专题04 动点问题与函数图形结合题型—2023年中考数学必考特色题型讲练（河南专用）（解析版）

专题04动点问题与函数图象结合题型

选题介绍

本题型在河南省近六年的中招试卷中考了4次，分别为2022年第10题，2021年第10题，2018年第10题，2017年第14题。该题一般为选择题型，分值3分。本题属于数形结合，难度系数较大，得分率较低。本题型一般综合考查了几何图形性质和函数图象的性质，解答过程中要注意函数图象变化与动点位置之间的关系．

根据已有的图像与文字提供的信息，按照以下思维过程解体：

①一变一不变，图像是直线

②两个都变图象是曲线（两个变量）

③同增同减口向上，一增一减口向下

真题展现

2022年河南中招填空题第10题

10. 呼气式酒精测试仪中装有酒精气体传感器，可用于检测驾驶员是否酒后驾车。酒精气体传感器是一种气敏电阻，（图1中的R1）R1的阻值随呼气酒精浓度K的变化而变化。（如图2）血液酒精浓度M与呼气酒精浓度K的关系见图3，下列说法不正确的是（      ）

A呼气酒精浓度K越大，R1的阻值越小，

B当K=0时，R1的阻值为100

C当K=10时，该驾驶员为非驾酒状态

D，当R1等于20时，该驾驶员为醉酒状态。

【答案】C

【解析】本题主要考察了函数图象，根据函数图象获取信息是解题的关键。根据函数图像分析即可判断A、B，根据图三公式计算即可判定C、D。

【详解】解：根据函数图像可得，

1. R随K的增大而减小，则呼气酒精浓度K越大阻值越小，故正确，不符合题意，
2.   B当K=0时，R1的阻值为100。故正确，不符合题意
3.   当K=10时，则M等于2200×K×10-3=2200×10×10-3=22mg/100ml;该驾驶员为酒驾状态，故该选项不正确，符合题意，
4. 当R1=20时，K=40，则M=2200×K×10-3=2200×40×10-3=88mg/100ml;。该驾驶员为醉驾状态，故选项正确，不符合题意。

【总结】本题主要考察了函数图象，根据函数图象获取信息是解题的关键。

2021年河南中招填空题第10题

10．如图1，矩形ABCD中，点E为BC的中点，点P沿BC从点B运动到点C，设B，P两点间的距离为x，PA﹣PE＝y，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则BC的长为（　　）

A．4 B．5 C．6 D．7

【答案】C

【解析】当x＝0，即P在B点时，BA﹣BE＝1；利用两点之间线段最短，得到PA﹣PE≤AE，得y的最大值为AE＝5；在Rt△ABE中，由勾股定理求出BE的长，再根据BC＝2BE求出BC的长．

【解答】解：由函数图象知：当x＝0，即P在B点时，BA﹣BE＝1．

利用两点之间线段最短，得到PA﹣PE≤AE．

∴y的最大值为AE，

∴AE＝5．

在Rt△ABE中，由勾股定理得：BA2+BE2＝AE2＝25，

设BE的长度为t，

则BA＝t+1，

∴（t+1）2+t2＝25，

即：t2+t﹣12＝0，

∴（t+4）（t﹣3）＝0，

由于t＞0，

∴t+4＞0，

∴t﹣3＝0，

∴t＝3．

∴BC＝2BE＝2t＝2×3＝6．

故选：C．

【总结】本题考查了动点问题的函数图象，根据勾股定理求出BE的长是解题的关键．

2018年河南中招填空题第10题

10．如图1，点F从菱形ABCD的顶点A出发，沿A→D→B以1cm/s的速度匀速运动到点B，图2是点F运动时，△FBC的面积y（cm2）随时间x（s）变化的关系图象，则a的值为（　　）

   A． B．2 C． D．2 

【答案】C

【解析】通过分析图象，点F从点A到D用as，此时，△FBC的面积为a，依此可求菱形的高DE，再由图象可知，BD=，应用两次勾股定理分别求BE和a．

【详解】解：过点D作DE⊥BC于点E

由图象可知，点F由点A到点D用时为as，△FBC的面积为acm2．

∴AD=a

∴

∴DE=2

当点F从D到B时，用s

∴BD=

Rt△DBE中，

BE=

∵ABCD是菱形

∴EC=a﹣1，DC=a

Rt△DEC中，

a2=22+（a﹣1）2

解得a=

故选：C．

【总结】本题综合考查了菱形性质和一次函数图象性质，解答过程中要注意函数图象变化与动点位置之间的关系．

2017年河南中招填空题第14题

14．如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M为曲线部分的最低点，则△ABC的面积是　     　．

【答案】12

【解析】根据图象可知点P在BC上运动时，此时BP不断增大，而从C向A运动时，BP先变小后变大，从而可求出BC与AC的长度．

【详解】解：根据图象可知点P在BC上运动时，此时BP不断增大，

由图象可知：点P从B先A运动时，BP的最大值为5，

即BC=5，

由于M是曲线部分的最低点，

∴此时BP最小，

即BP⊥AC，BP=4，

∴由勾股定理可知：PC=3，

由于图象的曲线部分是轴对称图形，

∴PA=3，

∴AC=6，

∴△ABC的面积为：×4×6=12

故答案为：12

【总结】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是注意结合图象求出BC与AC的长度，本题属于中等题型．

模拟演练

1. 如图，在边长为2的正方形ABCD中，点P从A点出发，沿AB﹣BD﹣DC方向以每秒1个单位的速度匀速向终点C运动，设点P运动时间为t，△PBC的面积为y，则y与t之间的函数图象大致为（　　）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

分析点P起始位置和在各段路径运动时间问题可解．

【详解】解：由动点起始位置可知，t=0时，△PBC的面积为y大于0．故B、D排除．当点P沿AB-BD-DC方向运动时，由B到C用时比由A到B时间长．

故选A．

【总结】本题是动点的函数图象问题，考查学生对动点运动位置与函数图象变化趋势的判断．解题关键是要注意动点到达临界点前后的图象变化．

2. 如图1，在平面直角坐标系中，直线yx+m（m＞0）与直线y＝2x交于点4，与x轴交于点B，点O为坐标原点，点C在线段OB上，且不与点B重合，过点C作垂直于x轴直线，交直线AB于点D，将△BCD沿CD翻折，得到△ECD．设点C的坐标为（x，0），△CDE与△AOB重叠部分的面积为S，S关于x的函数图象如图2所示，则m＝__．

【答案】

【解析】

通过两直线的解析式，求出其交点A的坐标，且C点横坐标为m，此时CD直线应在A点的右侧，D点在直线AB上，故D点坐标（m，），重叠部分的面积可用m表示出来，将S= 代入公式，即可求出m的值．

【详解】解：直线y=2x与直线y＝− x+m交于点A（），

由图2可知，当C点横坐标x=m时，重叠面积为S=，

∴此时CD直线应在A点的右侧，D点坐标（m，），

∴重叠部分面积：S＝•m•＝，

将S=代入上式，得：m=，

解法二：观察图象可知，当C是OB的中点时，重叠部分的面积是，此时E与O重合，

∴×m×=，

∵m＞0，

∴m=，

故答案为：．

【总结】本题主要考查了动点问题的函数图象，数形结合并将重叠面积用m进行表示是解题的关键．

3. 如图，矩形中，，动点P沿着的路径匀速运动，过点P作，垂足为Q，设点P的运动路程为x，以B，C，P，Q为顶点的四边形的面积为y，则y与x的大致函数图象为（    ）

A.  B.

C  D.

【答案】A

【解析】

由勾股定理可得AC=5，根据点P的运动，需要分段讨论：当点P在AC上时，易证，列出比例式，可求得函数关系式；当点P在CD上时，易得△CPQ∽△CAB，根据比例可求得PQ的长，再根据三角形面积公式得到y与x的关系，最后结合选项判断即可．

【详解】解：∵由勾股定理得，

分类讨论如下：

（1）如图1，当点P在上移动时（四点围图为梯形），

∴，

，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴；

（2）如图2，当点P在上移动时（四点围图为矩形），

∵点P的运动路程为x，

∴PC=x-5，

∵，

∴；

故依据函数解析式得图象如图3，

故选：A．

【总结】本题考查了动点问题的函数图象：函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．解决本题的关键是利用分类讨论的思想求出y与x的函数关系式．

4. 如图1，点P是菱形ABCD的对角线AC上一动点，E是边BC的中点，连接PB，PE．设点A和点P之间的距离为x，，图2是点P从点A运动到点C时，y随x变化的关系图象，则图象最低点的纵坐标是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

根据题意得：点P与点C重合时， ，从而得到，连接BD交AC于点O，连接DE，PD，根据菱形的性质可得．从而得到当E，P，D三点共线时，的值最小，即的值最小，即．然后过点E作于点F，可得△BEF∽△BCO，从而得到，进而得到．再由勾股定理，即可求解．

【详解】解：根据题意得：点P与点C重合时， ，∵E是BC的中点，

∴，

连接BD交AC于点O，连接DE，PD，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AC是BD的垂直平分线，

∴．

∴．

∴当E，P，D三点共线时，的值最小，即的值最小，即．

过点E作于点F，

∵四边形ABCD是菱形，

∴，

∴，EF∥AC，

∴△BEF∽△BCO，

∴，

∵E是BC的中点，

∴，

∴．

∴ ．

∴图象最低点的纵坐标是．

故选：B

【总结】本题主要考查了菱形的性质，相似三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理等知识，利用数形结合思想解答是解题的关键．

5. 如图，在四边形中，，，，动点沿的路线运动，到点时停止．过点作，垂足为点，设点运动的路程为，的面积与之间的函数关系图象如图所示，当时，的值是（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

分别求出点在上运动、点在上运动、点在上运动时的函数表达式，进而求解

【详解】解： 由函数图象可知，，AB=5，

∴BC=3，AD=6，

当点与点重合时，AN=ND=BC=3，

，

，

∴当时，，此时，点与点重合，

，

故选：D．

【总结】本题考查的是动点问题的函数图象，涉及三角形的面积等知识，此问题时，由图得出是解题关键．

6. 如图，为矩形边上的一点，点从点沿折线运动到点时停止，点从点沿运动到点时停止，它们运动的速度都是若、同时开始运动，设运动时间为，的面积为，已知与的函数关系图像如图，则下列结论错误的是（   ）

1.                         B.  

C. 当时， D. 当时，△PBQ是等腰三角形

【答案】D

【解析】由图可知，在点至点区间，的面积不变，因此可推论，由此分析动点的运动过程如下：在段，；持续时间，则；是的二次函数；在段，是定值，持续时间，则；在段，持续减小直至为，是的一次函数．

【详解】解：当点P在BE上运动，点Q没到C之前时，设△BPQ边BQ边上的高为h，

∴，

∴此时；

∵第8-10秒三角形PBQ的面积没有发生变化，

∴此时Q点运动到了C点，点P在ED上运动，

假设当点P到达点E，点Q未到点C时，则h=AB，

∴此时，此时是一次函数图像，与事实矛盾，

同理：假设当点Q到达点C，点P未到点E时，y与x也是是一次函数图像，与事实矛盾，

∴当点Q到达点C时，点P同时到底点E，

∴，，

∴AE，故不符合题意；

B、如答图所示，连接，过点作于点，则四边形ABFE是矩形

∵， ，

由勾股定理得，，

，故不符合题意；

C、如答图所示，过点作于点，

，

．

故不符合题意；

D、当时，点与点重合，点运动到的中点，设为，如答图所示，连接，．

此时，，由勾股定理求得：，，

，

不是等腰三角形，即此时不是等腰三角形．

故符合题意；

故选：．

【总结】本题考查动点问题的函数图像，需要结合几何图形与函数图像，认真分析动点的运动过程．突破点在于正确判断出．

7. 如图1，在平行四边形ABCD中，，，动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿线段AB运动到点B停止，同时动点Q从点B出发，以每秒4个单位的速度沿折线运动到点D停止．图2是点P、Q运动时，的面积S与运动时间t函数关系的图象，则a的值是（    ）

A.  B.  C. 6 D. 12

【答案】B

【解析】

根据题意计算得；再结合题意，得当动点Q在上时，的面积S随运动时间t变化呈现二次函数关系；当动点Q在上时，的面积S随运动时间t变化呈现一次函数关系，从而得a对应动点Q和点C重合；通过计算，即可得到答案．

【详解】解：∵动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿线段AB运动到点B停止，一共用6秒钟，

∴AB=1×6=6，

∵，

∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AB=CD=6，

当动点Q在上时，的面积S随运动时间t变化呈现二次函数关系，

当动点Q在上时，的面积S随运动时间t变化呈现一次函数关系，

∴a对应动点Q和点C重合，如图：

∵动点Q以每秒4个单位的速度从点B出发，

∴，

∴，

∴，

∴，

如图，过点C作，交于点E ，

∴，

∴，即．

故选：B．

【总结】本题考查了平行四边形、函数图像，二次函数、一次函数、三角函数,与三角形高有关的计算等知识；解题的关键是熟练掌握二次函数、一次函数、三角函数的性质，从而完成求解．

8. 如图，中，，．直线l经过点A且垂直于．现将直线l以1的速度向右匀速平移，直至到达点B时停止运动，直线l与边交于点M，与边（或）交于点N．若直线l移动的时间是、的面积为，则y与x之间函数关系的图象是（    ）

A  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

用面积公式，分段求出△AMN的面积y与x之间的函数关系即可求解．

【详解】解：过点C作CD⊥AB于D，

在等腰△ABC中，AC=5，AD=AB=4，则CD=3，

在Rt△ACD中，tan∠A===tan∠B，

（1）当0≤x≤4，如图，

∵tan∠A===，即MN=x，

y=×AM•MN=x×x=x2，该函数为开口向上的抛物线，且对称轴为y轴，位于y轴的右侧抛物线的一部分；

（2）当4＜x≤8时，

同理：y= ，

该函数为开口向下的抛物线的一部分，对称轴为x=4，

故选：C．

【总结】本题考查的是动点图象问题，涉及到解直角三角形等知识，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．

9. 如图-①，在矩形中，，对角线、相交于点，动点由点出发，沿→→向点运动，设点运动路径为，的面积为，图-②是关于的函数关系图像，则边的长为（     ）

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

【答案】B

【解析】根据函数图象可知AB+BC＝7，△AOB的面积为3，再根据矩形的性质可知点O到AB的距离为BC的长，利用面积建立方程即可求解.

【详解】解：观察图象可知：AB+BC＝7，S△AOB＝3，

∵四边形ABCD是矩形，

∴点O到AB距离是BC的长，

设AB＝x，则BC＝7-x，

∵S△AOB＝＝3，

∴，

解得，

∵，即，

∴AB＝4.

故选B.

【总结】本题考查了函数的图象.结合图象得出矩形邻边和为7，△AOB的面积为3并利用面积建立关于AB的方程是解题的关键.

10. 如图，在Rt△ABC中，C=90°，AC=1cm，BC=2cm，点P从A出发，以1cm/s的速沿折线AC→CB→BA运动，最终回到A点．设点P的运动时间为x(s)，线段AP的长度为y(cm)，则能反映y与x之间函数关系的图像大致是（     ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】根据题目已知，分三种情况讨论，①当点在线段上运动时，②当点在线段上运动时，③当点在线段上运动时，根据速度×时间=路程，以及三角形的三边长度，分析即可．

【详解】∵∠ C=90°，AC=1，BC=2，

∴

线段的长是一个分段函数，

①当点在线段上运动时，自变量的取值范围是，

由题图可知，即；

②当点在线段上运动时，自变量的取值范围是，

则，在中，，即；

③当点在线段上运动时，自变量的取值范围是，

则，

故，

结合各选项的图象可知A选项正确．

故选A．

【总结】本题考查了函数图像，一次函数图像的性质，勾股定理，掌握一次函数图像的性质是解题的关键．