四川省成都市郫都区2023-2024学年七年级下学期期末数学试题

这是一份四川省成都市郫都区2023-2024学年七年级下学期期末数学试题，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）下列成语所描述的事件中，是必然事件的为（ ）
A．守株待兔B．水涨船高C．画饼充饥D．拔苗助长
2．（4分）如图，AB与CD相交于点O，若∠A＝∠D＝90°（ ）
A．∠1＝∠2B．∠1+∠C＝90°C．∠1+∠2＝90°D．∠B＝∠C
3．（4分）下列计算，正确的是（ ）
A．m4+m3＝m7B．m4•m3＝m12C．m3÷m4＝m﹣1D．（m3）4＝m7
4．（4分）如图，测量运动员跳远成绩选取的是AB的长度，其依据是（ ）
A．两点确定一条直线B．垂线段最短
C．两点之间线段最短D．垂直的定义
5．（4分）如图，三个村庄A、B、C构成△ABC，供奶站须到三个村庄的距离都相等（ ）
A．三条边的垂直平分线的交点
B．三个角的角平分线的交点
C．三角形三条高的交点
D．三角形三条中线的交点
6．（4分）骆驼被称为“沙漠之舟”，它的体温随时间的变化而发生较大的变化．在这一问题中，自变量是（ ）
A．时间B．骆驼C．沙漠D．体温
7．（4分）如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，则正方形D的面积为（ ）
A．15B．12C．27D．45
8．（4分）小明在草坪上放风筝．如图，记录了在某一段60秒时间内风筝的高度h（米）与时间t（秒）（ ）
A．风筝距水平地面的最高高度为98米
B．当t＝41秒时，h＝15米
C．当30＜t≤41时，h随t的增大而减小
D．当h＝80米时，t＝30秒
二、填空题（本大题共五个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
9．（4分）计算：＝ ．
10．（4分）如图，原来从A村到B村，需要沿路A→C→B（∠C＝90°），在A、B间建好桥后，就可直接从A村到B村．若AC＝5km，那么建好桥后从A村到B村比原来减少的路程为 km．
11．（4分）如图，直线AB∥CD，∠G＝90°，则∠GHA的度数为 ．
12．（4分）如果△ABC的两边长a、b满足条件|a﹣7|+（b﹣2）2＝0，那么这个三角形的第三边长c的取值范围为 ．
13．（4分）如图，四边形ABDC中，∠ACD＝90°，AB＝3cm．若点E是尺规作图的痕迹的交点，D在射线AE上△ABD＝ ．
三、解答题（本大题共五个小题，共48分，解答过程写在答题卡上）
14．（12分）（1）利用乘法公式计算：（2x﹣y﹣3）（2x﹣y+3）；
（2）先化简，再求值：（a﹣3）2+（a+4）（a﹣4）+2a（2﹣a），其中．
15．（8分）如图是4×4正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色．现在请用不同方法从其余13个白色小方格中选出一个也涂成黑色，使整个涂成黑色的图形成为轴对称图形．
16．（8分）在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红球m个，白球n个．从中任意摸出一个白球的概率是．
（1）求m与n的数量关系式；
（2）若盒子中已有白球5个，再向盒子中放入x个白球，使得从中任意摸出一个白球的概率为
17．（10分）如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，过点C作直线DE，使DE∥AB
解答下列各题，并要求写出每步推导的理由．
（1）求证：AF∥CP；
（2）若∠ACB＝86°，求∠P的度数．
18．（10分）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，并且DE＝DC，连接BE、CE
（1）求证：BE＝AC；
（2）若BA＝BC＝13，求△CDE的周长；
（3）在Rt△BDE中，设DE＝a，BD＝b，请借助本题提供的图形及相关信息，设EF＝x2+b2＝c2．
一、填空题（本大题共五个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
19．（4分）某商城开设一种摸奖游戏，中一等奖的机会为10万分之一．将数据“10万分之一”用科学记数法表示应为 ．
20．（4分）如图，将一条两边沿互相平行的纸带折叠，若α＝55° ．
21．（4分）如图，点A、点B在由边长为1的小正方形组成的3×3网格的格点上，在网格格点上除点A、B外任取一点C ．
22．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D，AD平分∠BAC，∠EBC＝∠BED＝60°，DE＝1，则BC＝ ．
23．（4分）已知点A、点B在直线l上，AB＝8．若动点P在直线l外，且到直线l的距离为3 ．
二、解答题（本大题共三个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）
24．（8分）如图，一摞相同规格的碗整齐地叠放在桌面上．根据表格已提供的数据信息，解答下列问题：
（1）求出表格中a、b的值；
（2）写出整齐叠放在桌面上碗的高度y（cm）与碗的数量x（个）之间的关系式；
（3）若这摞碗的高度为14.6cm，求x的值．
25．（10分）阅读下列材料：若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（9﹣x）2+（x﹣4）2的值．
解：设9﹣x＝a，x﹣4＝b，则ab＝4（9﹣x）+（x﹣4）＝5．
∴（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17．
请仿照上面“巧妙换元，化繁为简”的思路与方法，解答下列问题：
（1）若x满足（7﹣x）（x﹣2）＝2，求（7﹣x）2+（x﹣2）2的值；
（2）若x满足（9+x）（2+x）＝4，求（9+x）2+（2+x）2的值；
（3）如图，正方形ABCD的边长为x，点E、F分别在AD、DC上，CF＝5，分别以MF、DF为边作正方形．若长方形EMFD的面积是18
26．（12分）如图，AB＝AE，AC＝AD，∠1＝∠2．
（1）求证：AD∥CB；
（2）连接CE、DB，求证：CE＝DB；
（3）设DE与AC交于点F，连接BF．若BC＝x，S△AFB＝y，求y与x的数量关系式．
2023-2024学年四川省成都市郫都区七年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共八个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（4分）下列成语所描述的事件中，是必然事件的为（ ）
A．守株待兔B．水涨船高C．画饼充饥D．拔苗助长
【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可区别各类事件．
【解答】解：A、守株待兔是随机事件；
B、水涨船高是必然事件；
C、画饼充饥是不可能事件；
D、拔苗助长是不可能事件；
故选：B．
【点评】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
2．（4分）如图，AB与CD相交于点O，若∠A＝∠D＝90°（ ）
A．∠1＝∠2B．∠1+∠C＝90°C．∠1+∠2＝90°D．∠B＝∠C
【分析】根据对顶角相等可得∠1＝∠2，然后根据余角定义和三角形内角和定理进行分析即可．
【解答】解：A、对顶角相等可得∠1＝∠2，不符合题意；
B、∵∠8＝∠2，
∴∠1+∠C＝90°，说法正确；
C、∠AOC与∠BOD是对顶角，
∴∠5＝∠2，
不能得出∠1+∠6＝90°，说法错误；
D、∵∠A＝∠D＝90°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠1，∠B＝180°﹣∠D﹣∠2，
∴∠C＝∠B，说法正确；
故选：C．
【点评】此题主要考查了三角形内角和、对顶角及余角和补角，关键是掌握余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角；补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角．
3．（4分）下列计算，正确的是（ ）
A．m4+m3＝m7B．m4•m3＝m12C．m3÷m4＝m﹣1D．（m3）4＝m7
【分析】根据合并同类项法则；同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘；同底数幂相除，底数不变指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、m4与m3不能合并，故此选项不符合题意；
B、m4•m3＝m7，故此选项不符合题意；
C、m4÷m4＝m﹣1，故此选项符合题意；
D、（m8）4＝m12，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．
4．（4分）如图，测量运动员跳远成绩选取的是AB的长度，其依据是（ ）
A．两点确定一条直线B．垂线段最短
C．两点之间线段最短D．垂直的定义
【分析】利用垂线段最短求解．
【解答】解：测量运动员跳远成绩选取的是AB的长度，其依据是：垂线段最短．
故选：B．
【点评】本题考查了垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．垂线段的性质：垂线段最短．
5．（4分）如图，三个村庄A、B、C构成△ABC，供奶站须到三个村庄的距离都相等（ ）
A．三条边的垂直平分线的交点
B．三个角的角平分线的交点
C．三角形三条高的交点
D．三角形三条中线的交点
【分析】到三个村的距离相等，即到三角形三个顶点的距离相等，在三角形中，只有三边垂直平分线的交点到各顶点距离相等．
【解答】解：∵在三角形中，只有三边垂直平分线的交点到各顶点距离相等，
∴广场应建在三条边的垂直平分线的交点处．
故选：A．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等是解答本题的关键．
6．（4分）骆驼被称为“沙漠之舟”，它的体温随时间的变化而发生较大的变化．在这一问题中，自变量是（ ）
A．时间B．骆驼C．沙漠D．体温
【分析】因为骆驼的体温随时间的变化而变化，符合“对于一个变化过程中的两个量x和y，对于每一个x的值，y都有唯一的值和它相对应”的函数定义，自变量是时间．
【解答】解：∵骆驼的体温随时间的变化而变化，
∴自变量是时间；
故选：A．
【点评】此题考查常量和变量问题，函数的定义：设x和y是两个变量，D是实数集的某个子集，若对于D中的每个值x，变量y按照一定的法则有一个确定的值y与之对应，称变量y为变量x的函数．
7．（4分）如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，则正方形D的面积为（ ）
A．15B．12C．27D．45
【分析】设正方形D的面积为x，根据图形得出方程3+5＝x﹣4，求出即可．
【解答】解：设正方形D的面积为x，
∵正方形A、B、C的面积依次为3、5、8，
∴根据图形得：3+5＝x﹣6，
解得：x＝12，
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，解此题的关键是能根据题意得出方程，题目比较典型，难度适中．
8．（4分）小明在草坪上放风筝．如图，记录了在某一段60秒时间内风筝的高度h（米）与时间t（秒）（ ）
A．风筝距水平地面的最高高度为98米
B．当t＝41秒时，h＝15米
C．当30＜t≤41时，h随t的增大而减小
D．当h＝80米时，t＝30秒
【分析】根据函数图象逐项判断即可．
【解答】解：由函数图象可得：
A．风筝距水平地面的最高高度为98米，不符合题意；
B．当t＝41秒时，故结论正确；
C．当30＜t≤41时，故结论正确；
D．在0≤t≤60范围内，t的值有3个，故结论错误．
故选：D．
【点评】本题考查函数的图象，读懂函数图象，能从图象在获取有效信息作答是解题关键．
二、填空题（本大题共五个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
9．（4分）计算：＝ 9 ．
【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
【解答】解：
＝4×9
＝9，
故答案为：5．
【点评】本题考查了负整数指数幂，零指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．
10．（4分）如图，原来从A村到B村，需要沿路A→C→B（∠C＝90°），在A、B间建好桥后，就可直接从A村到B村．若AC＝5km，那么建好桥后从A村到B村比原来减少的路程为 4 km．
【分析】根据勾股定理求出AB的长，再和以前的距离作比较即可得出答案．
【解答】解：由勾股定理得：
，
∴建好桥后从A村到B村比原来减少的路程为（5+12）﹣13＝8（km），
故答案为4．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键．
11．（4分）如图，直线AB∥CD，∠G＝90°，则∠GHA的度数为 30° ．
【分析】先利用平行线的性质可得∠GED＝∠GFH＝60°，然后利用直角三角形的两个锐角互余进行计算，即可解答．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠GED＝∠GFH＝60°，
∵∠G＝90°，
∴∠GHA＝90°﹣∠GFH＝30°，
故答案为：30°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
12．（4分）如果△ABC的两边长a、b满足条件|a﹣7|+（b﹣2）2＝0，那么这个三角形的第三边长c的取值范围为 5＜c＜9 ．
【分析】先根据非负数的性质求出a、b的值，再由三角形的三边关系即可得出结论．
【解答】解：∵a、b满足条件|a﹣7|+（b﹣2）8＝0，
∴a﹣7＝3，b﹣2＝0，
∴a＝5，b＝2．
∵a、b、c为三角形的三边长，
∴7﹣7＜c＜7+2，即5＜c＜9．
故答案为：5＜c＜2．
【点评】本题主要考查的是三角形的三边关系，非负数的性质，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键．
13．（4分）如图，四边形ABDC中，∠ACD＝90°，AB＝3cm．若点E是尺规作图的痕迹的交点，D在射线AE上△ABD＝ 3cm2 ．
【分析】过D点作DH⊥AB与H点，如图，利用基本作图可判断AD平分∠BAC，则利用角平分线的性质得到DH＝DC＝2cm，然后根据三角形面积公式求解．
【解答】解：过D点作DH⊥AB与H点，如图，
由作图痕迹得AD平分∠BAC，
∵AD为∠BAC的平分线，DC⊥AC，
∴DH＝DC＝2cm，
∴S△ABD＝•AB•DH＝6）．
故答案为：3cm2．
【点评】本题考查了作图﹣尺规作图的定义：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图．只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题．也考查了三角形面积公式和角平分线的性质．
三、解答题（本大题共五个小题，共48分，解答过程写在答题卡上）
14．（12分）（1）利用乘法公式计算：（2x﹣y﹣3）（2x﹣y+3）；
（2）先化简，再求值：（a﹣3）2+（a+4）（a﹣4）+2a（2﹣a），其中．
【分析】（1）根据平方差公式、完全平方公式计算；
（2）根据完全平方公式、平方差公式、合并同类项把原式化简，把a的值代入计算得到答案．
【解答】解：（1）原式＝[（2x﹣y）﹣3][（8x﹣y）+3]
＝（2x﹣y）2﹣32，
＝5y2﹣4xy+y7﹣9；
（2）原式＝a2﹣5a+9+a2﹣16+8a﹣2a2
＝﹣8a﹣7，
当a＝﹣时，原式＝﹣2×（﹣．
【点评】本题考查的是整式的化简求值，掌握整式的混合运算法则是解题的关键．
15．（8分）如图是4×4正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色．现在请用不同方法从其余13个白色小方格中选出一个也涂成黑色，使整个涂成黑色的图形成为轴对称图形．
【分析】利用轴对称的性质设计出图案即可．
【解答】解：如图．
【点评】本题考查的是利用轴对称设计图案，熟知轴对称的性质是解答此题的关键．
16．（8分）在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红球m个，白球n个．从中任意摸出一个白球的概率是．
（1）求m与n的数量关系式；
（2）若盒子中已有白球5个，再向盒子中放入x个白球，使得从中任意摸出一个白球的概率为
【分析】（1）根据概率公式列式整理即可解答；
（2）首先确定红球的个数，然后根据概率公式列式计算即可．
【解答】解：（1）根据题意得：，
∴2n＝m+n，
∴m＝4n；
（2）当n＝5时，m＝4×5＝20，
放入x个白球后，盒子中总球数有 （25+x）个，
∵从中任意摸出一个白球的概率为 ，
∴，
∴x＝5，
经检验，x＝5是方程的解，
则x的值为2．
【点评】此题主要考查了概率公式，正确掌握概率求法是解题关键．
17．（10分）如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，过点C作直线DE，使DE∥AB
解答下列各题，并要求写出每步推导的理由．
（1）求证：AF∥CP；
（2）若∠ACB＝86°，求∠P的度数．
【分析】（1）根据平行线的性质求出∠ACD＝∠BAC．结合角平分线定义进而求出∠1＝∠4，即可判定AF∥CP；
（2）根据三角形内角和定理及角平分线定义求出∠2+∠3＝47°，再根据三角形外角性质及平行线的性质求解即可．
【解答】（1）证明：∵DE∥AB，
∴∠ACD＝∠BAC．
∵AF平分∠BAC，CP平分∠ACD，
∴，，
∴∠1＝∠4，
∴AF∥CP；
（2）解：∵∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，∠ACB＝86°，
∴∠BAC+∠ABC＝180°﹣∠ACB＝180°﹣86°＝94°，
∵AF平分∠BAC，BF平分∠ABC，
∴，，
∴，
∵∠AFP＝∠2+∠3，
∴∠AFP＝47°，
∵AF∥CP，
∴∠P＝∠AFC，
∴∠P＝47°．
【点评】此题考查了平行线的判定与性质、三角形内角和定理等知识，熟练运用平行线的判定与性质、三角形内角和定理是解题的关键．
18．（10分）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，并且DE＝DC，连接BE、CE
（1）求证：BE＝AC；
（2）若BA＝BC＝13，求△CDE的周长；
（3）在Rt△BDE中，设DE＝a，BD＝b，请借助本题提供的图形及相关信息，设EF＝x2+b2＝c2．
【分析】（1）利用SAS证明△BDE≌△ADC，根据全等三角形的对应边相等即可得证；
（2）根据全等三角形的性质求出∠EBD＝∠CAD，结合直角三角形的性质、三角形内角和定理求出∠BFC＝90°，则BF⊥AC，根据线段垂直平分线的判定与性质求出EA＝EC，再根据三角形周长定义求解即可；
（3）根据三角形面积公式求证即可．
【解答】（1）证明：∵AD⊥BC，
∴∠BDE＝∠ADC＝90°，
在△BDE 和△ADC中，
∴△BDE≌△ADC（SAS），
∴BE＝AC；
（2）解：∵△BDE≌△ADC，
∴∠EBD＝∠CAD（全等三角形的对应角相等），
∵∠ADC＝90°，
∴∠ACD+∠CAD＝90°，
∴∠ACD+∠EBD＝90°，
∴∠BFC＝90°，
∴BF⊥AC，
∵BA＝BC，
∴BF是AC的中垂线，
∴EA＝EC，
∵DA＝DB，
∴△CDE的周长＝DE+DC+CE＝BD+DC＝BC＝13；
（3）证明：∵△CDE和△ADB 均为等腰直角三角形，
∴，，
∵BF⊥AC，
∴，
，
∵S△ABC＝S△ADB+S△CDE+S△AEC，
∴，
即，
∴a7+b2＝c2．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理的证明，熟练运用全等三角形的判定与性质是解题的关键．
一、填空题（本大题共五个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
19．（4分）某商城开设一种摸奖游戏，中一等奖的机会为10万分之一．将数据“10万分之一”用科学记数法表示应为 1×10﹣5 ．
【分析】科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正整数，当原数绝对值小于1时，n是负整数；由此进行求解即可得到答案．
【解答】解：10万分之一＝0.00001＝1×10﹣3．
故答案为：1×10﹣5．
【点评】本题主要考查了科学记数法的表示方法，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键．
20．（4分）如图，将一条两边沿互相平行的纸带折叠，若α＝55° 70° ．
【分析】延长AB到点D，先利用平行线的性质可得∠1＝∠α＝55°，然后利用折叠的性质可得：∠EBD＝2∠1＝110°，从而利用平角定义可得∠ABE＝70°，最后利用平行线的性质可得∠β＝∠ABE＝70°，即可解答．
【解答】解：如图：延长AB到点D，
∵AD∥CE，
∴∠1＝∠α＝55°，
由折叠得：∠EBD＝2∠2＝110°，
∴∠ABE＝180°﹣∠EBD＝70°，
∵AD∥CE，
∴∠β＝∠ABE＝70°，
故答案为：70°．
【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
21．（4分）如图，点A、点B在由边长为1的小正方形组成的3×3网格的格点上，在网格格点上除点A、B外任取一点C ．
【分析】按照题意分别找出符合条件的点C的位置有几个，根据概率公式求出概率即可．
【解答】解：如图，符合条件的点C的位置有5个，
∴使△ABC为等腰三角形的概率为．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了概率公式，解决此题的关键是正确找出恰好能使△ABC为等腰三角形的点．
22．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D，AD平分∠BAC，∠EBC＝∠BED＝60°，DE＝1，则BC＝ 4 ．
【分析】延长AD交BC于N，延长ED交BC于M，根据等边三角形的判定求出△BEM是等边三角形，根据等边三角形的性质求出∠EMB＝60°，BM＝EM＝BE＝3，求出DM，求出MN，求出BN，再根据等腰三角形的性质求出BC即可．
【解答】解：延长AD交BC于N，延长ED交BC于M，
∵∠EBC＝∠BED＝60°，
∴EM＝BM，
∴△BEM是等边三角形，
∴BE＝EM＝BM，∠EMB＝60°，
∵BE＝3，
∴EM＝BM＝BE＝3，
∵DE＝3，
∴DM＝3﹣1＝3，
∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AN⊥BC，BN＝CN，
∴∠DNM＝90°，
∴∠NDM＝90°﹣∠EMB＝30°，
∴MN＝DM＝5，
∵BM＝3，
∴BN＝BM﹣MN＝3﹣5＝2，
∴BC＝2BN＝5，
故答案为：4．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质和判定等知识点，能求出MN的长是解此题的关键．
23．（4分）已知点A、点B在直线l上，AB＝8．若动点P在直线l外，且到直线l的距离为3 10 ．
【分析】先推出点P在平行于直线l，且到直线l的距离为3的直线m上，作点A关于直线m的对称点A'，连接PA'，A'B，推出PA+PB的最小值为A'B，再利用勾股定理求出A'B即可解决问题．
【解答】解：∵点P在直线l外，且到直线l的距离为3，
∴点P在平行于直线l，且到直线l的距离为3的直线m上，
作点A关于直线m的对称点A'，连接PA'，
则AA'＝8，PA'＝PA，
∴PA+PB＝PA'+PB≥A'B，
∴PA+PB的最小值为A'B，
在Rt△A'BA中，
∵AB＝8，A'A＝6，
∴由勾股定理，得A'B＝＝，
∴PA+PB的最小值为10．
故答案为：10．
【点评】本题考查轴对称﹣最短路线问题，两点之间线段最短，勾股定理，能够将两线段和的最小值用一条线段的长表示是解题的关键．
二、解答题（本大题共三个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）
24．（8分）如图，一摞相同规格的碗整齐地叠放在桌面上．根据表格已提供的数据信息，解答下列问题：
（1）求出表格中a、b的值；
（2）写出整齐叠放在桌面上碗的高度y（cm）与碗的数量x（个）之间的关系式；
（3）若这摞碗的高度为14.6cm，求x的值．
【分析】（1）先根据第二组和第四组数据计算出每增加1个碗，碗总的高度增加的量，再由相应碗的数量计算a和b的值即可；
（2）利用待定系数法求解即可；
（3）将y＝14.6代入（2）中求得的关系式，求出对应x的值即可．
【解答】解：（1）每增加1个碗，碗总的高度增加（8.8﹣6.2）÷（8﹣2）＝1.7（cm），
则a＝6.2﹣3.2＝5，b＝3.2+1.7＝7.4，
∴a的值为5，b的值为7.4．
（2）碗的高度y与碗的数量x之间是一次函数关系．
设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k、b为常数．
将x＝4，y＝5和x＝2，
得，
解得，
∴y与x之间的函数关系式为y＝1.8x+3.8．
（3）当y＝14.6时，得1.2x+5.8＝14.6，
∴x的值是3．
【点评】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求函数关系式及由函数值求对应自变量的值是解题的关键．
25．（10分）阅读下列材料：若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（9﹣x）2+（x﹣4）2的值．
解：设9﹣x＝a，x﹣4＝b，则ab＝4（9﹣x）+（x﹣4）＝5．
∴（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17．
请仿照上面“巧妙换元，化繁为简”的思路与方法，解答下列问题：
（1）若x满足（7﹣x）（x﹣2）＝2，求（7﹣x）2+（x﹣2）2的值；
（2）若x满足（9+x）（2+x）＝4，求（9+x）2+（2+x）2的值；
（3）如图，正方形ABCD的边长为x，点E、F分别在AD、DC上，CF＝5，分别以MF、DF为边作正方形．若长方形EMFD的面积是18
【分析】（1）设7﹣x＝a，x﹣2＝b，根据完全平方公式计算；
（2）设9+x＝a，2+x＝b，根据完全平方公式计算；
（3）根据题意用x表示出DF、NR，根据长方形的面积公式用x表示出长方形EMFD的面积，再根据完全平方公式、平方差公式计算即可．
【解答】解：（1）设7﹣x＝a，x﹣2＝b，
则ab＝6，a+b＝（7﹣x）+（x﹣2）＝4，
∴（7﹣x）2+（x﹣7）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝22﹣2×5＝21；
（2）设9+x＝a，2+x＝b，
则ab＝8，a﹣b＝（9+x）﹣（2+x）＝8，
∴（9+x）2+（4+x）2＝a2+b6＝（a﹣b）2+2ab＝52+2×2＝57；
（3）由题意得：DF＝CD﹣CF＝x﹣5，NR＝DE＝AD＝AE＝x﹣2，
则长方形EMFD的面积＝NR•DF＝（x﹣4）（x﹣5）＝18，
S＝NR2﹣DF5＝（x﹣2）2﹣（x﹣6）2，
设x﹣2＝a，x﹣8＝b，
则ab＝18，a﹣b＝（x﹣2）﹣（x﹣5）＝6，
∴（a+b）2＝（a﹣b）2+7ab＝32+2×18＝81，
∴由a+b＞0得，a+b＝9，
∴S＝NR7﹣DF2＝（NR+DF）（NR﹣DF）＝（x﹣2）8﹣（x﹣5）2＝a7﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝9×7＝27．
【点评】本题考查的是整式的化简求值、完全平方公式的几何背景，掌握整式的混合运算法则是解题的关键．
26．（12分）如图，AB＝AE，AC＝AD，∠1＝∠2．
（1）求证：AD∥CB；
（2）连接CE、DB，求证：CE＝DB；
（3）设DE与AC交于点F，连接BF．若BC＝x，S△AFB＝y，求y与x的数量关系式．
【分析】（1）证明∠CAD+∠ACB＝180°，根据平行线的判定即可解决问题；
（2）证明△CAE≌△DAB（SAS），即可解决问题；
（3）作EG⊥AC交AC的延长线于点G，证明△AEG≌△BAC（AAS），得EG＝AC，AG＝BC，再证明△EGF≌△DAF（AAS），得GF＝AF，得BC＝2AF，然后利用三角形的面积公式即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵∠BAE＝∠ACB＝90°，
∴∠2+∠BAC＝90°，
∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠BAC＝90°，即∠CAD＝90°，
∴∠CAD+∠ACB＝180°，
∴AD∥CB；
（2）证明：如图1，连接CE，
在△CAE和△DAB中，
∴△CAE≌△DAB（SAS），
∴CE＝DB；
（3）如图2，作EG⊥AC交AC的延长线于点G，连接BF，
∵AD∥CB，
∴∠ABC＝∠8．
∴∠ABC＝∠2，
在△AEG和△BAC中，
，
∴△AEG≌△BAC（AAS），
∴EG＝AC，AG＝BC，
∵AC＝AD，
∴EG＝DA，
在△EGF和△DAF中，
∴△EGF≌△DAF（AAS），
∴GF＝AF，
∴BC＝AG＝AF+GF＝3AF，
∵，BC＝x，S△AFB＝y，
∴y与x的数量关系式为 ．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积，解决本题的关键是得到△EGF≌△DAF．
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4
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高度y（cm）
a
6.2
b
8.6
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数量x（个）
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高度y（cm）
a
6.2
b
8.6
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