高三数学一轮复习题型与战法精准训练(新高考专用)6.1.2等差数列(针对练习)(原卷版+解析)

这是一份高三数学一轮复习题型与战法精准训练(新高考专用)6.1.2等差数列(针对练习)(原卷版+解析)，共30页。试卷主要包含了5尺，立春的日影长为15，5 尺B．10等内容，欢迎下载使用。
针对练习
针对练习一 等差数列的基本量计算
1．已知等差数列中，，，则的值是（ ）
A．30B．15C．31D．64
2．已知数列为等差数列，，，则该数列的公差为（ ）
A．B．3C．D．5
3．等差数列的前n项和为，若，则公差( )
A．1B．C．2D．
4．记为等差数列的前n项和．若，，则（ ）
A．3B．7C．11D．15
5．已知等差数列的各项均为正数，其前n项和为，且满足，，则（ ）
A．28B．30C．32D．35
针对练习二 等差中项的应用
6．在等差数列中，，则的值是（ ）
A．24B．32C．48D．96
7．在等差数列中，若，则（ ）
A．18B．30C．36D．72
8．已知数列是公比为q的等比数列，若，且是与2的等差中项，则q的值是（ ）
A．1 B．2 C．或1 D．或2
9．已知正项等比数列中，，且成等差数列，则该数列公比为（ ）
A．B．C．D．
10．等比数列的前项和为，且，，成等差数列.若，则（ ）
A．15B．7C．8D．16
针对练习三 等差数列中的最大（小）项
11．在数列中，如果（），那么使这个数列的前项和取得最大值时，的值等于（ ）
A．19B．20C．21D．22
12．设等差数列的前项和为，若，，则的最小值等于（ ）
A．-34B．-36C．-6D．6
13．若等差数列满足，，则当的前项和最大时，的值为
A．7B．8C．9D．10
14．已知数列为等差数列，它的前项和为，若，则使成立的正整数的最小值是（ ）
A．B．C．D．
15．设等差数列的公差为d，其前n项和为，且，，则使得的正整数n的最小值为（ ）
A．16B．17C．18D．19
针对练习四 等差数列片段和的性质及应用
16．设等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．27B．36C．45D．54
17．已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．80B．90C．100D．110
18．若数列为等差数列，为数列的前项和，已知，，则的值为（ ）
A．40B．50C．60D．70
19．设等差数列的前项和为,若,则 ( )
A．12B．8C．20D．16
20．记为等差数列的前n项和，若，则（ ）
A．B．C．D．
针对练习五 两个等差数列前n项和之比问题
21．已知数列、均为等差数列，且前项和分别为和，若，则
A．B．C．D．
22．若等差数列和的前n项的和分别是和，且，则（ ）
A．B．C．D．
23．已知两个等差数列和的前n项和分别为和，且，则（ ）
A．B．C．D．
24．设等差数列与等差数列的前n项和分别为，，若对任意自然数n都有，则的值为（ ）
A．B．C．D．
25．若两个等差数列，的前项和分别为和，且，则（ ）
A．B．C．D．
针对练习六 等差数列的简单应用
26．《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗．问：五人各得几何？”其意思为：“有5个人分60个橘子，他们分得的橘子个数成公差为3的等差数列，问：5人各得多少橘子．”根据这个问题，5人所得橘子个数的中位数是（ ）
A．6B．8C．10D．12
27．《九章算术》中有如下问题：“今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升．问中间二节欲均容，各多少？”其大意：“今有竹节，下节容量升，上节容量升，问使中间两节也均匀变化，每节容量是多少？”在这个问题中，中间这两节的容量是
A．升和升B．升和升
C．升和升D．升和升
28．《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤；斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何?”意思是：“现在有一根金箠， 长五尺在粗的一端截下一尺，重斤；在细的一端截下一尺，重斤，问各尺依次重多少?”按这一问题的颗设，假设金箠由粗到细各尺重量依次成等差数列，则从粗端开始的第二尺的重量是
A．斤B． 斤C．斤D．斤
29．在北京冬奥会开幕式上，二十四节气倒计时惊艳了世界．从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长依次成等差数列，若冬至的日影长为18.5尺，立春的日影长为15.5尺，则立夏的日影长为（ ）
A．9.5 尺B．10.5 尺C．11.5 尺D．12.5 尺
30．《张邱建算经》曾有类似记载：“今有女子善织布，逐日织布同数递增（即每天增加的数量相同）".若该女子第一天织布两尺，前二十日共织布六十尺，则该女子第二十日织布（ ）
A．三尺B．四尺C．五尺D．六尺
针对练习七 由递推关系证明等差数列
31．已知数列满足且
（1）求证：数列为等差数列
（2）求数列的通项公式
32．已知数列满足，，数列
（1）求证：等差数列；
（2）求数列的通项公式.
33．数列满足： ．
（1）令，求证：数列为等差数列；
（2）求数列的通项公式．
34．已知数列中，， ，数列满足.
（1）求证：数列为等差数列.
（2）求数列的通项公式.
35．已知列满足，且，．
（1）设，证明：数列为等差数列；
（2）求数列的通项公式；
针对练习八 含绝对值的等差数列前n项和
36．在等差数列中，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求．
37．已知单调递减数列的前项和为，且，
（1）求
（2）求
38．已知等差数列的前项和为，且满足.
（1）求的通项公式；
（2）记，求的前项和.
39．已知等差数列的前项和为，且
（1）求通项公式；
（2）求数列的前项和
40．已知数列是等差数列，，公差，且是等比数列；
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求数列的前项和．
第六章 数列
6.1.2 等差数列（针对练习）
针对练习
针对练习一 等差数列的基本量计算
1．已知等差数列中，，，则的值是（ ）
A．30B．15C．31D．64
【答案】B
【分析】根据等差数列下标和的性质即可求解.
【详解】由等差数列性质可知，，所以，解得.
故选：B.
2．已知数列为等差数列，，，则该数列的公差为（ ）
A．B．3C．D．5
【答案】B
【分析】根据等差数列的通项公式可求出结果.
【详解】设公差为，则由得，解得.
故选：B
3．等差数列的前n项和为，若，则公差( )
A．1B．C．2D．
【答案】B
【分析】根据等差数列通项公式和前n项和公式列出关于和d的方程组求解即可．
【详解】由题可知．
故选：B．
4．记为等差数列的前n项和．若，，则（ ）
A．3B．7C．11D．15
【答案】D
【分析】由题干条件得到方程组，求出首项和公差，求出.
【详解】由得：，
由得：
联立两式可得：，
所以，
所以
故选：D
5．已知等差数列的各项均为正数，其前n项和为，且满足，，则（ ）
A．28B．30C．32D．35
【答案】D
【分析】利用等差数列的性质，通项公式及其前项和公式求解即可.
【详解】因为，所以，
又因为，所以公差，
所以，
故选：.
针对练习二 等差中项的应用
6．在等差数列中，，则的值是（ ）
A．24B．32C．48D．96
【答案】C
【分析】利用等差中项的性质求得，再由即可得结果.
【详解】由题设，，则，
所以.
故选：C
7．在等差数列中，若，则（ ）
A．18B．30C．36D．72
【答案】C
【分析】由已知求出，再利用等差中项即可.
【详解】由已知得，，
所以.
故选:C
8．已知数列是公比为q的等比数列，若，且是与2的等差中项，则q的值是（ ）
A．1B．2
C．或1D．或2
【答案】A
【分析】利用等比数列的性质和基本量代换，解方程即可求出q.
【详解】由解得.
因为是与2的等差中项，所以.
把代入得：，
消去得：，解得.
故选：A．
9．已知正项等比数列中，，且成等差数列，则该数列公比为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】运用等比数列的性质和通项公式，等差数列的中项性质，解方程可得所求公比．
【详解】是正项等比数列，且，，
成等差数列，
故选：C．
10．等比数列的前项和为，且，，成等差数列.若，则（ ）
A．15B．7C．8D．16
【答案】B
【解析】根据已知条件求得公比，由此求得.
【详解】设等比数列的公比为，
由于，，成等差数列，所以，
即，，，
所以.
故选：B
针对练习三 等差数列中的最大（小）项
11．在数列中，如果（），那么使这个数列的前项和取得最大值时，的值等于（ ）
A．19B．20C．21D．22
【答案】B
【分析】考虑何时变号，则可得前项和取得最大值时的值.
【详解】因为，故，故数列为等差数列，
又当时，；当时，，
故当时，取得最大值，
故选：B.
【点睛】本题考查等差数列前和的最值问题，依据项的符号的变化来判断是通法，本题属于基础题.
12．设等差数列的前项和为，若，，则的最小值等于（ ）
A．-34B．-36C．-6D．6
【答案】B
【解析】由题意先求出数列的公差，再根据前项和公式求出，再计算最小值即可．
【详解】解：设数列的公差为，
∵，
∴，
又，
∴，
∴，
∴当时，有最小值，
故选：B．
【点睛】本题主要考查等差数列的前项和的最值的求法，属于基础题．
13．若等差数列满足，，则当的前项和最大时，的值为
A．7B．8C．9D．10
【答案】B
【详解】∵等差数列 满足
∴等差数列的前8项为正数，从第9项开始为负数，
∴当的前 项和最大时的值为8，
故选B．
14．已知数列为等差数列，它的前项和为，若，则使成立的正整数的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据等差数列前项和的特点得到，，之后解不等式，即可得到整数的最小值.
【详解】因为是等差数列的前项和，所以，所以.
由，解得（舍去），所以正整数的最小值是.
故选：B.
15．设等差数列的公差为d，其前n项和为，且，，则使得的正整数n的最小值为（ ）
A．16B．17C．18D．19
【答案】D
【分析】根据等差数列的性质及已知分别判断、、的符号即可.
【详解】由，得，
因为是等差数列，所以，，，
，，，
所以，
使得的正整数n的最小值为.
故选: D.
针对练习四 等差数列片段和的性质及应用
16．设等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．27B．36C．45D．54
【答案】B
【分析】根据等差数列和性质知成等差数列，计算得到答案.
【详解】根据等差数列和性质知：成等差数列，
故，解得.
故选：B.
【点睛】本题考查了求等差数列前项和，意在考查学生的计算能力，利用成等差数列是解题的关键.
17．已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．80B．90C．100D．110
【答案】B
【解析】利用等差，即可求解.
【详解】根据等差数列前项和的片段和性质：
也是等差数列，
又，
故可得：10,30,50成等差数列，故：
，解得.
故选：B.
【点睛】本题考查等差数列前项和的片段和性质.
18．若数列为等差数列，为数列的前项和，已知，，则的值为（ ）
A．40B．50C．60D．70
【答案】B
【分析】根据题意，可知，是等差数列，即成等差数列，利用等差中项的性质，即可列式求出.
【详解】解：已知数列为等差数列，，，
则也是等差数列，
所以，是等差数列，
即：成等差数列，
由等差中项得：，
解得：.
故选：B.
【点睛】本题考查等差数列前项和的有关性质，以及等差中项的应用，考查计算能力.
19．设等差数列的前项和为,若,则 ( )
A．12B．8C．20D．16
【答案】C
【分析】由等差数列的性质得：成等比数列，由此能求出的值．
【详解】解：∵等差数列的前项和为，，
由等差数列的性质得：
成等比数列
又
∴
．
故选C．
【点睛】本题考查等差数列的四项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．
20．记为等差数列的前n项和，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据等差数列的性质，，，也成等差数列，结合，根据等差数列的性质得到，，代入即可得到答案．
【详解】根据等差数列的性质，若数列为等差数列，
则，，，也成等差数列；
又，即①
则数列，，，是以为首项的等差数列
根据等差中项公式可得：②
由①②解得：③
又④
由①③④解得：
故选：B．
【点睛】本题考查的知识点是等差数列的性质，其中根据数列为等差数列，则，，，也成等差数列，然后根据等差数列的性质，判断数列，与的关系，是解答本题的关键，考查了分析能力和计算能力.
针对练习五 两个等差数列前n项和之比问题
21．已知数列、均为等差数列，且前项和分别为和，若，则
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用等差数列的性质以及等差数列的前项和公式，将所求的，转化为的形式，由此求得所求的结果.
【详解】根据等差数列的性质和前项和公式，有.故选B.
【点睛】本小题主要考查等差数列的性质，考查等差数列前项和公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题. 这个等差数列的性质是：若，则，若，则.如果数列是等比数列，则数列的性质为：若，则，若，则.
22．若等差数列和的前n项的和分别是和，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据等差数列的性质和求和公式结合已知条件分析求解
【详解】因为等差数列和的前n项的和分别是和，且，
所以.
故选：B.
23．已知两个等差数列和的前n项和分别为和，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据等差数列性质与前n项公式化简即可求解．
【详解】由．
故选：D
24．设等差数列与等差数列的前n项和分别为，，若对任意自然数n都有，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据等差数列的下标性质将式子化为，再化为，进而得到，最后根据条件求得答案.
【详解】由题意，.
故选：C.
25．若两个等差数列，的前项和分别为和，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】可设，，进而求得与的关系式，即可求得结果．
【详解】因为，是等差数列，且，
所以可设，，
又当时，有，，
，
故选：．
针对练习六 等差数列的简单应用
26．《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗．问：五人各得几何？”其意思为：“有5个人分60个橘子，他们分得的橘子个数成公差为3的等差数列，问：5人各得多少橘子．”根据这个问题，5人所得橘子个数的中位数是（ ）
A．6B．8C．10D．12
【答案】D
【分析】由等差数列定义可设人所得橘子数分别为，，，，，由橘子总数可构造方程求得中位数.
【详解】设个人所得橘子数为：，，，，，
，解得：，
人所得橘子数的中位数为.
故选：.
【点睛】本题考查等差数列的应用问题，关键是能够根据等差数列的特点，采用待定系数法来求解，属于基础题.
27．《九章算术》中有如下问题：“今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升．问中间二节欲均容，各多少？”其大意：“今有竹节，下节容量升，上节容量升，问使中间两节也均匀变化，每节容量是多少？”在这个问题中，中间这两节的容量是
A．升和升B．升和升
C．升和升D．升和升
【答案】B
【解析】由题可得：竹九节的容量依次成等差数列，由下3节容量4升及上4节容量3升列方程即可求得及，问题得解．
【详解】由题可得：竹九节的容量依次成等差数列，
从上往下，不妨设每节的容量依次为：
又下3节容量4升，上4节容量3升，
可得，解得：，
所以中间这两节的容量，
故选B
【点睛】本题主要考查了等差数列的应用，考查了等差数列的通项公式及计算能力，属于中档题．
28．《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤；斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何?”意思是：“现在有一根金箠， 长五尺在粗的一端截下一尺，重斤；在细的一端截下一尺，重斤，问各尺依次重多少?”按这一问题的颗设，假设金箠由粗到细各尺重量依次成等差数列，则从粗端开始的第二尺的重量是
A．斤B． 斤C．斤D．斤
【答案】B
【分析】依题意，金箠由粗到细各尺重量构成一个等差数列，则，由此利用等差数列性质求出结果．
【详解】设金箠由粗到细各尺重量依次所成得等差数列为，设首项，则，公差，.
故选B
【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
29．在北京冬奥会开幕式上，二十四节气倒计时惊艳了世界．从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长依次成等差数列，若冬至的日影长为18.5尺，立春的日影长为15.5尺，则立夏的日影长为（ ）
A．9.5 尺B．10.5 尺C．11.5 尺D．12.5 尺
【答案】A
【分析】由等差数列相关运算得到公差，进而求出立夏的日影长.
【详解】由题意得：为等差数列，公差为d，则，，则，解得：，则，故立夏的日影长为9.5尺.
故选：A
30．《张邱建算经》曾有类似记载：“今有女子善织布，逐日织布同数递增（即每天增加的数量相同）".若该女子第一天织布两尺，前二十日共织布六十尺，则该女子第二十日织布（ ）
A．三尺B．四尺C．五尺D．六尺
【答案】B
【分析】用表示该女子第天织布尺寸，问题转化为已知，，求，利用等差数列的前项和公式求解．
【详解】用表示该女子第天织布尺寸，则，，
由，得，．
故选：B．
针对练习七 由递推关系证明等差数列
31．已知数列满足且
（1）求证：数列为等差数列
（2）求数列的通项公式
【答案】（1）见解析；（2）.
【分析】（1）将条件取倒数可得，从而得证；
（2）利用等差数列先求得，从而得解.
【详解】（1）由 ，得，所以，
所以数列为等差数列，首项为1，公差为2.
（2）由（1）可得，所以
【点睛】本题主要考查了利用递推关系求证等差数列，采用了取倒数的方法，属于基础题.
32．已知数列满足，，数列
（1）求证：等差数列；
（2）求数列的通项公式.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【分析】（1）根据题意，计算，由等差数列的定义，即可证明结论成立；
（2）先由（1）求出，即可得出.
【详解】（1）由题可，且，
又因为
所以数列是以为首项，为公差的等差数列
（2）由（1）可知，
故.
【点睛】本题主要考查证明数列是等差数列，以及求数列的通项公式，属于基础题型.
33．数列满足： ．
（1）令，求证：数列为等差数列；
（2）求数列的通项公式．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）把已知数列递推式两边同时除以n（n+1），可得数列{}是以1为首项，以1为公差的等差数列；
（2）由（1）结合等差数列通项公式即可得到结果.
【详解】（1）由已知可得，
即，
所以是以为首项，1为公差的等差数列.
（2）由（1）知，
所以.
【点睛】本题考查数列递推式，考查了等差数列的定义及通项公式，属于基础题.
34．已知数列中，， ，数列满足.
（1）求证：数列为等差数列.
（2）求数列的通项公式.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）根据等差数列定义，可化简整理得到，由此证得结论；
（2）由等差数列通项公式可求得，化简整理可得.
【详解】（1），，
，又，
数列是首项为，公差为的等差数列.
（2）由（1）知：，
，.
35．已知列满足，且，．
（1）设，证明：数列为等差数列；
（2）求数列的通项公式；
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）根据题设递推式得，根据等差数列的定义，结论得证.
（2）由（1）直接写出通项公式即可.
【详解】（1）由题设知：，且，
∴是首项、公差均为1的等差数列，又，则数列为等差数列，得证.
（2）由（1）知：.
针对练习八 含绝对值的等差数列前n项和
36．在等差数列中，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接利用等差数列的通项公式即可求解；
（2）先判断出数列单调性，由时，，时，；然后去掉绝对值，利用等差数列的前项和公式求解即可.
(1)
是等差数列，公差
；
即；
(2)
，则
由（1）可知前五项为正，第六项开始为负
.
37．已知单调递减数列的前项和为，且，
（1）求
（2）求
【答案】（1）；（2）当时，和为；当时，和为.
【分析】（1）先判断出为等差数列，再求出可得数列的通项.
（2）就和分别求和（去掉绝对值符号后）即可，
【详解】解：（1）因为，所以为等差数列.
设等差数列的公差为，则
，解得或(舍).
所以
（2）当时，，
当时，
【点睛】等差数列或等比数列的处理有两类基本方法：（1）利用基本量即把数学问题转化为关于基本量的方程或方程组，再运用基本量解决与数列相关的问题；（2）利用数列的性质求解即通过观察下标的特征和数列和式的特征选择合适的数列性质处理数学问题．另外，对于等差数列及其前项和，若求的前项和，则需要就分类讨论，把转化为的问题.
38．已知等差数列的前项和为，且满足.
（1）求的通项公式；
（2）记，求的前项和.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ），.
【详解】试题分析：（1）由题意，根据等差数列前项和公式，求出数列公差，再由等差数列的通项公式进行求解，从而问题可得解；（2）由（1）可得数列的通项，根据绝对值式的运算特点，将其进行分段求解，从而问题可得解.
试题解析：（Ⅰ）设等差数列的公差为，则
，解得
故.
（Ⅱ）
当时，，
当时，，
所以，．
39．已知等差数列的前项和为，且
（1）求通项公式；
（2）求数列的前项和
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）根据，利用“”法求解.
（2）令，解得，然后分， 去掉绝对值，利用等差数列的前n项和公式求解.
【详解】（1）在等差数列中，因为，
所以，
解得 ，
所以 .
（2）令，解得，
当时，，当时，，
所以当时， ，
当时， ，
，
所以.
40．已知数列是等差数列，，公差，且是等比数列；
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求数列的前项和．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．
【解析】（Ⅰ）根据等比数列的性质，结合等差数列的通项公式进行求解即可；
（Ⅱ）根据的正负性，结合等差数列的前项和公式进行求解即可.
【详解】（Ⅰ）由题意：是等比数列，所以有
解得：或0（舍去），
所以；
（Ⅱ）当时，，即有；
当时，，，
即有．
【点睛】本题考查了等比数列的性质，考查了求等差数列的通项公式，考查了等差数列的前项和公式的应用，考查了数学运算能力