高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)6.1等差数列6大题型(精练)(原卷版+解析)

这是一份高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)6.1等差数列6大题型(精练)(原卷版+解析)，共21页。


【题型一 等差数列基本量的运算】
1.(2023·四川遂宁市高三期末）已知公差不为0的等差数列中，，，则______．
2. (2023·广东茂名市·高三二模）已知是数列的前项和，则“”是“数列是公差为2的等差数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3. 【2022年全国乙卷】记Sn为等差数列an的前n项和．若2S3=3S2+6，则公差d=_______．
4. (2023·福建省德化第一中学模拟预测）设等差数列的前项和为，若，则的值为（ ）
A．8B．10C．12D．14
5. (2023·全国高三模拟）已知等差数列的前项和为，若成等差数列，且成等比数列．则__________
【题型二 等差数列的性质及应用】
1.(2023·黑龙江哈尔滨市模拟）已知数列是等差数列，为数列的前项和，，，则（ ）
A．10B．15C．20D．40
2.(2023·全国·高三专题练习）已知等差数列的前项和为，若，，则等于（ ）
A．B．C．D．
3.(2023·全国·高三专题练习）已知数列，为等差数列，其前项和分别为，，，则（ ）
A．B．C．D．2
4.(2023·全国·高三专题练习）已知等差数列的前n项和为，若，，则（ ）
A．－10B．－20C．－120D．－110
5．(2023·山西临汾市一模）已知等差数列的前项和为，，则（ ）
A．B．13C．-13D．-18
6. (2023·全国·高三专题练习）等差数列的前项和为，若且，则( )
A．B．
C．D．
【题型三 等差数列的判定与证明】
1. 【2022年全国甲卷】记Sn为数列an的前n项和．已知2Snn+n=2an+1．
(1)证明：an是等差数列；
(2)若a4,a7,a9成等比数列，求Sn的最小值．
2．(2023·湖北荆州·高三期末）记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．
（1）证明：数列是等差数列;
（2）求的通项公式．
3. (2023·浙江温州市·高三三模）已知正项数列满足，且对任意的正整数n，是和的等差中项，证明：是等差数列，并求的通项公式；
4. (2023·河北路南·唐山一中月考）已知数列，且满足（且），证明新数列是等差数列，并求出的通项公式.
【题型四 等差数列的前n项和及其最值】
1.(2023·北京模拟）设，为实数，首项为，公差为的等差数列的前项和为，满足：，且，则的最小值为_________．
2.(2023·江西赣州·二模）等差数列中，是数列的前项和，则最大时，（ ）
A．10B．11C．10或11D．11或12
3.(2023·陕西省洛南中学高三月考）已知为等差数列的前项和，且，，则当取最大值时，的值为___________.
4. (2023·全国·高三专题练习）设等差数列的前项和为，且，，则当（ ）时，最大.
A．B．C．D．
5. (2023·浙江省浦江中学高三期末）设为等差数列的前项和，．若，则（ ）
A．的最大值是B．的最小值是
C．的最大值是D．的最小值是
【题型五 含绝对值的求和问题】
1.(2023·河南淇滨·鹤壁高中高三月考）在等差数列中，，.
（1）求的通项公式；
（2）求的表达式.
2．(2023·黑龙江香坊·哈尔滨市第六中学校高三三模）已知数列是等差数列，公差为d，为数列的前n项和，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前n项和Tn.
3．(2023·山西大同·高三月考）已知数列满足：，.
（1）求及通项；
（2）设是数列的前项和，则数列，，，……中哪一项最小？并求出这个最小值.
（3）求数列的前10项和.
【题型六 等差数列的应用】
1.(2023·全国·高三单元测试）（多选）已知公差为d的等差数列的前n项和为，则（ ）
A．是等差数列B．是关于n的二次函数
C．不可能是等差数列D．“”是“”的充要条件
2.(2023·广东江门模拟）《张丘建算经》是我国古代的一部数学著作，现传本有92问，比较突出的成就有最大公约数与最小公倍数的计算､各种等差数列问题的解决､某些不定方程问题求解等.书中记载如下问题：“今有女子善织，日增等尺，初日织五尺，三十日共织390尺，问日增几何？”那么此女子每日织布增长（ ）
A．尺B．尺C．尺D．尺
3．(2023·福建·莆田华侨中学模拟预测）《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，问小满日影长为（ ）（1丈＝10 尺＝100寸）
A．四尺五寸B．三尺五寸C．二尺五寸D．一尺五寸
4．(2023·全国·高三专题练习）（多选）设等差数列的前项和为，若，则下列结论正确的是（ ）
A．数列是递增数列B．
C．当时，D．
6.1 等差数列6大题型
【题型解读】
【题型一 等差数列基本量的运算】
1.(2023·四川遂宁市高三期末）已知公差不为0的等差数列中，，，则______．
答案：2.5
【解析】设等差数列的公差为，，，
，，解得：，
则，故答案为：．
2. (2023·广东茂名市·高三二模）已知是数列的前项和，则“”是“数列是公差为2的等差数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
答案：A
【解析】已知，所以，当时，，
所以数列是公差为2的等差数列；当数列是公差为2的等差数列时，因为不知首项，所以数列的前n项和不确定，所以是充分不必要条件故选：A
3. 【2022年全国乙卷】记Sn为等差数列an的前n项和．若2S3=3S2+6，则公差d=_______．
答案：2
【解析】由2S3=3S2+6可得2(a1+a2+a3)=3(a1+a2)+6，化简得2a3=a1+a2+6，
即2(a1+2d)=2a1+d+6，解得d=2.
故答案为：2.
4. (2023·福建省德化第一中学模拟预测）设等差数列的前项和为，若，则的值为（ ）
A．8B．10C．12D．14
答案：C
【解析】因为，由等差数列的性质和求和公式得，即，
则.
故选：C.
5. (2023·全国高三模拟）已知等差数列的前项和为，若成等差数列，且成等比数列．则__________
答案：
【解析】为等差数列，设首项为，公差为，且成等差数列，
，化简可得，
又成等比数列，
，
，
，解得：或，
，当时，，舍去
当时，，
.
故答案为：.
【题型二 等差数列的性质及应用】
1.(2023·黑龙江哈尔滨市模拟）已知数列是等差数列，为数列的前项和，，，则（ ）
A．10B．15C．20D．40
答案：C
【解析】数列是等差数列，为数列的前项和，
根据等差数列的性质得到：仍成等差数列，
记，设，
，，
，
，
计算可得到结果为：20.故选：C.
2.(2023·全国·高三专题练习）已知等差数列的前项和为，若，，则等于（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】由等差数列的前项和性质，
得：，，也成等差数列，
即，
又因，，则解得，
因此.
故选：C.
3.(2023·全国·高三专题练习）已知数列，为等差数列，其前项和分别为，，，则（ ）
A．B．C．D．2
答案：D
【解析】根据等差数列的性质可得，
所以可设，.
则，，所以.故选:D.
4.(2023·全国·高三专题练习）已知等差数列的前n项和为，若，，则（ ）
A．－10B．－20C．－120D．－110
答案：C
【解析】，
，则.故选：C
5．(2023·山西临汾市一模）已知等差数列的前项和为，，则（ ）
A．B．13C．-13D．-18
答案：D
【解析】由，可设
∵为等差数列，∴S3，S6S3，S9S6为等差数列，
即a，6a，成等差数列，∴，即∴故选:D.
6. (2023·全国·高三专题练习）等差数列的前项和为，若且，则( )
A．B．
C．D．
答案：A
【解析】设的公差为d，∵∴，
即{}为等差数列，公差为，由知，故故选：A﹒
【题型三 等差数列的判定与证明】
1. 【2022年全国甲卷】记Sn为数列an的前n项和．已知2Snn+n=2an+1．
(1)证明：an是等差数列；
(2)若a4,a7,a9成等比数列，求Sn的最小值．
答案：(1)证明见解析；
(2)−78．
【解析】(1)解：因为2Snn+n=2an+1，即2Sn+n2=2nan+n①，
当n≥2时，2Sn−1+n−12=2n−1an−1+n−1②，
①−②得，2Sn+n2−2Sn−1−n−12=2nan+n−2n−1an−1−n−1，
即2an+2n−1=2nan−2n−1an−1+1，
即2n−1an−2n−1an−1=2n−1，所以an−an−1=1，n≥2且n∈N*，
所以an是以1为公差的等差数列．
(2)解：由（1）可得a4=a1+3，a7=a1+6，a9=a1+8，
又a4，a7，a9成等比数列，所以a72=a4⋅a9，
即a1+62=a1+3⋅a1+8，解得a1=−12，
所以an=n−13，所以Sn=−12n+nn−12=12n2−252n=12n−2522−6258，
所以，当n=12或n=13时Snmin=−78．
2．(2023·湖北荆州·高三期末）记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．
（1）证明：数列是等差数列;
（2）求的通项公式．
答案：（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）由已知得,且，,
取,由得,由于为数列的前n项积，
所以,
所以，
所以,
由于
所以，即,其中
所以数列是以为首项，以为公差等差数列;
（2）由（1）可得，数列是以为首项，以为公差的等差数列，
,
,
当n=1时，,
当n≥2时,,显然对于n=1不成立,
∴.
3. (2023·浙江温州市·高三三模）已知正项数列满足，且对任意的正整数n，是和的等差中项，证明：是等差数列，并求的通项公式；
答案：证明见解析；
【解析】证明：由题知，即有，
所以是以为首项，公差为2的等差数列，即，
当时，
，当时，也符合题意，
所以，又，所以：；
4. (2023·河北路南·唐山一中月考）已知数列，且满足（且），证明新数列是等差数列，并求出的通项公式.
答案：证明见解析，；
【解析】由可得，
则，又，
所以，数列是首项为2，公差为1的等差数列.
从而，
所以.
【题型四 等差数列的前n项和及其最值】
1.(2023·北京模拟）设，为实数，首项为，公差为的等差数列的前项和为，满足：，且，则的最小值为_________．
答案：88
【解析】由题意，.
.设.
则
．
因为关于的方程有实数解，故.
即，解得或（舍去）.
故.此时，满足．
即的最小值为88.故答案为：88．
2.(2023·江西赣州·二模）等差数列中，是数列的前项和，则最大时，（ ）
A．10B．11C．10或11D．11或12
答案：C
【解析】设等差数列的公差为，则，即，
∴，由，可得，∴前10或11项和最大，故选：C
3.(2023·陕西省洛南中学高三月考）已知为等差数列的前项和，且，，则当取最大值时，的值为___________.
答案：7
【解析】方法一：设数列的公差为，则由题意得，解得
则.又，∴当时，取得最大值.
方法二：设等差数列的公差为.∵，∴，
∴，解得，
则，
令
解得，又，
∴，即数列的前7项为正数，从第8项起各项均为负数，
故当取得最大值时，.
故答案为：7.
4. (2023·全国·高三专题练习）设等差数列的前项和为，且，，则当（ ）时，最大.
A．B．C．D．
答案：B
【解析】因为，所以，即，
因为，所以，即，
根据等差数列性质，因为，即，
又因为，即；所以得且，
所以等差数列为递减的数列，所以当时，最大.故选：B.
5. (2023·浙江省浦江中学高三期末）设为等差数列的前项和，．若，则（ ）
A．的最大值是B．的最小值是
C．的最大值是D．的最小值是
答案：D
【解析】由得：，整理可得：，
等差数列为递增数列，又，，，
当且时，；当且时，；
有最小值，最小值为.
故选：D.
【题型五 含绝对值的求和问题】
1.(2023·河南淇滨·鹤壁高中高三月考）在等差数列中，，.
（1）求的通项公式；
（2）求的表达式.
答案：（1）；（2）.
【解析】（1）设公差为，则，解得，，所以.
（2）由可得，
所以当时，，
当时，
.
所以.
2．(2023·黑龙江香坊·哈尔滨市第六中学校高三三模）已知数列是等差数列，公差为d，为数列的前n项和，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前n项和Tn.
答案：（1）；（2）.
【解析】（1）∵是等差数列，公差为，且，，
∴，解得，，
∴，
∴数列的通项公式为：.
（2）令，则，∴，∴，.
∴时，；时，，
∵，，
∴时，，
当时，.
∴.
3．(2023·山西大同·高三月考）已知数列满足：，.
（1）求及通项；
（2）设是数列的前项和，则数列，，，……中哪一项最小？并求出这个最小值.
（3）求数列的前10项和.
答案：（1），；（2）最小，；（3）前10项和为：.
【解析】（1），
当时，，，，，
由知数列为首项是，公差为4的等差数列，
故；
（2），故，，故最小，
；
（3）当时，；当时，，
.
【题型六 等差数列的应用】
1.(2023·全国·高三单元测试）（多选）已知公差为d的等差数列的前n项和为，则（ ）
A．是等差数列B．是关于n的二次函数
C．不可能是等差数列D．“”是“”的充要条件
答案：AD
【解析】由知，，
则，所以是等差数列，故A正确；
当时，不是n的二次函数，故B不正确；
当时，，
则，所以是等差数列，故C不正确；
当时，，故，
，
所以“”是“”的充要条件，故D正确.
故选：AD.
2.(2023·广东江门模拟）《张丘建算经》是我国古代的一部数学著作，现传本有92问，比较突出的成就有最大公约数与最小公倍数的计算､各种等差数列问题的解决､某些不定方程问题求解等.书中记载如下问题：“今有女子善织，日增等尺，初日织五尺，三十日共织390尺，问日增几何？”那么此女子每日织布增长（ ）
A．尺B．尺C．尺D．尺
答案：C
【解析】设每日织布增长x尺，则，
即，解得.故选：C.
3．(2023·福建·莆田华侨中学模拟预测）《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，问小满日影长为（ ）（1丈＝10 尺＝100寸）
A．四尺五寸B．三尺五寸C．二尺五寸D．一尺五寸
答案：B
【解析】从冬至日起，依次构成等差数列，设为，
由题意得： ，
解得，
又，
所以，
所以，
所以，
故选：B.
4．(2023·全国·高三专题练习）（多选）设等差数列的前项和为，若，则下列结论正确的是（ ）
A．数列是递增数列B．
C．当时，D．
答案：BC
【解析】等差数列的前项和为，若，
可得，可得B正确；
故数列为递减数列，故A错误；
因为，，
因为数列是递减数列，当时，，
故当时，，C是正确的；
，故D错误；
故选：BC