2025年高考一轮复习系列（新高考新题型）2.4指数运算及指数函数含解析答案

这是一份2025年高考一轮复习系列（新高考新题型）2.4指数运算及指数函数含解析答案，共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
2．已知函数，则函数单调递增区间为（ ）
A．B．C．D．
3．若函数（且）在区间上的值域为，则实数的值为（ ）
A．B．2C．3D．
4．函数的最大值为（ ）
A．4B．3C．D．
5．给出下列函数，其中为指数函数的是（ ）
A．B．C．D．
6．若，则（ ）
A．B．C．D．
7．已知函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
8．设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
9．若函数是上的减函数，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
10．若函数在区间内单调递减，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
11．函数，的值域是（ ）
A．B．C．D．
12．函数的值域是（ ）
A．B．C．D．
13．已知指数函数的图象经过点，则（ ）
A．B．C．2D．4
14．若函数（，且）满足，则的值为（ ）
A．±B．±3C．D．3
15．已知，，，则a，b，c（ ）
A．B．C．D．
16．已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
17．若，则（ ）
A．B．
C．D．
18．已知实数a，b，c满足，，，则（ ）
A．B．C．D．
19．已知函数，则的解集为（ ）
A．B．
C．D．
20．使得“函数在区间上单调递减”成立的一个充分不必要条件可以是（ ）
A．B．1C．D．0
21．设函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
22．已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
23．已知函数的值域为．若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
24．已知函数的值域为R，则a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
25．设函数，则函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
26．若函数是指数函数，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
27．下列根式与分数指数幂的互化正确的是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
28．函数的严格增区间是 .
29．函数的值域为 ．
30．已知函数，则的最大值是 .
31．已知函数，则的值域为 ．
32．当时，函数的值域为 .
33．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 .（用区间或集合作答）
34．函数的定义域为
35．函数的定义域是 ．
36．已知函数的定义域为，则 ．
37．已知函数，则不等式的解集为 .
38．若函数的值域为，则实数的取值范围为 ．
39．函数的值域为 .
40．化简下列各式：
（1） =
（2）（=
（3 设，则的值为
四、解答题
41．函数是指数函数，求的值．
42．计算下列各式.
(1)；
(2)
(3)；
(4)；
(5)；
(6)；
(7)已知，求的值.
43．化简求值：
(1)；
(2).
(3)；
(4)已知，计算：.
参考答案：
1．C
【分析】由指数函数与对数函数的单调性判断即得答案.
【详解】，，
因为在上单调递增，
所以，即，
又在上单调递增，
可得，即，
所以，
故选：C.
2．C
【分析】利用指数型复合函数的单调性求解.
【详解】令在单调递增，单调递减，
所以函数在单调递减，单调递增，
故选:C.
3．B
【分析】分与两种情况，结合函数单调性得到方程组，求出答案.
【详解】①当时，单调递增，
故，解得；
②当时，单调递减，
，无解，
综上可知.
故选：B
4．A
【分析】根据指数函数的单调性求值域即可求解.
【详解】函数在上单调递减，
当时，函数取得最大值，最大值为.
故选：.
5．C
【分析】利用指数函数的定义进行判断即可得解.
【详解】因为指数函数的形式为且，
所以是指数函数，即C正确；而ABD中的函数都不满足要求，故ABD错误.
故选：C.
6．A
【分析】利用指数函数和幂函数的单调性比较大小.
【详解】∵指数函数在上单调递增，
且，
∴，即.
∵幂函数在上单调递增，且，
∴，即，
∴.
故选：A.
7．A
【分析】解法一：判断函数的单调性，再利用单调性解不等式即可.
解法二：特值排除法.
【详解】解法一：函数的定义域为R，函数分别是R上的增函数和减函数，
因此函数是R上的增函数，由，得，解得，
所以原不等式的解集是.
故选：A
解法二：特值当时，，排除B，D，当时，，排除C，
对A：当时，，因为函数是R上的增函数，所以，故A成立.
故选A．
8．D
【分析】根据题意，由复合函数的单调性，列出不等式，代入计算，即可得到结果.
【详解】函数在上单调递增，而函数在区间上单调递减，
所以在区间单调递减，所以，解得．
故选：D．
9．A
【分析】根据题意，利用指数函数、二次函数的单调性，以及分段函数的性质，列出不等式组，即可求解.
【详解】由函数在上为单调递减函数，
则满足，解得，
即实数的取值范围为.
故选：A.
10．A
【分析】利用“同增异减”判断复合函数的单调性，从而求参数的取值范围.
【详解】设，，则在上单调递增.
因为在区间内单调递减，所以函数在区间内单调递减，
结合二次函数的图象和性质，可得：，解得4.
故选：
11．C
【分析】根据二次函数的性质求出指数的范围，再根据指数函数的性质即可得解.
【详解】函数，是由和，复合而成，
因为对称轴为，开口向上，
所以在单调递减，在单调递增，
所以时，，时，，
所以，
因为在上单调递增，所以，
所以函数，的值域是.
故选：C.
12．A
【分析】根据指数函数的性质，求得，即可得到的值域.
【详解】由指数函数的性质，可得，所以，即的值域是.
故选：A．
13．A
【分析】根据给定条件，结合指数函数定义求出即可计算得解.
【详解】由指数函数的图象经过点，得，解得，
所以.
故选：A
14．C
【分析】首先由可求得的值，即可得函数表达式，进一步代入求值即可.
【详解】因为，所以，从而，.
故选：C.
15．D
【分析】根据给定条件，构造函数，利用导数探讨单调性即可比较大小.
【详解】令，求导得，
当时，，则在上单调递减，
则，即，而，于是，
所以.
故选：D
16．B
【分析】令，即可判断为奇函数，从而得到关于对称，则，再判断的单调性，由对称性将不等式化为，再由单调性转化为自变量的不等式，解得即可.
【详解】因为，令，，
则，
所以为奇函数，则关于原点对称，所以关于对称，
则，
则在定义域上单调递增，在上单调递减，所以在定义域上单调递减，
则在定义域上单调递减，
则不等式，即，所以，
则，解得，即实数的取值范围是.
故选：B
17．B
【分析】利用构造函数法，结合导数的性质判断函数的单调性，利用单调性进行判断即可.
【详解】由题意知，
令，则，
所以在上单调递减，又，
所以，即，所以，即，所以，
又，又，所以，
所以，所以．
故选：B．
【点睛】关键点睛：本题的关键是对已知实数进行变形，然后构造函数，利用函数的单调性进行判断.
18．A
【分析】根据条件，得到，利用函数的单调性，即可得到，而，即可求出结果.
【详解】因为，得到，又，函数是减函数，
所以，又，得到，
所以，
故选：A.
19．A
【分析】化简，设，把不等式化为，由函数单调性和奇偶性的判定方法，得到为定义域上的奇函数，且为单调递增函数，转化为，得到，即可求解.
【详解】由函数，
设，
则不等式，可化为，
即，
又由函数的定义域为，关于原点对称，
且，所以为奇函数，
又由函数为上的增函数，为上的减函数，
所以函数为上的增函数，
所以不等式，即为，
可得，解得，即不等式的解集为.
故选：A.
20．D
【分析】根据指数型复合函数的单调性确定函数在区间 上单调递减成立的充要条件，从而可得其成立的一个充分不必要条件.
【详解】由于函数在上单调递减，
函数在区间上单调递减，
所以函数在上单调递增，
则，解得，
所以函数在区间上单调递减的充要条件为，
那么其成立的一个充分不必要条件可以是.
故选：D.
21．A
【分析】根据给定函数，利用指数函数、二次函数单调性，结合得便函数单调性求出的单调递增区间，再借助集合的包含关系求解即得.
【详解】函数在上单调递减，在上单调递增，
函数在R上单调递减，因此函数的递增区间是，递减区间是，
依题意，，则，解得，
所以实数的取值范围为.
故选：A
22．D
【分析】由于当时，，所以当时，求出的最小值，使其最小值小于等于1即可.
【详解】当时，，
当时， ，
因为函数的值域为，
所以，得，
所以实数的取值范围是，
故选：D.
23．B
【分析】对实数分类讨论，根据二次函数的性质及指数函数的值域可得结果.
【详解】当时，，符合题意；
当时，因为函数的值域为满足，
由指数函数的单调性可知，即二次函数的最小值小于或等于零；
若时，依题意有的最小值，即，
若时，不符合题意；
综上：，
故选：B.
24．C
【分析】求出函数的函数值集合，再由分段函数值域的意义求出a的范围作答.
【详解】当时，，而函数在上单调递增，又是增函数，
因此函数在上单调递增，，即函数在上的值域为，
当时，函数的值域为，而函数的值域为R，因此，
而当时，，必有，解得，
所以a的取值范围是.
故选：C
25．D
【分析】求出的定义域后可求的定义域，
【详解】因为，所以，故，
故的定义域为，
令，则，故的定义域为.
故选：D.
26．AB
【分析】根据指数函数的定义求解.
【详解】因为函数是指数函数，
所以，解得或.
故选：AB
27．CD
【分析】根据分式与指数幂的互化逐项判断可得答案.
【详解】对A：，错；
对B：，错；
对C：，对；
对D：，对.
故选：CD
28．
【分析】由指数函数、二次函数单调性结合复合函数单调性单调性即可求解.
【详解】因为关于单调递减，若函数关于单调递增，
则由复合函数单调性可知只需单调递减即可，
而的单调递减区间为，
所以函数的严格增区间是.
故答案为：.
29．
【详解】将函数变形为，再结合指数函数与幂函数的性质计算可得.
【分析】因为，
又，所以，所以，所以，
所以，
所以函数的值域为.
故答案为：
30．16
【分析】求出的范围，根据复合函数的单调性求解.
【详解】由，而，
因为单调递增，所以，则的最大值是16.
故答案为：16
31．
【分析】根据指数函数和对勾函数的单调性求值域即可.
【详解】当时，；
当时，在上单调递增，单调递减，所以，
综上可得的值域为.
故答案为：.
32．
【分析】利用换元法及二次函数的性质计算可得.
【详解】因为，
令，由于，则，
则原函数可化为，，
当时，取最小值，当时，取最大值，
故，即.
故答案为：
33．/
【分析】由已知及指数的性质可得，即可求的定义域.
【详解】由题设，，可得，
∴的定义域为.
故答案为：
34．
【分析】利用根号的性质及指数单调性求解即可.
【详解】由题，即，即，
因为为单调递增函数，所以，即
故答案为：
35．.
【分析】由二次根式的被开方数非负和分式的分母不为零，即可求得结果.
【详解】由题意得，
解得且，
所以函数的定义域为，
故答案为：.
36．
【分析】由已知可得不等式的解集为，可知为方程的根，即可求得实数的值.
【详解】由题意可知，不等式的解集为，则，解得，
当时，由，可得，解得，合乎题意.
故答案为：.
37．
【分析】令，分析函数的定义域、奇偶性与单调性，将所求不等式变形为，结合函数的单调性可得出关于的不等式，解之即可.
【详解】设，则函数定义域为，
因为，
故函数为奇函数，
因为函数、、、均为上的增函数，
故函数为上的增函数，
因为，
由可得，
可得，
所以，，即，解得.
因此，不等式的解集为.
故答案为：.
38．
【分析】由指数函数性质求解
【详解】令，由题意得的值域为，
又的值域为，所以解得
所以的取值范围为．
故答案为：
39．
【分析】利用换元法结合二次函数求值域即可.
【详解】设，则，
换元得，
显然当时，函数取到最小值，
所以函数的值域为．
故答案为：.
40． 0 / 7
【分析】（1）根据指数幂的运算性质，化简求值，即得答案；
（2）将根式化为指数幂的形式，结合指数幂的运算，即可求得答案；
（3）将平方，即可求得答案.
【详解】（1）
.
（2）；
（3）因为，
.
故答案为：（1）0；（2）；（3）7
41．
【分析】根据指数函数的定义直接求解即可.
【详解】由是指数函数，
可得，解得．
42．(1)
(2)
(3)4
(4)
(5)
(6)
(7)2
【分析】根据题意，结合指数幂的运算法则和运算性质，逐个计算，即可求解.
【详解】（1）解：由指数幂的运算法则和运算性质，可得：
.
（2）解：由指数幂的运算法则和运算性质，可得：
.
（3）解：由指数幂的运算法则和运算性质，可得：
.
（4）解：由指数幂的运算法则和运算性质，可得：
.
（5）解：由指数幂的运算法则和运算性质，可得：
.
（6）解：由指数幂的运算法则和运算性质，可得：
.
（7）解：因为，所以，所以，
则，
所以.
43．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）把根式转化为分数指数幂化简即可.
（2）（3）分数指数幂的运算法则，结合分母有理化计算即可.
（4）多次进行完全平方运算，结合指数幂的运算法则即可求解.
【详解】（1）.
（2）.
（3）
.
（4），即，
，，即，
，
.