6.3数列求通项6大题型（精讲）

6.3  数列求通项6大题型

【题型解读】

【知识必备】

1. 已知Sn求an

(1)已知Sn求an的常用方法是利用an＝．

(2)Sn与an关系问题的求解思路

方向1：利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解．

方向2：利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解．

2.累加法、累乘法求an

(1)根据形如an＋1＝an＋f(n)(f(n)是可以求和的函数)的递推关系式求通项公式时，常用累加法求出an－a1与n的关系式，进而得到an的通项公式．

(2)根据形如an＋1＝an·f(n)(f(n)是可以求积的函数)的递推关系式求通项公式时，常用累乘法求出与n的关系式，进而得到an的通项公式．

3.构造法求an

观察题干给出的递推关系构造新的等差、等比数列求.

4.分奇偶求an

【题型精讲】

【题型一　由数列的前n项和Sn求an 】

方法技巧   已知Sn求an

(1)已知Sn求an的常用方法是利用an＝转化为关于an的关系式，再求通项公式．

(2)Sn与an关系问题的求解思路

方向1：利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解．

方向2：利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解．

例1　（2022·四川·什邡中学模拟）数列的前项和，则它的通项公式是_______．

【答案】

【解析】

【分析】根据即可求出结果.

【详解】当时，，

当时，

经检验当时不符合，

所以，

故答案为：，

例2　（2022·全国·高三阶段练习）已知数列满足，，则数列的通项公式为___________.

【答案】

【解析】当时，.

当时，，①

.②

①②，得.

因为不满足上式，所以

故答案为：

例3　（2022·上海市七宝中学）设数列的前项和为，若，，则的通项公式为__________．

【答案】

【解析】由得：，即，

又，数列是以为首项，为公比的等比数列，；

当时，；

当时，；

经检验：不满足；

故答案为：.

例4　（2022·全国·高三月考）已知各项均为正数的数列的前项和为，且，求数列的通项公式。

【答案】

【解析】当时，，即，解得或（舍）.

当时，，，

两式相减得，

又数列的各项为正数，所以，

所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列.

所以.

例5　（2022·全国·高三课时练习）已知数列的首项，与前n项和之间满足，求数列的通项公式．

【答案】

【分析】

根据，结合当时，，运算即可得出答案.

【解析】  当时，，∴，即，

∴是以1为首项，2为公差的等差数，

∴，即，

所以当时，．

又当时，不满足上式，

∴．

【题型精练】

1．（2022·上海民办南模中学高三阶段练习）已知数列的前n项和，则数列的通项公式为______．

【答案】

【解析】

【分析】利用通项和前n项和的关系可求的通项公式.

【详解】，整理得到，

故答案为：.

2．（2022·全国高三专题练习）已知数列的前n项和为，且，则的通项公式为______．

【答案】

【解析】

【分析】利用求解即可

【详解】当时，，得，

当时，由，得，

所以，

所以，所以，

所以数列是以1为首项，为公比的等比数列，

所以，

故答案为：

3. （2022·广西·模拟预测）正项数列的前项和为，且有，则___________．

【答案】

【解析】

【分析】结合来求得.

【详解】依题意，，

当时，，

当时，，

，所以数列是首项为，公差为的等差数列，

所以.

故答案为：

4. （2022·安徽宿州高三模拟）数列中，已知，且（且），则此数列的通项公式为__________.

【答案】

【解析】由得：

（且）

（且）即（且）

数列是第二项起公比为的等比数列，

（且）又不满足上式，

5. （2022·湖南·长郡中学一模）已知正项数列的前n项和为，且，．求数列的通项公式            

【答案】

【解析】(1)∵，∴．

当时，，∴，∴，

∵，∴．

∴数列的奇数项是以1为首项，4为公差的等差数列，偶数项是以3为首项，4为公差的等差数列．∵，∴为等差数列，通项公式为．

【题型二　利用累加法求an】

方法技巧   累加法求an

根据形如an＋1＝an＋f(n)(f(n)是可以求和的函数)的递推关系式求通项公式时，常用累加法求出an－a1与n的关系式，进而得到an的通项公式．

例6　（2022·江苏江苏·一模）已知数列，，且，，求数列的通项公式

【答案】

【解析】因为，所有，

当时，，，……，，

相加得，所以，当时，也符合上式，所以数列的通项公式

例7　（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足：，，求数列的通项公式；

【答案】

【分析】

设，，则，用累加法可先求出，从而得到答案.

【解析】

因为

设，，则，

当时，

，

又也满足，所以，由，则.

【题型精练】

1．（2022·全国·高三专题练习）设数列满足，则=_______.

【答案】

【解析】因为数列满足，，

所以当时，.

所以，，因为，也满足上式，所以数列的通项公式为，

故答案为：

2．（2022·河南·灵宝市高三模拟）已知数列满足，且,求数列的通项公式；

【答案】

【解析】因为，所以，

，…，所以．

又，所以，所以．又，也符合上式，所以．

【题型三　利用累乘法求an】

方法技巧   累加法求an

根据形如an＋1＝an·f(n)(f(n)是可以求积的函数)的递推关系式求通项公式时，常用累乘法求出与n的关系式，进而得到an的通项公式．

例8　（2022·浙江高三模拟）已知数列满足，则数列的通项公式是______

【答案】

【解析】∵∴，即，

∴，∴.n=1也适合故答案为：.

例9　（2022·全国·专题练习）设是首项为1的正项数列且，求数列的通项公式                   .

【答案】或

【解析】依题意，

所以，

当时，，所以.

当时，，

所以

，

也符合上式.

所以.

综上所述，或.

【题型精练】

1．（2022·深圳实验学校高中部高三模拟）数列满足：，，则数列的通项公式

【答案】

【解析】因为①；

当时，②；

①减②得，即，所以，所以，所以

所以，，，……，，

所以，所以，又，所以，当时也成立，所以

故答案为：

2．（2022·吉林白山市高三模拟）在数列中，，求数列的通项公式；

【答案】

【解析】依题意，，

即，

所以

.故答案为：

【题型四　构造法求通项公式】

方法技巧   构造法求an

观察递推关系的形式，构造出一个新的等差、等比数列，求出新的数列的通项，间接的求出an。

例10　（2022·历城二中月考）(1)已知a1＝1，an＋1＝2an＋1，求an；

(2)已知a1＝1，an＋1＝，求an.

【解析】  (1)由an＋1＝2an＋1得an＋1＋1＝2(an＋1)，

又a1＋1＝2≠0，于是可知{an＋1}为以2为首项，2为公比的等比数列.

即an＋1＝2n，∴an＝2n－1，∴所求通项公式为an＝2n－1.

(2)由an＋1＝得－＝1(常数)，

又＝1，∴{}为以1为首项，1为公差的等差数列，

∴＝n，从而an＝，即所求通项公式为an＝.

例11　（2022·珠海市第二中学高三模拟）设为数列的前项和，，且，求数列的通项公式；

【答案】

【解析】，，

又，故数列是首项为2，公比为2的等比数列，则，，

当时，，

故.

例12　（2022·全国·高三专题练习）已知在数列中，，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】因为，，所以，整理得，所以数列是以为首项，为公比的等比数列．所以，解得．

故选：A

例13　（2022·全国·高三专题练习）已知数列中，，，求数列的通项公式.          

【答案】

【解析】∵，∴，∴数列是等差数列，公差为，又，

∴，∴.

【题型精练】

1．（2022·全国·高三课时练习）已知数列满足，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

对数列两边取倒数，然后构造等比数列，通过等比数列的通项公式即可求解.

【解析】

因为，所以两边取倒数得

，则，所以数列为等比数列，

则，所以，

故.

故选：C.

2．（2022·全国·课时练习）已知数列中，，求数列的通项公式；

【答案】．

【解析】由，得：，∴，

即数列是首项为1，公差为2的等差数列，∴，得．

3．（2022·福建省长汀县第一中学高三阶段练习）已知数列满足，，则的前n项和为___________.

【答案】

【解析】数列满足，整理得：，所以，

又，故是以4为首项，2为公比的等比数列，

所以，所以，所以的前项和

故答案为：

4．（2022·全国·模拟预测）已知数列满足：，，且，，，当取最小值时，__________．

【答案】

【解析】

由得：，

设，则，，

又，，

数列是以为首项，为公差的等差数列，，

，又，

由二次函数性质知：当时，取得最小值.

故答案为：.

【题型五　分奇偶求通项公式】

方法技巧   或型

构造隔项等差数列：两式相减得；

构造隔项等比数列：两式相除得

例14  ( 2022·山东省泰安市一模)在数列中，已知，记为的前项和，．

（1）判断数列是否为等比数列，并写出其通项公式；

（2）求数列的通项公式；

【解析】解：（1），

，，即

数列是以为首项，为公比的等比数列，

（2）由（1）可知，且，

数列是以为首项，为公比的等比数列，

数列是以1为首项，为公比的等比数列，

当为奇数时，；当为偶数时，

【题型精练】

1. （2022·云南·昆明一中月考）a1＝1，an＋1＋an＝2n,求数列的通项公式.

【解析】∵an＋1＋an＝2n，∴an＋2＋an＋1＝2n＋2，故an＋2－an＝2，

即数列{an}是奇数项与偶数项都是公差为2的等差数列．

当n为偶数时，a2＝1，故an＝a2＋2＝n－1.

当n为奇数时，∵an＋1＋an＝2n，an＋1＝n(n＋1为偶数)，故an＝n.

综上所述，an＝n≥1，n∈N*.

【题型六　周期数列求通项公式】

例15  （2022·鄂尔多斯市第一中学高三模拟）已知数列中，，()，则等于（    ）

A． B． C． D．2

【答案】A

【解析】∵，()，

，

，

，

，

…，

∴数列是以3为周期的周期数列，

，

，

故选：A.

【题型精练】

1. （2022·全国高三专题练习）已知数列为等差数列，数列的前n项和为，若，=6，则S2020=____________.

【答案】

【解析】，

，∴的连续3项的和为常数列，

故答案为：．

2. （2022·安徽合肥市·高三二模）设是数列的前项和，若，，则

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】在数列中，，，则，，，

以此类推可知，对任意的，，即数列是以为周期的周期数列，

，因此，.

故选：B.