长为4，地面圆周上有一点A，一只蚂蚁从点A出发沿圆锥侧面运动一周后到达母线PA中点B，则蚂蚁爬行的最短路程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】要求蚂蚁爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开，连接AB，根据展开所得扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长求得扇形的圆心角，进而解三角形即可求解．
【详解】解：根据题意，将该圆锥展开如下图所示的扇形，
则线段AB就是蚂蚁爬行的最短距离．
∵点B是母线PA的中点，，
∴，
∵圆锥的底面圆的周长=扇形的弧长，
又∵圆锥底面半径为1，
∴扇形的弧长=圆锥底面周长，即，扇形的半径=圆锥的母线=PA=4，
由弧长公式可得：
∴扇形的圆心角，
在Rt△APB中，由勾股定理可得：，
所以 蚂蚁爬行的最短路程为，
故选：C．
【点睛】.本题考查平面展开--最短路径问题、圆的周长计算公式、弧长计算公式，勾股定理等知识，解题的关键是“化曲为直”，将立体图形转化为平面图形．
8．（2022·全国·九年级专题练习）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（ ）
A．cmB．13cmC．cmD．cm
【答案】B
【分析】将容器侧面展开，作A点关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短即可知A′B的长度即为最短距离．利用勾股定理求出A′B即可．
【详解】如图：将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′B，则A′B即为最短距离，
∵高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，
此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿3cm与饭粒相对的点A处，
∴A′D＝5cm，A′E=AE=3，BD＝12﹣3+A′E＝12cm，
∴A′B＝＝＝13cm．
故选：B．
【点睛】本题考查立体图形平面展开的最短路径问题．了解“两点之间线段最短”并结合轴对称和勾股定理进行求解是解题的关键．
9．（2022秋·安徽芜湖·九年级校考开学考试）如图，长方体的长为，宽为，高为，点离点的距离为，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】将长方体侧表面剪开与前面、上面、后面侧面分别形成一个长方形，分别利用勾股定理计算出AB的距离即可解答.
【详解】只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图1：
因为长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，
所以BD=CD+BC=10+5=15，AD=20
在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：
只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图2：
此时BD=CD+BC=20+5=25,所以
同理与后面侧面所在构成一个长方形，如图3，
可求
因为
所以选B.
【点睛】本题考查的是两点之间线段最短和勾股定理，本题关键是将长方体侧面展开，利用两点之间线段最短解答.
10．（2022秋·浙江·九年级专题练习）如图所示是一个几何体的三视图，如果一只蚂蚁从这个几何体的点B出发，沿表面爬到AC的中点D处，则最短路线长为（ ）
A．B．C．D．2
【答案】A
【分析】将圆锥的侧面展开，设顶点为，连接，．线段与的交点为，线段是最短路程．
【详解】解：如图将圆锥侧面展开，得到扇形，则线段为所求的最短路程．
设．
，
即．
为弧中点，
，，
，
最短路线长为．
故选：A．
【点睛】本题考查了平面展开最短路径问题，扇形的面积和特殊值的三角函数等问题，解题时注意把立体图形转化为平面图形．
11．（2021春·广东肇庆·八年级统考期末）如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为和和是这个台阶两个相对的端点，点有一只蚂蚁，想到点去吃可口的食物．则这只蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】此类题目只需要将其展开便可直观的得出解题思路．将台阶展开得到的是一个矩形，蚂蚁要从B点到A点的最短距离，便是矩形的对角线，利用勾股定理即可解出答案．
【详解】解：如图，将台阶展开，
因为AC＝3×3＋1×3＝12，BC＝9，
所以AB2＝AC2＋BC2＝225，
所以AB＝15，
所以蚂蚁爬行的最短线路为15．
故选B．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理的应用并能得出平面展开图是解题的关键．
12．（2022秋·广东梅州·九年级校考阶段练习）如图，一只蚂蚁沿着边长为 的正方体表面从点出发，经过 个面爬到点，如果它运动的路径是最短的，则的长为____．
【答案】
【分析】将正方体展开，右边与后面的正方形与前面正方形放在一个面上，此时最短，根据，由相似比可得，求出的长，利用勾股定理求出的长即可．
【详解】解：将正方体展开，右边与后面的正方形与前面正方形放在一个面上，展开图如图所示，此时最短，
，，
，
，即，即，
，
在中，根据勾股定理得：
，
故答案为：．
【点睛】此题考查了平面展开图—最短路径问题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，勾股定理，求出的长是解本题的关键．
13．（2022春·广东茂名·九年级统考期末）如图，圆柱形玻璃容器高12cm，底面周长为24cm，在容器外侧距下底1cm的点A处有一只蚂蚁，在蚂蚁正对面距容器上底2cm的点B处有一滴蜂蜜，则蚂蚁要吃到蜂蜜所爬行的最短距离为______cm．
【答案】15
【分析】根据题意得到圆柱体的展开图，确定A、B的位置，利用勾股定理即可求解；
【详解】解：圆柱体玻璃杯展开图如下，作；
∵底面周长为24cm，
∴
∵，
∴cm，
∴cm，
故答案为：15．
【点睛】本题主要考查勾股定理的应用，根据题意正确得到圆柱体的展开图是解题的关键．
14．（2022秋·山东临沂·九年级统考期末）如图，已知长方体的长为5cm，宽为4cm，高为3cm．一只蚂蚁如果沿长方体的表面A点爬到C点，那么这只蚂蚁需要走的最短路程为___________．
【答案】cm
【分析】根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：∵长方体的长为5cm，宽为4cm，
∴AB＝4cm，BC＝5cm，
∴AC＝＝＝（cm），
故答案为：cm．
【点睛】本题主要考查了平面展开﹣最短路线问题，利用勾股定理求出斜边的长是解题的关键，而两点之间线段最短是解题的依据．
15．（2022·山东临沂·校考二模）如图，圆柱底面半径为4厘米，高厘米，点A、B分别是圆柱两底面圆周上的点，且A、B在同一母线上，用一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B，求棉线最短为__________．
【答案】30π厘米
【分析】要求圆柱体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将圆柱体展开，然后利用两点之间线段最短解答．
【详解】解：圆柱体的展开图如图所示：
用一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B的运动最短路线是：AC→CD→DB；
即在圆柱体的展开图长方形中，将长方形平均分成3个小长方形，A沿着3个长方形的对角线运动到B的路线最短；
∵圆柱底面半径为4，
∴长方形的宽即是圆柱体的底面周长：2π×4=8π；
又∵圆柱高为18π，
∴小长方形的一条边长是18π÷3=6π；
根据勾股定理求得AC=CD=DB= =10π；
∴AC+CD+DB=30π．
故答案为：30π厘米．
【点睛】本题主要考查了圆柱的计算、平面展开--路径最短问题．圆柱的侧面展开图是一个长方形，此长方形的宽等于圆柱底面周长，长方形的长等于圆柱的高．本题就是把圆柱的侧面展开成长方形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．
16．（2022·江苏扬州·统考一模）如图，已知长方体的三条棱AB、BC、BD分别为4，5，2，蚂蚁从A点出发沿长方体的表面爬行到M的最短路程的平方是_____.
【答案】61
【详解】解: 如图①:AM2=AB2+BM2=16+(5+2)2=65;
如图②:AM2=AC2+CM2=92+4=85;
如图③:AM2=52+(4+2)2=61.
∴蚂蚁从A点出发沿长方体的表面爬行到M的最短路程的平方是:61.
故答案为:61.
17．（2021·全国·九年级专题练习）如图所示的长方体的长、宽、高分别为厘米、厘米、厘米．若一只蚂蚁从点出发沿着长方体的表面爬行到棱的中点处．则蚂蚁需爬行的最短路程是_______________厘米．
【答案】
【分析】先把长方体展开，分类讨论，分别根据勾股定理求出AM的长比较即可．
【详解】解：长方体部分展开如图所示，连接AM，则线段AM的长就是蚂蚁需爬行的最短路程，
根据已知数据可得，AN=4cm，MN=4cm，
AM=，
如图，
如图，
最短距离为
故答案为：．
【点睛】此题考查了几何体的展开图的应用，以及线段的性质：两点之间，线段最短，解决立体几何两点间的最短距离时，通常把立体图形展开成平面图形，转化成平面图形两点间的距离问题来求解．
18．（2022春·陕西西安·九年级校考期中）如图，有一个圆柱形食品盒，它的高为10cm，底面圆周长为24cm，如果在盒外AD的中点P处有一只蚂蚁，蚂蚁爬行的速度为2cm/s，它想吃到点B处（点A、B正好相对）的食物，那么它至少需要爬行 _____s．
【答案】
【分析】按不同的展开方式，分类讨论：第一种情况：蚂蚁沿着圆柱体的侧面直接到达B点，利用勾股定理即可求解；第二种情况：蚂蚁由P点直接到达A点，再由A点经过底面圆直达B点，此时爬行的距离为AP加上底面圆的直径；最后比较两种方式所用的时间即可求解．
【详解】分两种情况讨论：
第一种情况，蚂蚁沿着圆柱体的侧面直接到达B点，
此时：将圆柱体的侧面展开，连接PB，即PB为最短路径，如图，
根据题意有：AD=10，AB为底面圆周长的一半，即AB=24÷2=12，
∵P点为AD中点，
∴AP=5，
在Rt△APB中，（cm），
∵蚂蚁的速度为2cm/s，
∴蚂蚁需要的时间为：13÷2=6.5（s），
即此时蚂蚁需要6.5s；
第二种情况：蚂蚁由P点直接到达A点，再由A点经过底面圆直达B点，
连接AB，可知AB为底面圆的直径，圆柱体展开如图，
∵底面圆的周长为24，
∴底面圆的直径AB=，
∵AP=5，
∴此时蚂蚁行走的距离为AP+AB=+5（cm），
∴此时蚂蚁需要的时间为：（s），
∵，
∴蚂蚁需要的最短时间为：s，
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆柱体中的最短路径问题，解答此题的关键是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”．解答此题时，注意分类讨论．
19．（2023秋·广东佛山·八年级佛山市高明区沧江中学校考期末）如图，台阶A处的蚂蚁要爬到B处搬运食物，则它爬行的最短距离为 _____．
【答案】13m##13米
【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．
【详解】解：如图所示，
台阶平面展开图为长方形，，，
则蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线长．
由勾股定理得：，
即，
，
故答案为：m．
【点睛】本题主要考查了平面展开图—最短路径问题，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答．
20．（2022秋·河北邢台·九年级金华中学校考期末）一个几何体的三视图如图所示，如果一只蚂蚁要从这个几何体中的点出发，沿表面爬到的中点，请你求出这条线路的最短路径．
【答案】
【分析】根据三视图可知这个几何体是圆柱，画出侧面展开图，然后根据勾股定理即可求解．
【详解】解：根据三视图可知这个几何体是圆柱，侧面展开图如图，
∵底面直径为，
∴，
∵，
∴，
在中，，
即这条线路的最短路径为．
【点睛】本题考查了三视图，勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键．
21．（2022秋·九年级单元测试）如图，是一块长、宽、高分别是，和的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点处，沿着长方体的表面到长方体上和相对的顶点处吃食物，那么它需要爬行的最短路径是多少？
【答案】
【分析】将长方体展开成平面图形，分三种情况，利用勾股定理进行求解，确定最短路径即可．
【详解】解：如图1，当爬的长方体的长是，宽是3时，．
如图2，当爬的长方体的长是，宽是4时，．
如图3，爬的长方体的长是，宽是6时，．
，
它需要爬行的最短路径是．
【点睛】本题考查勾股定理的应用．解题的关键是将长方体展开成平面图形，利用勾股定理求出最短路径．
22．（2022秋·浙江宁波·九年级校考期中）葛藤是一种刁钻的植物．它自己腰托不硬，为了争夺雨露阳光，常常绕着树干盘旋而上，它还有一手绝招，就是绕树盘旋上升的路段，总是沿着最短路线——盘旋前进的，难道植物也懂得数学吗？阅读以上信息，你能设计一种方法解决下列问题吗？
(1)如图，如果树干的周长（即底面圆的周长）为30cm，从点A绕一圈到点B，葛藤升高40cm，则它爬行路程是多少厘米？
(2)如果树干的周长（即底面圆的周长）为40cm，绕一圈爬行50cm，则爬行一圈升高多少厘米？如果爬行10圈到达树顶，则树干高多少厘米？
【答案】(1)50cm
(2)300cm
【分析】（1）将圆柱展开，可知底面圆周长，即为 的长，圆柱的高即为 的长，求出 的长即为葛藤绕树的最短路程．
（2）先根据勾股定理求出绕行1圈的高度，再求出绕行10圈的高度，即为树干高．
【详解】（1）解：如图，
树干的周长即底面圆的周长为30cm
cm
葛藤升高40cm
cm
由勾股定理得 cm
所以，葛藤爬行的路程是50cm
（2）解： 树干的周长即底面圆的周长为40cm
cm
葛藤绕一圈爬行50cm
cm
由勾股定理得绕行1圈的高度
爬行10圈到达树顶
树干高 cm
所以，树干高为300cm
【点睛】本题考查了圆柱的侧面展开图和勾股定理，解题关键是要弄清底面圆的周长即为矩形的边 的长．
23．（2022秋·辽宁沈阳·九年级校考阶段练习）如图，两个一样的长方体礼品盒，其底面是边长为的正方形，高为；现有彩带若干（足够用），数学组的小明和小刚分别采用自己喜欢的方式用彩带装饰两个礼品盒（假设彩带完美贴合长方体礼品盒）.
(1)如图1，小明从底面点A开始均匀缠绕长方体侧面，刚好缠绕2周到达点B，求所用彩带的长度；
(2)如图2，小刚沿着长方体的表面从点C缠绕到点D，点D与点E的距离是5cm，请问小刚所需要的彩带最短是多少？（注：以上两问均要求画出平面展开示意图，再解答）
【答案】(1)图见详解，
(2)图见详解，
【分析】（1）从底面点开始均匀缠绕长方体侧面，刚好缠绕2周到达点，相当于直角三角形的两条直角边分别是60和10，再根据勾股定理求出斜边长即可；
（2）求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体展开，然后利用两点之间线段最短解答．
【详解】（1）解：如图，
将长方体的侧面沿展开，取的中点，取的中点，连接，，
则为所求的彩带长，
，
，
，
答：彩带的长度是；
（2）解：当上面的面与前面的面展成一个平面时，如图，
此时；
当右边的面与前面的面展成一个平面时，如图，
此时；
当上面的面与左边的面展成一个平面时，如图，
此时；
由上可知小刚所需要的彩带最短是．
【点睛】本题考查了平面展开最短路线问题和勾股定理的应用，能正确画出平面图形是解此题的关键，利用了数形结合思想．
24．（2022秋·辽宁葫芦岛·九年级校考阶段练习）如图1，等腰三角形中，当顶角的大小确定时，它的对边（即底边）与邻边（即腰或）的比值也就确定了，我们把这个比值记作，即 ，当时，如．
(1) ， ，的取值范围是 ；
(2)如图2，圆锥的母线长为18，底面直径，一只蚂蚁从点P沿着圆锥的侧面爬行到点Q，求蚂蚁爬行的最短路径长．（精确到0.1，参考数据：，）
【答案】(1)
(2)20.7
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质和等腰三角形的性质进行计算即可；
（2）先根据圆锥的侧面展开图的知识和扇形的弧长公式计算，可求扇形的圆心角；再根据的定义即可解答．
【详解】（1）解：如图1，
，则，
∴，
如图2，
，作于D，则，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
（2）解：∵圆锥的底面直径，
∴圆锥的底面周长为，即侧面展开图扇形的弧长为，
设扇形的圆心角为，
则，解得，
∵，
∴蚂蚁爬行的最短路径长为．
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、等腰三角形的性质、圆锥的侧面展开图、弧长公式等知识点，掌握相关性质定理和的定义是解本题的关键．
25．（2022·江苏·九年级专题练习）在几何体表面上，蚂蚁怎样爬行路径最短？
（1）如图①，圆锥的母线长为，B为母线的中点，点A在底面圆周上，的长为．在图②所示的圆锥的侧面展开图中画出蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径，并标出它的长（结果保留根号）．
（2）图③中的几何体由底面半径相同的圆锥和圆柱组成．O是圆锥的顶点，点A在圆柱的底面圆周上．设圆锥的母线长为l，圆柱的高为h．
①蚂蚁从点A爬行到点O的最短路径的长为________（用含l，h的代数式表示）．
②设的长为a，点B在母线上，．圆柱的侧面展开图如图④所示，在图中画出蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径的示意图，并写出求最短路径的长的思路．
【答案】（1）作图如图所示；（2）①h +l；②见解析．
【分析】（1）根据两点之间线段最短，即可得到最短路径；连接OA，AC，可以利用弧长与母线长求出∠AOC，进而证明出△OAC是等边三角形，利用三角函数即可求解；
（2）①由于圆锥底面圆周上的任意一点到圆锥顶点的距离都等于母线长，因此只要蚂蚁从点A爬到圆锥底面圆周上的路径最短即可，因此顺着圆柱侧面的高爬行，所以得出最短路径长即为圆柱的高h加上圆锥的母线长l；
②如图，根据已知条件，设出线段GC的长后，即可用它分别表示出OE、BE、GE、AF，进一步可以表示出BG、GA，根据B、G、A三点共线，在Rt△ABH中利用勾股定理建立方程即可求出GC的长，最后依次代入前面线段表达式中即可求出最短路径长．
【详解】解：（1）如图所示，线段AB即为蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径；
设∠AOC=n°，
∵圆锥的母线长为， 的长为，
∴，
∴；
连接OA、CA，
∵，
∴是等边三角形，
∵B为母线的中点，
∴，
∴．
（2）① 蚂蚁从点A爬行到点O的最短路径为：先沿着过A点且垂直于地面的直线爬到圆柱的上底面圆周上，再沿圆锥母线爬到顶点O上，因此，最短路径长为h+l
② 蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径的示意图如下图所示，线段AB即为其最短路径（G点为蚂蚁在圆柱上底面圆周上经过的点，图中两个C点为图形展开前图中的C点）；
求最短路径的长的思路如下：如图，连接OG，并过G点作GF⊥AD，垂足为F，由题可知，，GF=h， OB=b，
由的长为a，得展开后的线段AD=a，设线段GC的长为x，则的弧长也为x，由母线长为l，可求出∠COG，
作BE⊥OG，垂足为E，
因为OB=b，可由三角函数求出OE和BE，从而得到GE，利用勾股定理表示出BG，
接着由FD=CG=x，得到AF=a-x，利用勾股定理可以求出AG，
将AF+BE即得到AH，将EG+GF即得到HB，
因为两点之间线段最短，∴A、G、B三点共线，
利用勾股定理可以得到：,进而得到关于x的方程，即可解出x，
将x的值回代到BG和AG中，求出它们的和即可得到最短路径的长．
【点睛】本题考查的是曲面上的最短路径问题，涉及到圆锥和圆柱以及它们的组合体上的最短路径问题，解题过程涉及到“两点之间、线段最短”以及勾股定理和三角函数等知识，本题为开放性试题，答案形式不唯一，对学生的空间想象能力以及图形的感知力要求较高，蕴含了数形结合等思想方法．
26．（2022秋·浙江·九年级专题练习）李老师在与同学进行“蚂蚁怎样爬最近”的课题研究时设计了以下三个问题，请你根据下列所给的重要条件分别求出蚂蚁需要爬行的最短路程的长．
（1）如图1，正方体的棱长为一只蚂蚁欲从正方体底面上的点沿着正方体表面爬到点处；
（2）如图2，正四棱柱的底面边长为，侧棱长为，一只蚂蚁从正四棱柱底面上的点沿着棱柱表面爬到处；
（3）如图3，圆锥的母线长为4cm，圆锥的侧面展开图如图4所示，且，一只蚂蚁欲从圆锥的底面上的点出发，沿圆锥侧面爬行一周回到点．
【答案】（1）cm（2）cm（3）
【分析】（1）根据侧面展开图可知蚂蚁爬的路线是，，构成的直角三角形，而斜边就是最短路线，根据勾股定理可求解；
（2）根据侧面展开图可知蚂蚁爬的路线是，，构成的直角三角形，或由，，构成的直角三角形，而斜边就是最短路线，根据勾股定理可求解，然后比较找到最短；
（3）根据圆锥的侧面展开图，最短距离是扇形展开图的弦，因此求出弦长即可.
【详解】解：
（1）；
（2）画图分两种情况：
①当横向剪开时：，
②当竖向剪开时：，
∵，∴最短路程为．
（3）如图所示：
连接，过点作于点，
在和中，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴所求的最短的路程为．
【点睛】本题主要考查了空间想象能力，同时要求能将立体图形侧面展开，有一定难度。
考点：立体图形的侧面展开图的应用
27．（2023春·八年级课时练习）如图有一个四级台阶，它的每一级的长、宽分别为18分米、4分米．
(1)如果给台阶表面8个矩形区域铺上定制红毯，需要定制红毯的面积为432平方分米，那么每一级台阶的高为多少分米？
(2)A和C是这个台阶上两个相对的端点，台阶角落点A处有一只蚂蚁，想到台阶顶端点C处去吃美味的食物，则蚂蚁沿着台阶面从点A爬行到点C的最短路程为多少分米？
【答案】(1)每一级台阶的高为2分米．
(2)蚂蚁沿着台阶面从点A爬行到点C的最短路程为30分米．
【分析】（1）设每一级台阶的高为x分米，根据题意列方程即可得到结论；
（2）先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．
【详解】（1）解：设每一级台阶的高为x分米，
根据题意得，18×（4＋x）×4＝432，
解得x＝2，
答：每一级台阶的高为2分米；
（2）四级台阶平面展开图为长方形，长为18分米，宽为（2＋4）×4＝24分米，
则蚂蚁沿台阶面从点A爬行到C点最短路程是此长方形的对角线长．
由勾股定理得：AC＝（分米），
答：蚂蚁沿着台阶面从点A爬行到点C的最短路程为30分米．
【点睛】本题考查了平面展开−最短路径问题，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答．
分类讨论
示意图
展开图
最短距离
小结
前+上
AB=a2+（b+c）2=a2+b2+c2+2bc
最小值取决于
ab，bc，ac
的大小
左+上
AB=b2+（a+c）2=a2+b2+c2+2ac
前+右
AB=c2+（a+b）2=a2+b2+c2+2ab
分类讨论
示意图
展开图
最短距离
爬行半圈
最短距离=（Πr）2+h2
爬行一圈
最短距离=（2Πr）2+h2
示意图
展开图
作法
最短距离
点A’为点A关于圆柱上沿的对称点，若点A’与点B的垂直距离为h，则问题转化为将军饮马问题求解
AB=（Πr）2+h2
问题
示意图
展开图
最短距离
如图，三级台阶的每一级的长，宽，高分别为20 dm，3 dm，2 dm，A和B 是这个台阶两相对的端点，A点有一只蚂蚁想到B点去吃可口的食物，求最短路程
AB=[(3+2)×3]2+202
=25
问题
示意图
展开图
最短距离
如图，现有一个圆锥，圆锥的底面直径为4cm，母线长为6cm，一只蚂蚁在点A位置，食物在母线BC的中点点D处，蚂蚁沿着圆锥表面由点A向点D处爬行觅食，路线如图所示，求最短距离
先利用扇形弧长公式求圆心角，再根据勾股定理求AD长