苏教版 (2019)6.2空间向量的坐标表示课后作业题

这是一份苏教版 (2019)6.2空间向量的坐标表示课后作业题，共17页。试卷主要包含了已知a=,a-b=,则b等于等内容，欢迎下载使用。

基础过关练
题组一 空间向量的坐标及线性运算的坐标表示
1.(2020黑龙江牡丹江第一高级中学高二上期中)已知a=(1,-2,1),a-b=(-1,2,-1),则b等于( )

A.(2,-4,2)B.(-2,4,-2)
C.(-2,0,-2)D.(2,1,-3)
2.已知向量a=(1,2,3),b=(-1,0,1),则a+2b=( )
A.(-1,2,5)B.(-1,4,5)
C.(1,2,5)D.(1,4,5)
3.(2021江苏无锡中学高二期中)已知{a,b,c}是空间的一个单位正交基底,{a+b,a-b,a+c}是空间的另一个基底,若向量p在{a,b,c}下的坐标为(2,3,4),则p在{a+b,a-b,a+c}下的坐标为( )
A.-12,52,4B.52,12,4
C.12,-52,4D.52,-12,4
4.已知{i,j,k}为单位正交基底,且a=-i+j+3k,b=2i-3j-2k,则向量a-2b的坐标是 .
5.已知O是坐标原点,且A,B,C三点的坐标分别是(2,-1,2),(4,5,-1),(-2,2,3),若OP=12(AB-AC),则点P的坐标为 ;若AP=12(AB-AC),则点P的坐标为 .
题组二 空间向量平行(共线)的坐标表示
6.(2021河北高二上期中)已知向量a=(2,-1,3),b=(-4,m,n),且a∥b,则m+n=( )
A.-4B.-6C.4D.6
7.(2021江苏南京师大附中高二期末)如果三点A(1,5,-2),B(2,4,1),C(a,3,b+2)在同一条直线上,则( )
A.a=3,b=2B.a=6,b=-1
C.a=3,b=-3D.a=-2,b=1
8.已知空间向量a=(1,3,2),b=(1,0,1),p=ka-2b,q=3a+4b,若p∥q,则实数k= .
题组三 空间向量数量积的坐标表示
9.已知a=(1,1,0),b=(0,1,1),c=(1,0,1),p=a-b,q=a+2b-c,则p·q=( )
A.-1B.1C.0D.-2
10.(2021江苏连云港赣榆高级中学高二期末)已知空间三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5),向量a=(m,-1,n),且向量a分别与向量AB,AC垂直,则|a|=( )
A.4B.22C.2D.3
11.(2020江苏南通启东中学高二月考)已知a=(3,-2,-3),b=(-1,x-1,1),且a与b的夹角为钝角,则x的取值范围是 .
12.(2021江苏南通如皋中学高二月考)已知a=(cs α,1,sin α),b=(sin α,1,cs α),则向量a+b与a-b的夹角是 .
13.(2021江苏南京宁海中学高二期末)已知空间三点A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),设a=AB,b=AC.
(1)求a,b的夹角θ的余弦值;
(2)若向量ka+b,ka-2b互相垂直,求实数k的值;
(3)若向量λa-b,a-λb共线,求实数λ的值.
题组四 空间直角坐标系的应用
14.(2021江苏常州中学高二期中)《九章算术》第五卷中涉及一种几何体——羡除,它下广六尺,上广一丈,深三尺,末广八尺,无深,袤七尺.该羡除是一个多面体ABCDFE,如图,四边形ABCD,ABEF均为等腰梯形,AB∥CD∥EF,平面ABCD⊥平面ABEF,梯形ABCD,梯形ABEF的高分别为3,7,且AB=6,CD=10,EF=8,则AD·BF= .
15.
(2021江苏盐城新丰中学高二期末)如图,E是棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AA1的中点,F为棱AB上一点,且∠C1EF=90°,则AF的长为 .
16.(2021江苏盐城高二期末)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,AB=23,AC=2,AA1=3,若3BG=BA1+BC,求AG的长.
能力提升练
题组一 空间向量运算的坐标表示
1.(2021江苏扬州中学高二期末,)设x,y∈R,向量a=(x,1,1),b=(1,y,1),c=(2,-4,2),且a⊥c,b∥c,则|a+b|=( )

A.22B.10C.3D.4
2.(2021江苏宿迁中学高二期末,)已知空间直角坐标系O-xyz中,OA=(1,2,3),OB=(2,1,2),OP=(1,1,2),点Q在直线OP上运动,则当QA·QB取得最小值时,点Q的坐标为( )
A.12,34,13B.12,32,34
C.43,43,83D.43,43,73
3.(2021江苏连云港高二期末,)在空间直角坐标系O-xyz中,O(0,0,0),E(22,0,0),F(0,22,0),B为EF的中点,C为空间中一点且满足|CO|=|CB|=3,若cs=16,则OC·OF=( )
A.9B.7C.5D.3
4.(多选)()已知向量a·b=b·c=a·c,b=(3,0,-1),c=(-1,5,-3),则下列等式中正确的是( )
A.(a·b)·c=b·c
B.(a+b)·c=a·(b+c)
C.(a+b+c)2=a2+b2+c2
D.|a+b+c|=|a-b-c|
5.(2020湖北武汉高二期末联考,)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,P是底面ABCD(含边界)上一动点,满足A1P⊥AC1,则线段A1P长度的取值范围是( )
A.62,2B.62,3
C.[1,2]D.[2,3]
6.()已知OA,OB,OC是空间两两垂直的单位向量,OP=xOA+yOB+zOC,且x+2y+4z=1,求|OP-OA-OB|的最小值.
7.(2021江苏南京宁海中学高二期中,)已知空间中三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5).
(1)若点D在直线AC上,且BD⊥AC,求点D的坐标;
(2)求以BA,BC为邻边的平行四边形的面积.
题组二 空间直角坐标系的应用
8.(2021浙江宁波高三期末,)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,AP=2PA1,点M在侧面AA1B1B内运动.若D1M⊥CP,则点M的轨迹为( )
A.线段B.圆弧
C.抛物线的一部分D.椭圆的一部分
9.(2021江苏常州高二期中,)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,△APD是以AP为底的等腰直角三角形,AP=AB,E,F分别为AB,PC的中点,平面PAD⊥平面ABCD.
(1)求证:BF∥平面PDE;
(2)在棱PB上是否存在一点G,使得EG⊥DE?并证明你的结论.
答案全解全析
第6章 空间向量与立体几何
6.2 空间向量的坐标表示
6.2.2 空间向量的坐标表示
基础过关练
1.A ∵a-b=(-1,2,-1),∴b=a-(-1,2,-1)=(1,-2,1)-(-1,2,-1)=(2,-4,2),故选A.
2.A a+2b=(1,2,3)+2(-1,0,1)=(1,2,3)+(-2,0,2)=(-1,2,5),故选A.
3.C 不妨设向量a=(1,0,0),b=(0,1,0),c=(0,0,1),则向量a+b=(1,1,0),a-b=(1,-1,0),a+c=(1,0,1).设p=x(a+b)+y(a-b)+z(a+c),即(2,3,4)=x(1,1,0)+y(1,-1,0)+z(1,0,1)=(x+y+z,x-y,z),
∴x+y+z=2,x-y=3,z=4,解得x=12,y=-52,z=4,即p在{a+b,a-b,a+c}下的坐标为12,-52,4.
故选C.
4.答案 (-5,7,7)
解析 由a=-i+j+3k,b=2i-3j-2k,得a-2b=(-i+j+3k)-2(2i-3j-2k)=(-i+j+3k)-(4i-6j-4k)=(-1-4)i+(1+6)j+(3+4)k=-5i+7j+7k,则a-2b=(-5,7,7).
5.答案 3,32,-2;5,12,0
解析 由题得AB=(2,6,-3),AC=(-4,3,1).
∵OP=12(AB-AC)=12(2+4,6-3,-3-1)=12(6,3,-4)=3,32,-2,
∴P3,32,-2.
∵AP=12(AB-AC)=3,32,-2,
∴OP=OA+AP=(2,-1,2)+3,32,-2
=5,12,0,∴P5,12,0.
6.A ∵a∥b,且-42=-2,∴b=-2a,
∴m=-1×(-2)=2,n=3×(-2)=-6,∴m+n=-4.
故选A.
7.A ∵A,B,C三点共线,∴AB,AC为共线向量,又AB=(1,-1,3),AC=(a-1,-2,b+4),∴a-11=-2-1=b+43,解得a=3,b=2.
8.答案 -32
解析 因为a=(1,3,2),b=(1,0,1),
所以p=ka-2b=(k-2,3k,2k-2),q=3a+4b=(7,9,10),
又因为p∥q,所以设p=mq(m∈R),
则k-2=7m,3k=9m,2k-2=10m,解得k=-32,m=-12.
9.A p=a-b=(1,0,-1),q=a+2b-c=(1,1,0)+(0,2,2)-(1,0,1)=(0,3,1),
∴p·q=1×0+0×3+(-1)×1=-1,故选A.
10.D 由题意得AB=(-2,-1,3),AC=(1,-3,2),因为向量a分别与向量AB,AC垂直,所以AB·a=0,AC·a=0,即-2m+1+3n=0,m+3+2n=0,
解得m=-1,n=-1,故a=(-1,-1,-1),
因此|a|=(-1)2+(-1)2+(-1)2=3.
故选D.
11.答案 -2,53∪53,+∞
解析 因为a=(3,-2,-3),b=(-1,x-1,1),所以a·b=-1×3-2(x-1)-3=-2x-4,因为a与b的夹角为钝角,所以cs=a·b|a||b|<0,且a与b不反向共线,又因为a与b共线时,有-13=x-1-2,即x=53,所以a·b=-2x-4<0,x≠53,解得x>-2,x≠53.
所以x的取值范围为-2,53∪53,+∞.
规律总结
设空间不共线向量a,b的夹角为θ,若a与b的夹角为钝角,则cs θ<0,若a与b的夹角为锐角,则cs θ>0,若a与b的夹角为直角,则cs θ=0.
12.答案 π2
解析 因为a=(cs α,1,sin α),b=(sin α,1,cs α),所以a+b=(cs α+sin α,2,sin α+cs α),a-b=(cs α-sin α,0,sin α-cs α),所以(a+b)·(a-b)=(cs α+sin α)·(cs α-sin α)+2×0+(sin α+cs α)(sin α-cs α)=cs2α-sin2α+0+sin2α-cs2α=0,所以向量a+b与a-b垂直,所以向量a+b与a-b的夹角为π2.
13.解析 (1)a=AB=(1,1,0),b=AC=(-1,0,2),
则cs θ=a·b|a||b|=-12×5=-1010.
(2)ka+b=(k-1,k,2),ka-2b=(k+2,k,-4).若向量ka+b,ka-2b互相垂直,
则(ka+b)·(ka-2b)=(k-1,k,2)·(k+2,k,-4)=(k-1)(k+2)+k2-8=0,
∴2k2+k-10=0,解得k=-52或k=2.
(3)λa-b=(λ+1,λ,-2),a-λb=(1+λ,1,-2λ).
由向量λa-b,a-λb共线,
可设λa-b=μ(a-λb),μ∈R,
则λ+1=μ(1+λ),λ=μ,-2=-2λμ,解得λ=μ=±1.
14.答案 14
信息提取 ①根据AB∥CD∥EF,平面ABCD⊥平面ABEF,分析并建立空间直角坐标系;②由梯形ABCD,梯形ABEF的高分别为3,7,且AB=6,CD=10,EF=8,得各点的坐标.
数学建模 以数学文化中的几何体羡除为载体考查利用空间向量的坐标求数量积.先利用面面垂直的性质和已知条件建立空间直角坐标系,然后根据已知条件中的长度写出各点的坐标,从而求出AD·BF.
解析 如图所示,过A分别作CD,EF的高,垂足分别为N,M.∵平面ABCD⊥平面ABEF,AB∥CD∥EF,平面ABCD∩平面ABEF=AB,∴AN⊥平面ABEF,∴AN⊥AB,AN⊥AM,又AM⊥AB,∴AN,AB,AM两两垂直,以A为坐标原点,AB,AM,AN分别为x,y,z轴的正方向,建立空间直角坐标系A-xyz,由题意可知B(6,0,0),D(-2,0,3),F(-1,7,0),A(0,0,0),则BF=(-7,7,0),AD=(-2,0,3),故AD·BF=-7×(-2)+7×0+0×3=14.
15.答案 12
解析 如图,以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,设AF=t,则E(2,0,1),F(2,t,0),C1(0,2,2),则EF=(0,t,-1),EC1=(-2,2,1),因为∠C1EF=90°,所以EF⊥EC1,则EF·EC1=0,所以2t-1=0,解得t=12,所以AF的长为12.
16.解析 以A为坐标原点,AB,AC,AA1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则A(0,0,0),A1(0,0,3),B(23,0,0),C(0,2,0),则BA1=(-23,0,3),BC=(-23,2,0),AB=(23,0,0).
∵3BG=BA1+BC=(-43,2,3),
∴BG=-433,23,1,
∵AG=AB+BG=233,23,1,
∴|AG|=(233) 2+(23) 2+12=53.
∴AG的长为53.
规律总结
利用空间向量求解线段长度一般有两种方法:(1)建立空间直角坐标系,求出相应点的坐标,进而可得出向量的坐标,利用向量的模的计算公式可求出线段长;(2)选择合适的基底表示向量,利用空间向量数量积的运算性质求得线段长.
能力提升练
1.C 因为b∥c,所以存在λ∈R,使得b=λc,所以1=2λ,y=-4λ,1=2λ,解得λ=12,y=-2,所以b=(1,-2,1),因为a⊥c,所以a·c=0,即2x-4+2=0,解得x=1,所以a=(1,1,1),所以a+b=(2,-1,2),所以|a+b|=4+1+4=3.
故选C.
2.C 设Q(x,y,z),由点Q在直线OP上,可得存在实数λ,使得OQ=λOP,即(x,y,z)=λ(1,1,2),可得Q(λ,λ,2λ),所以QA=(1-λ,2-λ,3-2λ),QB=(2-λ,1-λ,2-2λ),则QA·QB=(1-λ)(2-λ)+(2-λ)(1-λ)+(3-2λ)(2-2λ)=2(3λ2-8λ+5),根据二次函数的性质,可得当λ=43时,QA·QB取得最小值-23,此时Q43,43,83.
3.D 易得B(2,2,0),设C(x,y,z),则OC=(x,y,z),BC=(x-2,y-2,z),EF=(-22,22,0),
由cs=EF·BC|EF||BC|=(-22,22,0)·(x-2,y-2,z)4×3=16,
整理可得x-y=-22①.
由|CO|=|CB|=3,得x2+y2+z2=(2-x)2+(2-y)2+(-z)2,化简得x+y=2②.联立①②,解得x=24,y=324,则OC·OF=24,324,z·(0,22,0)=3.故选D.
4.BCD 易得a·b=a·c=b·c=-3+0+3=0.
(a·b)·c=0,b·c=0,所以A错误;
(a+b)·c-a·(b+c)=a·c+b·c-a·b-a·c=0,所以(a+b)·c=a·(b+c),所以B正确;
(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2a·c=a2+b2+c2,所以C正确;
(a-b-c)2=a2+b2+c2-2a·b+2b·c-2a·c=a2+b2+c2,
所以(a+b+c)2=(a-b-c)2,即|a+b+c|=|a-b-c|,所以D正确.
故选BCD.
5.A 如图,建立空间直角坐标系,
则A(0,0,0),A1(0,0,1),C1(1,1,1).
∵P是底面ABCD(含边界)上一动点,
∴设P(x,y,0)(0≤x≤1,0≤y≤1),
则A1P=(x,y,-1),AC1=(1,1,1),
∵A1P⊥AC1,∴A1P·AC1=x+y-1=0,∴y=1-x,
∴|A1P|2=x2+y2+1=x2+(1-x)2+1=2x2-2x+2=2x-122+32,
∴当x=12时,|A1P|2取得最小值32,此时线段A1P的长度为62;
当x=0或x=1时,|A1P|2取得最大值2,此时线段A1P的长度为2,
∴线段A1P长度的取值范围是62,2.
故选A.
6.解析 由题意可设OA=(1,0,0),OB=(0,1,0),OC=(0,0,1),由x+2y+4z=1,得x=1-2y-4z,
由OP=xOA+yOB+zOC=(x,y,z),得OP-OA-OB=(x-1,y-1,z),
所以|OP-OA-OB|=(x-1)2+(y-1)2+z2=(2y+4z)2+(y-1)2+z2
=5y2+17z2+16yz-2y+1
=(17z+817y) 2+(2117y-1721) 2+421
≥421=22121,
当且仅当y=1721,z=-821时等号成立,
所以|OP-OA-OB|的最小值为22121.
7.解析 (1)AC=(1,-3,2),由点D在直线AC上,可设AD=λAC=λ(1,-3,2),λ∈R,
设O为坐标原点,则OD-OA=λ(1,-3,2),则OD=OA+λ(1,-3,2)=(λ,2-3λ,3+2λ),
BD=OD-OB=(λ,2-3λ,3+2λ)-(-2,1,6)=(λ+2,1-3λ,2λ-3),
故AC·BD=(1,-3,2)·(λ+2,1-3λ,2λ-3)=λ+2-3+9λ+4λ-6=14λ-7=0,∴λ=12,∴OD=12,12,4,∴D12,12,4.
(2)∵BA=(2,1,-3),BC=(3,-2,-1),
∴|BA|=22+12+(-3)2=14,|BC|=32+(-2)2+(-1)2=14,
BA·BC=2×3+1×(-2)+(-3)×(-1)=7,
∴cs B=cs=BA·BC|BA||BC|=714×14=12,∴sin B=32,
故平行四边形的面积为14×14×32=73,
所以以BA,BC为邻边的平行四边形的面积为73.
8.A 如图所示,建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为3,则P(3,0,2),C(0,3,0),D1(0,0,3),设M(3,y,z)(0≤y≤3,0≤z≤3),则D1M=(3,y,z-3),CP=(3,-3,2),因为D1M⊥CP,所以D1M·CP=0,即9-3y+2(z-3)=0,整理得3y-2z-3=0,所以点M的轨迹方程是关于y,z的二元一次方程,所以轨迹是直线3y-2z-3=0上的一段线段.故选A.
9.解析 (1)证明:如图,取PD的中点M,连接FM,EM.
因为F是PC的中点,
所以MF∥CD且MF=12CD,
在矩形ABCD中,E为AB的中点,
所以BE∥CD且BE=12CD,
所以BE∥MF且BE=MF,
所以四边形BFME为平行四边形,
所以BF∥EM,
又BF⊄平面PDE,ME⊂平面PDE,
所以BF∥平面PDE.
(2)在棱PB上存在一点G,使得EG⊥DE,且点G是棱PB的一个四等分点,满足BP=4BG.
证明如下:
因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,且PD⊥AD,PD⊂平面PAD,
所以PD⊥平面ABCD.
所以DA,DC,DP两两垂直,分别以DA,DC,DP所在直线为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,
设AD=DP=1,则AP=AB=2,
则D(0,0,0),P(0,0,1),B(1,2,0),E1,22,0,设存在实数λ∈[0,1],使得PG=λPB=(λ,2λ,-λ),
则G(λ,2λ,1-λ),
所以EG=λ-1,2λ-22,1-λ,DE=1,22,0,
所以EG·DE=λ-1+2λ-22×22=2λ-32=0,所以λ=34,
所以点G是棱PB的一个四等分点,且BP=4BG.