(新高考)高考数学一轮考点复习2.4《指数与指数函数》课时跟踪检测(含详解)

这是一份(新高考)高考数学一轮考点复习2.4《指数与指数函数》课时跟踪检测(含详解)，共7页。试卷主要包含了基础练——练手感熟练度，综合练——练思维敏锐度，自选练——练高考区分度等内容，欢迎下载使用。

1．函数y＝ln(2x－1)的定义域是( )
A．[0，＋∞) B．[1，＋∞)
C．(0，＋∞) D．(1，＋∞)
解析：选C 由2x－1>0，得x>0，所以函数的定义域为(0，＋∞).
2．函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2x－x2的值域为( )
A.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞)) B．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,2)))
C.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2))) D．(0,2]
解析：选A 设t＝2x－x2，则t≤1，所以y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))t，t≤1，所以y∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))，故选A.
3．化简4a SKIPIF 1 < 0 ·b SKIPIF 1 < 0 ÷eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)a SKIPIF 1 < 0 b SKIPIF 1 < 0 ))的结果为( )
A．－eq \f(2a,3b) B．－eq \f(8a,b)
C．－eq \f(6a,b) D．－6ab
解析：选C 原式＝－6a SKIPIF 1 < 0 b SKIPIF 1 < 0 ＝－6ab－1＝－eq \f(6a,b).
4．已知函数f(x)＝4＋2ax－1的图象恒过定点P，则点P的坐标是( )
A．(1,6) B．(1,5)
C．(0,5) D．(5,0)
解析：选A 由于函数y＝ax的图象过定点(0,1)，当x＝1时，f(x)＝4＋2＝6，故函数f(x)＝4＋2ax－1的图象恒过定点P(1,6)．
5．已知a＝20.2，b＝0.40.2，c＝0.40.6，则a，b，c的大小关系是( )
A．a＞b＞c B．a＞c＞b
C．c＞a＞b D．b＞c＞a
解析：选A 由0.2＜0.6,0.4＜1，并结合指数函数的图象可知0.40.2＞0.40.6，即b＞c；因为a＝20.2＞1，b＝0.40.2＜1，所以a＞b.综上，a＞b＞c.
二、综合练——练思维敏锐度
1．(2021·衡水模拟)已知ab＝－5，则a eq \r(－\f(b,a))＋b eq \r(－\f(a,b))的值是( )
A．2eq \r(5) B．0
C．－2eq \r(5) D．±2eq \r(5)
解析：选B 由题意知ab<0，a eq \r(－\f(b,a))＋b eq \r(－\f(a,b))＝a eq \r(－\f(ab,a2))＋b eq \r(－\f(ab,b2))＝a eq \r(\f(5,a2))＋b eq \r(\f(5,b2))＝aeq \f(\r(5),|a|)＋beq \f(\r(5),|b|)＝0.故选B.
2．已知0A．ba B．aa
C．ab D．bb
解析：选C ∵0aa，ba又∵y＝xb在(0，＋∞)上为增函数，∴ab>bb，∴在ab，ba，aa，bb中最大的是ab.故选C.
3．函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3))) SKIPIF 1 < 0 的值域为( )
A．(0,1) B．(1，＋∞)
C．(2，＋∞) D．(0,1)∪(1，＋∞)
解析：选D 由eq \f(2,x＋1)≠0，得y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3))) SKIPIF 1 < 0 ≠1，又y>0，所以值域为(0,1)∪(1，＋∞)，故选D.
4．函数y＝ax(a>0且a≠1)与函数y＝(a－1)x2－2x－1在同一个坐标系内的图象可能是( )
解析：选C 两个函数分别为指数函数和二次函数，其中二次函数过点(0，－1)，故排除A、D；二次函数的对称轴为直线x＝eq \f(1,a－1)，当01时，指数函数递增，eq \f(1,a－1)>0，B不符合题意，故选C.
5．已知定义在R上的函数f(x)＝2|x－m|－1为偶函数，记a＝f(lg0.53)，b＝f(lg25)，c＝f(2m)，则a，b，c的大小关系是( )
A．aC．c解析：选C 函数f(x)＝2|x－m|－1为偶函数，则m＝0，故f(x)＝2|x|－1，a＝f(lg0.53)＝2|lg0.53 |－1＝2lg23－1＝2，b＝f(lg25)＝2 lg25－1＝4，c＝f(0)＝20－1＝0.所以c6．(2021·安徽皖江名校模拟)若ea＋πb≥e－b＋π－a，则有( )
A．a＋b≤0 B．a－b≥0
C．a－b≤0 D．a＋b≥0
解析：选D 令f(x)＝ex－π－x，则f(x)在R上单调递增，因为ea＋πb≥e－b＋π－a，所以ea－π－a≥e－b－πb，则f(a)≥f(－b)，所以a≥－b，即a＋b≥0.故选D.
7．(多选)已知函数f(x)＝eq \f(2x－1,2x＋1)，下面说法正确的有( )
A．f(x)的图象关于原点对称
B．f(x)的图象关于y轴对称
C．f(x)的值域为(－1,1)
D．∀x1，x2∈R，且x1≠x2，eq \f(fx1－fx2,x1－x2)＜0
解析：选AC 对于选项A，f(x)＝eq \f(2x－1,2x＋1)，定义域为R，则f(－x)＝eq \f(2－x－1,2－x＋1)＝eq \f(1－2x,1＋2x)＝ －f(x)，则f(x)是奇函数，图象关于原点对称，故A正确；对于选项B，计算f(1)＝eq \f(2－1,2＋1)＝eq \f(1,3)，f(－1)＝eq \f(\f(1,2)－1,\f(1,2)＋1)＝－eq \f(1,3)≠f(1)，故f(x)的图象不关于y轴对称，故B错误；对于选项C，f(x)＝eq \f(2x－1,2x＋1)＝1－eq \f(2,1＋2x)，令1＋2x＝t，t∈(1，＋∞)，则f(x)＝g(t)＝1－eq \f(2,t)，易知1－eq \f(2,t)∈(－1,1)，故f(x)的值域为(－1,1)，故C正确；对于选项D，易知函数t＝1＋2x在R上单调递增，且y＝1－eq \f(2,t)在t∈(1，＋∞)上单调递增，根据复合函数的单调性，可知f(x)＝1－eq \f(2,1＋2x)在R上单调递增，故∀x1，x2∈R，且x1≠x2，eq \f(fx1－fx2,x1－x2)>0，故D错误．故选A、C.
8．化简：(2eq \r(3,a2)·eq \r(b))(－6eq \r(a)·eq \r(3,b))÷(－3eq \r(6,a)·eq \r(6,b5))＝_______.
解析：(2eq \r(3,a2)·eq \r(b))(－6eq \r(a)·eq \r(3,b))÷(－3eq \r(6,a)·eq \r(6,b5))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2a SKIPIF 1 < 0 ·b SKIPIF 1 < 0 ))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－6a SKIPIF 1 < 0 ·b SKIPIF 1 < 0 ))÷eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－3a SKIPIF 1 < 0 ·b SKIPIF 1 < 0 ))＝4a SKIPIF 1 < 0 ·b SKIPIF 1 < 0 ＝4a1·b0＝4a.
答案：4a
9．若函数f(x)＝ax－1(a>0且a≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a的值为________．
解析：当0当a>1时，f(x)＝ax－1在[0,2]上为增函数，又函数f(x)的定义域和值域都是[0,2]，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f0＝0，,f2＝a2－1＝2，,a>1，))解得a＝eq \r(3)，所以实数a的值为eq \r(3).
答案：eq \r(3)
10．当x∈(－∞，－1]时，不等式(m2－m)·4x－2x<0恒成立，则实数m的取值范围是________．
解析：∵(m2－m)·4x－2x<0在(－∞，－1]上恒成立，∴(m2－m)答案：(－1,2)
11．设a>0，且a≠1，函数y＝a2x＋2ax－1在[－1,1]上的最大值是14，求实数a的值．
解：令t＝ax(a>0，且a≠1)，
则原函数化为y＝f(t)＝(t＋1)2－2(t>0)．
①当0此时f(t)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(a，\f(1,a)))上为增函数．
所以f(t)max＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋1))2－2＝14.
所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋1))2＝16，解得a＝－eq \f(1,5)(舍去)或a＝eq \f(1,3).
②当a>1时，x∈[－1,1]，t＝ax∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,a)，a))，
此时f(t)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,a)，a))上是增函数．
所以f(t)max＝f(a)＝(a＋1)2－2＝14，
解得a＝3或a＝－5(舍去)．
综上得a＝eq \f(1,3)或3.
12．已知函数f(x)＝2a·4x－2x－1.
(1)当a＝1时，求函数f(x)在x∈[－3,0]上的值域；
(2)若关于x的方程f(x)＝0有解，求a的取值范围．
解：(1)当a＝1时，f(x)＝2·4x－2x－1＝2(2x)2－2x－1，
令t＝2x，因为x∈[－3,0]，所以t∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,8)，1)).
故y＝2t2－t－1＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(1,4)))2－eq \f(9,8)，t∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,8)，1))，
故值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(9,8)，0)).
(2)设2x＝m>0，关于x的方程2a(2x)2－2x－1＝0有解，
等价于方程2am2－m－1＝0在(0，＋∞)上有解，
记g(m)＝2am2－m－1，
当a＝0时，解为m＝－1<0，不成立．
当a<0时，开口向下，对称轴m＝eq \f(1,4a)<0，过点(0，－1)，不成立．
当a>0时，开口向上，对称轴m＝eq \f(1,4a)>0，过点(0，－1)，必有一个根为正．
综上，a的取值范围为(0，＋∞)．
13．已知定义域为R的函数f(x)＝eq \f(－2x＋b,2x＋1＋a)是奇函数．
(1)求a，b的值；
(2)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围．
解：(1)因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，即eq \f(－1＋b,2＋a)＝0，解得b＝1，
所以f(x)＝eq \f(－2x＋1,2x＋1＋a).
又由f(1)＝－f(－1)知eq \f(－2＋1,4＋a)＝－eq \f(－\f(1,2)＋1,1＋a)，解得a＝2.
(2)由(1)知f(x)＝eq \f(－2x＋1,2x＋1＋2)＝－eq \f(1,2)＋eq \f(1,2x＋1)，
由上式易知f(x)在R上为减函数，又因为f(x)是奇函数，从而不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0等价于f(t2－2t)<－f(2t2－k)＝f(－2t2＋k)．
因为f(x)是R上的减函数，由上式推得t2－2t>－2t2＋k.
即对一切t∈R有3t2－2t－k>0，
从而Δ＝4＋12k<0，解得k<－eq \f(1,3).
故k的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,3))).
三、自选练——练高考区分度
1．已知函数f(x)＝|2x－1|，af(c)>f(b)，则下列结论中，一定成立的是( )
A．a<0，b<0，c<0 B．a<0，b≥0，c>0
C．2－a<2c D．2a＋2c<2
解析：选D 作出函数f(x)＝|2x－1|的图象，如图所示．
因为af(c)>f(b)，
结合图象知，00，
所以0<2a<1.
所以f(a)＝|2a－1|＝1－2a<1，
所以f(c)<1，所以0所以1<2c<2，所以f(c)＝|2c－1|＝2c－1，
又因为f(a)>f(c)，
所以1－2a>2c－1，
所以2a＋2c<2，故选D.
2．(多选)若实数x，y满足5x－4y＝5y－4x，则下列关系式中可能成立的是( )
A．x＝y B．1C．0解析：选ACD 由题意，实数x，y满足5x－4y＝5y－4x，可化为4x＋5x＝5y＋4y，设f(x)＝4x＋5x，g(x)＝5x＋4x，由基本初等函数的性质，可得f(x)，g(x)在R上都是单调递增函数，画出函数y＝f(x)，y＝g(x)的大致图象，如图所示．根据图象可知，当x＝0时，f(0)＝g(0)＝1；当x＝1时，f(1)＝g(1)＝9.
故当x＝y＝0或1时，f(x)＝g(y)，所以5x－4y＝5y－4x成立，故A正确；
当13．(多选)设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，例如， [－3.5]＝－4，[2.1]＝2.已知函数f(x)＝eq \f(ex,1＋ex)－eq \f(1,2)，则关于函数g(x)＝[f(x)]和f(x)的叙述中正确的是( )
A．g(x)是偶函数
B．f(x)是奇函数
C．f(x)在R上是增函数
D．g(x)的值域是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－1，0，1))
解析：选BC 根据题意知f(x)＝eq \f(ex,1＋ex)－eq \f(1,2)＝eq \f(1,2)－eq \f(1,1＋ex)，定义域为R.∵g(1)＝[f(1)]＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(e,1＋e)－\f(1,2)))＝0，g(－1)＝[f(－1)]＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,e＋1)－\f(1,2)))＝－1，∴g(1)≠g(－1)，g(1)≠－g(－1)，∴函数g(x)既不是奇函数也不是偶函数，A错误；∵f(－x)＝eq \f(e－x,1＋e－x)－eq \f(1,2)＝eq \f(1,1＋ex)－eq \f(1,2)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数，B正确；由复合函数的单调性知f(x)＝eq \f(1,2)－eq \f(1,1＋ex)在R上是增函数，C正确；∵ex>0，∴1＋ex>1，∴－eq \f(1,2)

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