沪教版七年级数学上册专题05分式(原卷版+解析)

这是一份沪教版七年级数学上册专题05分式(原卷版+解析)，共27页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．下列各式①；②；③；④；⑤中，分式有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．化简的结果是（ ）
A．m+nB．n﹣mC．m﹣nD．﹣m﹣n
3．下列运算结果为x-1的是（ ）
A．B．C．D．
4．下列分式中，最简分式是（ ）
A．B．C．D．
5．若分式的值为0,则x的值为( )
A．1B．0C．-1D．0或-1
6．下列计算正确的是( )
A．a-1+a-2=a-3B．a-5·a-2=a10C．(-2a-4)4=16a-8D．(a-1)2=a-2
7．甲、乙两人同时从A地出发到B地,如果甲的速度v保持不变，而乙先用v的速度到达中点,再用2v的速度到达B地,则下列结论中正确的是( )
A．甲、乙同时到达B地B．甲先到达B地
C．乙先到达B地D．谁先到达B地与v有关
8．计算÷-的结果为( )
A．B．C．D．a
9．已知关于的方程有增根，则的值是（ ）
A．4B．C．2D．
10．关于的分式方程的解是正数，则字母的取值范围是（ ）.
A．B．C．D．
二、填空题
11．如果分式无意义，那么分式的值为______．
12．新型冠状病毒（2019﹣nCV）的平均直径是100纳米．1米＝109纳米，100纳米可以表示为_____米．（用科学记数法表示）
13．，和的最简公分母是__．
14．计算：_____________ ＝_____________
＝_____________ ＝_________________
15．若关于x的分式方程﹣3＝有增根，那么m＝_____．
16．若关于x的方程无解，则_________．
17．若，则________．
18．计算：________________.
三、解答题
19．通分：
(1)，，；
(2)，，．
20．计算：
(1)
(2)
(3)
(4).
(5)
(6).
(7)
(8).
(9)
21．计算：
22．计算：．
23．解方程：
(1)
(2).
(3)
(4)
24．先化简，再求值：，其中．
25．化简：
26．化简求值：，其中，满足．
27．已知，求下列各式的值．
(1)；
(2)．
28．某区招办处在中考招生录取工作时，为了防止数据输入出错，全区3600名学生的成绩数据分别由李某、王某两位同志进行操作，两人各自独立地输入一遍，然后让计算机比较两人的输入是否一致．已知李某的输入速度是王某的2倍，结果李某比王某少用2小时输完．问李某、王某两人每分钟分别能输入多少名学生的成绩？
29．2022年北京冬奥会开幕在即，参加女子1500米短道速滑的运动员在教练员的指导下努力训练提高竞技水平．在经过指导后，甲运动员的速度是原来的1.1倍，时间缩短了15秒，那么经过指导后，甲运动员的速度是多少？
30．分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式，例如，是真分式，如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式，假分式，一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和．例如：
(1)将假分式 为一个整数与一个真分式的和
(2)利用上述方法解决问题：若x是整数，且分式的值为正整数，求x的值
31．请仿照例子解题：
恒成立，求M、N的值．
解：∵，∴
则，即
故，解得：
请你按照．上面的方法解题：若恒成立，求M、N的值．
32．阅读下面材料：
一个含有多个字母的式子中，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，这样的式子就叫做对称式，例如：，，，…含有两个字母，的对称式的基本对称式是和，像，等对称式都可以用，表示，例如：．
请根据以上材料解决下列问题：
(1)式子：①，②，③，④中，属于对称式的是 (填序号)
(2)已知．
①若，求对称式的值
②若，求对称式的最大值
专题05 分式
一、单选题
1．下列各式①；②；③；④；⑤中，分式有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】根据分式的定义：一般地，如果表示两个整式，且B中含有字母，那么式子就叫做分式，其中A称为分子，B称为分母；据此判断即可．
【解析】解：①，分母中含有字母，是分式；
②，分母中没有字母，不是分式；
③，分母中没有字母，不是分式；
④，是常数不是未知数，分母中没有字母，不是分式；
⑤，分母中含有字母，是分式；
是分式的有①③⑤共个，
故选：C．
【点睛】本题考查了分式的定义，熟记定义是解本题的关键，注意判断是不是分式是在化简前判断．
2．化简的结果是（ ）
A．m+nB．n﹣mC．m﹣nD．﹣m﹣n
【答案】A
【解析】试题分析：====m+n．故选A．
考点：分式的加减法．
3．下列运算结果为x-1的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据分式的基本性质和运算法则分别计算即可判断．
【解析】A．=，故此选项错误；
B．原式=，故此选项g正确；
C.原式=，故此选项错误；
D.原式=，故此选项错误.
故答案选B.
【点睛】本题主要考查分式的混合运算，熟练掌握分式的运算顺序和运算法则是解题的关键．
4．下列分式中，最简分式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据最简分式的定义即可求出答案．
【解析】解：（A）原式=，故A不是最简分式；
（B）原式==x-y，故B不是最简分式；
（C）原式==x-y，故C不是最简分式；
(D) 的分子分母都不能再进行因式分解、也没有公因式.
故选D．
【点睛】本题考查最简分式，解题关键是正确理解最简分式的定义，本题属于基础题型．
5．若分式的值为0,则x的值为( )
A．1B．0C．-1D．0或-1
【答案】A
【分析】根据分式等于零的条件“分子为零，分母不为零”，进行计算即可.
【解析】∵=0，
∴x2﹣1=0，
解得：x=±1，
又∵当x=﹣1时，x2+x=0，
∴x=1.
故选A.
【点睛】本题考查分式的值为零需要满足的条件：（1）分子的值为零；（2）分母的值不为零；两个条件必须同时具备，缺一不可.
6．下列计算正确的是( )
A．a-1+a-2=a-3B．a-5·a-2=a10C．(-2a-4)4=16a-8D．(a-1)2=a-2
【答案】D
【分析】根据幂的混合运算法则进行判断即可.
【解析】A. a-1+a-2≠a-3，故本选项错误；
B. a-5·a-2=a﹣7，故本选项错误；
C. (-2a-4)4=16a-16，故本选项错误；
D. (a-1)2=a-2，正确.
故选D.
【点睛】本题主要考查幂的混合运算，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.
7．甲、乙两人同时从A地出发到B地,如果甲的速度v保持不变，而乙先用v的速度到达中点,再用2v的速度到达B地,则下列结论中正确的是( )
A．甲、乙同时到达B地B．甲先到达B地
C．乙先到达B地D．谁先到达B地与v有关
【答案】B
【解析】设从A地到B地的距离为2s,而甲的速度v保持不变,
∴甲所用时间为,
又乙先用v的速度到达中点,再用2v的速度到达B地,
∴乙所用时间为,
∴甲先到达B地,
故选：B.
8．计算÷-的结果为( )
A．B．C．D．a
【答案】C
【分析】由分式的加减乘除的运算法则进行计算，即可求出答案．
【解析】解：
=
=
=
=
故选：C
【点睛】本题考查了分式的加减乘除混合运算，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行化简．
9．已知关于的方程有增根，则的值是（ ）
A．4B．C．2D．
【答案】D
【分析】首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到x−4＝0，据此求出x的值，代入整式方程求出m的值即可．
【解析】解：原方程去分母，得：，
∴，
由分式方程有增根，得到x−4＝0，即x＝4，
把x＝4代入整式方程，可得：m＝-2．
故选D．
【点睛】此题主要考查了分式方程的增根，解答此题的关键是要明确：（1）化分式方程为整式方程；（2）把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
10．关于的分式方程的解是正数，则字母的取值范围是（ ）.
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】试题分析：分式方程去分母得：2x－m＝3x＋3，
解得：x＝－m－3，
由分式方程的解为正数，得到－m－3＞0，且－m－3≠－1，
解得：m＜－3，
故选D．
点睛：此题考查了分式方程的解，要注意分式方程分母不为0这个条件．
二、填空题
11．如果分式无意义，那么分式的值为______．
【答案】7
【分析】根据分式无意义的条件：分母为0，即可求出，再将代入求值即可．
【解析】∵分式无意义，
∴，
解得：．
将代入，得：．
故答案为：7．
【点睛】本题考查分式无意义的条件，分式的求值．掌握分式无意义的条件：分母为0，是解题关键．
12．新型冠状病毒（2019﹣nCV）的平均直径是100纳米．1米＝109纳米，100纳米可以表示为_____米．（用科学记数法表示）
【答案】1×10-7
【分析】小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解析】∵1米＝109纳米，
∴100纳米＝100÷109米＝1×10-7米，
故答案为：1×10-7
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
13．，和的最简公分母是__．
【答案】
【分析】根据求最简公分母的方法求解即可，确定最简公分母的一般方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各项系数的最小公倍数和所有字母的最高次幂的积，②如果各分母都是多项式，先把它们分解因式，然后把每个因式当做一个字母，再从系数、相同字母求最简公分母．
【解析】解：三个分式的分母分别为、、，且3、1、2的最小公倍数为6，
三个分式的最简公分母为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了求最简公分母，掌握确定最简公分母的方法是解题的关键．
14．计算：_____________ ＝_____________
＝_____________ ＝_________________
【答案】
【分析】①根据分式的乘法运算法则计算即可；
②根据分式的加法运算法则和平方差公式计算即可；
③根据分式的四则混合运算法则计算即可；
④根据分式的性质化简即可．
【解析】解：①
．
②
．
③
．
④
．
【点睛】本题考查了分式的性质，分式的四则混合运算，平方差公式，负整数指数幂等知识．解题的关键在于正确的化简计算．
15．若关于x的分式方程﹣3＝有增根，那么m＝_____．
【答案】1
【分析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根，把增根代入化为整式方程的方程，即可求出m的值．
【解析】解：方程两边同乘（x﹣2），得
x﹣1﹣3（x﹣2）＝m，
∵原方程增根为x＝2，
∴把x＝2代入整式方程，得m＝1．
故答案为：1．
【点睛】本题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
16．若关于x的方程无解，则_________．
【答案】
【分析】先去分母得到整式方程，由于关于x的方程无解，则x-3=0，即x=3，然后把x=3代入即可求出m的值．
【解析】解：去分母得，
解得，
∵关于x的方程无解.
∴x=3，
∴
∴m=.
故答案为.
【点睛】此题考查分式方程的解，解题关键在于利用方程无解进行解答.
17．若，则________．
【答案】
【分析】根据，得出，；根据，得出，；故有，代入所求分式化简即可．
【解析】解：由，得，
解得，；
由，得，
解得，；
故有，
．
故答案是：．
【点睛】本题考查了分式的化简求值．解题的关键是根据已知等式求出使所有等式成立的条件．
18．计算：________________.
【答案】
【分析】利用裂项法先将每个分式化简，再将结果相加即可.
【解析】∵，
……
∴原式=
=
=.
【点睛】此题考察分式的混合运算，运用裂项法将每个分式化简是解题的关键.
三、解答题
19．通分：
(1)，，；
(2)，，．
【答案】(1)，，
(2)，，
【分析】（1）先找出最简公分母，然后通分即可；
（2）先找出最简公分母，然后通分即可．
（1）
解：∵，
，
∴，，的最简公分母为：，
∴三个分式通分为：，，．
（2）
解：∵，
，
，
∴分式，，的最简公分母为：，
三个分式通分为：，，．
【点睛】本题主要考查了通分，解题的关键是熟记最简公分母的定义，找出各个分母数字因数的最小公倍数，相同字母以及指数的最高次幂，即可写出各分式的最简公分母．
20．计算：
(1)
(2)
(3)
(4).
(5)
(6).
(7)
(8).
(9)
【答案】(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)
(6)；
(7)；
(8)；
(9)
【分析】（1）根据积的乘方法则、负整数指数幂的运算法则把原式变形，再根据分式的乘除法法则计算，得到答案；
（2）先因式分解再根据分式的乘法运算法则计算即可；
（3）先将除法转化为乘法，然后利用分式乘法法则进行计算即可；
（4）先寻找2个分式分母的最小公倍式，将最小公倍式作为的公分母；然后在进行减法计算，最后进行化简；
（5）找出最简公分母，先通分，再相加减，最后化简即可；
（6）有分式的加减乘除运算进行化简，即可得到答案；
（7）先通分，然后根据分式除法的运算法则计算即可；
（8）先分别对所有分子、分母因式分解，然后再化除为乘，最后约分计算即可；
（9）先将减号后面两个分式的分子和分母因式分解，同时将除法转化为乘法，再计算乘法，继而通分、计算减法即可．
（1）
原式
；
（2）
原式
；
（3）
原式=
=
=
；
（4）
原式=
=
=
=
=；
（5）
=
=
=
=
=；
（6）
原式
；
（7）
，
，
，
，
，
；
（8）
原式
；
（9）
原式，
，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了分式的混合运算，属于基础题型，掌握分式的混合运算法则以及因式分解的知识是解答本题的关键．
21．计算：
【答案】
【分析】先计算乘方，再将除法转换成乘法进行计算．
【解析】解：
＝
=
=．
【点睛】本题主要考查了负整数指数幂和分式的乘除法，解题关键是熟记其计算法则和运算顺序．
22．计算：．
【答案】
【分析】根据负指数幂意义变形,再根据分式加减乘除法则进行计算．
【解析】解：原式=[]÷（）
=÷
=×
=．
【点睛】本题考查分式运算，掌握基本运算法则,特别是理解负指数幂意义是关键．
23．解方程：
(1)
(2).
(3)
(4)
【答案】(1)x=-5
(2)x=1
(3)
(4)原方程无解
【分析】（1）方程两边同时乘以x-2，化分式方程为整式方程求解，最后进行检验即可；
（2）方程两边同时乘以，将分式方程转化为整式方程进行求解，再将所求整式方程的解代入公分母进行检验即可；
（3）方程两边同时乘以，将分式方程转化为整式方程进行求解，最后将所求整式方程的解代入公分母进行检验即可；
（4）方程两边同乘以将分式方程转化为整式方程，然后求解，最后检验即可．
（1）
解：，
去分母得：3= -4-（x-2），
去括号得：3= -4-x+2，
移项合并同类项得x=-5，
检验：把x=-5代入x-2得：，
∴原方程的解为x=-5．
（2）
解：
去分母得，（1-x）（1+x）+x2+x=2，
去括号得，1-x2+x2+x=2，
解得：x=1，
检验：把x=1代入得：，
∴原分式方程的解为：x=1．
（3）
解：
去分母得：，
去括号得：，
移项合并得：，
系数化为1得：，
检验：把代入得：，
∴分式方程的解是．
（4）
解：，
方程的两边同乘（x+1）（x1），得：
，
去括号得：，
移项合并同类项得：，
解得：x=1，
检验：把x=1代入（x+1）（x1）得：，
∴x=1是原方程的增根，
∴原方程无解．
【点睛】本题主要考查了解分式方程，注意解分式方程时，最后要对方程的解进行检验．
24．先化简，再求值：，其中．
【答案】－；－
【分析】先根据分式的四则运算法则进行化简，再把代入求解即可．
【解析】解：原式=
=
=
=，
当时，原式= =．
【点睛】本题考查分式的化简求值，明确分式化简求值的方法是解题的关键．
25．化简：
【答案】-x．
【分析】先分别将分子和分母分解因式，除法运算转化为乘法运算，再约分即可．
【解析】解：
=-x．
【点睛】本题考查的是分式的乘除法，熟知分式的乘法及除法法则是解答此题的关键．
26．化简求值：，其中，满足．
【答案】，
【分析】先利用完全平方公式和平方的非负性得到 ，再将原式化简，然后代入，即可求解．
【解析】解：∵，
∴ ，
即 ，
∴ ，
解得： ，



，
当 时， 原式 ．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，完全平方公式和平方的非负性，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键．
27．已知，求下列各式的值．
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据求出，，即可得到答案；
（2）求出，即可得到的值.
【解析】（1），等式两边同除，得，则，
，
；
（2）∵，
，
.
【点睛】此题考查等式的性质，完全平方公式的变形应用，熟记完全平方公式是解题的关键.
28．某区招办处在中考招生录取工作时，为了防止数据输入出错，全区3600名学生的成绩数据分别由李某、王某两位同志进行操作，两人各自独立地输入一遍，然后让计算机比较两人的输入是否一致．已知李某的输入速度是王某的2倍，结果李某比王某少用2小时输完．问李某、王某两人每分钟分别能输入多少名学生的成绩？
【答案】李某每分钟能输入30名学生的成绩，王某每分钟能输入15名学生的成绩．
【分析】有工作总量3600，求的是工作效率，那么一定是根据工作时间来列等量关系的．关键描述语是：“李某比王某少用2小时输完”，等量关系为：王某用的时间－2＝李某用的时间，据此列出方程并解方程即可．
【解析】解：设王某每分钟能输入名学生的成绩，则李某每分钟能输入名学生的成绩，
根据题意得：，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
所以，
答：李某每分钟能输入30名学生的成绩，王某每分钟能输入15名学生的成绩．
【点睛】本题主要考查分式方程，应用题中一般有三个量，求一个量，明显的有一个量，一定是根据另一量来列等量关系的，注意：解分式方程一定要检验且要符合题意．找到合适的等量关系是解决问题的关键．
29．2022年北京冬奥会开幕在即，参加女子1500米短道速滑的运动员在教练员的指导下努力训练提高竞技水平．在经过指导后，甲运动员的速度是原来的1.1倍，时间缩短了15秒，那么经过指导后，甲运动员的速度是多少？
【答案】经过指导后，甲运动员的速度是10米/秒．
【分析】设甲运动员原来的速度是x米/秒，则经过指导后的速度是1.1x米/秒，利用“时间＝路程÷速度”以及“经过指导后时间缩短了15秒”的等量关系列分式方程求解即可．
【解析】解：设甲运动员原来的速度是x米/秒，则经过指导后的速度是1.1x米/秒，
依题意得：﹣＝15，
解得：x＝，
经检验，x＝是原方程的解，且符合题意，
∴1.1x＝1.1×＝10．
答：经过指导后，甲运动员的速度是10米/秒．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键是审清题意、舍出未知数、根据等量关系列出分式方程．
30．分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式，例如，是真分式，如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式，假分式，一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和．例如：
(1)将假分式 为一个整数与一个真分式的和
(2)利用上述方法解决问题：若x是整数，且分式的值为正整数，求x的值
【答案】(1)
(2)或6或12
【分析】（1）根据题意，把分式化为整式与真分式的和的形式即可；
（2）根据题中所给出的例子，把原式化为整式与真分式的和形式，再根据分式的值为整数即可得出x的值．
【解析】（1）解：由题可得，；
（2）解：，
∵分式的值为正整数，且x为整数，
∴，，，
∴或6或12．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
31．请仿照例子解题：
恒成立，求M、N的值．
解：∵，∴
则，即
故，解得：
请你按照．上面的方法解题：若恒成立，求M、N的值．
【答案】M、N的值分别为，
【分析】仿照题目当中例题的解法，一步一步的求解，根据等式两边对应项的系数相等列出关于M、N的二元一次方程组，进而求出M、N的值．
【解析】解：∵，
∴
即
故，
解得
答：M、N的值分别为，．
【点睛】此题考查了分式混合运算，解题的关键是读懂例题的解法并熟练运用分式运算法则．
32．阅读下面材料：
一个含有多个字母的式子中，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，这样的式子就叫做对称式，例如：，，，…含有两个字母，的对称式的基本对称式是和，像，等对称式都可以用，表示，例如：．
请根据以上材料解决下列问题：
(1)式子：①，②，③，④中，属于对称式的是 (填序号)
(2)已知．
①若，求对称式的值
②若，求对称式的最大值
【答案】（1）①③④；（2）①12，②-2．
【分析】（1）根据新定义的“对称式”的意义进行判断，做出选择，
（2）已知．则，，
①，，利用整式变形可求出的值；
②时，即，由可以求出的最大值；
【解析】解：（1）根据“对称式”的意义，得①③④是“对称式”，
故答案为：①③④，
（2）①．
，，
①当，时，即，，
，
②当时，即
，
所以当m=0时，有最大值-2，
故代数式的最大值为．
【点睛】本题考查“新定义”的意义、整式、分式的变形以及求代数式的最值的等知识，理解“新定义”的意义和最值的意义是解决问题的关键．