中考数学必考特色题型讲练(河南专用)【选择题】必考重点04几何变换之旋转问题(原卷版+解析)

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几何变换中的旋转问题，江苏省各地考查频率较高且考查难度较高，综合性较强，通常有线段的旋转、三角形及四边形的旋转问题，在解决此类问题时，要牢牢把握旋转的性质，即旋转前后的图形全等，对应角相等，对应边相等，结合几何图形本身的性质，找到旋转过程中变化的量和不变的量，运用三角形全等或相似的有关知识，求解有关角、线段及面积问题。
【2022·江苏苏州·中考母题】如图，点A的坐标为，点B是x轴正半轴上的一点，将线段AB绕点A按逆时针方向旋转60°得到线段AC．若点C的坐标为，则m的值为（ ）
A．B．C．D．
【考点分析】本题考查直角坐标系中的旋转变换，解题的关键是熟练应用勾股定理，用含m的代数式表示相关线段的长度．
【思路分析】过C作CD⊥x轴于D，CE⊥y轴于E，根据将线段AB绕点A按逆时针方向旋转60°得到线段AC，可得△ABC是等边三角形，又A（0，2），C（m，3），即得，可得，，从而，即可解得．
【2022·江苏扬州·中考母题】如图，在中，，将以点为中心逆时针旋转得到，点在边上，交于点．下列结论：①；②平分；③，其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．②③C．①③D．①②③
【考点分析】本题考查了性质的性质，等边对等角，相似三角形的性质判定与性质，全等三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．
【思路分析】根据旋转的性质可得对应角相等，对应边相等，进而逐项分析判断即可求解．
【2020·江苏宿迁·中考母题】如图，在平面直角坐标系中，Q是直线y=﹣x+2上的一个动点，将Q绕点P(1，0)顺时针旋转90°，得到点，连接，则的最小值为( )
A．B．C．D．
【考点分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，三角形全等的判定和性质，坐标与图形的变换-旋转，二次函数的性质，勾股定理，表示出点的坐标是解题的关键．
【思路分析】利用等腰直角三角形构造全等三角形，求出旋转后Q′的坐标，然后根据勾股定理并利用二次函数的性质即可解决问题．
1．（2022·江苏·九年级专题练习）如图将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A’B’C，点B恰好落在A’B’上，若∠A=25°，∠BCA’=45°，则∠A’CA = （ ）
A．30°B．35°C．40°D．45°
2．（2022·江苏泰州·九年级专题练习）在正方形ABCD中，AB＝8，若点E在对角线AC上运动，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接EF、CF． 点P在CD上，且CP＝3PD． 给出以下几个结论①，②， ③线段PF的最小值是，④△CFE的面积最大是16．其中正确的是 （ ）
A．①②④B．②③④C．①②③D．①③④
3．（2022·江苏苏州·一模）如图，直角三角形ACB中，两条直角边AC=8，BC=6，将△ACB绕着AC中点M旋转一定角度，得到△DFE，点F正好落在AB边上，DE和AB交于点G，则AG的长为（ ）
A．1.4B．1.8C．1.2D．1.6
4．（2022·江苏徐州·二模）如图，△ABC中，∠ABC＝45°，BC＝8，tan∠ACB＝3，AD⊥BC于D，若将△ADC绕点D逆时针方向旋转得到△FDE，当点E恰好落在AC上，连接AF．则AF的长为（ ）
A．B．C．D．4
5．（2022·江苏盐城·一模）如图，在中，，.将绕点O逆时针方向旋转90°，得到，连接.则线段的长为（ ）
A．2B．3C．D．
6．（2022·江苏·宜兴外国语学校一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，P是对角线AC上的动点，连接DP，将直线DP绕点P顺时针旋转使∠DPE＝∠DAC，且过D作DE⊥PE，连接CE，则CE最小值为（ ）
A．B．C．D．
7．（2022·江苏扬州·模拟）如图，将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转一定角度得到矩形．此时点A的对应点恰好落在对角线AC的中点处．若AB＝3，则点B与点之间的距离为（ ）
A．3B．6C．D．
8．（2022·江苏·九年级专题练习）如图所示，已知是等边三角形，点是边上一个动点(点不与重合)，将绕点顺时针旋转一定角度后得到，过点作的平行线交于点，连接，下列四个结论中：①旋转角为；为等边三角形；③四边形为平行四边形；．其中正确的结论有（ ）
A．B．C．D．
9．（2022·江苏南京·模拟）如图，在RtABC中，∠ACB=90°，BC=2，∠BAC=30°，将ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A'B'C'， M是BC的中点，P是A'B'的中点， 连接PM，则线段PM的最大值是（ ）
A．4B．2C．3D．
10．（2022·江苏苏州·二模）如图，将绕点顺时针旋转角，得到，若点恰好在的延长线上，则等于（ ）
A．B．C．D．
11．（2022·江苏·阳山中学一模）如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，AC＝8，动点E从点A出发沿射线AB运动，连接CE，将CE绕点C顺时针旋转45°得到CF，连接AF，则△AFC的面积变化情况是（ ）．
A．先变大再变小B．先变小再变大C．逐渐变大D．不变
12．（2022·江苏·南通市启秀中学九年级阶段练习）如图，点是正方形的边上一点，把绕点顺时针旋转到的位置．若四边形AECF的面积为20，DE=2，则AE的长为（ ）
A．4B．C．6D．
13．（2022·江苏·九年级专题练习）如图1，在中，，，点为边的中点，，将绕点旋转，它的两边分别交、所在直线于点、，有以下4个结论：①；②；③；④如图2，当点、落在、的延长线上时，，在旋转的过程中上述结论一定成立的是（ ）
A．①②B．②③C．①②③D．①③④
14．（2022·江苏扬州·三模）如图，已知正方形ABCD的边长为4，点E是AB边上一动点，连接ED，将ED绕点E顺时针旋转90°到EF，连接DF，CF，则DF＋CF的最小值是（ ）
A．4B．4C．5D．2
15．（2022·江苏南京·一模）在平面直角坐标系中，点的坐标是，将点绕点顺时针旋转90°得到点．若点的坐标是，则点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
16．（2022·江苏南京·模拟）如图，在RtABC中，AB=AC=10，∠BAC=90°，等腰直角三角形ADE绕点A旋转，∠DAE=90°，AD=AE=4，连接DC，点M、P、N分别为DE、DC、BC的中点，连接MP、PN、MN．①PMN为等腰直角三角形；②；③△PMV面积的最大值是；④PMN周长的最小值为．正确的结论有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
17．（2022·江苏无锡·一模）如图，已知直线AB与y轴交于点，与x轴的负半轴交于点B，且∠ABO＝60°，在x轴正半轴上有一点C，点C坐标为，将线段AC绕点A逆时针旋转120°，得线段AD，连接BD．则BD的长度为（ ）
A．B．C．D．
18．（2022·江苏·无锡市积余实验学校一模）如图1，在Rt△ABC中，，，点D，E分别在边AB，AC上，，连接DC，点M、P、N分别为DE、DC、BC的中点．将△ADE绕点A在平面内自由旋转（如图2），若，，则△PMN面积的最大值是（ ）
A．B．18C．D．
19．（2022·江苏·无锡市天一实验学校一模）如图，扇形中，，将扇形绕点B逆时针旋转，得到扇形，若点O刚好落在弧上的点D处，则的值为（ ）
A．B．C．D．
20．（2022·江苏·苏州市平江中学校二模）如图，在中，，，将绕点顺时针旋转至，点刚好落在直线上，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
21．（2022·江苏·淮安市浦东实验中学九年级开学考试）如图，直线与轴、轴分别相交于点、，过点作，使．将 绕点顺时针旋转，每次旋转．则第2022次旋转结束时，点的对应点落在反比例函数的图象上，则的值为
A．B．4C．D．6
22．（2022·江苏无锡·九年级期末）如图，在Rt△ABC中，，，点D、E分别是AB、AC的中点．将△ADE绕点A顺时针旋转60°，射线BD与射线CE交于点P，在这个旋转过程中有下列结论：①△AEC≌△ADB；②CP存在最大值为；③BP存在最小值为；④点P运动的路径长为．其中，正确的（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
23．（2022·江苏无锡·模拟）如图，在正方形中，，点为中点，点绕着点旋转，且，在的右侧作正方形，则线段的最小值是（ ）
A．B．C．D．
24．（2022·江苏·常州市金坛区水北中学二模）如图，在矩形中，，，点P在线段上运动（含B、C两点），连接，以点A为中心，将线段逆时针旋转60°到，连接，则线段的最小值为（ ）
A．B．C．D．3
25．（2022·江苏南京·模拟）如图，在中，，为边上一动点（点除外），把线段绕着点沿着顺时针的方向旋转90°至，连接，则面积的最大值为（ ）
A．16B．8C．32D．10
【选择题】必考重点04 几何变换之旋转问题
几何变换中的旋转问题，江苏省各地考查频率较高且考查难度较高，综合性较强，通常有线段的旋转、三角形及四边形的旋转问题，在解决此类问题时，要牢牢把握旋转的性质，即旋转前后的图形全等，对应角相等，对应边相等，结合几何图形本身的性质，找到旋转过程中变化的量和不变的量，运用三角形全等或相似的有关知识，求解有关角、线段及面积问题。
【2022·江苏苏州·中考母题】如图，点A的坐标为，点B是x轴正半轴上的一点，将线段AB绕点A按逆时针方向旋转60°得到线段AC．若点C的坐标为，则m的值为（ ）
A．B．C．D．
【考点分析】本题考查直角坐标系中的旋转变换，解题的关键是熟练应用勾股定理，用含m的代数式表示相关线段的长度．
【思路分析】过C作CD⊥x轴于D，CE⊥y轴于E，根据将线段AB绕点A按逆时针方向旋转60°得到线段AC，可得△ABC是等边三角形，又A（0，2），C（m，3），即得，可得，，从而，即可解得．
【答案】C
【详解】解：过C作CD⊥x轴于D，CE⊥y轴于E，如图所示：
∵CD⊥x轴，CE⊥y轴，
∴∠CDO=∠CEO=∠DOE＝90°，
∴四边形EODC是矩形，
∵将线段AB绕点A按逆时针方向旋转60°得到线段AC，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，
∵A（0，2），C（m，3），
∴CE＝m＝OD，CD＝3，OA＝2，
∴AE＝OE−OA＝CD−OA＝1，
∴，
在Rt△BCD中，，
在Rt△AOB中，，
∵OB＋BD＝OD＝m，
∴，
化简变形得：3m4−22m2−25＝0，
解得：或（舍去），
∴，故C正确．
故选：C．
【2022·江苏扬州·中考母题】如图，在中，，将以点为中心逆时针旋转得到，点在边上，交于点．下列结论：①；②平分；③，其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．②③C．①③D．①②③
【考点分析】本题考查了性质的性质，等边对等角，相似三角形的性质判定与性质，全等三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．
【思路分析】根据旋转的性质可得对应角相等，对应边相等，进而逐项分析判断即可求解．
【答案】D
【详解】解：∵将以点为中心逆时针旋转得到，
∴，
，
，
，故①正确；
，
，
，
，
，
平分，故②正确；
，
，
，
，
，
，
故③正确
故选D
【2020·江苏宿迁·中考母题】如图，在平面直角坐标系中，Q是直线y=﹣x+2上的一个动点，将Q绕点P(1，0)顺时针旋转90°，得到点，连接，则的最小值为( )
A．B．C．D．
【考点分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，三角形全等的判定和性质，坐标与图形的变换-旋转，二次函数的性质，勾股定理，表示出点的坐标是解题的关键．
【思路分析】利用等腰直角三角形构造全等三角形，求出旋转后Q′的坐标，然后根据勾股定理并利用二次函数的性质即可解决问题．
【答案】B
【详解】解：作QM⊥x轴于点M，Q′N⊥x轴于N，
设Q(，)，则PM=，QM=，
∵∠PMQ=∠PNQ′=∠QPQ′=90°，
∴∠QPM+∠NPQ′=∠PQ′N+∠NPQ′，
∴∠QPM=∠PQ′N，
在△PQM和△Q′PN中，
，
∴△PQM≌△Q′PN(AAS)，
∴PN=QM=，Q′N=PM=，
∴ON=1+PN=，
∴Q′(，)，
∴OQ′2=()2+()2=m2﹣5m+10=(m﹣2)2+5，
当m=2时，OQ′2有最小值为5，
∴OQ′的最小值为，
故选：B．
1．（2022·江苏·九年级专题练习）如图将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A’B’C，点B恰好落在A’B’上，若∠A=25°，∠BCA’=45°，则∠A’CA = （ ）
A．30°B．35°C．40°D．45°
【答案】C
【思路分析】根据旋转的性质以及三角形外角的性质可得出∠BCA′+∠A′=∠B′BC=45°+25°=70°，则∠BB′C=∠B′BC=70°，再利用旋转的性质即可求解．
【详解】解：∵∠A=25°，∠BCA′=45°，
∴∠BCA′+∠A′=∠B′BC=45°+25°=70°，
∵CB=CB′，
∴∠BB′C=∠B′BC=70°，
∴∠B′CB=∠BB′C-∠B′BC =40°，
∴∠ACA′=40°，
故选C．
2．（2022·江苏泰州·九年级专题练习）在正方形ABCD中，AB＝8，若点E在对角线AC上运动，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接EF、CF． 点P在CD上，且CP＝3PD． 给出以下几个结论①，②， ③线段PF的最小值是，④△CFE的面积最大是16．其中正确的是 （ ）
A．①②④B．②③④C．①②③D．①③④
【答案】A
【思路分析】①根据正方形的性质，和旋转的性质，利用“SAS”证明，得出，，证明，根据勾股定理即可证明结论；
②证明△DEF为等腰直角三角形，即可得出结论；
③根据，得出点F总是在过点C与AC垂直的直线上运动，过点P作垂足为点F，此时PF最小，求出此时PF的长即可；
④根据，得出，表示出，即可求出最大值．
【详解】解：①∵四边形ABCD为正方形，
∴，AC平分和，，
∴，
根据旋转可知，，，
∴，
∴，
∴（SAS），
∴，，
∴，
∴，故①正确，符合题意；
②∵，，
∴△DEF为等腰直角三角形，
∴，故②正确，符合题意；
③∵，
∴点F总是在过点C与AC垂直的直线上运动，过点P作垂足为点F，此时PF最小，如图所示：
∵CP＝3PD，
∴，
∵，，
，
∴，
∴△PCF为等腰直角三角形，
i∴，
即PF的最小值为，故③错误，不符合题意；
④∵，
∴，
，
∴当时，的面积最大，且最大值为16，符合题意；
综上分析可知，其中正确的是①②④，故A正确．
故选：A．
3．（2022·江苏苏州·一模）如图，直角三角形ACB中，两条直角边AC=8，BC=6，将△ACB绕着AC中点M旋转一定角度，得到△DFE，点F正好落在AB边上，DE和AB交于点G，则AG的长为（ ）
A．1.4B．1.8C．1.2D．1.6
【答案】A
【思路分析】由勾股定理可求AB=10，由旋转的性质可得∠A=∠D，DM=AM，CM=MF，DE=AB=10，可得AM=MF=CM，可得∠AFC=90°，由锐角三角函数可求AF的长，由直角三角形的性质可求GF的长，即可求AG的长．
【详解】解：如图，连接CF，
∵AC=8，BC=6，
∴AB==10，
∵点M是AC中点，
∴AM=MC=4，
∵将△ACB绕着AC中点M旋转一定角度，得到△DFE，
∴∠A=∠D，DM=AM，CM=MF，DE=AB=10，
∴AM=MF=CM，
∴∠MAF=∠MFA，∠MFC=∠MCF，
∵∠MAF+∠MFA+∠MFC+∠MCF=180°，
∴∠MFA+∠MFC=90°，
∴∠AFC=90°，
∵×AB×CF=×AC×BC，
∴CF=，
∴AF=，
∵∠A=∠D，∠A=∠AFM，
∴∠D=∠AFM，
又∵∠DFE=90°，
∴DG=GF，∠E=∠GFE，
∴GF=GE，
∴GF=GD=GE=5，
∴AG=AF-GF=-5==1.4，
故选：A．
4．（2022·江苏徐州·二模）如图，△ABC中，∠ABC＝45°，BC＝8，tan∠ACB＝3，AD⊥BC于D，若将△ADC绕点D逆时针方向旋转得到△FDE，当点E恰好落在AC上，连接AF．则AF的长为（ ）
A．B．C．D．4
【答案】B
【思路分析】过点D作DH⊥AF于点H，由锐角三角函数的定义求出CD＝1，AD＝3，由旋转的性质得出DC＝DE，DA＝DF＝6，∠CDE＝∠ADF，证出∠DCE＝∠DAF，设AH＝a，DH＝3a，由勾股定理得出a2+（3a）2＝62，求出a可得出答案．
【详解】解：过点D作DH⊥AF于点H，
∵∠ABC＝45°，AD⊥BC，
∴AD＝BD，
∵tan∠ACB3，
设CD＝x，
∴AD＝3x，
∴BC＝3x+x＝8，
∴x＝2，
∴CD＝2，AD＝6，
∵将△ADC绕点D逆时针方向旋转得到△FDE，
∴DC＝DE，DA＝DF＝6，∠CDE＝∠ADF，
∴，
∴∠DCE＝∠DAF，
∴tan∠DAH＝3，
设AH＝a，DH＝3a，
∵AH2+DH2＝AD2，
∴a2+（3a）2＝62，
∴a，
∴AH，
∵DA=DF，DH⊥AF，
∴AF＝2AH，
故选：B．
5．（2022·江苏盐城·一模）如图，在中，，.将绕点O逆时针方向旋转90°，得到，连接.则线段的长为（ ）
A．2B．3C．D．
【答案】C
【思路分析】由旋转性质可判定△AOA'为等腰直角三角形，再由勾股定理可求得AA'的长．
【详解】解：由旋转性质可知，OA=OA'=2，∠AOA'=90°，
则△AOA'为等腰直角三角形，
∴AA'==2．
故选：C．
6．（2022·江苏·宜兴外国语学校一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，P是对角线AC上的动点，连接DP，将直线DP绕点P顺时针旋转使∠DPE＝∠DAC，且过D作DE⊥PE，连接CE，则CE最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【思路分析】如图，作DH⊥AC于H，连接HE延长HE交CD于F，作HI⊥CD于I．证明△ADP∽△DHE，推出∠DHE＝∠DAP＝定值，推出点E在射线HF上运动，推出当CE⊥HI时，CE的值最小，想办法求出CE即可．
【详解】如图，作DH⊥AC于H，连接HE延长HE交CD于F，作HI⊥CD于I．
∵DE⊥PE，DH⊥AC，
∴∠DEP＝∠DHA，
∵∠DPE＝∠DAH，
∴△ADH∽△PDE，
∴，∠ADH＝∠PDE，
∴∠ADP＝∠HDE，
∴△ADP∽△DHE，
∴∠DHE＝∠DAP＝定值，
∴点E在射线HF上运动，
∴当CE⊥HI时，CE的值最小，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ADH+∠HDF＝90°，
∵∠DAH+∠ADH＝90°，
∴∠HDF＝∠DAH＝∠DHF，
∴FD＝FH，
∵∠FCH+∠CDH＝90°，∠FHC+∠FHD＝90°，
∴∠FHC＝∠FCH，
∴FH＝FC＝DF＝3，
在Rt△ADC中，
∵∠ADC＝90°，AD＝4，CD＝3，
∴，，
∴，
∴，
∵∠CFE＝∠HFI，∠CEF＝∠HIF＝90°，CF＝HF，
∴△CEF≌△HIF（AAS），
∴CE＝HI＝，
∴CE的最小值为，
故选：B．
7．（2022·江苏扬州·模拟）如图，将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转一定角度得到矩形．此时点A的对应点恰好落在对角线AC的中点处．若AB＝3，则点B与点之间的距离为（ ）
A．3B．6C．D．
【答案】B
【思路分析】连接，由矩形的性质得出∠ABC=90°，AC=BD，由旋转的性质得出，证明是等边三角形，由等边三角形的性质得出，由直角三角形的性质求出AC的长，由矩形的性质可得出答案．
【详解】解：连接，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，AC=BD，
∵点是AC的中点， ∴，
∵将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转一定角度得到矩形，
∴
∴，
∴是等边三角形，
∴∠BAA'=60°，
∴∠ACB=30°，
∵AB=3， ∴AC=2AB=6，
∴．
即点B与点之间的距离为6．
故选：B．
8．（2022·江苏·九年级专题练习）如图所示，已知是等边三角形，点是边上一个动点(点不与重合)，将绕点顺时针旋转一定角度后得到，过点作的平行线交于点，连接，下列四个结论中：①旋转角为；为等边三角形；③四边形为平行四边形；．其中正确的结论有（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【思路分析】由旋转的性质可知，AD=AF，∠FAB=∠DAC，∠C=∠ABF，再根据等边三角形的性质可得∠FAD=∠FAB+∠BAD=∠DAC+∠BAD=∠BAC=60°，即可判断①②；然后证明∠FBC+∠C=180°，得到FB∥CE，即可判断③；根据平行四边形的性质得到BF=CE，由E不一定是AC的中点得到AE不一定等于EC即可判断④．
【详解】解：由旋转的性质可知，AD=AF，∠FAB=∠DAC，∠C=∠ABF，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，
∴∠FAD=∠FAB+∠BAD=∠DAC+∠BAD=∠BAC=60°，
∴△AFD是等边三角形，旋转的角度为60°，故①和②正确；
∵∠ABF=∠C=60°，∠ABC=60°，
∴∠FBC=120°，
∴∠FBC+∠C=180°，
∴FB∥CE，
又∵EF//BC，
∴四边形BCEF是平行四边形，故③正确；
∴BF=CE，
∵E不一定是AC的中点，
∴AE不一定等于EC，即AE不一定等于BF，故④错误；
故选C．
9．（2022·江苏南京·模拟）如图，在RtABC中，∠ACB=90°，BC=2，∠BAC=30°，将ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A'B'C'， M是BC的中点，P是A'B'的中点， 连接PM，则线段PM的最大值是（ ）
A．4B．2C．3D．
【答案】C
【思路分析】连接PC，分别求出PC，CM的长，然后根据即可得到答案．
【详解】解：如图所示，连接PC，
∵∠ACB=90°，BC=2，∠BAC=30°，
∴AB=2BC=4，
由旋转的性质可知：，，
∵P、M分别是、BC的中点，
∴，，
∵，
∴PM的最大值为3，且此时P、C、M三点共线，
故选C．
10．（2022·江苏苏州·二模）如图，将绕点顺时针旋转角，得到，若点恰好在的延长线上，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【思路分析】根据旋转的性质和四边形的内角和是360º即可求解．
【详解】由旋转的性质得：∠BAD=，∠ABC=∠ADE，
∵∠ABC+∠ABE=180º，
∴∠ADE+∠ABE=180º，
∵∠ABE+∠BED+∠ADE+∠BAD=360º，∠BAD=
∴∠BED=180º-，
故选：D．
11．（2022·江苏·阳山中学一模）如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，AC＝8，动点E从点A出发沿射线AB运动，连接CE，将CE绕点C顺时针旋转45°得到CF，连接AF，则△AFC的面积变化情况是（ ）．
A．先变大再变小B．先变小再变大C．逐渐变大D．不变
【答案】D
【思路分析】在射线AB上截取EH=AC=8，连接CH，根据旋转的性质，利用全等三角形判定定理证明（SAS），得出S△AFC=S△HCE，过点C作CGAB于点G，可求出CG，则可得出答案．
【详解】解：在射线AB上截取EH=AC=8，连接CH
∵将CE绕点C顺时针旋转45得到CF
∴CE=CF，∠ECF=45
∴∠ACF=∠ECF+∠ECA=45+∠ECA
∵∠HEC=∠BAC+∠ECA=45+∠ECA
∴∠ACF=∠HEC
在和中，
∴(SAS)
∴S△AFC=S△HCE
过点C作CGAB于点G
∵∠BAC=45
∴AG=GC
又AG2+CG2=AC2，AC=8
∴CG=
∴
∴S△AFC=
即AFC的面积不变．
故选：D．
12．（2022·江苏·南通市启秀中学九年级阶段练习）如图，点是正方形的边上一点，把绕点顺时针旋转到的位置．若四边形AECF的面积为20，DE=2，则AE的长为（ ）
A．4B．C．6D．
【答案】D
【思路分析】利用旋转的性质得出四边形 AECF的面积等于正方形 ABCD的面积，进而可求
出正方形的边长，再利用勾股定理得出答案．
【详解】绕点顺时针旋转到的位置．
四边形的面积等于正方形的面积等于20，
，
，
中，
故选．
13．（2022·江苏·九年级专题练习）如图1，在中，，，点为边的中点，，将绕点旋转，它的两边分别交、所在直线于点、，有以下4个结论：①；②；③；④如图2，当点、落在、的延长线上时，，在旋转的过程中上述结论一定成立的是（ ）
A．①②B．②③C．①②③D．①③④
【答案】D
【思路分析】连结CD，由“ASA”可证△CDE≌△BDF，利用全等三角形的性质和等腰直角三角形的性质依次判断可求解．
【详解】解：如图，连接DC，
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，D为AB中点，
∴∠B＝45°，∠DCE＝∠ACB＝45°，CD⊥AB，CD＝AB＝BD，
∴∠DCE＝∠B，∠CDB＝90°，
∵∠EDF＝90°，
∴∠CDE＝∠BDF，
在△CDE和△BDF中，
，
∴△CDE≌△BDF（ASA），
∴CE＝BF，∠BFD＝∠CED，DE＝DF，
∴∠BFD+∠DFC＝180°＝∠CED+∠DFC，
如图，当点E、F落在AC、CB的延长线上时，连接CD，
同理可证△DEC≌△DFB，
∴DE=DF，∠DEC＝∠DFC，故①正确；②错误，
当分别落在上时，
∵∠BDC＝90°，
∴∠BDF+∠CDF＝∠CDE+∠CDF＝90°，
∴∠EDF＝90°，
∴EF2＝DE2+DF2＝2DE2，
当分别落在的延长线上时，同理可得EF2＝DE2+DF2＝2DE2，故③正确；
如图，连接CD，
同理可证：△DEC≌△DFB，∠DCE＝∠DBF＝135°，
∴S△DEF＝S△CFE+S△DBC＝S△CFE+S△ABC，
∴S△DEF﹣S△CFE＝S△ABC．故④正确，
故选：D．
14．（2022·江苏扬州·三模）如图，已知正方形ABCD的边长为4，点E是AB边上一动点，连接ED，将ED绕点E顺时针旋转90°到EF，连接DF，CF，则DF＋CF的最小值是（ ）
A．4B．4C．5D．2
【答案】A
【思路分析】连接BF，过点F作FG⊥AB交AB延长线于点G，通过证明，确定点F在BF的射线上运动，作点C关于BF的对称点，由三角形全等得到，从而确定点在AB的延长线上，当D、F、三点共线时，DF＋CF＝最小，通过勾股定理即可求得长度．
【详解】解：如图，连接BF，过点F作FG⊥AB交AB延长线于点G，
∵ED绕点E顺时针旋转90°到EF，
∴，ED＝EF，
∴，
又∵在中，，
∴，
在和中，
∴
∴FG＝AE，EG＝DA，
∴点F在BF的射线上运动，
作点C关于BF的对称点，
∵EG＝DA，
∴EG＝DA，
∴EG－EB＝DA－EB，即BG＝AE，
∴BG＝FG，是等腰直角三角形，，
∴，
∴点在AB的延长线上，
当D、F、三点共线时，DF＋CF＝最小，
在中，AD＝4，，
∴，
∴DF＋CF的最小值为，
故选：A．
15．（2022·江苏南京·一模）在平面直角坐标系中，点的坐标是，将点绕点顺时针旋转90°得到点．若点的坐标是，则点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【思路分析】设点的坐标为，由旋转的性质可得，，列出等式，把每个选项的横坐标代入验证即可．
【详解】解：设点的坐标为，
∵点的坐标是，点的坐标是，
∴由旋转的性质可得，，
即，
整理得，
当时，，解得；
当时，，解得；
当时，，解得；
故只有选项A的坐标满足题意，选项B、C、D都不满足题意，
故选：A
16．（2022·江苏南京·模拟）如图，在RtABC中，AB=AC=10，∠BAC=90°，等腰直角三角形ADE绕点A旋转，∠DAE=90°，AD=AE=4，连接DC，点M、P、N分别为DE、DC、BC的中点，连接MP、PN、MN．①PMN为等腰直角三角形；②；③△PMV面积的最大值是；④PMN周长的最小值为．正确的结论有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】C
【思路分析】连接BD，CE，根据题意可证△ADB≌△EAC，可得BD=CE，∠ABD=∠ACE，由三角形中位线定理可证△MPN是等腰直角三角形，则S△PMN=PN2=BD2．可得BD最大时，△PMN的面积最大，由等腰直角三角形ADE绕着点A旋转，可得D是以A为圆心，AD=4为半径的圆上一点，可求BD最大值，即可求△PMN的面积最大值．再利用等腰直角三角形的性质求出AM和AN的值，得出MN的最值，进一步解决问题．
【详解】解：连接BD，CE，
∵△ABC，△ADE是等腰直角三角形
∴AD=AE，AB=AC，∠BAC=∠DAE=90°
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC
∴∠BAD=∠CAE且AB=AC，AD=AE
∴△ADB≌△AEC
∴DB=EC，∠ABD=∠ACE
∵M，N，P分别是DE，DC，BC的中点
∴MP∥EC，MP=EC，NP=DB，NP∥BD
∴MP=NP，∠DPM=∠DCE，∠PNC=∠DBC
设∠ACE=x°，∠ACD=y°
∴∠ABD=x°，∠DBC=45°-x°=∠PNC，∠DCB=45°-y°
∴∠DPM=x°+y°，∠DPN=∠DCB+∠PNC=90°-x°-y°
∴∠MPN=90°且PN=PM
∴△PMN是等腰直角三角形．故①正确；
∵AB=AC=10，∠BAC=90°，∠DAE=90°，AD=AE=4，
由勾股定理得，
∵M，N为DE和BC的中点
∴
当A、N、M三点共线时，MN有最大值和最小值
的最小值为，的最大值为，
∴，故②错误；
∵S△PMN=PN2=BD2．
∴当BD最大时，△PMN的面积最大．
∵D是以A点为圆心，AD=6为半径的圆上一点
∴A，B，D共线且D在BA的延长线时，BD最大
此时BD=AB+AD=14
∴△PMN的面积最大值为，故③错误；
当MN最小时，即时，也最小，为3
∴的周长最小值为，故④正确，
∴正确的结论有①④，共2个
故选：C
17．（2022·江苏无锡·一模）如图，已知直线AB与y轴交于点，与x轴的负半轴交于点B，且∠ABO＝60°，在x轴正半轴上有一点C，点C坐标为，将线段AC绕点A逆时针旋转120°，得线段AD，连接BD．则BD的长度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【思路分析】连接CD，过点A作AE⊥CD于点E，过点E作FG⊥x轴于点F，过点A作AG⊥FG于点G，设E(m,n)，根据旋转证∠ACG=30°，CE=AE，根据两角对应相等证△AEG∽△ECF，求出，，结合B(-2,0)求出．
【详解】连接CD，过点A作AE⊥CD于点E，过点E作FG⊥x轴于点F，过点A作AG⊥FG于点G，
则∠AEC=∠OFG=∠G=90°，
∵∠AOF=90°，
∴∠OAG=90°，
∴四边形AOFG是矩形，
∵，
∴FG=OA=2，
设E(m,n)，
∴AG=OF=m，EF=n，
∴CF=m-1，EG=2-n，
由旋转知，∠CAD=120°，AC=AD，
∴CE=DE，∠ACG=30°，
∴CE=AE，
∵∠CEF+∠ECF=∠AEG+∠CEF=90°，
∴∠AEG=∠ECF，
∴△AEG∽△ECF，
∴，
∴，
∵,
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∵∠ABO＝60°，，
∴OB=2，B(-2,0)，
∴．
故选C．
18．（2022·江苏·无锡市积余实验学校一模）如图1，在Rt△ABC中，，，点D，E分别在边AB，AC上，，连接DC，点M、P、N分别为DE、DC、BC的中点．将△ADE绕点A在平面内自由旋转（如图2），若，，则△PMN面积的最大值是（ ）
A．B．18C．D．
【答案】C
【思路分析】先判断出△ABD≌△ACE，得出BD=CE，同(1)(1)的方法得出PM=CE，PN=BD，即可得出PM=PN，PM⊥PN，△PMN是等腰直角三角形；再判断出PM最大时，△PMN的面积最大，即BD最大时，由BD最大=AB+AD，最后用面积公式即可得出结论
【详解】解：由旋转的性质可得：
在和中


，
点M、P、N分别为DE、DC、BC的中点
，，，

是等腰三角形














是等腰直角三角形

最大时，面积最大，即BD最大时，面积最大
点D在BA的延长线上时，BD最大



故选：C
19．（2022·江苏·无锡市天一实验学校一模）如图，扇形中，，将扇形绕点B逆时针旋转，得到扇形，若点O刚好落在弧上的点D处，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【思路分析】如图，连OD、AB、BC，延长AD交BC于H点，由旋转的性质可得BD=BO=OD=CD=OA，∠BDC=90，可证ABC是等边三角形，由线段垂直平分线的性质可得AH垂直平分BC，由等腰直角三角形的性质和等边三角形的性质可得AC=2CH，AD=CH-CH=（-1）CH，即可求解．
【详解】解：如图，连OD、AB、BC，延长AD交BC于H点，
∵将扇形OAB绕点B逆时针旋转，得到扇形BDC，若点O刚好落在弧AB上的点D处，
∴BD=BO=OD=CD=OA，∠BDC=90，
∴∠OBD=60，即旋转角为60，
∴∠ABC=60，又可知AB=BC，
∴ABC是等边三角形，
∵AB=AC，BD=CD，
∴AH垂直平分BC，
∴∠CAH=30，
∴AC=2CH，AH=CH，
∵BD=CD，∠BDC=90，DH⊥BC，
∴DH=CH，
∴AD=CH-CH=（-1）CH，
∴，
故选：B ．
20．（2022·江苏·苏州市平江中学校二模）如图，在中，，，将绕点顺时针旋转至，点刚好落在直线上，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【思路分析】由将△BAC绕点A顺时针旋转至△DAE，可得DE＝BC＝a，CA＝AE＝a，AB＝AD＝2a，∠ADE＝∠ABC，∠DAE＝∠BAC＝90°，由锐角三角函数可求BD＝a，CE＝a，由面积公式可求a的值，即可求解．
【详解】解：如图，连接CE，延长EA交BC于F，
∵AB＝2AC，
设AC＝a，则AB＝2a，
∴BC＝＝a，
∵将△BAC绕点A顺时针旋转至△DAE，
∴DE＝BC＝a，CA＝AE＝a，AB＝AD＝2a，∠ADE＝∠ABC，∠DAE＝∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝∠ADB＝∠ADE，
∴∠DEA＝∠DFA，
∴DF＝DE＝a，
又∵∠DAE＝90°，
∴AF＝AE＝a＝AC，
∴∠ECF＝90°，
∵sin∠ACB＝sin∠CFE＝＝，
∴＝，
∴CE＝a，
∵tan∠ACB＝tan∠CFE＝＝2，
∴CF＝a，
∴CD＝DF﹣CF＝a，
∴BD＝BC+DC＝a，
∴△BDE的面积＝×a×a＝×a×a×＝．
故选：A．
21．（2022·江苏·淮安市浦东实验中学九年级开学考试）如图，直线与轴、轴分别相交于点、，过点作，使．将 绕点顺时针旋转，每次旋转．则第2022次旋转结束时，点的对应点落在反比例函数的图象上，则的值为
A．B．4C．D．6
【答案】C
【思路分析】过点C作CD⊥y轴，垂足为D，则△BCD是等腰直角三角形，根据BC=，确定点C的坐标，第一次旋转的坐标，根据第二次旋转坐标与点C关于原点对称，第三次旋转坐标与第一次坐标关于原点对称，确定循环节为4，计算2022÷4的余数，确定最后的坐标，利用k=横坐标×纵坐标计算即可．
【详解】如图，过点C作CD⊥y轴，垂足为D，
∵直线与轴、轴分别相交于点、，过点作，使，
∴A（-1，0），B（0，1），AB=，BC=，
∴OA=OB，∠ABO=∠BAO=∠CBD=∠DCB=45°，
∴DC=BD=2，
∴DC=BD=2，OD=OB+BD=3，
∴点C（-2，3），
第一次旋转的坐标为（3，2），第二次旋转坐标与点C关于原点对称为（2，-3），第三次旋转坐标与第一次坐标关于原点对称为（-3，-2），第四次回到起点，
∴循环节为4，
∴2022÷4=505…2，
∴第2022次变化后点的坐标为（2，-3），
∴k=-3×2=-6，
故选C．
22．（2022·江苏无锡·九年级期末）如图，在Rt△ABC中，，，点D、E分别是AB、AC的中点．将△ADE绕点A顺时针旋转60°，射线BD与射线CE交于点P，在这个旋转过程中有下列结论：①△AEC≌△ADB；②CP存在最大值为；③BP存在最小值为；④点P运动的路径长为．其中，正确的（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
【答案】B
【思路分析】根据，，点D、E分别是AB、AC的中点．得出∠DAE=90°，AD=AE=，可证∠DAB=∠EAC，再证△DAB≌△EAC（SAS），可判断①△AEC≌△ADB正确；作以点A为圆心，AE为半径的圆，当CP为⊙A的切线时，CP最大，根据△AEC≌△ADB，得出∠DBA=∠ECA，可证∠P=∠BAC=90°，CP为⊙A的切线，证明四边形DAEP为正方形，得出PE=AE=3，在Rt△AEC中，CE=，可判断②CP存在最大值为正确；△AEC≌△ADB，得出BD=CE=，在Rt△BPC中，BP最小=可判断③BP存在最小值为不正确；取BC中点为O，连结AO，OP，AB=AC=6，∠BAC=90°，BP=CO=AO=，当AE⊥CP时,CP与以点A为圆心，AE为半径的圆相切，此时sin∠ACE=，可求∠ACE=30°，根据圆周角定理得出∠AOP=2∠ACE=60°，当AD⊥BP′时，BP′与以点A为圆心，AE为半径的圆相切，此时sin∠ABD=，可得∠ABD=30°根据圆周角定理得出∠AOP′=2∠ABD=60°，点P在以点O为圆心，OA长为半径的圆上运动轨迹为，L=L可判断④点P运动的路径长为正确即可．
【详解】解：∵，，点D、E分别是AB、AC的中点．
∴∠DAE=90°，AD=AE=，
∴∠DAB+∠BAE=90°，∠BAE+∠EAC=90°，
∴∠DAB=∠EAC，
在△DAB和△EAC中，
，
∴△DAB≌△EAC（SAS），
故①△AEC≌△ADB正确；
作以点A为圆心，AE为半径的圆，当CP为⊙A的切线时，CP最大，
∵△AEC≌△ADB，
∴∠DBA=∠ECA，
∴∠PBA+∠P=∠ECP+∠BAC，
∴∠P=∠BAC=90°，
∵CP为⊙A的切线，
∴AE⊥CP，
∴∠DPE=∠PEA=∠DAE=90°，
∴四边形DAEP为矩形，
∵AD=AE，
∴四边形DAEP为正方形，
∴PE=AE=3，
在Rt△AEC中，CE=，
∴CP最大=PE+EC=3+，
故②CP存在最大值为正确；
∵△AEC≌△ADB，
∴BD=CE=，
在Rt△BPC中，BP最小=，
BP最短=BD-PD=-3，
故③BP存在最小值为不正确；
取BC中点为O，连结AO，OP，
∵AB=AC=6，∠BAC=90°，
∴BP=CO=AO=，
当AE⊥CP时,CP与以点A为圆心，AE为半径的圆相切，此时sin∠ACE=，
∴∠ACE=30°，
∴∠AOP=2∠ACE=60°，
当AD⊥BP′时，BP′与以点A为圆心，AE为半径的圆相切，此时sin∠ABD=，
∴∠ABD=30°，
∴∠AOP′=2∠ABD=60°，
∴点P在以点O为圆心，OA长为半径的圆上运动轨迹为，
∴L= L．
故④点P运动的路径长为正确；
正确的是①②④．
故选B．
23．（2022·江苏无锡·模拟）如图，在正方形中，，点为中点，点绕着点旋转，且，在的右侧作正方形，则线段的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【思路分析】如图，利用正方形的性质，证明△DEC∽△DPF，从而得到PF=，故点F在以P为圆心，为半径的圆上，根据圆的基本性质，得到当点F在PH上时，FH取得最小值．
【详解】如图，延长BC到点P，使得PC=BC=6，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD=6，∠BCD=∠PCD=90°，
∴△PCD是等腰直角三角形，
∴∠CDP=45°，；
∵四边形DEFG是正方形，
∴DE=EF，∠DEF=90°，
∴△DEF是等腰直角三角形，
∴∠EDF=45°，；
∴，∠CDE=∠PDF，
∴△DEC∽△DFP，
∴，
∵CE=4，
∴PF=，
故点F在以P为圆心，为半径的圆上，
根据圆的基本性质，得到当点F在PH上时，FH取得最小值，
∵H是BC的中点，BC=6，
∴CH=3，
∴PH=9，
∴FH=9-，
故选A．
24．（2022·江苏·常州市金坛区水北中学二模）如图，在矩形中，，，点P在线段上运动（含B、C两点），连接，以点A为中心，将线段逆时针旋转60°到，连接，则线段的最小值为（ ）
A．B．C．D．3
【答案】A
【思路分析】根据题中条件确定出点的轨迹是线段，则线段的最小值就转化为定点到点的轨迹线段的距离问题．
【详解】解：与固定夹角是，，点的轨迹是线段，
的轨迹也是一条线段．
两点确定一条直线，取点分别与重合时，所对应两个点Q，
来确定点的轨迹，得到如下标注信息后的图形：
求的最小值，转化为点到点的轨迹线段的距离问题，
,
在中，,
,，
将逆时针绕点转动后得到，
为等边三角形，,
为的中点，根据三线合一知，
,
过点作的垂线交于点,
在中，对应的边等于斜边的一半，
，
的最小值为，
故选：A．
25．（2022·江苏南京·模拟）如图，在中，，为边上一动点（点除外），把线段绕着点沿着顺时针的方向旋转90°至，连接，则面积的最大值为（ ）
A．16B．8C．32D．10
【答案】B
【思路分析】过点作于，作于点，由勾股定理可求，由旋转的
性质可求，，由可证，可得，由三角形面积公式和二次函数的性质可求解．
【详解】解：如图，过点作于，作于点，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵将线段绕点顺时针旋转90°得到线段，
∴，，
∴，且，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴
∵面积，
∴当时，面积的最大值为8，
故选：B．