高三数学一轮复习题型与战法精准训练(新高考专用)10.1.2排列组合(针对练习)(原卷版+解析)

这是一份高三数学一轮复习题型与战法精准训练(新高考专用)10.1.2排列组合(针对练习)(原卷版+解析)，共28页。
针对练习一 数字排列问题
1．用0，1，2，3，4可以组成没有重复数字的四位偶数的个数为（ ）
A．36B．48C．60D．72
2．在1，2，3，4，5，6这六个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有（ ）
A．36个B．48个C．54个D．60个
3．用数字0，1，2，3，4，5，可以组成没有重复数字，并且比30000小的五位偶数（ ）
A．288个B．192个C．144个D．120个
4．用0，2，4，5，6，8组成无重复数字的四位数，则这样的四位数中偶数共有（ ）
A．120个B．192个C．252个D．300个
5．用数字0，1，2，3，4组成允许有重复数字的三位数，这样的三位数个数为（ ）
A．125种B．100种C．64种D．60种
针对练习二 染色问题
6．给图中A，B，C，D，E五个区域染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色．若有四种颜色可供选择，则不同的染色方案共有（ ）
A．24种B．36种C．48种D．72种
7．用5种不同颜色给图中的A、B、C、D四个区域涂色，规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，共有 种不同的涂色方案．
A．420B．180C．64D．25
8．现有5种不同颜色的染料，要对如图中的四个不同区域进行着色，要求有公共边的两块区域不能使用同一种颜色，则不同的着色方法的种数是
A．120B．140C．240D．260
9．如图，花坛内有五个花池，有五种不同颜色的花卉可供栽种，每个花池内只能种同种颜色的花卉，相邻两池的花色不同，则最多有几种栽种方案( )

A．180种B．240种C．360种D．420种
10．如图，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C，D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有（ ）
A．72种B．48种C．24种D．12种
针对练习三 位置（元素）有限的排列问题（优先法）
11．源于探索外太空的渴望，航天事业在21世纪获得了长足的发展．太空中的环境为某些科学实验提供了有利条件，宇航员常常在太空旅行中进行科学实验．在某次太空旅行中，宇航员们负责的科学实验要经过5道程序，其中两道程序既不能放在最前，也不能放在最后，则该实验不同程序的顺序安排共有（ ）
A．18种B．36种C．72种D．108种
12．某中学为了更好地培养学生劳动实践能力，举办了一次劳动技术比赛.根据预赛成绩，最终确定由甲、乙等5名同学进入决赛，决出第1名到第5名的名次.决赛后甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你没有得到冠军.”对乙说：“你和甲都不是最差的.”从这两个回答分析，甲、乙等5人的决赛名次可能有（ ）种排列情况.
A．18B．36C．54D．72
13．某教师准备对一天的五节课进行课程安排，要求语文、数学、外语、物理、化学每科分别要排一节课，则数学不排第一节，物理不排最后一节，且化学排第四节的概率是（ ）
A．B．C．D．
14．在冬奥会志愿者活动中，甲、乙等5人报名参加了A，B，C三个项目的志愿者工作，因工作需要，每个项目仅需1名志愿者，且甲不能参加A，B项目，乙不能参加B，C项目，那么共有（ ）种不同的志愿者分配方案．
A．18B．21C．27D．33
15．某旅馆有三人间、两人间、单人间各一间可入住，现有三个成人带两个小孩前来投宿，若小孩不单独入住一个房间（必须有成人陪同），且三间房都要安排给他们入住，则不同的安排方法有（ ）种．
A．18B．12C．27D．15
针对练习四 相邻问题的排列问题（捆绑法）
16．年月至月在扬州市举行扬州世界园艺博览会，会场位于扬州市仪征枣林湾.某天三对夫妇来到枣林湾参观，在扬州园博园（主题园，又名中国园）前拍照留念，人排成一排，每对夫妇必须相邻，则不同的排列方法种数为（ ）
A．B．C．D．
17．清华中学北楼教学楼共五层，甲．乙．丙．丁四人走进该教学楼2至5层的某一层楼上课，且每层楼仅有一人上课，则甲乙在相邻楼层上课的所有可能的情况有（ ）种
A．24B．18C．12D．8
18．“仁､义，礼﹑智﹑信”为儒家“五常”，由孔子提出.现将“仁､义､礼､智､信”五个字排成一排﹐则“礼､义”相邻﹐且“智﹑信”相邻的排法种数为（ ）
A．B．C．D．
19．某人民医院召开抗疫总结表彰大会，有7名先进个人受到表彰，其中有一对夫妻．现要选3人上台报告事迹，要求夫妻两人中至少有1人报告，若夫妻同时被选，则两人的报告顺序需要相邻，这样不同的报告方案共有（ ）
A．80种B．120种C．130种D．140种
20．计划展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一行陈列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的陈列方式有（ ）
A．B．C．D．
针对练习五 不相邻的排列问题（插空法）
21．高三某班课外演讲小组有4位男生、3位女生，从中选拔出3位男生、2位女生，然后5人在班内逐个进行演讲，则2位女生不连续演讲的方式有（ ）
A．864种B．432种C．288种D．144种
22．一次志愿者活动中，其中小学生2名、初中生3名、高中生3名.现将他们排成一列，要求2名小学生排在正中间，要求3名高中生中任意两名不相邻，则不同的排法有（ ）
A．144B．216C．288D．432
23．国际冬奥会和残奥会两个奥运会将于2022年在北京召开，这是我国在2008年成功举办夏季奥运会之后的又一奥运盛事．某电视台计划在奥运会期间某段时间连续播放6个广告，其中3个不同的商业广告和3个不同的奥运宣传广告，要求第一个和最后一个播放的必须是奥运宣传广告，且3个奥运宣传广告不能两两相邻播放，则不同的播放方式有（ ）
A．种B．种C．种D．种
24．现有一圆桌，周边有标号为1，2，3，4的四个座位，甲、乙、丙、丁四位同学坐在一起探讨一个数学课题，每人只能坐一个座位，甲先选座位，且甲、乙不能相邻，则所有选座方法有（ ）．
A．6种B．8种C．12种D．16种
25．五行是中国古代的一种物质观.多用于哲学、中医学和占卜方面.五行指代：金、木、水、火、土.现将“金、木、水、火、土”排成一排，且“木、土”不相邻排法的种数（ ）
A．72B．48C．36D．24
针对练习六 部分定序问题的排列问题（缩倍法）
26．4名护士和2名医生站成一排，2名医生顺序固定，则不同的排法种数为（ ）
A．480B．360C．288D．144
27．贴春联、挂红灯笼是我国春节的传统习俗.现准备在大门的两侧各挂四盏一样的红灯笼，从上往下挂，可以一侧挂好后再挂另一侧，也可以两侧交叉着挂，则挂红灯笼的不同方法数为（ ）
A．B．C．D．
28．10名同学拍照，站成前排3人后排7人，现摄影师要从后排7人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是（ ）
A．168B．420C．840D．20160
29．在一次学校组织的研究性学习成果报告会上，有共6项成果要汇报，如果B成果不能最先汇报，而A､C､D按先后顺序汇报（不一定相邻），那么不同的汇报安排种数为（ ）
A．100B．120C．300D．600
30．阶段测试后，甲、乙、丙、丁、戊五位同学排成一排按序走上领奖台领奖，其中甲和乙都在丙的前面走，则不同的排序方法种数共有（ ）
A．20B．40C．60D．80
针对练习七 分组分配问题
31．2022年11月，第五届中国国际进口博览会在上海举行，组委员会安排5名工作人员去A，B等4个场馆，其中A场馆安排2人，其余比赛场馆各1人，则不同的安排方法种数为（ ）
A．48B．60C．120D．240
32．新冠疫情期间，某市卫健委将6名调研员安排到本市4家核酸检测定点医院进行调研，要求每家医院至少安排1人，至多安排2人，则不同的安排方法有（ ）
A．4320种B．2160种C．1080种D．540种
33．某高校有4名大学生志愿者参加2022年北京冬奥会志愿服务.冬奥会志愿者指挥部随机派这4名志愿者参加冰壶､短道速滑､花样滑冰3个项目比赛的志愿服务，每个项目至少安排一名志愿者，则不同的安排方法有（ ）
A．72种B．81种C．6种D．36种
34．为了促进边疆少数民族地区教育事业的发展，我市教育系统选派了3名男教师和2名女教师去支援新疆教育，要求这5名教师被分派到3个学校对口支教，每名教师只去一个学校，每个学校至少安排1名教师，其中2名女教师分派到同一个学校，则不同的分派方法有（ ）
A．18种B．36种C．68种D．84种
35．校运会期间，要安排名志愿者参加跳高、跳远、接力赛三个项目的保障工作，要求每个项目至少安排名志愿者，每位志愿者只参加一个项目，则所有不同的安排方案有（ ）
A．种B．种C．种D．种
针对练习八 x+y+z=n整数解的个数问题（隔板法）
36．方程的正整数解共有（ ）组
A．165B．120C．38D．35
37．不定方程的非负整数解的个数为（ ）
A．B．C．D．
38．学校有6个优秀学生名额，要求分配到高一、高二、高三，每个年级至少1个名额，则有（ ）种分配方案．
A．135B．10C．75D．120
39．将10本完全相同的科普知识书，全部分给甲､乙､丙3人，每人至少得2本，则不同的分法数为（ ）
A．720种B．420种C．120种D．15种
40．小明同学去文具店购买文具，现有四种不同样式的笔记本可供选择（可以有笔记本不被选择），单价均为一元一本，小明只有元钱且要求全部花完，则不同的选购方法共有（ ）
A．种B．种C．种D．种
针对练习九 正难则反的排列组合问题（间接法）
41．现有8个人排成一排照相，其中甲、乙、丙三人不全相邻的排法种数为（ ）
A．B．C．D．
42．周六晚上，小红和爸爸、妈妈、弟弟一起去看电影，订购的4张电影票恰好在同一排且连在一起，为安全起见，每个孩子至少有一侧有家长陪坐，则不同的坐法种数为（ ）
A．8B．12C．16D．20
43．某医院计划从3名医生和4名护士中任选3人参与某地的防疫工作，则至少有1名医生被选中的选法共有（ ）
A．31种B．33种C．34种D．35种
44．甲､乙两名同学各自从6门不同的校本选修课中任选3门研修，则甲､乙两名同学所选课程至少有一门相同的选法种数为（ ）
A．400B．390C．380D．370
45．有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就坐，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这两人不左右相邻，那么不同的排法种数是 （ ）
A．234B．346C．350D．363
第十章 计数原理与概率、随机变量及其分布列
10.1.2排列组合（针对练习）
针对练习
针对练习一 数字排列问题
1．用0，1，2，3，4可以组成没有重复数字的四位偶数的个数为（ ）
A．36B．48C．60D．72
【答案】C
【分析】当个位数为0时，从其他4个数选3个进行排列，当个位数为2或4时，从剩下的非零的3个数中选一个排在千位，再从剩下的3个数中选2个排在十位和百位，最后用分类计数原理求解.
【详解】当个位数为0时，有个，
当个位数为2或4时，有个，
所以无重复数字的四位偶数有24+36=60个，
故选：C.
2．在1，2，3，4，5，6这六个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有（ ）
A．36个B．48个C．54个D．60个
【答案】D
【分析】分这三个数字是三个奇数和两个偶数，一个奇数两种情况计算.
【详解】解：①这三个数字为三个奇数，共（个）；
②这三个数字为两个偶数，一个奇数，共（个）.
故各数位之和为奇数的共有（个）.
故选：D.
3．用数字0，1，2，3，4，5，可以组成没有重复数字，并且比30000小的五位偶数（ ）
A．288个B．192个C．144个D．120个
【答案】D
【分析】按照特殊元素法，先考虑最高位或最低位的数字，再排其他数字即可.
【详解】个位上是0时，有个；
个位上是2时，有个；
个位上是4时，有个，
∴共有符合条件的偶数个；
故选：D．
4．用0，2，4，5，6，8组成无重复数字的四位数，则这样的四位数中偶数共有（ ）
A．120个B．192个C．252个D．300个
【答案】C
【分析】根据个位数是否为零分类讨论即可.
【详解】若这个偶数的个位数是0，则有个；
若这个偶数的个位数不是0，则有个.
故满足条件的四位数中偶数的总个数为；
故选：C.
5．用数字0，1，2，3，4组成允许有重复数字的三位数，这样的三位数个数为（ ）
A．125种B．100种C．64种D．60种
【答案】B
【分析】首先确定百位数字，再根据允许有重复数字，即可确定十位与个位的数字，按照分步乘法计数原理计算可得；
【详解】解：首先排百位数字，只能是1，2，3，4中的一个，故有4种排法，
因为允许有重复数字，故十位与个位均有5种排法，故一共有种；
故选：B
针对练习二 染色问题
6．给图中A，B，C，D，E五个区域染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色．若有四种颜色可供选择，则不同的染色方案共有（ ）
A．24种B．36种C．48种D．72种
【答案】D
【分析】先对A，B，C三个区域染色，再讨论B，E是否同色．
【详解】当B，E同色时，共有种不同的染色方案，
当B，E不同色时，共有种不同的染色方案，
所以共有72种不同的染色方案．
故选：D．
7．用5种不同颜色给图中的A、B、C、D四个区域涂色，规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，共有 种不同的涂色方案．
A．420B．180C．64D．25
【答案】B
【详解】分析：由于规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，可分步进行，区域A有5种涂法，B有4种涂法，C有3种，D有3种涂法，根据乘法原理可得结论．
详解：
由题意，由于规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，可分步进行，区域A有5种涂法，B有4种涂法，C有3种，D有3种涂法
∴共有5×4×3×3=180种不同的涂色方案．
故答案为B.
点睛：解答排列、组合应用题要从“分析”、“分辨”、“分类”、“分步”的角度入手．
(1)“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”；
(2)“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有、无限制等；
(3)“分类”就是将较复杂的应用题中的元素分成互相排斥的几类，然后逐类解决；
(4)“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列、组合问题，然后逐步解决．
8．现有5种不同颜色的染料，要对如图中的四个不同区域进行着色，要求有公共边的两块区域不能使用同一种颜色，则不同的着色方法的种数是
A．120B．140C．240D．260
【答案】D
【详解】试题分析：由题意，先涂A处，有5种涂法，再涂B处4种涂法，第三步涂C，若C与A同，则D有四种涂法，若C与A不同，则D有三种涂法，由此得不同的着色方案有5×4×（1×4+3×3）=260种，故选D.
考点：计数原理的应用；排列、组合及简单计数问题．
9．如图，花坛内有五个花池，有五种不同颜色的花卉可供栽种，每个花池内只能种同种颜色的花卉，相邻两池的花色不同，则最多有几种栽种方案( )

A．180种B．240种C．360种D．420种
【答案】D
【分析】若5个花池栽了5种颜色的花卉，方法有种，若5个花池栽了4种颜色的花卉，方法有2种，若5个花池栽了3种颜色的花卉，方法有种，相加即得所求．
【详解】若5个花池栽了5种颜色的花卉，方法有种，
若5个花池栽了4种颜色的花卉，则2、4两个花池栽同一种颜色的花；
或者3、5两个花池栽同一种颜色的花，方法有2种，
若5个花池栽了3种颜色的花卉，方法有种，
故最多有+2+=420种栽种方案，
故选D．
【点睛】解答排列、组合问题的角度：解答排列、组合应用题要从“分析”、“分辨”、“分类”、“分步”的角度入手；(1)“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”；(2)“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有、无限制等；(3)“分类”就是将较复杂的应用题中的元素分成互相排斥的几类，然后逐类解决；(4)“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列、组合问题，然后逐步解决．
10．如图，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C，D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有（ ）
A．72种B．48种C．24种D．12种
【答案】A
【详解】试题分析：先涂A的话，有4种选择，若选择了一种，则B有3种，而为了让C与AB都不一样，则C有2种，再涂D的话，只要与C涂不一样的就可以，也就是D有3种，所以一共有4x3x2x3=72种，故选A．
考点：本题主要考查分步计数原理的应用．
点评：从某一区域涂起，按要求“要求相邻的矩形涂色不同”，分步完成．
针对练习三 位置（元素）有限的排列问题（优先法）
11．源于探索外太空的渴望，航天事业在21世纪获得了长足的发展．太空中的环境为某些科学实验提供了有利条件，宇航员常常在太空旅行中进行科学实验．在某次太空旅行中，宇航员们负责的科学实验要经过5道程序，其中两道程序既不能放在最前，也不能放在最后，则该实验不同程序的顺序安排共有（ ）
A．18种B．36种C．72种D．108种
【答案】B
【分析】先排两道程序有种放法，再排剩余的3道程序有种放法，再由分步计数原理即可得出答案.
【详解】先排两道程序，其既不能放在最前，也不能放在最后，则在第2,3,4道程序选两个放，共有种放法；再排剩余的3道程序，共有种放法；
则共有种放法.
故选：B.
12．某中学为了更好地培养学生劳动实践能力，举办了一次劳动技术比赛.根据预赛成绩，最终确定由甲、乙等5名同学进入决赛，决出第1名到第5名的名次.决赛后甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你没有得到冠军.”对乙说：“你和甲都不是最差的.”从这两个回答分析，甲、乙等5人的决赛名次可能有（ ）种排列情况.
A．18B．36C．54D．72
【答案】C
【分析】根据简单的推理可知，甲既不是第1名，也不是第5名，乙不是第5名，由元素分析法和位置分析法即可求出．
【详解】由题意可知，甲既不是第1名，也不是第5名，乙不是第5名，所以甲的名次可能是2,3,4,第5名可能为丙,丁,戊,剩余的三个人全排,即可得到甲、乙等5人的决赛名次的可能情况,即有种.
故选：C．
13．某教师准备对一天的五节课进行课程安排，要求语文、数学、外语、物理、化学每科分别要排一节课，则数学不排第一节，物理不排最后一节，且化学排第四节的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求出数学不排第一节，物理不排最后一节，化学排第四节的方法数，可求得概率
【详解】若数学排最后一节，化学排第四节，则其它的科目任排，则共有种，
若数学不排第一节，也不排最后一节，化学排第四节，则数学排在第二节或第三节，然后物理排在除最后一节的其它两节的任一节，最后语文和化学任意排，所以有，
所以数学不排第一节，物理不排最后一节，且化学排第四节共有种不同的方法，
所以所求概率为，
故选：D
14．在冬奥会志愿者活动中，甲、乙等5人报名参加了A，B，C三个项目的志愿者工作，因工作需要，每个项目仅需1名志愿者，且甲不能参加A，B项目，乙不能参加B，C项目，那么共有（ ）种不同的志愿者分配方案．
A．18B．21C．27D．33
【答案】B
【分析】由题意可以分为四类，根据分类计数原理可得．
【详解】若甲，乙都参加，则甲只能参加项目，乙只能参见项目，项目有3种方法，
若甲参加，乙不参加，则甲只能参加项目，，项目，有种方法，
若乙参加，甲不参加，则乙只能参加项目，，项目，有种方法，
若甲不参加，乙不参加，有种方法，
根据分类计数原理，共有种．
故选：B.
15．某旅馆有三人间、两人间、单人间各一间可入住，现有三个成人带两个小孩前来投宿，若小孩不单独入住一个房间（必须有成人陪同），且三间房都要安排给他们入住，则不同的安排方法有（ ）种．
A．18B．12C．27D．15
【答案】A
【分析】分2个小孩住在一起和2个小孩不住在一起，分类讨论计算即可
【详解】解：若2个小孩住在一起，则只能住三人间，则三人间、两人间、单人间各住一个大人，此时有6种，
若2个小孩不住在一起，则只能三人间、两人间各住一个小孩，有2种，则三人间、两人间、单人间各住一个大人，此时共有212种，
合计6+12＝18种，
故选：A．
针对练习四 相邻问题的排列问题（捆绑法）
16．年月至月在扬州市举行扬州世界园艺博览会，会场位于扬州市仪征枣林湾.某天三对夫妇来到枣林湾参观，在扬州园博园（主题园，又名中国园）前拍照留念，人排成一排，每对夫妇必须相邻，则不同的排列方法种数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】将三对夫妇进行捆绑，形成三个大元素，利用捆绑法可求得结果.
【详解】将三对夫妇进行捆绑，形成三个大元素，所以，不同的排列方法种数为种.
故选：C.
17．清华中学北楼教学楼共五层，甲．乙．丙．丁四人走进该教学楼2至5层的某一层楼上课，且每层楼仅有一人上课，则甲乙在相邻楼层上课的所有可能的情况有（ ）种
A．24B．18C．12D．8
【答案】C
【分析】问题实质即求个位置排四个人，则甲乙相邻的排法有多少种，对于相邻问题用捆绑法；
【详解】解：依题意即个位置排四个人，则甲乙相邻的排法有种，
故选：C
18．“仁､义，礼﹑智﹑信”为儒家“五常”，由孔子提出.现将“仁､义､礼､智､信”五个字排成一排﹐则“礼､义”相邻﹐且“智﹑信”相邻的排法种数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先分别将将“礼､义”捆绑一起，“智﹑信”捆绑一起，然后与“仁”一起全排，最后结合分步计数原理即可求出结果.
【详解】先将“礼､义”捆绑一起全排有种，再将“智﹑信”捆绑一起全排有种，然后与“仁”一起全排有种，结合分步计数原理可得共有种.
故选：A.
19．某人民医院召开抗疫总结表彰大会，有7名先进个人受到表彰，其中有一对夫妻．现要选3人上台报告事迹，要求夫妻两人中至少有1人报告，若夫妻同时被选，则两人的报告顺序需要相邻，这样不同的报告方案共有（ ）
A．80种B．120种C．130种D．140种
【答案】D
【分析】分夫妻只选一人，两人全选两种情况计算，夫妻全选时，先用用捆绑法求解.
【详解】若夫妻中只选一人，则有种不同的方案；
若夫妻二人全选，则有中不同方案，
故总计有140种不同方案，
故选：D.
20．计划展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一行陈列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的陈列方式有（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】先把三种不同的画捆在一起，各看成整体，但水彩画不放在两端，然后对4幅油画和5幅国画进行全排列，结合分步计数原理，即可求解.
【详解】先把三种不同的画捆在一起，各看成整体，但水彩画不放在两端，
则油画与国画放在两端有种不同的排法
然后对4幅油画的排放有种不同的排法
对5幅国画的排放有种不同的排法，
所以不同的陈列方式有种不同的排法.
故选：D.
针对练习五 不相邻的排列问题（插空法）
21．高三某班课外演讲小组有4位男生、3位女生，从中选拔出3位男生、2位女生，然后5人在班内逐个进行演讲，则2位女生不连续演讲的方式有（ ）
A．864种B．432种C．288种D．144种
【答案】A
【分析】分步完成：第一步选3位男生排列，第二步选2位女生插入男生形成的空档中，由乘法原理可得．
【详解】由题意可分步完成：第一步选3位男生排列，第二步选2位女生插入男生形成的空档中，
方法数为．
故选：A．
22．一次志愿者活动中，其中小学生2名、初中生3名、高中生3名.现将他们排成一列，要求2名小学生排在正中间，要求3名高中生中任意两名不相邻，则不同的排法有（ ）
A．144B．216C．288D．432
【答案】D
【分析】根据题意，分2种情况讨论：①2名小学生夹在两名高中生之间，②2名小学生没有夹在两名高中生之间，由加法原理计算可得答案．
【详解】解：根据题意，分2种情况讨论：
①2名小学生夹在两名高中生之间，有种站法，
②2名小学生没有夹在两名高中生之间，有种站法，
则有种不同的站法，
故选：D．
23．国际冬奥会和残奥会两个奥运会将于2022年在北京召开，这是我国在2008年成功举办夏季奥运会之后的又一奥运盛事．某电视台计划在奥运会期间某段时间连续播放6个广告，其中3个不同的商业广告和3个不同的奥运宣传广告，要求第一个和最后一个播放的必须是奥运宣传广告，且3个奥运宣传广告不能两两相邻播放，则不同的播放方式有（ ）
A．种B．种C．种D．种
【答案】B
【分析】先考虑第一个和最后一个位置必为奥运宣传广告，再将另一个奥运广告插入3个商业广告之间，最后对三个商业广告全排列，即可求解.
【详解】先考虑第一个和最后一个位置必为奥运宣传广告，有种，
另一奥运广告插入3个商业广告之间，有种；
再考虑3个商业广告的顺序，有种，故共有种.
故选：B.
24．现有一圆桌，周边有标号为1，2，3，4的四个座位，甲、乙、丙、丁四位同学坐在一起探讨一个数学课题，每人只能坐一个座位，甲先选座位，且甲、乙不能相邻，则所有选座方法有（ ）．
A．6种B．8种C．12种D．16种
【答案】B
【分析】甲比较特殊，先安排甲，随着甲的安排乙也确定了，然后剩下位置给丙丁即可.
【详解】先安排甲，其选座方法有种，由于甲、乙不能相邻，所以乙只能坐甲对面，而丙、丁两位同学坐另两个位置的坐法有种，所以共有坐法种数为种．
故选：B．
25．五行是中国古代的一种物质观.多用于哲学、中医学和占卜方面.五行指代：金、木、水、火、土.现将“金、木、水、火、土”排成一排，且“木、土”不相邻排法的种数（ ）
A．72B．48C．36D．24
【答案】A
【分析】根据不相邻问题用插空法可以得到符合题意的共有种排法．
【详解】由题意先将“金、水、火”三种不同属性的物质任意排成一列，
共有种排法，此时共有四个位置可以插放“木、土”
所以“木、土”不能相邻的排法共有种排法，
故选：．
针对练习六 部分定序问题的排列问题（缩倍法）
26．4名护士和2名医生站成一排，2名医生顺序固定，则不同的排法种数为（ ）
A．480B．360C．288D．144
【答案】B
【分析】先将6个元素作全排列，再除以可得答案.
【详解】4名护士和2名医生站成一排，共有种，
又因为2名医生顺序固定，所以不同的排法种数为种.
故选：B.
【点睛】本题考查了排列中的定序问题，属于基础题.
27．贴春联、挂红灯笼是我国春节的传统习俗.现准备在大门的两侧各挂四盏一样的红灯笼，从上往下挂，可以一侧挂好后再挂另一侧，也可以两侧交叉着挂，则挂红灯笼的不同方法数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】首先计算盏灯笼任意挂有种不同的挂法，再除以左边顺序一定种，右边顺序一定种，即可求解.
【详解】若盏灯笼任意挂，不同的挂法由种，
又因为左右两边盏灯顺序一定，故有种，
故选：D
【点睛】方法点睛：常见排列数的求法为：
（1）相邻问题采取“捆绑法”；
（2）不相邻问题采取“插空法”；
（3）有限制元素采取“优先法”；
（4）特殊元素顺序确定问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数.
（5）多排问题直排法；
28．10名同学拍照，站成前排3人后排7人，现摄影师要从后排7人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是（ ）
A．168B．420C．840D．20160
【答案】B
【分析】先从后排7人中抽2人，把抽出的2人插入前排保证前排人顺序不变可用缩倍法，再由分步乘法计数原理即可求解.
【详解】从后排7人中抽2人有种方法；
将抽出的2人调整到前排，前排3人的相对顺序不变有种，
由分步乘法计数原理可得：共有种，
故选：B.
29．在一次学校组织的研究性学习成果报告会上，有共6项成果要汇报，如果B成果不能最先汇报，而A､C､D按先后顺序汇报（不一定相邻），那么不同的汇报安排种数为（ ）
A．100B．120C．300D．600
【答案】A
【分析】利用间接法和缩倍法求解.
【详解】不考虑限制条件共有种，最先汇报共有种，
如果不能最先汇报，而､C､D按先后顺序汇报（不一定相邻）有.
故选：A.
30．阶段测试后，甲、乙、丙、丁、戊五位同学排成一排按序走上领奖台领奖，其中甲和乙都在丙的前面走，则不同的排序方法种数共有（ ）
A．20B．40C．60D．80
【答案】B
【解析】先求出甲乙丙顺序确定时的所有方法，再考虑甲乙内部的排列即可.
【详解】根据题意，若甲乙丙顺序确定，则所有排法有种，
再考虑甲和乙的顺序，则所有排法有种.
故选：B.
【点睛】本题考查部分元素定序问题的排列，属基础题.
针对练习七 分组分配问题
31．2022年11月，第五届中国国际进口博览会在上海举行，组委员会安排5名工作人员去A，B等4个场馆，其中A场馆安排2人，其余比赛场馆各1人，则不同的安排方法种数为（ ）
A．48B．60C．120D．240
【答案】B
【分析】先安排2人去A场馆，再安排剩余的人去其它场馆即可.
【详解】分为两步，第一步：安排2人去A场馆有种结果；第二步：安排其余3人到剩余3个场馆，有种结果，所以不同的安排方法种数为.
故选：B．
32．新冠疫情期间，某市卫健委将6名调研员安排到本市4家核酸检测定点医院进行调研，要求每家医院至少安排1人，至多安排2人，则不同的安排方法有（ ）
A．4320种B．2160种C．1080种D．540种
【答案】C
【分析】由题意可得分到四家医院的人数为2，2，1，1，先进行分组，再分配到四家医院，可得答案.
【详解】由题意可知：6名调研员安排到4家医院，
符合条件的安排是四家医院分到的人数为：2，2，1，1，
共有 ,
故选：C
33．某高校有4名大学生志愿者参加2022年北京冬奥会志愿服务.冬奥会志愿者指挥部随机派这4名志愿者参加冰壶､短道速滑､花样滑冰3个项目比赛的志愿服务，每个项目至少安排一名志愿者，则不同的安排方法有（ ）
A．72种B．81种C．6种D．36种
【答案】D
【分析】依题意先将4人分成3组，其中一组有2人，另外一组各1人，再对三组人全排列，按照分步乘法计数原理计算可得；
【详解】解：先将4人分成3组，其中一组有2人，另外一组各1人，共有种，然后将3个项目全排列，共有种排法，
故每个项目至少安排一名志愿者进行志愿服务的方法数为种，
故选：D
34．为了促进边疆少数民族地区教育事业的发展，我市教育系统选派了3名男教师和2名女教师去支援新疆教育，要求这5名教师被分派到3个学校对口支教，每名教师只去一个学校，每个学校至少安排1名教师，其中2名女教师分派到同一个学校，则不同的分派方法有（ ）
A．18种B．36种C．68种D．84种
【答案】B
【分析】由题意：2名女教师分派到同一个学校考虑该校是否分配男教师，即可求出答案.
【详解】根据题意，分派方案可分为两种情况:
①2名女教师和1名男教师分派到同一个学校，则有种方法.
②2名女教师分派到同一个学校，且该学校没有分配没有男教师，则有：种方法.
故一共有：36种分配方法.
故选：B.
35．校运会期间，要安排名志愿者参加跳高、跳远、接力赛三个项目的保障工作，要求每个项目至少安排名志愿者，每位志愿者只参加一个项目，则所有不同的安排方案有（ ）
A．种B．种C．种D．种
【答案】C
【分析】先将将名志愿者分为组，每组人数分别为、、，然后将这组志愿者分配给三个项目，利用分步乘法计数原理可得所有不同的安排方案的种数.
【详解】将名志愿者分为组，每组人数分别为、、，则分组方法种数为，
再将这组志愿者分配给三个项目，共有个结果，
由分步乘法计数原理可知，共有种不同的分配方案.
故选：C.
针对练习八 x+y+z=n整数解的个数问题（隔板法）
36．方程的正整数解共有（ ）组
A．165B．120C．38D．35
【答案】A
【分析】本题可以将“方程的正整数解”转化为“在12个球中插入隔板”，然后通过排列组合即可求出结果.
【详解】如图，将12个完全相同的球排成一列，

在它们之间形成的11个空隙中任选三个插入三块隔板，把球分成四组，每一种分法所得球的数目依次是、、、，显然满足，故是方程的一组解，
反之，方程的每一组解都对应着一种在12个球中插入隔板的方式，
故方程的正整数解的数目为：，
故选：A.
【点睛】本题考查通过排列组合解决方程的解的数目，能否将“方程的正整数解”转化为“在12个球中插入隔板”是解决本题的关键，考查推理能力，考查排列组合的实际应用，是中档题.
37．不定方程的非负整数解的个数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】将问题转化为将个相同小球放入三个盒子，允许有空盒的放法种数，进一步可将问题转化为将个相同小球放入三个盒子，没有空盒的放法种数，利用隔板法可得出结果.
【详解】不定方程的非负整数解的个数将个相同小球放入三个盒子，允许有空盒的放法种数.
现在在每个盒子里各加一个相同的小球，问题等价于将个相同小球放入三个盒子，没有空盒的放法种数，则只需在个小球中形成的空位（不包含两端）中插入两块板即可，
因此，不定方程的非负整数解的个数为.
故选：C.
【点睛】本题考查不定方程解的个数问题，一般利用隔板法来处理，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.
38．学校有6个优秀学生名额，要求分配到高一、高二、高三，每个年级至少1个名额，则有（ ）种分配方案．
A．135B．10C．75D．120
【答案】B
【分析】“学生名额”是相同元素，故相同元素分配分组问题，用“隔板法”
【详解】解：“学生名额”是相同元素，故相同元素分配分组问题，用“隔板法”，
故有，
故选：B.
39．将10本完全相同的科普知识书，全部分给甲､乙､丙3人，每人至少得2本，则不同的分法数为（ ）
A．720种B．420种C．120种D．15种
【答案】D
【分析】先每人分一本书，再将剩下的7本书分给3人，每人至少一本，由“隔板法”可得答案.
【详解】先从10本书中拿出3本，分给每人一本书，
再将余下7本书采用“隔板法”分给3个人，分法种数为15，
故选: D
40．小明同学去文具店购买文具，现有四种不同样式的笔记本可供选择（可以有笔记本不被选择），单价均为一元一本，小明只有元钱且要求全部花完，则不同的选购方法共有（ ）
A．种B．种C．种D．种
【答案】B
【解析】将问题等价转化为将个完全相同的小球放入个盒子里，允许有空盒，进一步转化为：将个完全相同的小球放入个盒子里，每个盒子里至少有个球，利用隔板法可得出结果.
【详解】问题等价转化为将个完全相同的小球放入个盒子里，允许有空盒.
进一步转化为：将个完全相同的小球放入个盒子里，每个盒子里至少有个球.
由隔板法可知，不同的选购方法有种.
故选：B.
【点睛】本题考查利用隔板法解决实际问题，将问题进行等价转化是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.
针对练习九 正难则反的排列组合问题（间接法）
41．现有8个人排成一排照相，其中甲、乙、丙三人不全相邻的排法种数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由8个人全排列的方法数减去甲，乙，丙全相邻的方法数即可得到.
【详解】在8个人全排列的方法数减去甲，乙，丙全相邻的方法数，就得到甲，乙，丙三人不全相邻的方法数，即.
故选：B．
42．周六晚上，小红和爸爸、妈妈、弟弟一起去看电影，订购的4张电影票恰好在同一排且连在一起，为安全起见，每个孩子至少有一侧有家长陪坐，则不同的坐法种数为（ ）
A．8B．12C．16D．20
【答案】C
【分析】先计算出4个人的全排列，再减去不符合情况的种数即可.
【详解】4个人坐四个座位，共有种坐法，当孩子坐在一起并且坐在最边上时，有一个孩子没有大人陪伴，共有种，所以每个孩子旁边必须有大人陪着共有24-8=16种坐法.
故选：C.
【点睛】本题主要考查排列，间接法有时更容易求出结果.
43．某医院计划从3名医生和4名护士中任选3人参与某地的防疫工作，则至少有1名医生被选中的选法共有（ ）
A．31种B．33种C．34种D．35种
【答案】A
【分析】本题采用间接法，先任性选择三人再排除不符合条件的情况．
【详解】至少有1名医生被选中的选法共有种．
故选：A．
44．甲､乙两名同学各自从6门不同的校本选修课中任选3门研修，则甲､乙两名同学所选课程至少有一门相同的选法种数为（ ）
A．400B．390C．380D．370
【答案】C
【分析】根据题意先求出甲､乙两名同学所选的课程共有多少种情况，进一步算出甲､乙两名同学所选课程都不同的选法种数，相减即可得答案．
【详解】甲､乙两名同学所选的课程共有种情况，
甲､乙两名同学所选课程都不同的选法种数为，
∴.
故选:C.
45．有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就坐，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这两人不左右相邻，那么不同的排法种数是 （ ）
A．234B．346C．350D．363
【答案】B
【详解】一共可坐的位子有个，个人坐的方法数为，还需排除两左右相邻的情况.把可坐的个坐位排成连续一行，将其中两个相邻座位看成一个整体，则相邻的坐法有，还应再加上，∴不同坐法的种数为.
考点：有条件限制的排列组合.