高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量的运算课后作业题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量的运算课后作业题，共12页。试卷主要包含了[多选]下列结果为零向量的是，下列四个等式等内容，欢迎下载使用。
1．设b是a的相反向量，则下列说法错误的是( )
A．a与b的长度必相等 B．a∥b
C．a与b一定不相等 D．a是b的相反向量
2.如图，eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(BC,\s\up7(―→))－eq \(AD,\s\up7(―→))等于( )
A.eq \(AD,\s\up7(―→)) B.eq \(DC,\s\up7(―→))
C.eq \(DB,\s\up7(―→)) D.eq \(AB,\s\up7(―→))
3．[多选]下列结果为零向量的是( )
A.eq \(AB,\s\up7(―→))－(eq \(BC,\s\up7(―→))＋eq \(CA,\s\up7(―→))) B.eq \(AB,\s\up7(―→))－eq \(AC,\s\up7(―→))＋eq \(BD,\s\up7(―→))－eq \(CD,\s\up7(―→))
C.eq \(OA,\s\up7(―→))－eq \(OD,\s\up7(―→))＋eq \(AD,\s\up7(―→)) D.eq \(NO,\s\up7(―→))＋eq \(OP,\s\up7(―→))＋eq \(MN,\s\up7(―→))－eq \(MP,\s\up7(―→))
4．已知O是平面上一点，eq \(OA,\s\up7(―→))＝a，eq \(OB,\s\up7(―→))＝b，eq \(OC,\s\up7(―→))＝c，eq \(OD,\s\up7(―→))＝d，且四边形ABCD为平行四边形，则( )
A．a＋b＋c＋d＝0 B．a－b＋c－d＝0
C．a＋b－c－d＝0 D．a－b－c＋d＝0
5．边长为1的正三角形ABC中，|eq \(AB,\s\up7(―→))－eq \(BC,\s\up7(―→))|的值为( )
A．1 B．2
C.eq \f(\r(3),2) D.eq \r(3)
6．下列四个等式：
①a＋b＝b＋a；②－(－a)＝a；③eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(BC,\s\up7(―→))＋eq \(CA,\s\up7(―→))＝0；④a＋(－a)＝0.
其中正确的是______(填序号)．
7.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于O点，则eq \(BA,\s\up7(―→))－eq \(BC,\s\up7(―→))－eq \(OA,\s\up7(―→))＋eq \(OD,\s\up7(―→))＋eq \(DA,\s\up7(―→))＝________.
8．若a，b为相反向量，且|a|＝1，|b|＝1，则|a＋b|＝________，|a－b|＝________.
9．已知菱形ABCD的边长为2，求向量eq \(AB,\s\up7(―→))－eq \(CB,\s\up7(―→))＋eq \(CD,\s\up7(―→))的模．
10．如图，已知向量a和向量b，用三角形法则作出a－b＋a.
拓展练
1.在如图所示的四边形ABCD中，设eq \(AB,\s\up7(―→))＝a，eq \(AD,\s\up7(―→))＝b，eq \(BC,\s\up7(―→))＝c，则eq \(DC,\s\up7(―→))＝( )
A．a－b＋c
B．b－(a＋c)
C．a＋b＋c
D．b－a＋c
2．在平面上有A，B，C三点，设m＝eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(BC,\s\up7(―→))，n＝eq \(AB,\s\up7(―→))－eq \(BC,\s\up7(―→))，若m与n的长度恰好相等，则有( )
A．A，B，C三点必在一条直线上
B．△ABC必为等腰三角形且∠B为顶角
C．△ABC必为直角三角形且∠B为直角
D．△ABC必为等腰直角三角形
3．已知向量|a|＝2，|b|＝4，且a，b不是方向相反的向量，则|a－b|的取值范围是( )
A．(2,6) B．[2,6)
C．(2,6] D．[2,6]
4．若O是△ABC内一点，eq \(OA,\s\up7(―→))＋eq \(OB,\s\up7(―→))＋eq \(OC,\s\up7(―→))＝0，则O是△ABC的( )
A．内心 B．外心
C．重心 D．垂心
5.如图，在△ABC中，若D是边BC的中点，E是边AB上一点，则eq \(BE,\s\up7(―→))－eq \(DC,\s\up7(―→))＋eq \(ED,\s\up7(―→))＝________.
6．设平面向量a1，a2，a3满足a1－a2＋a3＝0，如果平面向量b1，b2，b3满足|bi|＝2|ai|，且ai顺时针旋转30°后与bi同向，其中i＝1,2,3，则b1－b2＋b3＝________.
7.如图，在▱ABCD中，eq \(AB,\s\up7(―→))＝a，eq \(AD,\s\up7(―→))＝b.
(1)当a，b满足什么条件时，a＋b与a－b所在的直线互相垂直？
(2)a＋b与a－b有可能为相等向量吗？为什么？
培优练
三个大小相同的力a，b，c作用在同一物体P上，使物体P沿a方向做匀速运动，设eq \(PA,\s\up7(―→))＝a，eq \(PB,\s\up7(―→))＝b，eq \(PC,\s\up7(―→))＝c，判断△ABC的形状．
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基础练
1．设b是a的相反向量，则下列说法错误的是( )
A．a与b的长度必相等 B．a∥b
C．a与b一定不相等 D．a是b的相反向量
解析：选C 根据相反向量的定义可知，C错误，因为0与0互为相反向量，但0与0相等．故选C.
2.如图，eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(BC,\s\up7(―→))－eq \(AD,\s\up7(―→))等于( )
A.eq \(AD,\s\up7(―→)) B.eq \(DC,\s\up7(―→))
C.eq \(DB,\s\up7(―→)) D.eq \(AB,\s\up7(―→))
解析：选B eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(BC,\s\up7(―→))－eq \(AD,\s\up7(―→))＝eq \(AB,\s\up7(―→))－eq \(AD,\s\up7(―→))＋eq \(BC,\s\up7(―→))＝eq \(DB,\s\up7(―→))＋eq \(BC,\s\up7(―→))＝eq \(DC,\s\up7(―→)).故选B.
3．[多选]下列结果为零向量的是( )
A.eq \(AB,\s\up7(―→))－(eq \(BC,\s\up7(―→))＋eq \(CA,\s\up7(―→))) B.eq \(AB,\s\up7(―→))－eq \(AC,\s\up7(―→))＋eq \(BD,\s\up7(―→))－eq \(CD,\s\up7(―→))
C.eq \(OA,\s\up7(―→))－eq \(OD,\s\up7(―→))＋eq \(AD,\s\up7(―→)) D.eq \(NO,\s\up7(―→))＋eq \(OP,\s\up7(―→))＋eq \(MN,\s\up7(―→))－eq \(MP,\s\up7(―→))
解析：选BCD A项，eq \(AB,\s\up7(―→))－(eq \(BC,\s\up7(―→))＋eq \(CA,\s\up7(―→)))＝eq \(AB,\s\up7(―→))－eq \(BA,\s\up7(―→))＝2eq \(AB,\s\up7(―→))；B项，eq \(AB,\s\up7(―→))－eq \(AC,\s\up7(―→))＋eq \(BD,\s\up7(―→))－eq \(CD,\s\up7(―→))＝eq \(CB,\s\up7(―→))＋eq \(BC,\s\up7(―→))＝0；C项，eq \(OA,\s\up7(―→))－eq \(OD,\s\up7(―→))＋eq \(AD,\s\up7(―→))＝eq \(DA,\s\up7(―→))＋eq \(AD,\s\up7(―→))＝0；D项，eq \(NO,\s\up7(―→))＋eq \(OP,\s\up7(―→))＋eq \(MN,\s\up7(―→))－eq \(MP,\s\up7(―→))＝eq \(NP,\s\up7(―→))＋eq \(PN,\s\up7(―→))＝0.故选B、C、D.
4．已知O是平面上一点，eq \(OA,\s\up7(―→))＝a，eq \(OB,\s\up7(―→))＝b，eq \(OC,\s\up7(―→))＝c，eq \(OD,\s\up7(―→))＝d，且四边形ABCD为平行四边形，则( )
A．a＋b＋c＋d＝0 B．a－b＋c－d＝0
C．a＋b－c－d＝0 D．a－b－c＋d＝0
解析：选B 易知eq \(OB,\s\up7(―→))－eq \(OA,\s\up7(―→))＝eq \(AB,\s\up7(―→))，eq \(OC,\s\up7(―→))－eq \(OD,\s\up7(―→))＝eq \(DC,\s\up7(―→))，而在平行四边形ABCD中有eq \(AB,\s\up7(―→))＝eq \(DC,\s\up7(―→))，所以eq \(OB,\s\up7(―→))－eq \(OA,\s\up7(―→))＝eq \(OC,\s\up7(―→))－eq \(OD,\s\up7(―→))，即b－a＝c－d，也即a－b＋c－d＝0.故选B.
5．边长为1的正三角形ABC中，|eq \(AB,\s\up7(―→))－eq \(BC,\s\up7(―→))|的值为( )
A．1 B．2
C.eq \f(\r(3),2) D.eq \r(3)
解析：选D 如图延长AB到D.
使AB＝BD.
∴eq \(AB,\s\up7(―→))＝eq \(BD,\s\up7(―→))
∴|eq \(AB,\s\up7(―→))－eq \(BC,\s\up7(―→))|＝|eq \(BD,\s\up7(―→))－eq \(BC,\s\up7(―→))|＝|eq \(CD,\s\up7(―→))|
因△ABC为边长为1的正三角形．
∴∠ABC＝60°，∴∠D＝∠BCD＝30°，∴△ABD为直角三角形，∴|eq \(DC,\s\up7(―→))|＝ eq \r(|\(AD,\s\up7(―→))|2－|\(AC,\s\up7(―→))|2)＝eq \r(3)，
∴|eq \(AB,\s\up7(―→))－eq \(BC,\s\up7(―→))|＝eq \r(3).故选D.
6．下列四个等式：
①a＋b＝b＋a；②－(－a)＝a；③eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(BC,\s\up7(―→))＋eq \(CA,\s\up7(―→))＝0；④a＋(－a)＝0.
其中正确的是______(填序号)．
解析：由向量的运算律及相反向量的性质可知①②④是正确的，③符合向量的加法法则，也是正确的．
答案：①②③④
7.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于O点，则eq \(BA,\s\up7(―→))－eq \(BC,\s\up7(―→))－eq \(OA,\s\up7(―→))＋eq \(OD,\s\up7(―→))＋eq \(DA,\s\up7(―→))＝________.
解析：由题图知eq \(BA,\s\up7(―→))－eq \(BC,\s\up7(―→))－eq \(OA,\s\up7(―→))＋eq \(OD,\s\up7(―→))＋eq \(DA,\s\up7(―→))＝eq \(CA,\s\up7(―→))－eq \(OA,\s\up7(―→))＋eq \(OA,\s\up7(―→))＝eq \(CA,\s\up7(―→)).
答案：eq \(CA,\s\up7(―→))
8．若a，b为相反向量，且|a|＝1，|b|＝1，则|a＋b|＝________，|a－b|＝________.
解析：若a，b为相反向量，则a＋b＝0，∴|a＋b|＝0，
又a＝－b，∴|a|＝|－b|＝1，∵a与b共线，∴|a－b|＝2.
答案：0 2
9．已知菱形ABCD的边长为2，求向量eq \(AB,\s\up7(―→))－eq \(CB,\s\up7(―→))＋eq \(CD,\s\up7(―→))的模．
解：如图，∵eq \(AB,\s\up7(―→))－eq \(CB,\s\up7(―→))＋eq \(CD,\s\up7(―→))＝eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(BC,\s\up7(―→))＋eq \(CD,\s\up7(―→))＝eq \(AD,\s\up7(―→))，
∴|eq \(AB,\s\up7(―→))－eq \(CB,\s\up7(―→))＋eq \(CD,\s\up7(―→))|＝|eq \(AD,\s\up7(―→))|＝2.
10．如图，已知向量a和向量b，用三角形法则作出a－b＋a.
解：作法：作向量eq \(OA,\s\up7(―→))＝a，向量eq \(OB,\s\up7(―→))＝b，则向量eq \(BA,\s\up7(―→))＝a－b.如图所示；作向量eq \(AC,\s\up7(―→))＝a，则eq \(BC,\s\up7(―→))＝a－b＋a.
拓展练
1.在如图所示的四边形ABCD中，设eq \(AB,\s\up7(―→))＝a，eq \(AD,\s\up7(―→))＝b，eq \(BC,\s\up7(―→))＝c，则eq \(DC,\s\up7(―→))＝( )
A．a－b＋c
B．b－(a＋c)
C．a＋b＋c
D．b－a＋c
解析：选A eq \(DC,\s\up7(―→))＝－eq \(AD,\s\up7(―→))＋eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(BC,\s\up7(―→))＝－b＋a＋c＝a－b＋c.故选A.
2．在平面上有A，B，C三点，设m＝eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(BC,\s\up7(―→))，n＝eq \(AB,\s\up7(―→))－eq \(BC,\s\up7(―→))，若m与n的长度恰好相等，则有( )
A．A，B，C三点必在一条直线上
B．△ABC必为等腰三角形且∠B为顶角
C．△ABC必为直角三角形且∠B为直角
D．△ABC必为等腰直角三角形
解析：选C 以eq \(BA,\s\up7(―→))，eq \(BC,\s\up7(―→))为邻边作平行四边形，则m＝eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(BC,\s\up7(―→))＝eq \(AC,\s\up7(―→))，n＝eq \(AB,\s\up7(―→))－eq \(BC,\s\up7(―→))＝eq \(AB,\s\up7(―→))－eq \(AD,\s\up7(―→))＝eq \(DB,\s\up7(―→))，由m，n的长度相等可知，两对角线相等，因此平行四边形一定是矩形．故选C.
3．已知向量|a|＝2，|b|＝4，且a，b不是方向相反的向量，则|a－b|的取值范围是( )
A．(2,6) B．[2,6)
C．(2,6] D．[2,6]
解析：选B 由已知必有||a|－|b||≤|a－b|＜|a|＋|b|，则所求的取值范围是[2, 6)．故选B.
4．若O是△ABC内一点，eq \(OA,\s\up7(―→))＋eq \(OB,\s\up7(―→))＋eq \(OC,\s\up7(―→))＝0，则O是△ABC的( )
A．内心 B．外心
C．重心 D．垂心
解析：选C 如图，以eq \(OB,\s\up7(―→))，eq \(OC,\s\up7(―→))为邻边作平行四边形OBDC，则eq \(OD,\s\up7(―→))＝eq \(OB,\s\up7(―→))＋eq \(OC,\s\up7(―→)). 又eq \(OA,\s\up7(―→))＋eq \(OB,\s\up7(―→))＋eq \(OC,\s\up7(―→))＝0，
∴eq \(OB,\s\up7(―→))＋eq \(OC,\s\up7(―→))＝－eq \(OA,\s\up7(―→))，∴eq \(OD,\s\up7(―→))＝－eq \(OA,\s\up7(―→))，∴A，O，D三点共线．设OD与BC的交点为E，则E是BC的中点，∴AE是△ABC的中线．同理可证BO，CO都在△ABC的中线上，∴O是△ABC的重心．故选C.
5.如图，在△ABC中，若D是边BC的中点，E是边AB上一点，则eq \(BE,\s\up7(―→))－eq \(DC,\s\up7(―→))＋eq \(ED,\s\up7(―→))＝________.
解析：eq \(BE,\s\up7(―→))－eq \(DC,\s\up7(―→))＋eq \(ED,\s\up7(―→))＝eq \(BE,\s\up7(―→))＋eq \(ED,\s\up7(―→))＋eq \(CD,\s\up7(―→))＝eq \(BD,\s\up7(―→))＋eq \(CD,\s\up7(―→))，因为eq \(BD,\s\up7(―→))＋eq \(CD,\s\up7(―→))＝0，所以eq \(BE,\s\up7(―→))－eq \(DC,\s\up7(―→))＋eq \(ED,\s\up7(―→))＝0.
答案：0
6．设平面向量a1，a2，a3满足a1－a2＋a3＝0，如果平面向量b1，b2，b3满足|bi|＝2|ai|，且ai顺时针旋转30°后与bi同向，其中i＝1,2,3，则b1－b2＋b3＝________.
解析：将ai顺时针旋转30°后得ai′，则a1′－a2′＋a3′＝0.
又∵bi与ai′同向，且|bi|＝2|ai|，∴b1－b2＋b3＝0.
答案：0
7.如图，在▱ABCD中，eq \(AB,\s\up7(―→))＝a，eq \(AD,\s\up7(―→))＝b.
(1)当a，b满足什么条件时，a＋b与a－b所在的直线互相垂直？
(2)a＋b与a－b有可能为相等向量吗？为什么？
解：(1)eq \(AC,\s\up7(―→))＝eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(AD,\s\up7(―→))＝a＋b，eq \(DB,\s\up7(―→))＝eq \(AB,\s\up7(―→))－eq \(AD,\s\up7(―→))＝a－b.
若a＋b与a－b所在的直线互相垂直，则AC⊥BD.
因为当|a|＝|b|时，四边形ABCD为菱形，此时AC⊥BD，故当a，b满足|a|＝|b|时，a＋b与a－b所在的直线互相垂直．
(2)不可能．因为▱ABCD的两对角线不可能平行，
所以a＋b与a－b不可能为共线向量，更不可能为相等向量．
培优练
三个大小相同的力a，b，c作用在同一物体P上，使物体P沿a方向做匀速运动，设eq \(PA,\s\up7(―→))＝a，eq \(PB,\s\up7(―→))＝b，eq \(PC,\s\up7(―→))＝c，判断△ABC的形状．
解：由题意得|a|＝|b|＝|c|，由于合力作用后做匀速运动，故合力为0，即a＋b＋c＝0.所以a＋c＝－b.如图，作平行四边形APCD为菱形．
eq \(PD,\s\up7(―→))＝a＋c＝－b，所以∠APC＝120°.
同理∠APB＝∠BPC＝120°.
又因为|a|＝|b|＝|c|，
所以△ABC为等边三角形．