高中数学苏教版 (2019)选择性必修第二册6.2空间向量的坐标表示精品课时作业

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1．向量，，若，则（ ）
A．B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】根据题意，设，即，即可求得、的值
【解析】因为向量，，且，
则设，即，
则有，则，，解得，，
故选：C
2．已知向量，，且与互相垂直，则的值是（ ）
A．B．2C．D．1
【答案】A
【分析】先利用空间向量的数量积及模长的坐标表示求出，再利用空间向量的数量积的运算律进行求解.
【解析】因为，，
所以，，，
因为与互相垂直，
所以，
即，
即，
解得.
故选：A.
3．空间中，与向量同向共线的单位向量为（ ）
A．B．或
C．D．或
【答案】C
【分析】由已知条件，先求出，从而即可求解.
【解析】解：因为，所以，
所以与向量同向共线的单位向量，
故选：C.
4．如图，平行六面体中，为的中点.若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用向量的加减法公式，对向量进行分解，进而求出，，的值.
【解析】，故，，，即
故选：.
5．如图，在直三棱柱中，，，分别是棱、和AB的中点，点D是线段AC上的动点不包括端点若，则线段AD的长度是（ ）
A．B．C．D．1
【答案】A
【分析】建立空间直角坐标系，设出点坐标，求出向量，利用求得点坐标，再求线段AD的长度即可．
【解析】在直三棱柱中，，以A为原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则， ，，，，，，
由于，所以，解得，所以线段AD的长度为.
故选：A
6．设为空间一组基底，若向量，则向量在基底下的坐标为.若在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意中坐标的定义可得，由此可构造方程组求得，进而可得所求坐标.
【解析】由题意知：；
设向量在基底下的坐标为，
则，
即，，解得：，
向量在基底下的坐标为.
故选：C.
7．设向量，，其中，则下列判断错误的是
A．向量与轴正方向的夹角为定值（与、之值无关）
B．的最大值为
C．与夹角的最大值为
D．的最大值为l
【答案】B
【分析】在A中，取z轴的正方向向量，求出与的夹角即可判断命题正确；在B中，计算，利用不等式求出最大值即可判断命题错误；在C中，利用数量积求出与的夹角的最大值，即可判断命题正确；在D中，利用不等式求出最大值即可判断命题正确．
【解析】解：由向量，，其中，知：
在A中，设z轴正方向的方向向量，
向量与z轴正方向的夹角的余弦值：
，
∴向量与z轴正方向的夹角为定值45°（与c，d之值无关），故A正确；
在B中，，
且仅当a＝c，b＝d时取等号，因此的最大值为1，故B错误；
在C中，由B可得：，
，
∴与的夹角的最大值为，故C正确；
在D中，，
∴ad−bc的最大值为1．故D正确．
故选：B．
【点睛】本题考查了空间向量的坐标运算、数量积的性质等基础知识与基本技能方法，考查运算求解能力，是中档题．
8．设空间两个单位向量与向量的夹角都等于，则（ ）
A．B．
C．或D．或
【答案】C
【分析】首先根据为单位向量得到，再利用与的夹角等于，得.联立方程求解出与的值，最后再利用向量的夹角公式进行求解即可.
【解析】空间两个单位向量，与向量的夹角都等于，
，，
，
又，，
又为单位向量，，
联立，得或，
，，
.
故选：C.
9．如图，棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为正方体表面BCC1B1上的一个动点，E，F分别为BD1的三等分点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】过F作F关于平面的对称点，连接交平面于点，证明此时的使得最小，建立空间直角坐标系，求出所需点的坐标，的最小值为.
【解析】过F作F关于平面的对称点，连接交平面于点.
可以证明此时的使得最小：任取(不含)，此时.
在点D处建立如图所示空间直角坐标系，
则，因为E，F分别为BD1的三等分点，所以,
又点F距平面的距离为1，所以,
的最小值为.
故选：D
10．设是正三棱锥，G是的重心，D是PG上的一点，且，若，则为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】G是等边的重心，可得，再由，可得，而，从而可以将用表示出，进而可求出
【解析】因为三棱锥是正三棱锥，G是的重心，
所以，
因为D是PG上的一点，且，
所以，
因为，
所以
,
因为，
所以，
所以为，
故选：B
11．已知长方体中，，若棱上存在点，使得，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】建立空间直角坐标系，设，求出、，利用，求出的范围．
【解析】解：如图建立坐标系，
设，，
则，，，
，，
，
，
即，所以，
当时，所以，所以．
故选：C．
12．如图，在直三棱柱中，，，D为AB的中点，点E在线段上，点F在线段上，则线段EF长的最小值为（ ）
A．B．C．1D．
【答案】B
【分析】根据给定条件建立空间直角坐标系，令，用表示出点E，F坐标，再由两点间距离公式计算作答.
【解析】依题意，两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，
设，则，设，有，
线段EF长最短，必满足，则有，解得，即，
因此，，当且仅当时取“=”，
所以线段EF长的最小值为.
故选：B
二、多选题
13．已知空间中三点，，，则（ ）
A．向量与互相垂直
B．与方向相反的单位向量的坐标是
C．与夹角的余弦值是
D．在上的投影向量的模为
【答案】ABC
【分析】根据空间向量数量积的坐标表示公式，结合投影向量的定义、空间向量夹角公式逐一判断即可.
【解析】由已知可得，，.因为，所以与互相垂直，故A正确；，
所以与方向相反的单位向量的坐标是，故B正确；，，，所以，故C正确；在上的投影向量的模为，故D错误.
故选：ABC
14．设向量，，其中，则下列判断正确的是（ ）
A．向量与轴正方向的夹角为定值（与、之值无关）
B．的最大值为
C．与夹角的最大值为
D．的最大值为1
【答案】ACD
【分析】根据空间向量的数量积运算，结合不等式的使用，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.
【解析】对A：不妨取，设向量与轴正方向的夹角为，
则，又，故，A正确；
对B：，又因为，
则，即，
当且仅当时取得等号，故的最大值为，故B错误；
对C：设与夹角的为，则，
由可知，，故，又，则，
故的最大值为，即与夹角的最大值为，正确；
对：，即，
当且仅当时取得等号，故正确；
故选：.
15．对于任意非零向量，，以下说法错误的有
A．若，则
B．若，则
C．
D．若，则为单位向量
【答案】BD
【分析】利用空间向量垂直的坐标表示可判断A选项的正误；取，且可判断B选项的正误；利用空间向量夹角余弦的坐标表示可判断C选项的正误；求得，可判断D选项的正误.
【解析】对于A选项，因为，则，A选项正确；
对于B选项，若，且，，若，但分式无意义，B选项错误；
对于C选项，由空间向量数量积的坐标运算可知，C选项正确；
对于D选项，若，则，此时，不是单位向量，D选项错误.
故选：BD.
【点睛】本题考查与空间向量相关的命题真假的判断，考查了空间向量数量积的坐标运算以及空间共线向量的坐标表示，属于基础题.
16．在三棱锥中，三条侧棱两两垂直，且，G是的重心，E，F分别为上的点，且，则下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【分析】取，以为基底表示，，，结合向量数量积运算性质、向量共线定理即可选出正确答案.
【解析】如图，设，则是空间的一个正交基底，
则，取的中点H，则，
，
，
，
∴，A正确；，B正确；，C不正确；，D正确.
故选:ABD.
【点睛】本题考查了平面向量共线定理，考查了由数量积求两向量的位置关系，考查了平面向量基本定理的应用，属于中档题.
三、填空题
17．与＝(2,－1,2)共线且满足＝－18的向量＝________.
【答案】(－4,2,－4)
【分析】设＝(2λ,－λ,2λ)，根据已知条件结合空间向量数量积的坐标表示求参数λ，即可得的坐标.
【解析】∵共线，设＝(2λ,－λ,2λ)．
∴＝4λ＋λ＋4λ＝－18，可得λ＝－2，
∴z＝(－4,2,－4)．
故答案为：(－4,2,－4)
18．已知向量，且，则____________．
【答案】3
【分析】利用向量的坐标运算求得求出，根据空间向量模的公式列方程求解即可.
【解析】因为，
所以，
可得，
因为，解得，故答案为3.
19．已知，，则的最小值为__________．
【答案】##
【分析】由已知先求，再写出表达式，即可求得最小值.
【解析】解：，，
∴
，
，当且仅当时等号成立，即的最小值为
故答案为：.
20．在空间直角坐标系Oxyz中，A（1，2，3），B（2，1，2），P（l，1，2），点Q在直线OP上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标是________．
【答案】
【分析】由题意设点Q的坐标，求出的表达式，根据二次函数的性质计算出的最小值，进而得出点Q的坐标.
【解析】由题意知，点Q在直线OP上运动，，
设，
则
，
所以当时，取得最小值，
此时点Q的坐标为
故答案为：
四、解答题
21．已知．
(1)若，求的值．
(2)若，且，求的值．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用向量的线性运算和向量平行的坐标运算，列方程求解.
（2）利用向量垂直的充要条件和向量模的坐标运算，列方程求解.
【解析】（1）
，．
， ，解得
（2）由，得， ∴ ，
由，有，即， ，
解得
22．（1）已知向量.
①计算和
②求.
（2）已知向量.
①若，求实数；
②若，求实数.
【答案】（1）①，；②；（2）①；②
【分析】（1）由空间向量的坐标运算求解，
（2）由空间向量平行与垂直的坐标表示求解，
【解析】（1）①向量，
，，
②，即
，，
（2）因为向量，
，
①，
，解得，
②，
，解得.
23．如图，三棱柱中，M，N分别是上的点，且．设，，．
(1)试用，，表示向量；
(2)若，求MN的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用空间向量的线性运算即可求解.
（2）根据空间向量的数量积以及向量模的求法即可求解.
【解析】（1）解：
，
∴；
（2）解：，
，
，
，
，
即MN的长为.
24．棱长为2的正方体中，E、F分别是、DB的中点，G在棱CD上，且，H是的中点．建立适当的空间直角坐标系，解决下列问题：
(1)求证：；
(2)求；
(3)求的长．
【答案】(1)证明见解析;
(2);
(3).
【分析】（1）以D为坐标原点建立空间直角坐标系，首先求出相应点的坐标，再证明即可；
（2）求出的坐标，再根据即可求得答案；
（3）转化为求即可.
（1）
解：如图，以为原点， 分别为轴，建立空间直角坐标系，
则,
因为，
所以，
所以，
故；
（2）
解：因为，所以
因为，且,
所以；
（3）
解：因为是的中点，所以
又因为，
所以,
.
即.
25．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．
问题：如图，在正方体，中，以为坐标原点，建立空间直角坐标系．已知点的坐标为，为棱上的动点，为棱上的动点，______，则是否存在点，，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】答案见解析
【分析】根据空间直角坐标系中点的坐标可得向量的坐标，由向量的坐标运算可计算模长以及数量积，进而可求解.
【解析】方案一：选条件①．
假设存在满足题意的点，．由题意，知正方体的棱长为2，则，，，，，所以．设，，则，，，所以，．
因为，所以，即．
因为，，所以，所以．又，
所以，故存在点，，满足，此时．
方案二：选条件②．
假设存在满足题意的点，．由题意，知正方体的棱长为2，则，，，，，所以．
设，，则，，，
所以，．因为，且，
所以，解得．又，所以，
故存在点，，满足，此时．
方案三：选条件③．假设存在满足题意的点，．由题意，知正方体的棱长为2，
则，，，，所以，．
设，，则．因为，
所以与不共线，所以，即，
则，
故不存在点，满足．
26．如图所示，在四棱锥中，为等腰直角三角形，且，四边形ABCD为直角梯形，满足，，，．
(1)若点F为DC的中点，求；
(2)若点E为PB的中点，点M为AB上一点，当时，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）可证，再建立如图所示的空间直角坐标系，求出的坐标后可求夹角的余弦值.
（2）设，则可用表示的坐标，再利用可求，从而可得两条线段的比值.
（1）
因为为等腰直角三角形，，，所以，
又，，所以．
而，，故，
因，平面，故平面.
以点C为原点，CP，CD所在直线分别为x，z轴，过点C作PB的平行线为y轴，建立空间直角坐标系，如图所示．
则，，，，．
则，，
所以．
（2）
由（1）知，设，
而，所以，
所以，所以，
又，
因为，故，
所以，解得，
所以．