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中考数学几何模型专项复习 模型27 勾股定理——蚂蚁爬行模型-（原卷版+解析）
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这是一份中考数学几何模型专项复习 模型27 勾股定理——蚂蚁爬行模型-（原卷版+解析），共13页。
◎结论1：蚂蚁沿着长方体的表面爬行，从M到N的最短路径：
MNmin＝最长边2+最短边＋较短边2
长方体表面走最短路径：化曲为平：展平面、两点连、用勾股
◎结论2：蚂蚁沿着圆柱体的表面爬行，从A到B的最短路径：
①同侧全周长＝(2πr)2+ℎ2
②异侧半周长＝(πr)2+ℎ2
圆柱表面积最短路径：化曲为平：展平面、两点连、用勾股
同侧全周长 底面圆的周长2πR
异侧半周长 底面圆的周长πR
◎结论3：蚂蚁吃蜂蜜问题∶求蚂蚁从A沿着外壁爬行再沿着内壁爬行到B的最短路径.
【作法】如图，首先找到 A关于杯子上沿的对称点A′点，设A′到B的垂直距离为h，则问题转化为异侧半周长的问题.
由图可知蚂蚁爬行的最短路径长为 A´B＝(πr)2+ℎ2
1．(2023·广东·湛江市雷阳实验学校八年级阶段练习）如图，长方形的长为15，宽为10，高为20，点离点的距离为5，蚂蚁如果要沿着长方形的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离是（ ）
A．35B．C．25D．
2．(2023·全国·八年级专题练习）如图，有一个圆柱，底面圆的直径AB＝，高BC＝12cm，P为BC的中点，一只蚂蚁从点出发沿着圆柱的表面爬到点的最短距离为
A．9cmB．10cmC．11cmD．12cm
3．(2023·江苏·八年级专题练习）如图，圆柱的高为4cm，底面半径为cm，在圆柱下底面的A点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面B处的食物，已知四边形ADBC的边AD、BC恰好是上、下底面的直径、问：蚂蚁食到食物爬行的最短距离是（ ）cm．
A．5B．5πC．3+D．3+
1．(2023·山东临沂·八年级期中）如图，圆柱形玻璃板，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离是（ ）
A．15cmB．16cmC．17cmD．18cm
2．(2023·江苏·八年级专题练习）如图，圆柱形容器的高为0.9m，底面周长为1.2m，在容器内壁离容器底部0.3m处的点B处有一蚊子．此时，一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.2m与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为_____ m．
1．（2012·山东青岛·中考真题）如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为_______cm．
2．(2023·山东东营·中考真题）如图，一只蚂蚁沿着边长为2的正方体表面从点A出发，经过3个面爬到点B，如果它运动的路径是最短的，则此最短路径的长为___________．
示意图
展平面
用勾股
MN²=（a＋b）²＋c²＝a²＋
b²＋c²＋2ab
MN²＝（a＋c）²＋b²＝a²＋b²＋c²＋2ac
MN²＝（c＋b）²＋a²＝a²＋b²＋c²＋2bc
M到N的最短距离：
（最短边＋较短边）²＋最长边²
勾股定理
模型（二十七）——蚂蚁爬行模型
◎结论1：蚂蚁沿着长方体的表面爬行，从M到N的最短路径：
MNmin＝最长边2+最短边＋较短边2
长方体表面走最短路径：化曲为平：展平面、两点连、用勾股
◎结论2：蚂蚁沿着圆柱体的表面爬行，从A到B的最短路径：
①同侧全周长＝(2πr)2+ℎ2
②异侧半周长＝(πr)2+ℎ2
圆柱表面积最短路径：化曲为平：展平面、两点连、用勾股
同侧全周长 底面圆的周长2πR
异侧半周长 底面圆的周长πR
◎结论3：蚂蚁吃蜂蜜问题∶求蚂蚁从A沿着外壁爬行再沿着内壁爬行到B的最短路径.
【作法】如图，首先找到 A关于杯子上沿的对称点A′点，设A′到B的垂直距离为h，则问题转化为异侧半周长的问题.
由图可知蚂蚁爬行的最短路径长为 A´B＝(πr)2+ℎ2
1．(2023·广东·湛江市雷阳实验学校八年级阶段练习）如图，长方形的长为15，宽为10，高为20，点离点的距离为5，蚂蚁如果要沿着长方形的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离是（ ）
A．35B．C．25D．
答案:C
分析先把长方体展开，然后根据最短路径及勾股定理可求解．
【详解】解：把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图所示：
由题意得：
BD=20，AD=BC+10=15，∠BDA=90°，
在中，，
②把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图所示：
长方体的宽为10，高为20，点B到点C的距离是5，
BD=CD+BC=20+5=25，AD=10，
在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：
；
③把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图所示：
长方体的宽为10，高为20，点B到点C的距离是5，
AC=CD+AD=20+10=30，
在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：
蚂蚁沿着长方形的表面从点A爬到点B的最短路径为25；
故选C．
【点睛】本题主要考查最短路径问题，关键是根据题意得到最短路径，然后利用勾股定理求解即可．
2．(2023·全国·八年级专题练习）如图，有一个圆柱，底面圆的直径AB＝，高BC＝12cm，P为BC的中点，一只蚂蚁从点出发沿着圆柱的表面爬到点的最短距离为
A．9cmB．10cmC．11cmD．12cm
答案:B
分析把圆柱的侧面展开，连接，利用勾股定理即可得出的长，即蚂蚁从点爬到点的最短距离．
【详解】解：如图：展开后线段的长度是圆柱中半圆的周长，
圆柱底面直径、高，为的中点，
，
在中，，
蚂蚁从点爬到点的最短距离为，
故选：．
【点睛】本题考查的是平面展开最短路径问题，根据题意画出圆柱的侧面展开图，利用勾股定理求解是解答此题的关键．
3．(2023·江苏·八年级专题练习）如图，圆柱的高为4cm，底面半径为cm，在圆柱下底面的A点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面B处的食物，已知四边形ADBC的边AD、BC恰好是上、下底面的直径、问：蚂蚁食到食物爬行的最短距离是（ ）cm．
A．5B．5πC．3+D．3+
答案:A
分析如图，先把圆柱体沿着直线剪开，得到矩形如图示：可得线段的长度为所求的最短距离，再利用勾股定理可得答案.
【详解】解：把圆柱体沿着直线剪开，得到矩形如下：
则线段的长度为所求的最短距离.
由题意得圆柱的高为： 底面半径为，
所以蚂蚁至少要爬行路程才能吃到食物.
故选：A
【点睛】本题考查平面展开最短路径问题，弄懂圆柱展开图是长方形，根据两点之间线段最短是解题的关键．
1．(2023·山东临沂·八年级期中）如图，圆柱形玻璃板，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离是（ ）
A．15cmB．16cmC．17cmD．18cm
答案:A
分析在侧面展开图中，过C作CQ⊥EF于Q，作A关于EH的对称点A′，连接A′C交EH于P，连接AP，则AP＋PC就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，求出A′Q，CQ，根据勾股定理求出A′C即可．
【详解】解：沿过A的圆柱的高剪开，得出矩形EFGH，过C作CQ⊥EF于Q，作A关于EH的对称点A′，连接A′C交EH于P，连接AP，则AP＋PC就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，
∵AE＝A′E，A′P＝AP，
∴AP＋PC＝A′P＋PC＝A′C，
∵CQ＝×18cm＝9cm，A′Q＝12cm−4cm＋4cm＝12cm，
在Rt△A′QC中，由勾股定理得：A′C＝ ＝15cm，
故选：A．
【点睛】本题考查了平面展开−最短路径问题，同时也考查了学生的空间想象能力．将图形侧面展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．
2．(2023·江苏·八年级专题练习）如图，圆柱形容器的高为0.9m，底面周长为1.2m，在容器内壁离容器底部0.3m处的点B处有一蚊子．此时，一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.2m与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为_____ m．
答案:1
分析画出容器侧面展开图（见详解），作点A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．
【详解】解：如图，将容器侧面展开，作点A关于EF的对称点A′，连接A′B，
则A′B为最短距离．
由题意知，A′D＝0.6m，A′E＝AE=0.2m，
∴BD＝0.9-0.3+0.2=0.8m，
∴A′B＝
＝
＝1（m）．
故答案为：1．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用最短路径问题，将圆柱的侧面展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．
1．（2012·山东青岛·中考真题）如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为_______cm．
答案:15
分析过作于，作关于的对称点，连接交于，连接，则就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，求出，，根据勾股定理求出即可．
【详解】解：沿过的圆柱的高剪开，得出矩形，
过作于，作关于的对称点，连接交于，连接，
则就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，
，，
，
，，
在△中，由勾股定理得：，
故答案为：15．
【点睛】本题考查了勾股定理，轴对称最短路线问题的应用，解题的关键是找出最短路线．
2．(2023·山东东营·中考真题）如图，一只蚂蚁沿着边长为2的正方体表面从点A出发，经过3个面爬到点B，如果它运动的路径是最短的，则此最短路径的长为___________．
答案:
【详解】如图，将正方体的三个侧面展开，连结AB，则AB最短，．
【点睛】考点：1．最短距离2．正方体的展开图
示意图
展平面
用勾股
MN²=（a＋b）²＋c²＝a²＋
b²＋c²＋2ab
MN²＝（a＋c）²＋b²＝a²＋b²＋c²＋2ac
MN²＝（c＋b）²＋a²＝a²＋b²＋c²＋2bc
M到N的最短距离：
（最短边＋较短边）²＋最长边²
◎结论1：蚂蚁沿着长方体的表面爬行，从M到N的最短路径：
MNmin＝最长边2+最短边＋较短边2
长方体表面走最短路径：化曲为平：展平面、两点连、用勾股
◎结论2：蚂蚁沿着圆柱体的表面爬行，从A到B的最短路径：
①同侧全周长＝(2πr)2+ℎ2
②异侧半周长＝(πr)2+ℎ2
圆柱表面积最短路径：化曲为平：展平面、两点连、用勾股
同侧全周长 底面圆的周长2πR
异侧半周长 底面圆的周长πR
◎结论3：蚂蚁吃蜂蜜问题∶求蚂蚁从A沿着外壁爬行再沿着内壁爬行到B的最短路径.
【作法】如图，首先找到 A关于杯子上沿的对称点A′点，设A′到B的垂直距离为h，则问题转化为异侧半周长的问题.
由图可知蚂蚁爬行的最短路径长为 A´B＝(πr)2+ℎ2
1．(2023·广东·湛江市雷阳实验学校八年级阶段练习）如图，长方形的长为15，宽为10，高为20，点离点的距离为5，蚂蚁如果要沿着长方形的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离是（ ）
A．35B．C．25D．
2．(2023·全国·八年级专题练习）如图，有一个圆柱，底面圆的直径AB＝，高BC＝12cm，P为BC的中点，一只蚂蚁从点出发沿着圆柱的表面爬到点的最短距离为
A．9cmB．10cmC．11cmD．12cm
3．(2023·江苏·八年级专题练习）如图，圆柱的高为4cm，底面半径为cm，在圆柱下底面的A点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面B处的食物，已知四边形ADBC的边AD、BC恰好是上、下底面的直径、问：蚂蚁食到食物爬行的最短距离是（ ）cm．
A．5B．5πC．3+D．3+
1．(2023·山东临沂·八年级期中）如图，圆柱形玻璃板，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离是（ ）
A．15cmB．16cmC．17cmD．18cm
2．(2023·江苏·八年级专题练习）如图，圆柱形容器的高为0.9m，底面周长为1.2m，在容器内壁离容器底部0.3m处的点B处有一蚊子．此时，一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.2m与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为_____ m．
1．（2012·山东青岛·中考真题）如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为_______cm．
2．(2023·山东东营·中考真题）如图，一只蚂蚁沿着边长为2的正方体表面从点A出发，经过3个面爬到点B，如果它运动的路径是最短的，则此最短路径的长为___________．
示意图
展平面
用勾股
MN²=（a＋b）²＋c²＝a²＋
b²＋c²＋2ab
MN²＝（a＋c）²＋b²＝a²＋b²＋c²＋2ac
MN²＝（c＋b）²＋a²＝a²＋b²＋c²＋2bc
M到N的最短距离：
（最短边＋较短边）²＋最长边²
勾股定理
模型（二十七）——蚂蚁爬行模型
◎结论1：蚂蚁沿着长方体的表面爬行，从M到N的最短路径：
MNmin＝最长边2+最短边＋较短边2
长方体表面走最短路径：化曲为平：展平面、两点连、用勾股
◎结论2：蚂蚁沿着圆柱体的表面爬行，从A到B的最短路径：
①同侧全周长＝(2πr)2+ℎ2
②异侧半周长＝(πr)2+ℎ2
圆柱表面积最短路径：化曲为平：展平面、两点连、用勾股
同侧全周长 底面圆的周长2πR
异侧半周长 底面圆的周长πR
◎结论3：蚂蚁吃蜂蜜问题∶求蚂蚁从A沿着外壁爬行再沿着内壁爬行到B的最短路径.
【作法】如图，首先找到 A关于杯子上沿的对称点A′点，设A′到B的垂直距离为h，则问题转化为异侧半周长的问题.
由图可知蚂蚁爬行的最短路径长为 A´B＝(πr)2+ℎ2
1．(2023·广东·湛江市雷阳实验学校八年级阶段练习）如图，长方形的长为15，宽为10，高为20，点离点的距离为5，蚂蚁如果要沿着长方形的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离是（ ）
A．35B．C．25D．
答案:C
分析先把长方体展开，然后根据最短路径及勾股定理可求解．
【详解】解：把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图所示：
由题意得：
BD=20，AD=BC+10=15，∠BDA=90°，
在中，，
②把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图所示：
长方体的宽为10，高为20，点B到点C的距离是5，
BD=CD+BC=20+5=25，AD=10，
在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：
；
③把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图所示：
长方体的宽为10，高为20，点B到点C的距离是5，
AC=CD+AD=20+10=30，
在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：
蚂蚁沿着长方形的表面从点A爬到点B的最短路径为25；
故选C．
【点睛】本题主要考查最短路径问题，关键是根据题意得到最短路径，然后利用勾股定理求解即可．
2．(2023·全国·八年级专题练习）如图，有一个圆柱，底面圆的直径AB＝，高BC＝12cm，P为BC的中点，一只蚂蚁从点出发沿着圆柱的表面爬到点的最短距离为
A．9cmB．10cmC．11cmD．12cm
答案:B
分析把圆柱的侧面展开，连接，利用勾股定理即可得出的长，即蚂蚁从点爬到点的最短距离．
【详解】解：如图：展开后线段的长度是圆柱中半圆的周长，
圆柱底面直径、高，为的中点，
，
在中，，
蚂蚁从点爬到点的最短距离为，
故选：．
【点睛】本题考查的是平面展开最短路径问题，根据题意画出圆柱的侧面展开图，利用勾股定理求解是解答此题的关键．
3．(2023·江苏·八年级专题练习）如图，圆柱的高为4cm，底面半径为cm，在圆柱下底面的A点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面B处的食物，已知四边形ADBC的边AD、BC恰好是上、下底面的直径、问：蚂蚁食到食物爬行的最短距离是（ ）cm．
A．5B．5πC．3+D．3+
答案:A
分析如图，先把圆柱体沿着直线剪开，得到矩形如图示：可得线段的长度为所求的最短距离，再利用勾股定理可得答案.
【详解】解：把圆柱体沿着直线剪开，得到矩形如下：
则线段的长度为所求的最短距离.
由题意得圆柱的高为： 底面半径为，
所以蚂蚁至少要爬行路程才能吃到食物.
故选：A
【点睛】本题考查平面展开最短路径问题，弄懂圆柱展开图是长方形，根据两点之间线段最短是解题的关键．
1．(2023·山东临沂·八年级期中）如图，圆柱形玻璃板，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离是（ ）
A．15cmB．16cmC．17cmD．18cm
答案:A
分析在侧面展开图中，过C作CQ⊥EF于Q，作A关于EH的对称点A′，连接A′C交EH于P，连接AP，则AP＋PC就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，求出A′Q，CQ，根据勾股定理求出A′C即可．
【详解】解：沿过A的圆柱的高剪开，得出矩形EFGH，过C作CQ⊥EF于Q，作A关于EH的对称点A′，连接A′C交EH于P，连接AP，则AP＋PC就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，
∵AE＝A′E，A′P＝AP，
∴AP＋PC＝A′P＋PC＝A′C，
∵CQ＝×18cm＝9cm，A′Q＝12cm−4cm＋4cm＝12cm，
在Rt△A′QC中，由勾股定理得：A′C＝ ＝15cm，
故选：A．
【点睛】本题考查了平面展开−最短路径问题，同时也考查了学生的空间想象能力．将图形侧面展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．
2．(2023·江苏·八年级专题练习）如图，圆柱形容器的高为0.9m，底面周长为1.2m，在容器内壁离容器底部0.3m处的点B处有一蚊子．此时，一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.2m与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为_____ m．
答案:1
分析画出容器侧面展开图（见详解），作点A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．
【详解】解：如图，将容器侧面展开，作点A关于EF的对称点A′，连接A′B，
则A′B为最短距离．
由题意知，A′D＝0.6m，A′E＝AE=0.2m，
∴BD＝0.9-0.3+0.2=0.8m，
∴A′B＝
＝
＝1（m）．
故答案为：1．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用最短路径问题，将圆柱的侧面展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．
1．（2012·山东青岛·中考真题）如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为_______cm．
答案:15
分析过作于，作关于的对称点，连接交于，连接，则就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，求出，，根据勾股定理求出即可．
【详解】解：沿过的圆柱的高剪开，得出矩形，
过作于，作关于的对称点，连接交于，连接，
则就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，
，，
，
，，
在△中，由勾股定理得：，
故答案为：15．
【点睛】本题考查了勾股定理，轴对称最短路线问题的应用，解题的关键是找出最短路线．
2．(2023·山东东营·中考真题）如图，一只蚂蚁沿着边长为2的正方体表面从点A出发，经过3个面爬到点B，如果它运动的路径是最短的，则此最短路径的长为___________．
答案:
【详解】如图，将正方体的三个侧面展开，连结AB，则AB最短，．
【点睛】考点：1．最短距离2．正方体的展开图
示意图
展平面
用勾股
MN²=（a＋b）²＋c²＝a²＋
b²＋c²＋2ab
MN²＝（a＋c）²＋b²＝a²＋b²＋c²＋2ac
MN²＝（c＋b）²＋a²＝a²＋b²＋c²＋2bc
M到N的最短距离：
（最短边＋较短边）²＋最长边²
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