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高一数学同步备好课之题型全归纳(人教A版必修第一册)专题41函数模型的应用(原卷版+解析)
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这是一份高一数学同步备好课之题型全归纳(人教A版必修第一册)专题41函数模型的应用(原卷版+解析)，共35页。试卷主要包含了常用函数模型，函数模型应用的两个方面，用函数模型解决实际问题的步骤，数据拟合，据调查等内容，欢迎下载使用。
2．函数模型应用的两个方面
(1)利用已知函数模型解决问题．
(2)建立恰当的函数模型，并利用所得函数模型解释有关现象，对某些发展趋势进行预测．
3．用函数模型解决实际问题的步骤
(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，用函数刻画实际问题，初步选择模型．
(2)建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的函数模型．
(3)求模：求解函数模型，得到数学结论．
(4)还原：利用数学知识和方法得出的结论还原到实际问题中．
可将这些步骤用框图表示如下：
4．数据拟合
(1)定义：通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，看它们接近我们熟悉的哪一种函数图象，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的函数表达式，再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律，这种方法称为数据拟合．
(2)数据拟合的步骤
①以所给数据作为点的坐标，在平面直角坐标系中绘出各点；
②依据点的整体特征，猜测这些点所满足的函数形式，设其一般形式；
③取特殊数据代入，求出函数的具体解析式；
④做必要的检验．
题型一 函数模型的选择问题
1．如表是函数值y随自变量x变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型是( )
A.一次函数模型 B．二次函数模型
C．指数函数模型 D．对数函数模型
2．有一组实验数据如下表所示：
则能体现这些数据关系的函数模型是( )
A．u＝lg2t B．u＝2t－2 C．u＝eq \f(t2－1,2) D．u＝2t－2
3．下列函数关系中，可以看作是指数型函数y＝kax(k∈R，a>0且a≠1)的模型的是( )
A．竖直向上发射的信号弹，从发射开始到信号弹到达最高点，信号弹的高度与时间的关系(不计空气阻力)
B．我国人口年自然增长率为1%时，我国人口总数与年份的关系
C．如果某人t s内骑车行进了1 km，那么此人骑车的平均速度v与时间t的函数关系
D．信件的邮资与其重量间的函数关系
4．如图所示，点P在边长为1的正方形的边上运动，M是CD的中点．当点P沿路线A－B－C－M运动时，点P经过的路程x与△APM的面积y之间的函数y＝f(x)的图象大致是( )
5．某学校为了实现60万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随生源利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y＝0.2x，y＝lg5x，y＝1.02x，其中哪个模型符合该校的要求？
6．据调查：人类在能源利用与森林砍伐中使CO2浓度增加．据测，2015年、2016年、2017年大气中的CO2浓度分别比2014年增加了1个单位，3个单位，6个单位．若用一个函数模型每年CO2浓度增加的单位数y与年份增加数x的关系，模拟函数可选用二次函数f(x)＝px2＋qx＋r(其中p，q，r为常数)或函数g(x)＝a·bx＋c(其中a，b，c为常数)，又知2018年大气中的CO2浓度比2014年增加了16.5个单位，请问用以上哪个函数作模拟函数较好？
7．某投资公司拟投资开发某种新产品，市场评估能获得10万元～1000万元(包含10万元和1000万元)的投资收益．现公司准备制订一个对科研课题组的奖励方案：奖金y(单位：万元)随投资收益x(单位：万元)的增加而增加，且奖金不低于1万元，同时不超过投资收益的20%.
(1)设奖励方案的函数模型为f(x)，根据题目要求，写出f(x)满足的条件；
(2)下面是公司预设的两个奖励方案的函数模型：
①f(x)＝eq \f(x,150)＋2；②f(x)＝4lg x－2.
试分别分析这两个函数模型是否符合公司的要求．
题型二 利用已知函数模型解决实际问题
1．某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物，已知该动物的繁殖数量y(只)与引入时间x(年)的关系为y＝alg2(x＋1)，若该动物在引入一年后的数量为100只，则第7年它们发展到( )
A．300只 B．400只 C．600只 D．700只
2．某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是( )
A．310元 B．300元 C．390元 D．280元
3．某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营．据市场分析，每辆客车营运的利润y与营运年数x(x∈N)为二次函数关系(如图)，则客车有营运利润的时间不超过________年．
4．某种型号的汽车紧急刹车后滑行的距离y(km)与刹车时的速度x(km/h)的关系可以用y＝ax2来描述，已知这种型号的汽车在速度为60 km/h时，紧急刹车后滑行的距离为b km.若一辆这种型号的汽车紧急刹车后滑行的距离为3b km，则这辆车的行驶速度为________km/h.
5．某公司在甲、乙两地销售同一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为________万元．
6．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4x，1≤x≤10，x∈N，,2x＋10，10＜x＜100，x∈N，,1.5x，x≥100，x∈N，))其中x代表拟录用人数，y代表面试人数，若面试人数为60，则该公司拟录用人数为( )
A．15 B．40 C．25D．130
7．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为
“可食用率”，在特定条件下，可食用率P与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系P＝at2＋bt＋c(a，b，c是常数)，如图记录了三次实验数据，根据上述函数模型和实验数据，可得到最佳加工时间为( )
A．3.50分钟 B．3.75分钟 C．4.00分钟 D．4.25分钟
8．衣柜里的樟脑丸随着时间会挥发而体积变小，刚放进的新丸体积为a，经过t天后体积V与天数t的关系式为V＝ae－kt，新丸经过50天后，体积变为eq \f(4,9)A．若一个新丸体积变为eq \f(8,27)a，则需经过________天．
9．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是T1(℃)，空气的温度是T0(℃)，经过t分钟后物体的温度T(℃)可由公式T＝T0＋(T1－T0)e－0.25t求得．把温度是90 ℃的物体，放在10 ℃的空气中冷却t分钟后，物体的温度是50 ℃，那么t的值约等于(参考数据：ln 3≈1.099，ln 2≈0.693)( )
A．1.78 B．2.77 C．2.89D．4.40
10．某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是( )
A．16小时B．20小时
C．24小时D．21小时
11．某公司预投资100万元，有两种投资可供选择：
甲方案年利率10%，按单利计算，5年后收回本金和利息；
乙方案年利率9%，按每年复利一次计算，5年后收回本金和利息．
哪种投资更有利？这种投资比另一种投资5年可多得利息多少万元？(结果精确到0.01万元)
12．衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进去的新丸体积为a，经过t天后体积V与天数t的关系式为：V＝a·e－kt.已知新丸经过50天后，体积变为eq \f(4,9)a.若一个新丸体积变为eq \f(8,27)a，则需经过的天数为( )
A．125 B．100 C．75 D．50
13．我们处在一个有声世界里，不同场合，人们对声音的音量会有不同要求．音量大小的单位是分贝(dB)，对于一个强度为I的声波，其音量的大小η可由如下公式计算：η＝10·Igeq \f(I,I0)(其中I0是人耳能听到的声音的最低声波强度)，设η1＝70 dB的声音强度为I1，η2＝60 dB的声音强度为I2，则I1是I2的( )
A.eq \f(7,6)倍 B．10倍 C．10eq \f(7,6)倍 D．lneq \f(7,6)倍
14．一种放射性元素，最初的质量为500 g，按每年10%衰减．
(1)求t年后，这种放射性元素质量ω的表达式；
(2)由求出的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期(剩留量为原来的一半所需的时间叫做半衰期)．(精确到0.1年，已知lg 2＝0.3010，lg 3＝0.4771)
15．医院通过撒某种药物对病房进行消毒．已知开始撒放这种药物时，浓度激增，中间有一段时间，药物的浓度保持在一个理想状态，随后药物浓度开始下降．若撒放药物后3小时内的浓度变化可用下面的函数表示，其中x表示时间(单位：小时)，f(x)表示药物的浓度：f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x2＋4x＋400(1)撒放药物多少小时后，药物的浓度最高？能维持多长时间？
(2)若需要药物浓度在41.75以上消毒1.5小时，那么在撒放药物后，能否达到消毒要求？并简要说明理由．
16．某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为50元，其成本价为25元，因为在生产过程中平均每生产一件产品有0.5立方米污水排出，为了净化环境，工厂设计了两套方案对污水进行处理，并准备实施．
方案一：工厂的污水先净化处理后再排出，每处理1立方米污水所用原料费为2元，并且每月排污设备损耗费为30000元；
方案二：工厂将污水排到污水处理厂统一处理，每处理1立方米污水需付14元的排污费，问：
(1)工厂每月生产3000件产品时，你作为厂长，在不污染环境，又节约资金的前提下应选择哪种方案？通过计算加以说明；
(2)若工厂每月生产6000件产品，你作为厂长，又该如何决策呢？
17．物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述，设物体的初始温度是T0，经过一定时间t后的温度是T，则T－Ta＝(T0－Ta)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up25(\f(t,h))，其中Ta表示环境温度，h称为半衰期，现有一杯用88 ℃热水冲的速溶咖啡，放在24 ℃的房间中，如果咖啡降温到40 ℃需要20 min，那么降温到32 ℃时，需要多长时间？
18．某种商品在近30天内每件的销售价格P(元)和时间t(天)的函数关系为：
P＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(t＋200设该商品的日销售量Q(件)与时间t(天)的函数关系为Q＝40－t(019．已知某物体的温度θ(单位：摄氏度)随时间t(单位：分钟)的变化规律：θ＝m·2t＋21－t(t≥0并且m＞0)．
(1)如果m＝2，求经过多长时间，物体的温度为5摄氏度；
(2)若物体的温度总不低于2摄氏度，求m的取值范围．
题型三 自建确定性函数模型解决实际问题
1．据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为2 000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.8元，普通车存车费是每辆一次0.5元，若普通车存车数为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系式是( )
A．y＝0.3x＋800(0≤x≤2 000) B．y＝0.3x＋1 600(0≤x≤2 000)
C．y＝－0.3x＋800(0≤x≤2 000) D．y＝－0.3x＋1 600(0≤x≤2 000)
2．某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……现有2个这样的细胞，分裂x次后得到细胞的个数y与x的函数关系是( )
A．y＝2x B．y＝2x－1
C．y＝2x D．y＝2x＋1
3．一家旅社有100间相同的客房，经过一段时间的经营实践，旅社经理发现，每间客房每天的价格与住房率之间有如下关系：
要使收入每天达到最高，则每间应定价为( )
A．20元 B．18元
C．16元 D．14元
4．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km按起步价付费)；超过3 km但不超过8 km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________km.
5．用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的eq \f(3,4)，要使存留的污垢不超过1%，则至少要清洗的次数是________(lg 2≈0.301 0)．
6．某种产品的年产量为a，在今后m年内，计划使产量平均每年比上年增加p%.
(1)写出产量y随年数x变化的函数解析式；
(2)若使年产量两年内实现翻两番的目标，求p.
7．渔场中鱼群的最大养殖量为m(m>0)，为了保证鱼群的生长空间，实际养殖量x小于m，以便留出适当的空闲量．已知鱼群的年增长量y和实际养殖量与空闲率(空闲率是空闲量与最大养殖量的比值)的乘积成正比，比例系数为k(k>0)．
(1)写出y关于x的函数关系式，并指出该函数的定义域；
(2)求鱼群年增长量的最大值．
8．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵．记鲑鱼的游速为V(m/s)，鲑鱼的耗氧量的单位数为Q，研究中发现V与lg3eq \f(Q,100)成正比，且当Q＝900时，V＝1.
(1)求出V关于Q的函数解析式；
(2)计算一条鲑鱼的游速是1.5 m/s时耗氧量的单位数．
9．某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不超过0.1%，若初始含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少eq \f(1,3)，问至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？(已知lg 2≈0.3010，lg 3≈0.4771)
10．一片森林原来的面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的eq \f(1,4)，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的eq \f(\r(2),2).
(1)求每年砍伐面积的百分比；
(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？
(3)今后最多还能砍伐多少年？
11．某地区为响应上级号召，在2017年初，新建了一批有200万平方米的廉价住房，供困难的城市居民居住．由于下半年受物价的影响，根据本地区的实际情况，估计今后廉价住房的年平均增长率只能达到5%.
(1)经过x年后，该地区的廉价住房为y万平方米，求y＝f(x)的表达式，并求此函数的定义域；
(2)作出函数y＝f(x)的图象，并结合图象，求经过多少年后，该地区的廉价住房能达到300万平方米？
12．某城市2009年底人口总数为100万人，如果年平均增长率为1.2%，试解答以下问题：
(1)写出经过x年后，该城市人口总数y(万人)与x(年)的函数关系式；
(2)计算10年后该城市人口总数(精确到0.1万人)；
(3)计算经过多少年以后，该城市人口将超过120万人(精确到1年)．
(参考数据：1.0129≈1.113,1.01210≈1.127，lg 1.2≈0.079，lg 2≈0.3010，lg 1.012≈0.005)
13．牧场中羊群的最大畜养量为m只，为保证羊群的生长空间，实际畜养量不能达到最大畜养量，必须留出适当的空闲量．已知羊群的年增长量y只和实际畜养量x只与空闲率的乘积成正比，比例系数为k(k>0)．
(1)写出y关于x的函数解析式，并指出这个函数的定义域；
(2)求羊群年增长量的最大值．
14．某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售员为公司赚取的销售利润不超过15万元时，按销售利润的10%奖励给该销售员；当销售员为公司赚取的销售利润超过15万元时，若超出部分为A万元，则超出部分按2lg5(A＋1)奖励给该销售员，没超出部分仍按销售利润的10%奖励给该销售员．记奖金总额为y(单位：万元)，销售利润为x(单位：万元)．
(1)写出y关于x的函数表达式；
(2)如果销售员老张获得5.5万元的奖金，那么他为该公司赚取的销售利润是多少万元？
15．为了预防流感，某学校对教室用过氧乙酸熏蒸进行消毒．已知药物在释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比，药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,16)))t－a(a为常数)，如图所示．
(1)从药物释放开始，写出y与t的函数关系式；
(2)据测定，当教室空气中的含药量降低到每立方米0.25毫克以下时，学生可进教室，问这次消毒多久后学生才能回到教室．
16．诺贝尔奖的奖金发放方式为：每年一发，把奖金总额平均分成6份，奖励给分别在6项(物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平)为人类作出最有益贡献的人，每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半，另一半利息作基金总额，以便保证奖金数逐年增加．假设基金平均年利率为r＝6.24%.资料显示：2006年诺贝尔奖的奖金发放后基金总额约为19800万美金．设f(x)表示第x(x∈N*)年诺贝尔奖的奖金发放后的基金总额(2006年记为f(1)，2007年记为f(2)，…，依次类推)．
(1)用f(1)表示f(2)与f(3)，并根据所求结果归纳出函数f(x)的表达式；
(2)试根据f(x)的表达式判断网上一则新闻“2016年度诺贝尔奖各项奖金高达150万美元”是否为真，并说明理由(参考数据：1.03129≈1.32)．
17．已知A，B两地相距150 km，某人开汽车以60 km/h的速度从A地到达B地，在B地停留1小时后再以50 km/h的速度返回A地．
(1)把汽车离开A地的距离s表示为时间t的函数(从A地出发时开始)，并画出函数的图象；
(2)把车速v(km/h)表示为时间t(h)的函数，并画出函数的图象．
18．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．
(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；
(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/小时)
19．某企业常年生产一种出口产品，自2015年以来，每年在正常情况下，该产品产量平稳增长．已知2015年为第1年，前4年年产量f(x)(万件)如下表所示：
(1)画出2015～2018年该企业年产量的散点图；
(2)建立一个能基本反映(误差小于0.1)这一时期该企业年产量变化的函数模型，并求出函数解析式；
(3)2019年(即x＝5)因受到某国对我国该产品反倾销的影响，年产量减少30%，试根据所建立的函数模型，确定2019年的年产量为多少？
题型四 拟合数据构建函数模型解决实际问题
1．根据日常生活A、B、C、D四个实际问题，现各收集到的五组数据在平面直角坐标系中画出的散点图(如图所示)，能够构建对数函数模型解决实际问题且拟合度较高的是( )
2．已测得(x，y)的两组值为(1,2)，(2,5)，现有两个拟合模型，甲：y＝x2＋1，乙：y＝3x－1.若又测得(x，y)的一组对应值为(3,10.2)，则选用________作为拟合模型较好．
3．某地区发生里氏8.0级特大地震．地震专家对发生的余震进行了监测，记录的部分数据如下表：
注：地震强度是指地震时释放的能量．
地震强度(x)和震级(y)的模拟函数关系可以选用y＝alg x＋b(其中a，b为常数)．利用散点图(如图)可知a的值等于________．(取lg 2≈0.3进行计算)
4．某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如表：
(1)根据表中提供的数据，能否建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重y kg与身高x cm的函数关系？试写出这个函数模型的解析式；
(2)若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175 cm，体重为78 kg的在校男生的体重是否正常？
5．18世纪70年代，德国科学家提丢斯发现金星、地球、火星、木星、土星离太阳的平均距离(天文单位)如下表：
他研究行星排列规律后预测在火星与木星之间应该有一颗大的行星，后来果然发现了谷神星，但不算大行星，它可能是一颗大行星爆炸后的产物，请你推测谷神星的位置，在土星外面的行星与太阳的距离大约是多少？
6．某商场经营一批进价是每件30元的商品，在市场销售中发现，此商品的销售单价x元与日销售量y件之间有如下关系(见下表)：
(1)在所给的坐标系中，根据表中提供的数据描出实数对(x，y)对应的点，并确定y与x的一个函数关系式y＝f(x)；
(2)设经营此商品的日销售利润为P元，根据上述关系式写出P关于x的函数关系式，并指出销售单价x为多少元时，才能获得最大日销售利润？
7．某个体经营者把开始六个月试销A，B两种商品的逐月投资与所获纯利润列成下表：
该经营者准备下月投入12万元经营这两种产品，但不知投入A，B两种商品各多少万元才合算．请你帮助制定一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大利润，并按你的方案求出该经营者下月可获得的最大纯利润(结果保留两位有效数字)．
常用函数模型
(1)一次函数模型
y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)
(2)二次函数模型
y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
(3)指数函数模型
y＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
(4)对数函数模型
y＝mlgax＋n(m，a，n为常数，m≠0，a>0且a≠1)
(5)幂函数模型
y＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)
(6)分段函数模型
y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ax＋bxx
4
5
6
7
8
9
10
y
15
17
19
21
23
25
27
t
1.99
3.0
4.0
5.1
6.12
u
1.5
4.04
7.5
12
18.01
每间每天定价
20元
18元
16元
14元
住房率
65%
75%
85%
95%
x
1
2
3
4
f(x)
4.00
5.58
7.00
8.44
强度(J)
1.6×1019
3.2×1019
4.5×1019
6.4×1019
震级(里氏)
5.0
5.2
5.3
5.4
身高/cm
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
体重/kg
6.13
7.90
9.90
12.15
15.02
17.50
20.92
26.86
31.11
38.85
47.25
55.05
投资A种商品金额(万元)
1
2
3
4
5
6
获纯利润(万元)
0.65
1.39
1.85
2
1.84
1.40
投资B种商品金额(万元)
1
2
3
4
5
6
获纯利润(万元)
0.25
0.49
0.76
1
1.26
1.51
专题41 函数模型的应用
1．常用函数模型
2．函数模型应用的两个方面
(1)利用已知函数模型解决问题．
(2)建立恰当的函数模型，并利用所得函数模型解释有关现象，对某些发展趋势进行预测．
3．用函数模型解决实际问题的步骤
(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，用函数刻画实际问题，初步选择模型．
(2)建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的函数模型．
(3)求模：求解函数模型，得到数学结论．
(4)还原：利用数学知识和方法得出的结论还原到实际问题中．
可将这些步骤用框图表示如下：
4．数据拟合
(1)定义：通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，看它们接近我们熟悉的哪一种函数图象，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的函数表达式，再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律，这种方法称为数据拟合．
(2)数据拟合的步骤
①以所给数据作为点的坐标，在平面直角坐标系中绘出各点；
②依据点的整体特征，猜测这些点所满足的函数形式，设其一般形式；
③取特殊数据代入，求出函数的具体解析式；
④做必要的检验．
题型一 函数模型的选择问题
1．如表是函数值y随自变量x变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型是( )
A.一次函数模型 B．二次函数模型
C．指数函数模型 D．对数函数模型
[解析] 自变量每增加1函数值增加2，函数值的增量是均匀的，故为一次函数模型．故选A.
2．有一组实验数据如下表所示：
则能体现这些数据关系的函数模型是( )
A．u＝lg2t B．u＝2t－2 C．u＝eq \f(t2－1,2) D．u＝2t－2
[解析]可以先画出散点图，并利用散点图直观地认识变量间的关系，选择合适的函数模型来刻画它，散点图如图所示．
由散点图可知，图象不是直线，排除选项D；图象不符合对数函数的图象特征，排除选项A；当t＝3时，2t－2＝23－2＝6，排除B，故选C.
3．下列函数关系中，可以看作是指数型函数y＝kax(k∈R，a>0且a≠1)的模型的是( )
A．竖直向上发射的信号弹，从发射开始到信号弹到达最高点，信号弹的高度与时间的关系(不计空气阻力)
B．我国人口年自然增长率为1%时，我国人口总数与年份的关系
C．如果某人t s内骑车行进了1 km，那么此人骑车的平均速度v与时间t的函数关系
D．信件的邮资与其重量间的函数关系
[解析]A中的函数模型是二次函数；B中的函数模型是指数型函数；C中的函数模型是反比例函数；D中的函数模型是一次函数．故选B．
4．如图所示，点P在边长为1的正方形的边上运动，M是CD的中点．当点P沿路线A－B－C－M运动时，点P经过的路程x与△APM的面积y之间的函数y＝f(x)的图象大致是( )
[解析]由题意得，当0当1当25．某学校为了实现60万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随生源利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y＝0.2x，y＝lg5x，y＝1.02x，其中哪个模型符合该校的要求？
[解析]借助工具作出函数y＝3，y＝0.2x，y＝lg5x，y＝1.02x的图象(如图所示)，观察图象可知，
在区间[5,60]上，y＝0.2x，y＝1.02x的图象都有一部分在直线y＝3的上方，只有y＝lg5x的图象始终在
y＝3和y＝0.2x的下方，这说明只有按模型y＝lg5x进行奖励才符合学校的要求．
6．据调查：人类在能源利用与森林砍伐中使CO2浓度增加．据测，2015年、2016年、2017年大气中的CO2浓度分别比2014年增加了1个单位，3个单位，6个单位．若用一个函数模型每年CO2浓度增加的单位数y与年份增加数x的关系，模拟函数可选用二次函数f(x)＝px2＋qx＋r(其中p，q，r为常数)或函数g(x)＝a·bx＋c(其中a，b，c为常数)，又知2018年大气中的CO2浓度比2014年增加了16.5个单位，请问用以上哪个函数作模拟函数较好？
[解析]若以f(x)＝px2＋qx＋r作模拟函数，
则依题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(p＋q＋r＝1，,4p＋2q＋r＝3，,9p＋3q＋r＝6，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(p＝\f(1,2)，,q＝\f(1,2)，,r＝0.))∴f(x)＝eq \f(1,2)x2＋eq \f(1,2)x.
若以g(x)＝a·bx＋c作模拟函数，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ab＋c＝1，,ab2＋c＝3，,ab3＋c＝6.))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝\f(8,3)，,b＝\f(3,2)，,c＝－3.))∴g(x)＝eq \f(8,3)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))x－3.
利用f(x)，g(x)对2018年CO2浓度作估算，
则其数值分别为f(4)＝10单位，g(4)＝10.5单位，∵|f(4)－16.5|>|g(4)－16.5|，
故g(x)＝eq \f(8,3)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))x－3作模拟函数与2018年的实际数据较为接近，用g(x)＝eq \f(8,3)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))x－3作模拟函数较好.
7．某投资公司拟投资开发某种新产品，市场评估能获得10万元～1000万元(包含10万元和1000万元)的投资收益．现公司准备制订一个对科研课题组的奖励方案：奖金y(单位：万元)随投资收益x(单位：万元)的增加而增加，且奖金不低于1万元，同时不超过投资收益的20%.
(1)设奖励方案的函数模型为f(x)，根据题目要求，写出f(x)满足的条件；
(2)下面是公司预设的两个奖励方案的函数模型：
①f(x)＝eq \f(x,150)＋2；②f(x)＝4lg x－2.
试分别分析这两个函数模型是否符合公司的要求．
[解析] (1)由题意，知公司对奖励方案的基本要求是：
当x∈[10,1000]时，①f(x)是增函数；②f(x)≥1恒成立；③f(x)≤eq \f(x,5)恒成立．
(2)①对于函数模型f(x)＝eq \f(x,150)＋2：
当x∈[10,1000]时，f(x)是增函数，且f(x)≥f(10)＝eq \f(31,15)≥1，即f(x)≥1恒成立，
而若使函数f(x)＝eq \f(x,150)＋2≤eq \f(x,5)在[10,1000]上恒成立，则29x≥300在[10,1000]上恒成立．
又当x＝10时，29x＝29×10＝290<300，所以f(x)≤eq \f(x,5)在[10,1000]上不恒成立．
故该函数模型不符合公司的要求．
②对于函数模型f(x)＝4lg x－2：当x∈[10,1000]时，f(x)是增函数，且f(x)≥f(10)＝4lg 10－2＝2≥1，
所以f(x)≥1在[10,1000]上恒成立．
在同一平面直角坐标系中画出函数f(x)＝4lg x－2和y＝eq \f(x,5)的图象，如图所示．
由图象可知当x∈[10,1000]时，4lg x－2≤eq \f(x,5)恒成立．故该函数模型符合公司的要求．
题型二 利用已知函数模型解决实际问题
1．某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物，已知该动物的繁殖数量y(只)与引入时间x(年)的关系为y＝alg2(x＋1)，若该动物在引入一年后的数量为100只，则第7年它们发展到( )
A．300只 B．400只 C．600只 D．700只
[解析]将x＝1，y＝100代入y＝alg2(x＋1)得，100＝alg2(1＋1)，解得a＝100.
所以x＝7时，y＝100lg2(7＋1)＝300.
2．某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是( )
A．310元 B．300元 C．390元 D．280元
[解析]由图象知，该一次函数过(1,800)，(2,1 300)，可求得解析式y＝500x＋300(x≥0)，当x＝0时，y＝300.
3．某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营．据市场分析，每辆客车营运的利润y与营运年数x(x∈N)为二次函数关系(如图)，则客车有营运利润的时间不超过________年．
[解析]设二次函数y＝a(x－6)2＋11，又过点(4,7)，所以a＝－1，即y＝－(x－6)2＋11.
解y≥0，得6－eq \r(11)≤x≤6＋eq \r(11)，所以有营运利润的时间为2eq \r(11).又6<2eq \r(11)<7，
所以有营运利润的时间不超过7年．
4．某种型号的汽车紧急刹车后滑行的距离y(km)与刹车时的速度x(km/h)的关系可以用y＝ax2来描述，已知这种型号的汽车在速度为60 km/h时，紧急刹车后滑行的距离为b km.若一辆这种型号的汽车紧急刹车后滑行的距离为3b km，则这辆车的行驶速度为________km/h.
[解析]由题意得a×602＝b，解得a＝eq \f(b,3600)，所以y＝eq \f(b,3600)x2.因为y＝3b，所以eq \f(b,3600)x2＝3b，
解得x＝－60eq \r(3)(舍去)或x＝60eq \r(3)，所以这辆车的行驶速度是60eq \r(3) km/h.
5．某公司在甲、乙两地销售同一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为________万元．
[解析]设甲地销售x辆，则乙地销售(15－x)辆，
所以总利润为S＝5.06x－0.15x2＋2(15－x)＝－0.15x2＋3.06x＋30＝－0.15(x－10.2)2＋45.606(x∈N*)．
所以当x＝10时，总利润取得最大值，Smax＝45.6(万元)．
6．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4x，1≤x≤10，x∈N，,2x＋10，10＜x＜100，x∈N，,1.5x，x≥100，x∈N，))其中x代表拟录用人数，y代表面试人数，若面试人数为60，则该公司拟录用人数为( )
A．15 B．40 C．25D．130
[解析]若4x＝60，则x＝15＞10，不符合题意；若2x＋10＝60，则x＝25，满足题意；若1.5x＝60，
则x＝40＜100，不符合题意．故拟录用25人．
7．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为
“可食用率”，在特定条件下，可食用率P与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系P＝at2＋bt＋c(a，b，c是常数)，如图记录了三次实验数据，根据上述函数模型和实验数据，可得到最佳加工时间为( )
A．3.50分钟 B．3.75分钟 C．4.00分钟 D．4.25分钟
[解析]依题意有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0.7＝9a＋3b＋c，,0.8＝16a＋4b＋c，,0.5＝25a＋5b＋c，))解得a＝－0.2，b＝1.5，c＝－2.
所以P＝－0.2t2＋1.5t－2＝－eq \f(1,5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(15,4)))2＋eq \f(13,16).所以当t＝eq \f(15,4)＝3.75时，P取得最大值．
即最佳加工时间为3.75分钟．
8．衣柜里的樟脑丸随着时间会挥发而体积变小，刚放进的新丸体积为a，经过t天后体积V与天数t的关系式为V＝ae－kt，新丸经过50天后，体积变为eq \f(4,9)A．若一个新丸体积变为eq \f(8,27)a，则需经过________天．
[解析]由题意，得eq \f(4,9)a＝ae－50k，解得e－25k＝eq \f(2,3).令ae－kt＝eq \f(8,27)a，即e－kt＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))3＝(e－25k)3＝e－75k，
即需经过的天数为75.
9．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是T1(℃)，空气的温度是T0(℃)，经过t分钟后物体的温度T(℃)可由公式T＝T0＋(T1－T0)e－0.25t求得．把温度是90 ℃的物体，放在10 ℃的空气中冷却t分钟后，物体的温度是50 ℃，那么t的值约等于(参考数据：ln 3≈1.099，ln 2≈0.693)( )
A．1.78 B．2.77 C．2.89D．4.40
[解析]由题意可知50＝10＋(90－10)e－0.25t，整理得e－0.25t＝eq \f(1,2)，
即－0.25t＝ln eq \f(1,2)＝－ln 2＝－0.693，解得t≈2.77.
10．某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是( )
A．16小时B．20小时
C．24小时D．21小时
[解析]由题意，知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(192＝eb，,48＝e22k＋b，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(eb＝192，,e11k＝\f(1,2).))当x＝33时，
y＝e33k＋b＝(e11k)3·eb＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))3×192＝24(小时)．
11．某公司预投资100万元，有两种投资可供选择：
甲方案年利率10%，按单利计算，5年后收回本金和利息；
乙方案年利率9%，按每年复利一次计算，5年后收回本金和利息．
哪种投资更有利？这种投资比另一种投资5年可多得利息多少万元？(结果精确到0.01万元)
[解析]按甲方案，每年利息100×10%＝10,5年后本息合计150万元；
按乙方案，第一年本息合计100×1.09，第二年本息合计100×1.092，…，
5年后本息合计100×1.095≈153.86万元．
故按乙方案投资5年可多得利息3.86万元，更有利.
12．衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进去的新丸体积为a，经过t天后体积V与天数t的关系式为：V＝a·e－kt.已知新丸经过50天后，体积变为eq \f(4,9)a.若一个新丸体积变为eq \f(8,27)a，则需经过的天数为( )
A．125 B．100 C．75 D．50
[解析]由已知，得eq \f(4,9)a＝a·e－50k，∴e－k＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,9)))eq \s\up25(eq \f(1,50)).设经过t1天后，一个新丸体积变为eq \f(8,27)a，则eq \f(8,27)a＝a·e－kt1，
∴eq \f(8,27)＝(e－k)t1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,9)))eq \s\up25(eq \f(1,50)t1)，∴eq \f(t1,50)＝eq \f(3,2)，t1＝75.
13．我们处在一个有声世界里，不同场合，人们对声音的音量会有不同要求．音量大小的单位是分贝(dB)，对于一个强度为I的声波，其音量的大小η可由如下公式计算：η＝10·Igeq \f(I,I0)(其中I0是人耳能听到的声音的最低声波强度)，设η1＝70 dB的声音强度为I1，η2＝60 dB的声音强度为I2，则I1是I2的( )
A.eq \f(7,6)倍 B．10倍 C．10eq \f(7,6)倍 D．lneq \f(7,6)倍
[解析]依题意可知，η1＝10·lgeq \f(I1,I0)，η2＝10·lgeq \f(I2,I0)，所以η1－η2＝10·lgeq \f(I1,I0)－10·lgeq \f(I2,I0)，则1＝lg I1－lg I2，
所以eq \f(I1,I2)＝10.故选B.
14．一种放射性元素，最初的质量为500 g，按每年10%衰减．
(1)求t年后，这种放射性元素质量ω的表达式；
(2)由求出的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期(剩留量为原来的一半所需的时间叫做半衰期)．(精确到0.1年，已知lg 2＝0.3010，lg 3＝0.4771)
[解析] (1)最初的质量为500 g. 经过1年后，ω＝500(1－10%)＝500×0.91；
经过2年后，ω＝500×0.9(1－10%)＝500×0.92；由此推知，t年后，ω＝500×0.9t.
(2)解方程500×0.9t＝250，则0.9t＝0.5，所以t＝eq \f(lg 0.5,lg 0.9)＝eq \f(－lg 2,2lg 3－1)≈6.6(年)，
即这种放射性元素的半衰期约为6.6年．
15．医院通过撒某种药物对病房进行消毒．已知开始撒放这种药物时，浓度激增，中间有一段时间，药物的浓度保持在一个理想状态，随后药物浓度开始下降．若撒放药物后3小时内的浓度变化可用下面的函数表示，其中x表示时间(单位：小时)，f(x)表示药物的浓度：f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x2＋4x＋400(1)撒放药物多少小时后，药物的浓度最高？能维持多长时间？
(2)若需要药物浓度在41.75以上消毒1.5小时，那么在撒放药物后，能否达到消毒要求？并简要说明理由．
[解析] (1)当0∴f(x)在(0,1]上单调递增，其最大值为f(1)＝43；
f(x)在(2,3]上单调递减，故当2因此，撒放药物1小时后，药物的浓度最高为43，并维持1小时．
(2)当0当2因此药物浓度在41.75以上的时间约为2.42－0.5＝1.92小时，∴撒放药物后，能够达到消毒要求．
16．某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为50元，其成本价为25元，因为在生产过程中平均每生产一件产品有0.5立方米污水排出，为了净化环境，工厂设计了两套方案对污水进行处理，并准备实施．
方案一：工厂的污水先净化处理后再排出，每处理1立方米污水所用原料费为2元，并且每月排污设备损耗费为30000元；
方案二：工厂将污水排到污水处理厂统一处理，每处理1立方米污水需付14元的排污费，问：
(1)工厂每月生产3000件产品时，你作为厂长，在不污染环境，又节约资金的前提下应选择哪种方案？通过计算加以说明；
(2)若工厂每月生产6000件产品，你作为厂长，又该如何决策呢？
[解析]设工厂每月生产x件产品时，选择方案一的利润为y1，选择方案二的利润为y2，由题意知
y1＝(50－25)x－2×0.5x－30000＝24x－30000.y2＝(50－25)x－14×0.5x＝18x.
(1)当x＝3000时，y1＝42000，y2＝54000，∵y1(2)当x＝6000时，y1＝114000，y2＝108000，∵y1>y2，∴应选择方案一处理污水．
17．物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述，设物体的初始温度是T0，经过一定时间t后的温度是T，则T－Ta＝(T0－Ta)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up25(\f(t,h))，其中Ta表示环境温度，h称为半衰期，现有一杯用88 ℃热水冲的速溶咖啡，放在24 ℃的房间中，如果咖啡降温到40 ℃需要20 min，那么降温到32 ℃时，需要多长时间？
[解析]先设定半衰期h，由题意知40－24＝(88－24)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up25(eq \f(20,h))，即eq \f(1,4)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up25(eq \f(20,h))，
解之，得h＝10，故原式可化简为T－24＝(88－24)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up25(eq \f(t,10))，
当T＝32时，代入上式，得32－24＝(88－24)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up25(eq \f(t,10))，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up25(eq \f(t,10))＝eq \f(8,64)＝eq \f(1,8)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))3，∴t＝30.
因此，需要30 min，可降温到32 ℃.
18．某种商品在近30天内每件的销售价格P(元)和时间t(天)的函数关系为：
P＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(t＋200设该商品的日销售量Q(件)与时间t(天)的函数关系为Q＝40－t(0[解析]设日销售金额为y(元)，则y＝PQ，所以y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－t2＋20t＋8000①当0②当25≤t≤30且t∈N*时，y＝(t－70)2－900，所以当t＝25时，ymax＝1 125(元)．
结合①②得ymax＝1 125(元)．
因此，这种商品日销售额的最大值为1 125元，且在第25天时日销售金额达到最大．
19．已知某物体的温度θ(单位：摄氏度)随时间t(单位：分钟)的变化规律：θ＝m·2t＋21－t(t≥0并且m＞0)．
(1)如果m＝2，求经过多长时间，物体的温度为5摄氏度；
(2)若物体的温度总不低于2摄氏度，求m的取值范围．
[解析] (1)若m＝2，则θ＝2·2t＋21－t＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2t＋\f(1,2t)))，当θ＝5时，2t＋eq \f(1,2t)＝eq \f(5,2)，
令2t＝x≥1，则x＋eq \f(1,x)＝eq \f(5,2)，即2x2－5x＋2＝0，解得x＝2或x＝eq \f(1,2) (舍去)，
此时t＝1.所以经过1分钟，物体的温度为5摄氏度．
(2)物体的温度总不低于2摄氏度，即θ≥2恒成立．亦m·2t＋eq \f(2,2t)≥2恒成立，
亦即m≥2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2t)－\f(1,22t)))恒成立．令eq \f(1,2t)＝y，则0因此，当物体的温度总不低于2摄氏度时，m的取值范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞)).
题型三 自建确定性函数模型解决实际问题
1．据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为2 000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.8元，普通车存车费是每辆一次0.5元，若普通车存车数为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系式是( )
A．y＝0.3x＋800(0≤x≤2 000) B．y＝0.3x＋1 600(0≤x≤2 000)
C．y＝－0.3x＋800(0≤x≤2 000) D．y＝－0.3x＋1 600(0≤x≤2 000)
[解析]由题意知，变速车存车数为(2 000－x)辆次，
则总收入y＝0.5x＋(2 000－x)×0.8＝－0.3x＋1 600(0≤x≤2 000)．
2．某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……现有2个这样的细胞，分裂x次后得到细胞的个数y与x的函数关系是( )
A．y＝2x B．y＝2x－1
C．y＝2x D．y＝2x＋1
[解析]分裂一次后由2个变成2×2＝22个，分裂两次后4×2＝23个，……，分裂x次后y＝2x＋1个．
3．一家旅社有100间相同的客房，经过一段时间的经营实践，旅社经理发现，每间客房每天的价格与住房率之间有如下关系：
要使收入每天达到最高，则每间应定价为( )
A．20元 B．18元
C．16元 D．14元
[解析]每天的收入在四种情况下分别为20×65%×100＝1 300(元)，18×75%×100＝1 350(元)，
16×85%×100＝1 360(元)，14×95%×100＝1 330(元)．
4．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km按起步价付费)；超过3 km但不超过8 km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________km.
[解析] [设出租车行驶x km时，付费y元，
则y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(9，08，))由y＝22.6，解得x＝9.
5．用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的eq \f(3,4)，要使存留的污垢不超过1%，则至少要清洗的次数是________(lg 2≈0.301 0)．
[解析]设至少要洗x次，则eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(3,4)))x≤eq \f(1,100)，所以x≥eq \f(1,lg 2)≈3.322，所以需4次．
6．某种产品的年产量为a，在今后m年内，计划使产量平均每年比上年增加p%.
(1)写出产量y随年数x变化的函数解析式；
(2)若使年产量两年内实现翻两番的目标，求p.
[解析] (1)设年产量为y，年数为x，则y＝a(1＋p%)x，定义域为{x|0≤x≤m，且x∈N*}．
(2)y＝a(1＋p%)2＝4a，解得p＝100.
7．渔场中鱼群的最大养殖量为m(m>0)，为了保证鱼群的生长空间，实际养殖量x小于m，以便留出适当的空闲量．已知鱼群的年增长量y和实际养殖量与空闲率(空闲率是空闲量与最大养殖量的比值)的乘积成正比，比例系数为k(k>0)．
(1)写出y关于x的函数关系式，并指出该函数的定义域；
(2)求鱼群年增长量的最大值．
[解析] (1)根据题意知，空闲率是eq \f(m－x,m)，故y关于x的函数关系式是y＝kx·eq \f(m－x,m)，0(2)由(1)知，y＝kx·eq \f(m－x,m)＝－eq \f(k,m)x2＋kx＝－eq \f(k,m)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(m,2)))2＋eq \f(mk,4)，0所以，鱼群年增长量的最大值为eq \f(mk,4).
8．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵．记鲑鱼的游速为V(m/s)，鲑鱼的耗氧量的单位数为Q，研究中发现V与lg3eq \f(Q,100)成正比，且当Q＝900时，V＝1.
(1)求出V关于Q的函数解析式；
(2)计算一条鲑鱼的游速是1.5 m/s时耗氧量的单位数．
[解析] (1)设V＝k·lg3eq \f(Q,100)，∵当Q＝900时，V＝1，∴1＝k·lg3eq \f(900,100)，
∴k＝eq \f(1,2)，∴V关于Q的函数解析式为V＝eq \f(1,2)lg3eq \f(Q,100).
(2)令V＝1.5，则1.5＝eq \f(1,2)lg3eq \f(Q,100)，∴Q＝2700，即一条鲑鱼的游速是1.5 m/s时耗氧量为2700个单位．
9．某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不超过0.1%，若初始含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少eq \f(1,3)，问至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？(已知lg 2≈0.3010，lg 3≈0.4771)
[解析]设至少应过滤x次才能使产品达到市场要求，则第一次过滤后杂质剩余量为2%eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3)))，
第二次过滤后杂质剩余量为2%eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3)))＝2%eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3)))2，……
第x次过滤后杂质剩余量为2%eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3)))x≤0.1%，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))x≤eq \f(1,20).①
对①式两边取对数，得x(lg 2－lg 3)≤－(1＋lg 2)，∴x≥eq \f(1＋lg 2,lg 3－lg 2)≈7.4.据实际情况知x∈N，
∴x≥8，即至少要过滤8次才能达到市场要求．
10．一片森林原来的面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的eq \f(1,4)，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的eq \f(\r(2),2).
(1)求每年砍伐面积的百分比；
(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？
(3)今后最多还能砍伐多少年？
[解析] (1)设每年砍伐面积的百分比为x(0(2)设经过m年后森林剩余面积为原来的eq \f(\r(2),2)，则a(1－x)m＝eq \f(\r(2),2)a，
即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))，则eq \f(m,10)＝eq \f(1,2)，解得m＝5.故到今年为止，该森林已砍伐了5年．
(3)设从今年开始，以后砍了n年，则n年后剩余面积为eq \f(\r(2),2)a(1－x)n.
令eq \f(\r(2),2)a(1－x)n≥eq \f(1,4)a，即(1－x)n≥eq \f(\r(2),4)，则eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))≥eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))，则eq \f(n,10)≤eq \f(3,2)，解得n≤15.
故今后最多还能砍伐15年．
11．某地区为响应上级号召，在2017年初，新建了一批有200万平方米的廉价住房，供困难的城市居民居住．由于下半年受物价的影响，根据本地区的实际情况，估计今后廉价住房的年平均增长率只能达到5%.
(1)经过x年后，该地区的廉价住房为y万平方米，求y＝f(x)的表达式，并求此函数的定义域；
(2)作出函数y＝f(x)的图象，并结合图象，求经过多少年后，该地区的廉价住房能达到300万平方米？
[解析] (1)经过1年后，廉价住房面积为200＋200×5%＝200(1＋5%)；
经过2年后为200(1＋5%)2；…经过x年后，廉价住房面积为200(1＋5%)x，∴y＝200(1＋5%)x(x∈N*)．
(2)作函数y＝f(x)＝200(1＋5%)x(x≥0)的图象，如图所示．
作直线y＝300，与函数y＝200(1＋5%)x的图象交于A点，则A(x0,300)，A点的横坐标x0的值就是函数值y＝300时所经过的时间x的值．因为8即经过9年后，该地区的廉价住房能达到300万平方米．
12．某城市2009年底人口总数为100万人，如果年平均增长率为1.2%，试解答以下问题：
(1)写出经过x年后，该城市人口总数y(万人)与x(年)的函数关系式；
(2)计算10年后该城市人口总数(精确到0.1万人)；
(3)计算经过多少年以后，该城市人口将超过120万人(精确到1年)．
(参考数据：1.0129≈1.113,1.01210≈1.127，lg 1.2≈0.079，lg 2≈0.3010，lg 1.012≈0.005)
[解析] (1)2009年底人口总数为100万人，
经过1年，2010年底人口总数为100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)；
经过2年，2011年底人口总数为100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%＝100×(1＋1.2%)2；
经过3年，2012年底人口总数为100×(1＋1.2%)2＋100×(1＋1.2%)2×1.2%＝100×(1＋1.2%)3；
……所以经过x年后，该城市人口总数为100×(1＋1.2%)x，所以y＝100×(1＋1.2%)x，x∈N*.
(2)10年后该城市人口总数为100×(1＋1.2%)10≈112.7(万人)．
(3)由题意得100×(1＋1.2%)x ＞120，两边取常用对数，得lg [100×(1＋1.2%)x]＞lg 120，
整理得2＋xlg 1.012＞2＋lg 1.2，得x≥16，所以大约16年以后，该城市人口将超过120万人.
13．牧场中羊群的最大畜养量为m只，为保证羊群的生长空间，实际畜养量不能达到最大畜养量，必须留出适当的空闲量．已知羊群的年增长量y只和实际畜养量x只与空闲率的乘积成正比，比例系数为k(k>0)．
(1)写出y关于x的函数解析式，并指出这个函数的定义域；
(2)求羊群年增长量的最大值．
[解析] (1)根据题意，由于最大畜养量为m只，实际畜养量为x只，则畜养率为eq \f(x,m)，故空闲率为1－eq \f(x,m)，
由此可得y＝kxeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(x,m)))(0(2)对原二次函数配方，得y＝－eq \f(k,m)(x2－mx)＝－eq \f(k,m)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(m,2)))2＋eq \f(km,4)，即当x＝eq \f(m,2)时，y取得最大值eq \f(km,4).
14．某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售员为公司赚取的销售利润不超过15万元时，按销售利润的10%奖励给该销售员；当销售员为公司赚取的销售利润超过15万元时，若超出部分为A万元，则超出部分按2lg5(A＋1)奖励给该销售员，没超出部分仍按销售利润的10%奖励给该销售员．记奖金总额为y(单位：万元)，销售利润为x(单位：万元)．
(1)写出y关于x的函数表达式；
(2)如果销售员老张获得5.5万元的奖金，那么他为该公司赚取的销售利润是多少万元？
[解析] (1)由题意，得y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0.1x，0＜x≤15，,1.5＋2lg5x－14，x＞15.))
(2)∵x∈(0,15]时，0.1x≤1.5，又y＝5.5>1.5，∴x>15，∴1.5＋2lg5(x－14)＝5.5，解得x＝39.
∴老张为该公司赚取的销售利润是39万元．
15．为了预防流感，某学校对教室用过氧乙酸熏蒸进行消毒．已知药物在释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比，药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,16)))t－a(a为常数)，如图所示．
(1)从药物释放开始，写出y与t的函数关系式；
(2)据测定，当教室空气中的含药量降低到每立方米0.25毫克以下时，学生可进教室，问这次消毒多久后学生才能回到教室．
[解析] (1)由图象可知，当0≤t≤0.1时，y＝10t；当t＝0.1时，由1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,16)))0.1－a，得a＝0.1，
∴当t>0.1时，y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,16)))t－0.1.∴y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(10t，0≤t≤0.1，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,16)))t－0.1，t>0.1.))
(2)由题意可知，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,16)))t－0.1<0.25，解得t>0.6，即这次消毒0.6×60＝36(分钟)后，学生才能进教室.
16．诺贝尔奖的奖金发放方式为：每年一发，把奖金总额平均分成6份，奖励给分别在6项(物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平)为人类作出最有益贡献的人，每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半，另一半利息作基金总额，以便保证奖金数逐年增加．假设基金平均年利率为r＝6.24%.资料显示：2006年诺贝尔奖的奖金发放后基金总额约为19800万美金．设f(x)表示第x(x∈N*)年诺贝尔奖的奖金发放后的基金总额(2006年记为f(1)，2007年记为f(2)，…，依次类推)．
(1)用f(1)表示f(2)与f(3)，并根据所求结果归纳出函数f(x)的表达式；
(2)试根据f(x)的表达式判断网上一则新闻“2016年度诺贝尔奖各项奖金高达150万美元”是否为真，并说明理由(参考数据：1.03129≈1.32)．
[解析] (1)由题意，知f(2)＝f(1)×(1＋6.24%)－eq \f(1,2)f(1)×6.24%＝f(1)×(1＋3.12%)，
f(3)＝f(2)×(1＋6.24%)－eq \f(1,2)f(2)×6.24%＝f(2)×(1＋3.12%)＝f(1)×(1＋3.12%)2，
∴f(x)＝19800(1＋3.12%)x－1(x∈N*)．
(2)2015年诺贝尔奖发放后基金总额为f(10)＝19800(1＋3.12%)9≈26136，
故2016年度诺贝尔奖各项奖金均为eq \f(1,6)×eq \f(1,2)f(10)×6.24%≈136(万美元)，与150万美元相比少了约14万美元，所以是假新闻．
17．已知A，B两地相距150 km，某人开汽车以60 km/h的速度从A地到达B地，在B地停留1小时后再以50 km/h的速度返回A地．
(1)把汽车离开A地的距离s表示为时间t的函数(从A地出发时开始)，并画出函数的图象；
(2)把车速v(km/h)表示为时间t(h)的函数，并画出函数的图象．
[解析] (1)①汽车由A地到B地行驶t h所走的距离s＝60t(0≤t≤2.5)．
②汽车在B地停留1小时，则汽车到A地的距离s＝150(2.5＜t≤3.5)．
③由B地返回A地，则汽车到A地的距离s＝150－50(t－3.5)＝325－50t(3.5＜t≤6.5)．
综上，s＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(60t0≤t≤2.5，,1502.5＜t≤3.5，,325－50t3.5＜t≤6.5，))它的图象如图(1)所示．
(1) (2)
(2)速度v(km/h)与时间t(h)的函数关系式是v＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(600≤t≤2.5，,02.5＜t≤3.5，,－503.5＜t≤6.5，))它的图象如图(2)所示．
18．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．
(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；
(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/小时)
[解析] (1)由题意，当0≤x≤20时，v(x)＝60；
当20≤x≤200时，设v(x)＝ax＋b，由已知得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(200a＋b＝0，,20a＋b＝60，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－\f(1,3)，,b＝\f(200,3).))
故函数v(x)的表达式为v(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(60，0≤x≤20，,\f(1,3)200－x，20(2)依题意并结合(1)可得f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(60x，0≤x≤20，,\f(1,3)x200－x，20当0≤x≤20时，f(x)为增函数，故当x＝20时，f(x)在区间[0,20]上取得最大值60×20＝1 200；
当20所以当x＝100时，f(x)在区间(20,200]上取得最大值eq \f(10 000,3).
综上可得，当x＝100时，f(x)在区间[0,200]上取得最大值eq \f(10 000,3)≈3 333.
即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/小时．
19．某企业常年生产一种出口产品，自2015年以来，每年在正常情况下，该产品产量平稳增长．已知2015年为第1年，前4年年产量f(x)(万件)如下表所示：
(1)画出2015～2018年该企业年产量的散点图；
(2)建立一个能基本反映(误差小于0.1)这一时期该企业年产量变化的函数模型，并求出函数解析式；
(3)2019年(即x＝5)因受到某国对我国该产品反倾销的影响，年产量减少30%，试根据所建立的函数模型，确定2019年的年产量为多少？
[解析] (1)画出散点图，如图所示．
(2)由散点图知，可选用一次函数模型．
设f(x)＝ax＋b(a≠0)．由已知得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋b＝4，,3a＋b＝7，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1.5，,b＝2.5，))∴f(x)＝1.5x＋2.5.
检验：f(2)＝5.5，且|5.58－5.5|＝0.08<0.1，f(4)＝8.5，且|8.44－8.5|＝0.06<0.1.
∴一次函数模型f(x)＝1.5x＋2.5能基本反映年产量的变化．
(3)根据所建的函数模型，预计2019年的年产量为f(5)＝1.5×5＋2.5＝10万件，又年产量减少30%，
即10×70%＝7万件，即2019年的年产量为7万件．
题型四 拟合数据构建函数模型解决实际问题
1．根据日常生活A、B、C、D四个实际问题，现各收集到的五组数据在平面直角坐标系中画出的散点图(如图所示)，能够构建对数函数模型解决实际问题且拟合度较高的是( )
[解析]B
2．已测得(x，y)的两组值为(1,2)，(2,5)，现有两个拟合模型，甲：y＝x2＋1，乙：y＝3x－1.若又测得(x，y)的一组对应值为(3,10.2)，则选用________作为拟合模型较好．
[解析]对于甲：x＝3时，y＝32＋1＝10，对于乙：x＝3时，y＝8，因此用甲作为拟合模型较好．
3．某地区发生里氏8.0级特大地震．地震专家对发生的余震进行了监测，记录的部分数据如下表：
注：地震强度是指地震时释放的能量．
地震强度(x)和震级(y)的模拟函数关系可以选用y＝alg x＋b(其中a，b为常数)．利用散点图(如图)可知a的值等于________．(取lg 2≈0.3进行计算)
[解析]由记录的部分数据可知x＝1.6×1019时，y＝5.0，x＝3.2×1019时，y＝5.2.
所以5.0＝alg (1.6×1019)＋b，①
5．2＝alg (3.2×1019)＋b，②
②－①得0.2＝alg eq \f(3.2×1019,1.6×1019)，0.2＝alg 2.所以a＝eq \f(0.2,lg 2)＝eq \f(0.2,0.3)＝eq \f(2,3).
4．某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如表：
(1)根据表中提供的数据，能否建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重y kg与身高x cm的函数关系？试写出这个函数模型的解析式；
(2)若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175 cm，体重为78 kg的在校男生的体重是否正常？
[解析] (1)以身高为横坐标，体重为纵坐标，画出散点图．
根据点的分布特征，可考虑以y＝a·bx作为刻画这个地区未成年男性的体重与身高关系的函数模型．
取其中的两组数据(70,7.90)，(160,47.25)，代入y＝a·bx得：
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(7.9＝a·b70，,47.25＝a·b160，))用计算器算得a≈2，b≈1.02.
这样，我们就得到一个函数模型：y＝2×1.02x.
将已知数据代入上述函数解析式，或作出上述函数的图象，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映这个地区未成年男性体重与身高的关系．
(2)将x＝175代入y＝2×1.02x得y＝2×1.02175，由计算器算得y≈63.98.由于78÷63.98≈1.22>1.2，所以，这个男生偏胖．
5．18世纪70年代，德国科学家提丢斯发现金星、地球、火星、木星、土星离太阳的平均距离(天文单位)如下表：
他研究行星排列规律后预测在火星与木星之间应该有一颗大的行星，后来果然发现了谷神星，但不算大行星，它可能是一颗大行星爆炸后的产物，请你推测谷神星的位置，在土星外面的行星与太阳的距离大约是多少？
[解析]由数值对应表作散点图如图．
由图采用指数型函数作模型，设f(x)＝a·bx＋C．
代入(1,0.7)，(2,1.0)，(3,1.6)得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ab＋c＝0.7， ①,ab2＋c＝1.0，②,ab3＋c＝1.6，③))，(③－②)÷(②－①)得b＝2，代入①②，
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a＋c＝0.7，,4a＋c＝1.0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝\f(3,20)，,c＝\f(2,5)，))∴f(x)＝eq \f(3,20)·2x＋eq \f(2,5).
∵f(5)＝eq \f(26,5)＝5.2，f(6)＝10，∴符合对应表值，∴f(4)＝2.8，f(7)＝19.6，
所以谷神星大约在离太阳2.8天文单位处．在土星外面的行星与太阳的距离大约是19.6天文单位．
6．某商场经营一批进价是每件30元的商品，在市场销售中发现，此商品的销售单价x元与日销售量y件之间有如下关系(见下表)：
(1)在所给的坐标系中，根据表中提供的数据描出实数对(x，y)对应的点，并确定y与x的一个函数关系式y＝f(x)；
(2)设经营此商品的日销售利润为P元，根据上述关系式写出P关于x的函数关系式，并指出销售单价x为多少元时，才能获得最大日销售利润？
[解析] (1)根据题干中所给表作图，
如图，点(30,60)，(40,30)，(45,15)，(50,0)在同一条直线上，设此直线为y＝kx＋b，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(50k＋b＝0，,45k＋b＝15))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k＝－3，,b＝150.))∴y＝－3x＋150(x∈N，x≤50)，
经检验点(30,60)，(40,30)也在此直线上，故所求函数关系式为y＝－3x＋150(x∈N，x≤50)．
(2)依题意有P＝y(x－30)＝(－3x＋150)(x－30)＝－3(x－40)2＋300，
∴当x＝40时，P有最大值300.
故销售单价为40元时，才能获得最大日销售利润．
7．某个体经营者把开始六个月试销A，B两种商品的逐月投资与所获纯利润列成下表：
该经营者准备下月投入12万元经营这两种产品，但不知投入A，B两种商品各多少万元才合算．请你帮助制定一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大利润，并按你的方案求出该经营者下月可获得的最大纯利润(结果保留两位有效数字)．
[解析] 以投资额为横坐标，纯利润为纵坐标，在平面直角坐标系中画出散点图，如下图所示．
图(1) 图(2)
观察散点图可以看出，A种商品所获纯利润y与投资额x之间的变化规律可以用二次函数模型进行模拟，如图(1)所示，
取(4,2)为最高点，则y＝a(x－4)2＋2，再把点(1,0.65)代入，得0.65＝a(1－4)2＋2，解得a＝－0.15，
所以y＝－0.15(x－4)2＋2.
B种商品所获纯利润y与投资额x之间的变化规律是线性的，可以用一次函数模型进行模拟，如图(2)所示．
设y＝kx＋b，取点(1,0.25)和(4,1)代入，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0.25＝k＋b，,1＝4k＋b，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k＝0.25，,b＝0，))所以y＝0.25x.
即前六个月所获纯利润y关于月投资A种商品的金额x的函数关系式是y＝－0.15(x－4)2＋2；前六个月所获纯利润y关于月投资B种商品的金额x的函数关系式是y＝0.25x.
设下月投入A，B两种商品的资金分别为xA，xB(万元)，总利润为W(万元)，
那么eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(xA＋xB＝12，,W＝yA＋yB＝－0.15xA－42＋2＋0.25x B.))
所以W＝－0.15eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(xA－\f(19,6)))2＋0.15×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(19,6)))2＋2.6.
当xA＝eq \f(19,6)≈3.2(万元)时，W取最大值，约为4.1万元，此时xB＝8.8(万元)．
即该经营者下月把12万元中的3.2万元投资A种商品，8.8万元投资B种商品，
可获得最大利润约为4.1万元．
常用函数模型
(1)一次函数模型
y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)
(2)二次函数模型
y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
(3)指数函数模型
y＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
(4)对数函数模型
y＝mlgax＋n(m，a，n为常数，m≠0，a>0且a≠1)
(5)幂函数模型
y＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)
(6)分段函数模型
y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ax＋bxx
4
5
6
7
8
9
10
y
15
17
19
21
23
25
27
t
1.99
3.0
4.0
5.1
6.12
u
1.5
4.04
7.5
12
18.01
每间每天定价
20元
18元
16元
14元
住房率
65%
75%
85%
95%
x
1
2
3
4
f(x)
4.00
5.58
7.00
8.44
强度(J)
1.6×1019
3.2×1019
4.5×1019
6.4×1019
震级(里氏)
5.0
5.2
5.3
5.4
身高/cm
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
体重/kg
6.13
7.90
9.90
12.15
15.02
17.50
20.92
26.86
31.11
38.85
47.25
55.05
投资A种商品金额(万元)
1
2
3
4
5
6
获纯利润(万元)
0.65
1.39
1.85
2
1.84
1.40
投资B种商品金额(万元)
1
2
3
4
5
6
获纯利润(万元)
0.25
0.49
0.76
1
1.26
1.51
2．函数模型应用的两个方面
(1)利用已知函数模型解决问题．
(2)建立恰当的函数模型，并利用所得函数模型解释有关现象，对某些发展趋势进行预测．
3．用函数模型解决实际问题的步骤
(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，用函数刻画实际问题，初步选择模型．
(2)建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的函数模型．
(3)求模：求解函数模型，得到数学结论．
(4)还原：利用数学知识和方法得出的结论还原到实际问题中．
可将这些步骤用框图表示如下：
4．数据拟合
(1)定义：通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，看它们接近我们熟悉的哪一种函数图象，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的函数表达式，再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律，这种方法称为数据拟合．
(2)数据拟合的步骤
①以所给数据作为点的坐标，在平面直角坐标系中绘出各点；
②依据点的整体特征，猜测这些点所满足的函数形式，设其一般形式；
③取特殊数据代入，求出函数的具体解析式；
④做必要的检验．
题型一 函数模型的选择问题
1．如表是函数值y随自变量x变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型是( )
A.一次函数模型 B．二次函数模型
C．指数函数模型 D．对数函数模型
2．有一组实验数据如下表所示：
则能体现这些数据关系的函数模型是( )
A．u＝lg2t B．u＝2t－2 C．u＝eq \f(t2－1,2) D．u＝2t－2
3．下列函数关系中，可以看作是指数型函数y＝kax(k∈R，a>0且a≠1)的模型的是( )
A．竖直向上发射的信号弹，从发射开始到信号弹到达最高点，信号弹的高度与时间的关系(不计空气阻力)
B．我国人口年自然增长率为1%时，我国人口总数与年份的关系
C．如果某人t s内骑车行进了1 km，那么此人骑车的平均速度v与时间t的函数关系
D．信件的邮资与其重量间的函数关系
4．如图所示，点P在边长为1的正方形的边上运动，M是CD的中点．当点P沿路线A－B－C－M运动时，点P经过的路程x与△APM的面积y之间的函数y＝f(x)的图象大致是( )
5．某学校为了实现60万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随生源利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y＝0.2x，y＝lg5x，y＝1.02x，其中哪个模型符合该校的要求？
6．据调查：人类在能源利用与森林砍伐中使CO2浓度增加．据测，2015年、2016年、2017年大气中的CO2浓度分别比2014年增加了1个单位，3个单位，6个单位．若用一个函数模型每年CO2浓度增加的单位数y与年份增加数x的关系，模拟函数可选用二次函数f(x)＝px2＋qx＋r(其中p，q，r为常数)或函数g(x)＝a·bx＋c(其中a，b，c为常数)，又知2018年大气中的CO2浓度比2014年增加了16.5个单位，请问用以上哪个函数作模拟函数较好？
7．某投资公司拟投资开发某种新产品，市场评估能获得10万元～1000万元(包含10万元和1000万元)的投资收益．现公司准备制订一个对科研课题组的奖励方案：奖金y(单位：万元)随投资收益x(单位：万元)的增加而增加，且奖金不低于1万元，同时不超过投资收益的20%.
(1)设奖励方案的函数模型为f(x)，根据题目要求，写出f(x)满足的条件；
(2)下面是公司预设的两个奖励方案的函数模型：
①f(x)＝eq \f(x,150)＋2；②f(x)＝4lg x－2.
试分别分析这两个函数模型是否符合公司的要求．
题型二 利用已知函数模型解决实际问题
1．某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物，已知该动物的繁殖数量y(只)与引入时间x(年)的关系为y＝alg2(x＋1)，若该动物在引入一年后的数量为100只，则第7年它们发展到( )
A．300只 B．400只 C．600只 D．700只
2．某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是( )
A．310元 B．300元 C．390元 D．280元
3．某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营．据市场分析，每辆客车营运的利润y与营运年数x(x∈N)为二次函数关系(如图)，则客车有营运利润的时间不超过________年．
4．某种型号的汽车紧急刹车后滑行的距离y(km)与刹车时的速度x(km/h)的关系可以用y＝ax2来描述，已知这种型号的汽车在速度为60 km/h时，紧急刹车后滑行的距离为b km.若一辆这种型号的汽车紧急刹车后滑行的距离为3b km，则这辆车的行驶速度为________km/h.
5．某公司在甲、乙两地销售同一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为________万元．
6．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4x，1≤x≤10，x∈N，,2x＋10，10＜x＜100，x∈N，,1.5x，x≥100，x∈N，))其中x代表拟录用人数，y代表面试人数，若面试人数为60，则该公司拟录用人数为( )
A．15 B．40 C．25D．130
7．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为
“可食用率”，在特定条件下，可食用率P与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系P＝at2＋bt＋c(a，b，c是常数)，如图记录了三次实验数据，根据上述函数模型和实验数据，可得到最佳加工时间为( )
A．3.50分钟 B．3.75分钟 C．4.00分钟 D．4.25分钟
8．衣柜里的樟脑丸随着时间会挥发而体积变小，刚放进的新丸体积为a，经过t天后体积V与天数t的关系式为V＝ae－kt，新丸经过50天后，体积变为eq \f(4,9)A．若一个新丸体积变为eq \f(8,27)a，则需经过________天．
9．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是T1(℃)，空气的温度是T0(℃)，经过t分钟后物体的温度T(℃)可由公式T＝T0＋(T1－T0)e－0.25t求得．把温度是90 ℃的物体，放在10 ℃的空气中冷却t分钟后，物体的温度是50 ℃，那么t的值约等于(参考数据：ln 3≈1.099，ln 2≈0.693)( )
A．1.78 B．2.77 C．2.89D．4.40
10．某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是( )
A．16小时B．20小时
C．24小时D．21小时
11．某公司预投资100万元，有两种投资可供选择：
甲方案年利率10%，按单利计算，5年后收回本金和利息；
乙方案年利率9%，按每年复利一次计算，5年后收回本金和利息．
哪种投资更有利？这种投资比另一种投资5年可多得利息多少万元？(结果精确到0.01万元)
12．衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进去的新丸体积为a，经过t天后体积V与天数t的关系式为：V＝a·e－kt.已知新丸经过50天后，体积变为eq \f(4,9)a.若一个新丸体积变为eq \f(8,27)a，则需经过的天数为( )
A．125 B．100 C．75 D．50
13．我们处在一个有声世界里，不同场合，人们对声音的音量会有不同要求．音量大小的单位是分贝(dB)，对于一个强度为I的声波，其音量的大小η可由如下公式计算：η＝10·Igeq \f(I,I0)(其中I0是人耳能听到的声音的最低声波强度)，设η1＝70 dB的声音强度为I1，η2＝60 dB的声音强度为I2，则I1是I2的( )
A.eq \f(7,6)倍 B．10倍 C．10eq \f(7,6)倍 D．lneq \f(7,6)倍
14．一种放射性元素，最初的质量为500 g，按每年10%衰减．
(1)求t年后，这种放射性元素质量ω的表达式；
(2)由求出的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期(剩留量为原来的一半所需的时间叫做半衰期)．(精确到0.1年，已知lg 2＝0.3010，lg 3＝0.4771)
15．医院通过撒某种药物对病房进行消毒．已知开始撒放这种药物时，浓度激增，中间有一段时间，药物的浓度保持在一个理想状态，随后药物浓度开始下降．若撒放药物后3小时内的浓度变化可用下面的函数表示，其中x表示时间(单位：小时)，f(x)表示药物的浓度：f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x2＋4x＋400
(2)若需要药物浓度在41.75以上消毒1.5小时，那么在撒放药物后，能否达到消毒要求？并简要说明理由．
16．某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为50元，其成本价为25元，因为在生产过程中平均每生产一件产品有0.5立方米污水排出，为了净化环境，工厂设计了两套方案对污水进行处理，并准备实施．
方案一：工厂的污水先净化处理后再排出，每处理1立方米污水所用原料费为2元，并且每月排污设备损耗费为30000元；
方案二：工厂将污水排到污水处理厂统一处理，每处理1立方米污水需付14元的排污费，问：
(1)工厂每月生产3000件产品时，你作为厂长，在不污染环境，又节约资金的前提下应选择哪种方案？通过计算加以说明；
(2)若工厂每月生产6000件产品，你作为厂长，又该如何决策呢？
17．物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述，设物体的初始温度是T0，经过一定时间t后的温度是T，则T－Ta＝(T0－Ta)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up25(\f(t,h))，其中Ta表示环境温度，h称为半衰期，现有一杯用88 ℃热水冲的速溶咖啡，放在24 ℃的房间中，如果咖啡降温到40 ℃需要20 min，那么降温到32 ℃时，需要多长时间？
18．某种商品在近30天内每件的销售价格P(元)和时间t(天)的函数关系为：
P＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(t＋200
(1)如果m＝2，求经过多长时间，物体的温度为5摄氏度；
(2)若物体的温度总不低于2摄氏度，求m的取值范围．
题型三 自建确定性函数模型解决实际问题
1．据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为2 000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.8元，普通车存车费是每辆一次0.5元，若普通车存车数为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系式是( )
A．y＝0.3x＋800(0≤x≤2 000) B．y＝0.3x＋1 600(0≤x≤2 000)
C．y＝－0.3x＋800(0≤x≤2 000) D．y＝－0.3x＋1 600(0≤x≤2 000)
2．某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……现有2个这样的细胞，分裂x次后得到细胞的个数y与x的函数关系是( )
A．y＝2x B．y＝2x－1
C．y＝2x D．y＝2x＋1
3．一家旅社有100间相同的客房，经过一段时间的经营实践，旅社经理发现，每间客房每天的价格与住房率之间有如下关系：
要使收入每天达到最高，则每间应定价为( )
A．20元 B．18元
C．16元 D．14元
4．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km按起步价付费)；超过3 km但不超过8 km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________km.
5．用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的eq \f(3,4)，要使存留的污垢不超过1%，则至少要清洗的次数是________(lg 2≈0.301 0)．
6．某种产品的年产量为a，在今后m年内，计划使产量平均每年比上年增加p%.
(1)写出产量y随年数x变化的函数解析式；
(2)若使年产量两年内实现翻两番的目标，求p.
7．渔场中鱼群的最大养殖量为m(m>0)，为了保证鱼群的生长空间，实际养殖量x小于m，以便留出适当的空闲量．已知鱼群的年增长量y和实际养殖量与空闲率(空闲率是空闲量与最大养殖量的比值)的乘积成正比，比例系数为k(k>0)．
(1)写出y关于x的函数关系式，并指出该函数的定义域；
(2)求鱼群年增长量的最大值．
8．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵．记鲑鱼的游速为V(m/s)，鲑鱼的耗氧量的单位数为Q，研究中发现V与lg3eq \f(Q,100)成正比，且当Q＝900时，V＝1.
(1)求出V关于Q的函数解析式；
(2)计算一条鲑鱼的游速是1.5 m/s时耗氧量的单位数．
9．某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不超过0.1%，若初始含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少eq \f(1,3)，问至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？(已知lg 2≈0.3010，lg 3≈0.4771)
10．一片森林原来的面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的eq \f(1,4)，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的eq \f(\r(2),2).
(1)求每年砍伐面积的百分比；
(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？
(3)今后最多还能砍伐多少年？
11．某地区为响应上级号召，在2017年初，新建了一批有200万平方米的廉价住房，供困难的城市居民居住．由于下半年受物价的影响，根据本地区的实际情况，估计今后廉价住房的年平均增长率只能达到5%.
(1)经过x年后，该地区的廉价住房为y万平方米，求y＝f(x)的表达式，并求此函数的定义域；
(2)作出函数y＝f(x)的图象，并结合图象，求经过多少年后，该地区的廉价住房能达到300万平方米？
12．某城市2009年底人口总数为100万人，如果年平均增长率为1.2%，试解答以下问题：
(1)写出经过x年后，该城市人口总数y(万人)与x(年)的函数关系式；
(2)计算10年后该城市人口总数(精确到0.1万人)；
(3)计算经过多少年以后，该城市人口将超过120万人(精确到1年)．
(参考数据：1.0129≈1.113,1.01210≈1.127，lg 1.2≈0.079，lg 2≈0.3010，lg 1.012≈0.005)
13．牧场中羊群的最大畜养量为m只，为保证羊群的生长空间，实际畜养量不能达到最大畜养量，必须留出适当的空闲量．已知羊群的年增长量y只和实际畜养量x只与空闲率的乘积成正比，比例系数为k(k>0)．
(1)写出y关于x的函数解析式，并指出这个函数的定义域；
(2)求羊群年增长量的最大值．
14．某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售员为公司赚取的销售利润不超过15万元时，按销售利润的10%奖励给该销售员；当销售员为公司赚取的销售利润超过15万元时，若超出部分为A万元，则超出部分按2lg5(A＋1)奖励给该销售员，没超出部分仍按销售利润的10%奖励给该销售员．记奖金总额为y(单位：万元)，销售利润为x(单位：万元)．
(1)写出y关于x的函数表达式；
(2)如果销售员老张获得5.5万元的奖金，那么他为该公司赚取的销售利润是多少万元？
15．为了预防流感，某学校对教室用过氧乙酸熏蒸进行消毒．已知药物在释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比，药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,16)))t－a(a为常数)，如图所示．
(1)从药物释放开始，写出y与t的函数关系式；
(2)据测定，当教室空气中的含药量降低到每立方米0.25毫克以下时，学生可进教室，问这次消毒多久后学生才能回到教室．
16．诺贝尔奖的奖金发放方式为：每年一发，把奖金总额平均分成6份，奖励给分别在6项(物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平)为人类作出最有益贡献的人，每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半，另一半利息作基金总额，以便保证奖金数逐年增加．假设基金平均年利率为r＝6.24%.资料显示：2006年诺贝尔奖的奖金发放后基金总额约为19800万美金．设f(x)表示第x(x∈N*)年诺贝尔奖的奖金发放后的基金总额(2006年记为f(1)，2007年记为f(2)，…，依次类推)．
(1)用f(1)表示f(2)与f(3)，并根据所求结果归纳出函数f(x)的表达式；
(2)试根据f(x)的表达式判断网上一则新闻“2016年度诺贝尔奖各项奖金高达150万美元”是否为真，并说明理由(参考数据：1.03129≈1.32)．
17．已知A，B两地相距150 km，某人开汽车以60 km/h的速度从A地到达B地，在B地停留1小时后再以50 km/h的速度返回A地．
(1)把汽车离开A地的距离s表示为时间t的函数(从A地出发时开始)，并画出函数的图象；
(2)把车速v(km/h)表示为时间t(h)的函数，并画出函数的图象．
18．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．
(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；
(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/小时)
19．某企业常年生产一种出口产品，自2015年以来，每年在正常情况下，该产品产量平稳增长．已知2015年为第1年，前4年年产量f(x)(万件)如下表所示：
(1)画出2015～2018年该企业年产量的散点图；
(2)建立一个能基本反映(误差小于0.1)这一时期该企业年产量变化的函数模型，并求出函数解析式；
(3)2019年(即x＝5)因受到某国对我国该产品反倾销的影响，年产量减少30%，试根据所建立的函数模型，确定2019年的年产量为多少？
题型四 拟合数据构建函数模型解决实际问题
1．根据日常生活A、B、C、D四个实际问题，现各收集到的五组数据在平面直角坐标系中画出的散点图(如图所示)，能够构建对数函数模型解决实际问题且拟合度较高的是( )
2．已测得(x，y)的两组值为(1,2)，(2,5)，现有两个拟合模型，甲：y＝x2＋1，乙：y＝3x－1.若又测得(x，y)的一组对应值为(3,10.2)，则选用________作为拟合模型较好．
3．某地区发生里氏8.0级特大地震．地震专家对发生的余震进行了监测，记录的部分数据如下表：
注：地震强度是指地震时释放的能量．
地震强度(x)和震级(y)的模拟函数关系可以选用y＝alg x＋b(其中a，b为常数)．利用散点图(如图)可知a的值等于________．(取lg 2≈0.3进行计算)
4．某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如表：
(1)根据表中提供的数据，能否建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重y kg与身高x cm的函数关系？试写出这个函数模型的解析式；
(2)若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175 cm，体重为78 kg的在校男生的体重是否正常？
5．18世纪70年代，德国科学家提丢斯发现金星、地球、火星、木星、土星离太阳的平均距离(天文单位)如下表：
他研究行星排列规律后预测在火星与木星之间应该有一颗大的行星，后来果然发现了谷神星，但不算大行星，它可能是一颗大行星爆炸后的产物，请你推测谷神星的位置，在土星外面的行星与太阳的距离大约是多少？
6．某商场经营一批进价是每件30元的商品，在市场销售中发现，此商品的销售单价x元与日销售量y件之间有如下关系(见下表)：
(1)在所给的坐标系中，根据表中提供的数据描出实数对(x，y)对应的点，并确定y与x的一个函数关系式y＝f(x)；
(2)设经营此商品的日销售利润为P元，根据上述关系式写出P关于x的函数关系式，并指出销售单价x为多少元时，才能获得最大日销售利润？
7．某个体经营者把开始六个月试销A，B两种商品的逐月投资与所获纯利润列成下表：
该经营者准备下月投入12万元经营这两种产品，但不知投入A，B两种商品各多少万元才合算．请你帮助制定一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大利润，并按你的方案求出该经营者下月可获得的最大纯利润(结果保留两位有效数字)．
常用函数模型
(1)一次函数模型
y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)
(2)二次函数模型
y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
(3)指数函数模型
y＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
(4)对数函数模型
y＝mlgax＋n(m，a，n为常数，m≠0，a>0且a≠1)
(5)幂函数模型
y＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)
(6)分段函数模型
y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ax＋bx
4
5
6
7
8
9
10
y
15
17
19
21
23
25
27
t
1.99
3.0
4.0
5.1
6.12
u
1.5
4.04
7.5
12
18.01
每间每天定价
20元
18元
16元
14元
住房率
65%
75%
85%
95%
x
1
2
3
4
f(x)
4.00
5.58
7.00
8.44
强度(J)
1.6×1019
3.2×1019
4.5×1019
6.4×1019
震级(里氏)
5.0
5.2
5.3
5.4
身高/cm
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
体重/kg
6.13
7.90
9.90
12.15
15.02
17.50
20.92
26.86
31.11
38.85
47.25
55.05
投资A种商品金额(万元)
1
2
3
4
5
6
获纯利润(万元)
0.65
1.39
1.85
2
1.84
1.40
投资B种商品金额(万元)
1
2
3
4
5
6
获纯利润(万元)
0.25
0.49
0.76
1
1.26
1.51
专题41 函数模型的应用
1．常用函数模型
2．函数模型应用的两个方面
(1)利用已知函数模型解决问题．
(2)建立恰当的函数模型，并利用所得函数模型解释有关现象，对某些发展趋势进行预测．
3．用函数模型解决实际问题的步骤
(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，用函数刻画实际问题，初步选择模型．
(2)建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的函数模型．
(3)求模：求解函数模型，得到数学结论．
(4)还原：利用数学知识和方法得出的结论还原到实际问题中．
可将这些步骤用框图表示如下：
4．数据拟合
(1)定义：通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，看它们接近我们熟悉的哪一种函数图象，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的函数表达式，再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律，这种方法称为数据拟合．
(2)数据拟合的步骤
①以所给数据作为点的坐标，在平面直角坐标系中绘出各点；
②依据点的整体特征，猜测这些点所满足的函数形式，设其一般形式；
③取特殊数据代入，求出函数的具体解析式；
④做必要的检验．
题型一 函数模型的选择问题
1．如表是函数值y随自变量x变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型是( )
A.一次函数模型 B．二次函数模型
C．指数函数模型 D．对数函数模型
[解析] 自变量每增加1函数值增加2，函数值的增量是均匀的，故为一次函数模型．故选A.
2．有一组实验数据如下表所示：
则能体现这些数据关系的函数模型是( )
A．u＝lg2t B．u＝2t－2 C．u＝eq \f(t2－1,2) D．u＝2t－2
[解析]可以先画出散点图，并利用散点图直观地认识变量间的关系，选择合适的函数模型来刻画它，散点图如图所示．
由散点图可知，图象不是直线，排除选项D；图象不符合对数函数的图象特征，排除选项A；当t＝3时，2t－2＝23－2＝6，排除B，故选C.
3．下列函数关系中，可以看作是指数型函数y＝kax(k∈R，a>0且a≠1)的模型的是( )
A．竖直向上发射的信号弹，从发射开始到信号弹到达最高点，信号弹的高度与时间的关系(不计空气阻力)
B．我国人口年自然增长率为1%时，我国人口总数与年份的关系
C．如果某人t s内骑车行进了1 km，那么此人骑车的平均速度v与时间t的函数关系
D．信件的邮资与其重量间的函数关系
[解析]A中的函数模型是二次函数；B中的函数模型是指数型函数；C中的函数模型是反比例函数；D中的函数模型是一次函数．故选B．
4．如图所示，点P在边长为1的正方形的边上运动，M是CD的中点．当点P沿路线A－B－C－M运动时，点P经过的路程x与△APM的面积y之间的函数y＝f(x)的图象大致是( )
[解析]由题意得，当0
[解析]借助工具作出函数y＝3，y＝0.2x，y＝lg5x，y＝1.02x的图象(如图所示)，观察图象可知，
在区间[5,60]上，y＝0.2x，y＝1.02x的图象都有一部分在直线y＝3的上方，只有y＝lg5x的图象始终在
y＝3和y＝0.2x的下方，这说明只有按模型y＝lg5x进行奖励才符合学校的要求．
6．据调查：人类在能源利用与森林砍伐中使CO2浓度增加．据测，2015年、2016年、2017年大气中的CO2浓度分别比2014年增加了1个单位，3个单位，6个单位．若用一个函数模型每年CO2浓度增加的单位数y与年份增加数x的关系，模拟函数可选用二次函数f(x)＝px2＋qx＋r(其中p，q，r为常数)或函数g(x)＝a·bx＋c(其中a，b，c为常数)，又知2018年大气中的CO2浓度比2014年增加了16.5个单位，请问用以上哪个函数作模拟函数较好？
[解析]若以f(x)＝px2＋qx＋r作模拟函数，
则依题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(p＋q＋r＝1，,4p＋2q＋r＝3，,9p＋3q＋r＝6，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(p＝\f(1,2)，,q＝\f(1,2)，,r＝0.))∴f(x)＝eq \f(1,2)x2＋eq \f(1,2)x.
若以g(x)＝a·bx＋c作模拟函数，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ab＋c＝1，,ab2＋c＝3，,ab3＋c＝6.))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝\f(8,3)，,b＝\f(3,2)，,c＝－3.))∴g(x)＝eq \f(8,3)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))x－3.
利用f(x)，g(x)对2018年CO2浓度作估算，
则其数值分别为f(4)＝10单位，g(4)＝10.5单位，∵|f(4)－16.5|>|g(4)－16.5|，
故g(x)＝eq \f(8,3)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))x－3作模拟函数与2018年的实际数据较为接近，用g(x)＝eq \f(8,3)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))x－3作模拟函数较好.
7．某投资公司拟投资开发某种新产品，市场评估能获得10万元～1000万元(包含10万元和1000万元)的投资收益．现公司准备制订一个对科研课题组的奖励方案：奖金y(单位：万元)随投资收益x(单位：万元)的增加而增加，且奖金不低于1万元，同时不超过投资收益的20%.
(1)设奖励方案的函数模型为f(x)，根据题目要求，写出f(x)满足的条件；
(2)下面是公司预设的两个奖励方案的函数模型：
①f(x)＝eq \f(x,150)＋2；②f(x)＝4lg x－2.
试分别分析这两个函数模型是否符合公司的要求．
[解析] (1)由题意，知公司对奖励方案的基本要求是：
当x∈[10,1000]时，①f(x)是增函数；②f(x)≥1恒成立；③f(x)≤eq \f(x,5)恒成立．
(2)①对于函数模型f(x)＝eq \f(x,150)＋2：
当x∈[10,1000]时，f(x)是增函数，且f(x)≥f(10)＝eq \f(31,15)≥1，即f(x)≥1恒成立，
而若使函数f(x)＝eq \f(x,150)＋2≤eq \f(x,5)在[10,1000]上恒成立，则29x≥300在[10,1000]上恒成立．
又当x＝10时，29x＝29×10＝290<300，所以f(x)≤eq \f(x,5)在[10,1000]上不恒成立．
故该函数模型不符合公司的要求．
②对于函数模型f(x)＝4lg x－2：当x∈[10,1000]时，f(x)是增函数，且f(x)≥f(10)＝4lg 10－2＝2≥1，
所以f(x)≥1在[10,1000]上恒成立．
在同一平面直角坐标系中画出函数f(x)＝4lg x－2和y＝eq \f(x,5)的图象，如图所示．
由图象可知当x∈[10,1000]时，4lg x－2≤eq \f(x,5)恒成立．故该函数模型符合公司的要求．
题型二 利用已知函数模型解决实际问题
1．某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物，已知该动物的繁殖数量y(只)与引入时间x(年)的关系为y＝alg2(x＋1)，若该动物在引入一年后的数量为100只，则第7年它们发展到( )
A．300只 B．400只 C．600只 D．700只
[解析]将x＝1，y＝100代入y＝alg2(x＋1)得，100＝alg2(1＋1)，解得a＝100.
所以x＝7时，y＝100lg2(7＋1)＝300.
2．某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是( )
A．310元 B．300元 C．390元 D．280元
[解析]由图象知，该一次函数过(1,800)，(2,1 300)，可求得解析式y＝500x＋300(x≥0)，当x＝0时，y＝300.
3．某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营．据市场分析，每辆客车营运的利润y与营运年数x(x∈N)为二次函数关系(如图)，则客车有营运利润的时间不超过________年．
[解析]设二次函数y＝a(x－6)2＋11，又过点(4,7)，所以a＝－1，即y＝－(x－6)2＋11.
解y≥0，得6－eq \r(11)≤x≤6＋eq \r(11)，所以有营运利润的时间为2eq \r(11).又6<2eq \r(11)<7，
所以有营运利润的时间不超过7年．
4．某种型号的汽车紧急刹车后滑行的距离y(km)与刹车时的速度x(km/h)的关系可以用y＝ax2来描述，已知这种型号的汽车在速度为60 km/h时，紧急刹车后滑行的距离为b km.若一辆这种型号的汽车紧急刹车后滑行的距离为3b km，则这辆车的行驶速度为________km/h.
[解析]由题意得a×602＝b，解得a＝eq \f(b,3600)，所以y＝eq \f(b,3600)x2.因为y＝3b，所以eq \f(b,3600)x2＝3b，
解得x＝－60eq \r(3)(舍去)或x＝60eq \r(3)，所以这辆车的行驶速度是60eq \r(3) km/h.
5．某公司在甲、乙两地销售同一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为________万元．
[解析]设甲地销售x辆，则乙地销售(15－x)辆，
所以总利润为S＝5.06x－0.15x2＋2(15－x)＝－0.15x2＋3.06x＋30＝－0.15(x－10.2)2＋45.606(x∈N*)．
所以当x＝10时，总利润取得最大值，Smax＝45.6(万元)．
6．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4x，1≤x≤10，x∈N，,2x＋10，10＜x＜100，x∈N，,1.5x，x≥100，x∈N，))其中x代表拟录用人数，y代表面试人数，若面试人数为60，则该公司拟录用人数为( )
A．15 B．40 C．25D．130
[解析]若4x＝60，则x＝15＞10，不符合题意；若2x＋10＝60，则x＝25，满足题意；若1.5x＝60，
则x＝40＜100，不符合题意．故拟录用25人．
7．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为
“可食用率”，在特定条件下，可食用率P与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系P＝at2＋bt＋c(a，b，c是常数)，如图记录了三次实验数据，根据上述函数模型和实验数据，可得到最佳加工时间为( )
A．3.50分钟 B．3.75分钟 C．4.00分钟 D．4.25分钟
[解析]依题意有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0.7＝9a＋3b＋c，,0.8＝16a＋4b＋c，,0.5＝25a＋5b＋c，))解得a＝－0.2，b＝1.5，c＝－2.
所以P＝－0.2t2＋1.5t－2＝－eq \f(1,5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(15,4)))2＋eq \f(13,16).所以当t＝eq \f(15,4)＝3.75时，P取得最大值．
即最佳加工时间为3.75分钟．
8．衣柜里的樟脑丸随着时间会挥发而体积变小，刚放进的新丸体积为a，经过t天后体积V与天数t的关系式为V＝ae－kt，新丸经过50天后，体积变为eq \f(4,9)A．若一个新丸体积变为eq \f(8,27)a，则需经过________天．
[解析]由题意，得eq \f(4,9)a＝ae－50k，解得e－25k＝eq \f(2,3).令ae－kt＝eq \f(8,27)a，即e－kt＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))3＝(e－25k)3＝e－75k，
即需经过的天数为75.
9．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是T1(℃)，空气的温度是T0(℃)，经过t分钟后物体的温度T(℃)可由公式T＝T0＋(T1－T0)e－0.25t求得．把温度是90 ℃的物体，放在10 ℃的空气中冷却t分钟后，物体的温度是50 ℃，那么t的值约等于(参考数据：ln 3≈1.099，ln 2≈0.693)( )
A．1.78 B．2.77 C．2.89D．4.40
[解析]由题意可知50＝10＋(90－10)e－0.25t，整理得e－0.25t＝eq \f(1,2)，
即－0.25t＝ln eq \f(1,2)＝－ln 2＝－0.693，解得t≈2.77.
10．某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是( )
A．16小时B．20小时
C．24小时D．21小时
[解析]由题意，知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(192＝eb，,48＝e22k＋b，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(eb＝192，,e11k＝\f(1,2).))当x＝33时，
y＝e33k＋b＝(e11k)3·eb＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))3×192＝24(小时)．
11．某公司预投资100万元，有两种投资可供选择：
甲方案年利率10%，按单利计算，5年后收回本金和利息；
乙方案年利率9%，按每年复利一次计算，5年后收回本金和利息．
哪种投资更有利？这种投资比另一种投资5年可多得利息多少万元？(结果精确到0.01万元)
[解析]按甲方案，每年利息100×10%＝10,5年后本息合计150万元；
按乙方案，第一年本息合计100×1.09，第二年本息合计100×1.092，…，
5年后本息合计100×1.095≈153.86万元．
故按乙方案投资5年可多得利息3.86万元，更有利.
12．衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进去的新丸体积为a，经过t天后体积V与天数t的关系式为：V＝a·e－kt.已知新丸经过50天后，体积变为eq \f(4,9)a.若一个新丸体积变为eq \f(8,27)a，则需经过的天数为( )
A．125 B．100 C．75 D．50
[解析]由已知，得eq \f(4,9)a＝a·e－50k，∴e－k＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,9)))eq \s\up25(eq \f(1,50)).设经过t1天后，一个新丸体积变为eq \f(8,27)a，则eq \f(8,27)a＝a·e－kt1，
∴eq \f(8,27)＝(e－k)t1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,9)))eq \s\up25(eq \f(1,50)t1)，∴eq \f(t1,50)＝eq \f(3,2)，t1＝75.
13．我们处在一个有声世界里，不同场合，人们对声音的音量会有不同要求．音量大小的单位是分贝(dB)，对于一个强度为I的声波，其音量的大小η可由如下公式计算：η＝10·Igeq \f(I,I0)(其中I0是人耳能听到的声音的最低声波强度)，设η1＝70 dB的声音强度为I1，η2＝60 dB的声音强度为I2，则I1是I2的( )
A.eq \f(7,6)倍 B．10倍 C．10eq \f(7,6)倍 D．lneq \f(7,6)倍
[解析]依题意可知，η1＝10·lgeq \f(I1,I0)，η2＝10·lgeq \f(I2,I0)，所以η1－η2＝10·lgeq \f(I1,I0)－10·lgeq \f(I2,I0)，则1＝lg I1－lg I2，
所以eq \f(I1,I2)＝10.故选B.
14．一种放射性元素，最初的质量为500 g，按每年10%衰减．
(1)求t年后，这种放射性元素质量ω的表达式；
(2)由求出的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期(剩留量为原来的一半所需的时间叫做半衰期)．(精确到0.1年，已知lg 2＝0.3010，lg 3＝0.4771)
[解析] (1)最初的质量为500 g. 经过1年后，ω＝500(1－10%)＝500×0.91；
经过2年后，ω＝500×0.9(1－10%)＝500×0.92；由此推知，t年后，ω＝500×0.9t.
(2)解方程500×0.9t＝250，则0.9t＝0.5，所以t＝eq \f(lg 0.5,lg 0.9)＝eq \f(－lg 2,2lg 3－1)≈6.6(年)，
即这种放射性元素的半衰期约为6.6年．
15．医院通过撒某种药物对病房进行消毒．已知开始撒放这种药物时，浓度激增，中间有一段时间，药物的浓度保持在一个理想状态，随后药物浓度开始下降．若撒放药物后3小时内的浓度变化可用下面的函数表示，其中x表示时间(单位：小时)，f(x)表示药物的浓度：f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x2＋4x＋400
(2)若需要药物浓度在41.75以上消毒1.5小时，那么在撒放药物后，能否达到消毒要求？并简要说明理由．
[解析] (1)当0
f(x)在(2,3]上单调递减，故当2
(2)当0
16．某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为50元，其成本价为25元，因为在生产过程中平均每生产一件产品有0.5立方米污水排出，为了净化环境，工厂设计了两套方案对污水进行处理，并准备实施．
方案一：工厂的污水先净化处理后再排出，每处理1立方米污水所用原料费为2元，并且每月排污设备损耗费为30000元；
方案二：工厂将污水排到污水处理厂统一处理，每处理1立方米污水需付14元的排污费，问：
(1)工厂每月生产3000件产品时，你作为厂长，在不污染环境，又节约资金的前提下应选择哪种方案？通过计算加以说明；
(2)若工厂每月生产6000件产品，你作为厂长，又该如何决策呢？
[解析]设工厂每月生产x件产品时，选择方案一的利润为y1，选择方案二的利润为y2，由题意知
y1＝(50－25)x－2×0.5x－30000＝24x－30000.y2＝(50－25)x－14×0.5x＝18x.
(1)当x＝3000时，y1＝42000，y2＝54000，∵y1
17．物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述，设物体的初始温度是T0，经过一定时间t后的温度是T，则T－Ta＝(T0－Ta)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up25(\f(t,h))，其中Ta表示环境温度，h称为半衰期，现有一杯用88 ℃热水冲的速溶咖啡，放在24 ℃的房间中，如果咖啡降温到40 ℃需要20 min，那么降温到32 ℃时，需要多长时间？
[解析]先设定半衰期h，由题意知40－24＝(88－24)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up25(eq \f(20,h))，即eq \f(1,4)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up25(eq \f(20,h))，
解之，得h＝10，故原式可化简为T－24＝(88－24)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up25(eq \f(t,10))，
当T＝32时，代入上式，得32－24＝(88－24)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up25(eq \f(t,10))，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up25(eq \f(t,10))＝eq \f(8,64)＝eq \f(1,8)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))3，∴t＝30.
因此，需要30 min，可降温到32 ℃.
18．某种商品在近30天内每件的销售价格P(元)和时间t(天)的函数关系为：
P＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(t＋200
结合①②得ymax＝1 125(元)．
因此，这种商品日销售额的最大值为1 125元，且在第25天时日销售金额达到最大．
19．已知某物体的温度θ(单位：摄氏度)随时间t(单位：分钟)的变化规律：θ＝m·2t＋21－t(t≥0并且m＞0)．
(1)如果m＝2，求经过多长时间，物体的温度为5摄氏度；
(2)若物体的温度总不低于2摄氏度，求m的取值范围．
[解析] (1)若m＝2，则θ＝2·2t＋21－t＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2t＋\f(1,2t)))，当θ＝5时，2t＋eq \f(1,2t)＝eq \f(5,2)，
令2t＝x≥1，则x＋eq \f(1,x)＝eq \f(5,2)，即2x2－5x＋2＝0，解得x＝2或x＝eq \f(1,2) (舍去)，
此时t＝1.所以经过1分钟，物体的温度为5摄氏度．
(2)物体的温度总不低于2摄氏度，即θ≥2恒成立．亦m·2t＋eq \f(2,2t)≥2恒成立，
亦即m≥2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2t)－\f(1,22t)))恒成立．令eq \f(1,2t)＝y，则0
题型三 自建确定性函数模型解决实际问题
1．据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为2 000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.8元，普通车存车费是每辆一次0.5元，若普通车存车数为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系式是( )
A．y＝0.3x＋800(0≤x≤2 000) B．y＝0.3x＋1 600(0≤x≤2 000)
C．y＝－0.3x＋800(0≤x≤2 000) D．y＝－0.3x＋1 600(0≤x≤2 000)
[解析]由题意知，变速车存车数为(2 000－x)辆次，
则总收入y＝0.5x＋(2 000－x)×0.8＝－0.3x＋1 600(0≤x≤2 000)．
2．某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……现有2个这样的细胞，分裂x次后得到细胞的个数y与x的函数关系是( )
A．y＝2x B．y＝2x－1
C．y＝2x D．y＝2x＋1
[解析]分裂一次后由2个变成2×2＝22个，分裂两次后4×2＝23个，……，分裂x次后y＝2x＋1个．
3．一家旅社有100间相同的客房，经过一段时间的经营实践，旅社经理发现，每间客房每天的价格与住房率之间有如下关系：
要使收入每天达到最高，则每间应定价为( )
A．20元 B．18元
C．16元 D．14元
[解析]每天的收入在四种情况下分别为20×65%×100＝1 300(元)，18×75%×100＝1 350(元)，
16×85%×100＝1 360(元)，14×95%×100＝1 330(元)．
4．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km按起步价付费)；超过3 km但不超过8 km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________km.
[解析] [设出租车行驶x km时，付费y元，
则y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(9，0
5．用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的eq \f(3,4)，要使存留的污垢不超过1%，则至少要清洗的次数是________(lg 2≈0.301 0)．
[解析]设至少要洗x次，则eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(3,4)))x≤eq \f(1,100)，所以x≥eq \f(1,lg 2)≈3.322，所以需4次．
6．某种产品的年产量为a，在今后m年内，计划使产量平均每年比上年增加p%.
(1)写出产量y随年数x变化的函数解析式；
(2)若使年产量两年内实现翻两番的目标，求p.
[解析] (1)设年产量为y，年数为x，则y＝a(1＋p%)x，定义域为{x|0≤x≤m，且x∈N*}．
(2)y＝a(1＋p%)2＝4a，解得p＝100.
7．渔场中鱼群的最大养殖量为m(m>0)，为了保证鱼群的生长空间，实际养殖量x小于m，以便留出适当的空闲量．已知鱼群的年增长量y和实际养殖量与空闲率(空闲率是空闲量与最大养殖量的比值)的乘积成正比，比例系数为k(k>0)．
(1)写出y关于x的函数关系式，并指出该函数的定义域；
(2)求鱼群年增长量的最大值．
[解析] (1)根据题意知，空闲率是eq \f(m－x,m)，故y关于x的函数关系式是y＝kx·eq \f(m－x,m)，0
8．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵．记鲑鱼的游速为V(m/s)，鲑鱼的耗氧量的单位数为Q，研究中发现V与lg3eq \f(Q,100)成正比，且当Q＝900时，V＝1.
(1)求出V关于Q的函数解析式；
(2)计算一条鲑鱼的游速是1.5 m/s时耗氧量的单位数．
[解析] (1)设V＝k·lg3eq \f(Q,100)，∵当Q＝900时，V＝1，∴1＝k·lg3eq \f(900,100)，
∴k＝eq \f(1,2)，∴V关于Q的函数解析式为V＝eq \f(1,2)lg3eq \f(Q,100).
(2)令V＝1.5，则1.5＝eq \f(1,2)lg3eq \f(Q,100)，∴Q＝2700，即一条鲑鱼的游速是1.5 m/s时耗氧量为2700个单位．
9．某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不超过0.1%，若初始含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少eq \f(1,3)，问至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？(已知lg 2≈0.3010，lg 3≈0.4771)
[解析]设至少应过滤x次才能使产品达到市场要求，则第一次过滤后杂质剩余量为2%eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3)))，
第二次过滤后杂质剩余量为2%eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3)))＝2%eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3)))2，……
第x次过滤后杂质剩余量为2%eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3)))x≤0.1%，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))x≤eq \f(1,20).①
对①式两边取对数，得x(lg 2－lg 3)≤－(1＋lg 2)，∴x≥eq \f(1＋lg 2,lg 3－lg 2)≈7.4.据实际情况知x∈N，
∴x≥8，即至少要过滤8次才能达到市场要求．
10．一片森林原来的面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的eq \f(1,4)，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的eq \f(\r(2),2).
(1)求每年砍伐面积的百分比；
(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？
(3)今后最多还能砍伐多少年？
[解析] (1)设每年砍伐面积的百分比为x(0
即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))，则eq \f(m,10)＝eq \f(1,2)，解得m＝5.故到今年为止，该森林已砍伐了5年．
(3)设从今年开始，以后砍了n年，则n年后剩余面积为eq \f(\r(2),2)a(1－x)n.
令eq \f(\r(2),2)a(1－x)n≥eq \f(1,4)a，即(1－x)n≥eq \f(\r(2),4)，则eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))≥eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))，则eq \f(n,10)≤eq \f(3,2)，解得n≤15.
故今后最多还能砍伐15年．
11．某地区为响应上级号召，在2017年初，新建了一批有200万平方米的廉价住房，供困难的城市居民居住．由于下半年受物价的影响，根据本地区的实际情况，估计今后廉价住房的年平均增长率只能达到5%.
(1)经过x年后，该地区的廉价住房为y万平方米，求y＝f(x)的表达式，并求此函数的定义域；
(2)作出函数y＝f(x)的图象，并结合图象，求经过多少年后，该地区的廉价住房能达到300万平方米？
[解析] (1)经过1年后，廉价住房面积为200＋200×5%＝200(1＋5%)；
经过2年后为200(1＋5%)2；…经过x年后，廉价住房面积为200(1＋5%)x，∴y＝200(1＋5%)x(x∈N*)．
(2)作函数y＝f(x)＝200(1＋5%)x(x≥0)的图象，如图所示．
作直线y＝300，与函数y＝200(1＋5%)x的图象交于A点，则A(x0,300)，A点的横坐标x0的值就是函数值y＝300时所经过的时间x的值．因为8
12．某城市2009年底人口总数为100万人，如果年平均增长率为1.2%，试解答以下问题：
(1)写出经过x年后，该城市人口总数y(万人)与x(年)的函数关系式；
(2)计算10年后该城市人口总数(精确到0.1万人)；
(3)计算经过多少年以后，该城市人口将超过120万人(精确到1年)．
(参考数据：1.0129≈1.113,1.01210≈1.127，lg 1.2≈0.079，lg 2≈0.3010，lg 1.012≈0.005)
[解析] (1)2009年底人口总数为100万人，
经过1年，2010年底人口总数为100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)；
经过2年，2011年底人口总数为100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%＝100×(1＋1.2%)2；
经过3年，2012年底人口总数为100×(1＋1.2%)2＋100×(1＋1.2%)2×1.2%＝100×(1＋1.2%)3；
……所以经过x年后，该城市人口总数为100×(1＋1.2%)x，所以y＝100×(1＋1.2%)x，x∈N*.
(2)10年后该城市人口总数为100×(1＋1.2%)10≈112.7(万人)．
(3)由题意得100×(1＋1.2%)x ＞120，两边取常用对数，得lg [100×(1＋1.2%)x]＞lg 120，
整理得2＋xlg 1.012＞2＋lg 1.2，得x≥16，所以大约16年以后，该城市人口将超过120万人.
13．牧场中羊群的最大畜养量为m只，为保证羊群的生长空间，实际畜养量不能达到最大畜养量，必须留出适当的空闲量．已知羊群的年增长量y只和实际畜养量x只与空闲率的乘积成正比，比例系数为k(k>0)．
(1)写出y关于x的函数解析式，并指出这个函数的定义域；
(2)求羊群年增长量的最大值．
[解析] (1)根据题意，由于最大畜养量为m只，实际畜养量为x只，则畜养率为eq \f(x,m)，故空闲率为1－eq \f(x,m)，
由此可得y＝kxeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(x,m)))(0
14．某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售员为公司赚取的销售利润不超过15万元时，按销售利润的10%奖励给该销售员；当销售员为公司赚取的销售利润超过15万元时，若超出部分为A万元，则超出部分按2lg5(A＋1)奖励给该销售员，没超出部分仍按销售利润的10%奖励给该销售员．记奖金总额为y(单位：万元)，销售利润为x(单位：万元)．
(1)写出y关于x的函数表达式；
(2)如果销售员老张获得5.5万元的奖金，那么他为该公司赚取的销售利润是多少万元？
[解析] (1)由题意，得y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0.1x，0＜x≤15，,1.5＋2lg5x－14，x＞15.))
(2)∵x∈(0,15]时，0.1x≤1.5，又y＝5.5>1.5，∴x>15，∴1.5＋2lg5(x－14)＝5.5，解得x＝39.
∴老张为该公司赚取的销售利润是39万元．
15．为了预防流感，某学校对教室用过氧乙酸熏蒸进行消毒．已知药物在释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比，药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,16)))t－a(a为常数)，如图所示．
(1)从药物释放开始，写出y与t的函数关系式；
(2)据测定，当教室空气中的含药量降低到每立方米0.25毫克以下时，学生可进教室，问这次消毒多久后学生才能回到教室．
[解析] (1)由图象可知，当0≤t≤0.1时，y＝10t；当t＝0.1时，由1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,16)))0.1－a，得a＝0.1，
∴当t>0.1时，y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,16)))t－0.1.∴y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(10t，0≤t≤0.1，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,16)))t－0.1，t>0.1.))
(2)由题意可知，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,16)))t－0.1<0.25，解得t>0.6，即这次消毒0.6×60＝36(分钟)后，学生才能进教室.
16．诺贝尔奖的奖金发放方式为：每年一发，把奖金总额平均分成6份，奖励给分别在6项(物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平)为人类作出最有益贡献的人，每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半，另一半利息作基金总额，以便保证奖金数逐年增加．假设基金平均年利率为r＝6.24%.资料显示：2006年诺贝尔奖的奖金发放后基金总额约为19800万美金．设f(x)表示第x(x∈N*)年诺贝尔奖的奖金发放后的基金总额(2006年记为f(1)，2007年记为f(2)，…，依次类推)．
(1)用f(1)表示f(2)与f(3)，并根据所求结果归纳出函数f(x)的表达式；
(2)试根据f(x)的表达式判断网上一则新闻“2016年度诺贝尔奖各项奖金高达150万美元”是否为真，并说明理由(参考数据：1.03129≈1.32)．
[解析] (1)由题意，知f(2)＝f(1)×(1＋6.24%)－eq \f(1,2)f(1)×6.24%＝f(1)×(1＋3.12%)，
f(3)＝f(2)×(1＋6.24%)－eq \f(1,2)f(2)×6.24%＝f(2)×(1＋3.12%)＝f(1)×(1＋3.12%)2，
∴f(x)＝19800(1＋3.12%)x－1(x∈N*)．
(2)2015年诺贝尔奖发放后基金总额为f(10)＝19800(1＋3.12%)9≈26136，
故2016年度诺贝尔奖各项奖金均为eq \f(1,6)×eq \f(1,2)f(10)×6.24%≈136(万美元)，与150万美元相比少了约14万美元，所以是假新闻．
17．已知A，B两地相距150 km，某人开汽车以60 km/h的速度从A地到达B地，在B地停留1小时后再以50 km/h的速度返回A地．
(1)把汽车离开A地的距离s表示为时间t的函数(从A地出发时开始)，并画出函数的图象；
(2)把车速v(km/h)表示为时间t(h)的函数，并画出函数的图象．
[解析] (1)①汽车由A地到B地行驶t h所走的距离s＝60t(0≤t≤2.5)．
②汽车在B地停留1小时，则汽车到A地的距离s＝150(2.5＜t≤3.5)．
③由B地返回A地，则汽车到A地的距离s＝150－50(t－3.5)＝325－50t(3.5＜t≤6.5)．
综上，s＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(60t0≤t≤2.5，,1502.5＜t≤3.5，,325－50t3.5＜t≤6.5，))它的图象如图(1)所示．
(1) (2)
(2)速度v(km/h)与时间t(h)的函数关系式是v＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(600≤t≤2.5，,02.5＜t≤3.5，,－503.5＜t≤6.5，))它的图象如图(2)所示．
18．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．
(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；
(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/小时)
[解析] (1)由题意，当0≤x≤20时，v(x)＝60；
当20≤x≤200时，设v(x)＝ax＋b，由已知得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(200a＋b＝0，,20a＋b＝60，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－\f(1,3)，,b＝\f(200,3).))
故函数v(x)的表达式为v(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(60，0≤x≤20，,\f(1,3)200－x，20
当20
综上可得，当x＝100时，f(x)在区间[0,200]上取得最大值eq \f(10 000,3)≈3 333.
即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/小时．
19．某企业常年生产一种出口产品，自2015年以来，每年在正常情况下，该产品产量平稳增长．已知2015年为第1年，前4年年产量f(x)(万件)如下表所示：
(1)画出2015～2018年该企业年产量的散点图；
(2)建立一个能基本反映(误差小于0.1)这一时期该企业年产量变化的函数模型，并求出函数解析式；
(3)2019年(即x＝5)因受到某国对我国该产品反倾销的影响，年产量减少30%，试根据所建立的函数模型，确定2019年的年产量为多少？
[解析] (1)画出散点图，如图所示．
(2)由散点图知，可选用一次函数模型．
设f(x)＝ax＋b(a≠0)．由已知得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋b＝4，,3a＋b＝7，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1.5，,b＝2.5，))∴f(x)＝1.5x＋2.5.
检验：f(2)＝5.5，且|5.58－5.5|＝0.08<0.1，f(4)＝8.5，且|8.44－8.5|＝0.06<0.1.
∴一次函数模型f(x)＝1.5x＋2.5能基本反映年产量的变化．
(3)根据所建的函数模型，预计2019年的年产量为f(5)＝1.5×5＋2.5＝10万件，又年产量减少30%，
即10×70%＝7万件，即2019年的年产量为7万件．
题型四 拟合数据构建函数模型解决实际问题
1．根据日常生活A、B、C、D四个实际问题，现各收集到的五组数据在平面直角坐标系中画出的散点图(如图所示)，能够构建对数函数模型解决实际问题且拟合度较高的是( )
[解析]B
2．已测得(x，y)的两组值为(1,2)，(2,5)，现有两个拟合模型，甲：y＝x2＋1，乙：y＝3x－1.若又测得(x，y)的一组对应值为(3,10.2)，则选用________作为拟合模型较好．
[解析]对于甲：x＝3时，y＝32＋1＝10，对于乙：x＝3时，y＝8，因此用甲作为拟合模型较好．
3．某地区发生里氏8.0级特大地震．地震专家对发生的余震进行了监测，记录的部分数据如下表：
注：地震强度是指地震时释放的能量．
地震强度(x)和震级(y)的模拟函数关系可以选用y＝alg x＋b(其中a，b为常数)．利用散点图(如图)可知a的值等于________．(取lg 2≈0.3进行计算)
[解析]由记录的部分数据可知x＝1.6×1019时，y＝5.0，x＝3.2×1019时，y＝5.2.
所以5.0＝alg (1.6×1019)＋b，①
5．2＝alg (3.2×1019)＋b，②
②－①得0.2＝alg eq \f(3.2×1019,1.6×1019)，0.2＝alg 2.所以a＝eq \f(0.2,lg 2)＝eq \f(0.2,0.3)＝eq \f(2,3).
4．某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如表：
(1)根据表中提供的数据，能否建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重y kg与身高x cm的函数关系？试写出这个函数模型的解析式；
(2)若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175 cm，体重为78 kg的在校男生的体重是否正常？
[解析] (1)以身高为横坐标，体重为纵坐标，画出散点图．
根据点的分布特征，可考虑以y＝a·bx作为刻画这个地区未成年男性的体重与身高关系的函数模型．
取其中的两组数据(70,7.90)，(160,47.25)，代入y＝a·bx得：
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(7.9＝a·b70，,47.25＝a·b160，))用计算器算得a≈2，b≈1.02.
这样，我们就得到一个函数模型：y＝2×1.02x.
将已知数据代入上述函数解析式，或作出上述函数的图象，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映这个地区未成年男性体重与身高的关系．
(2)将x＝175代入y＝2×1.02x得y＝2×1.02175，由计算器算得y≈63.98.由于78÷63.98≈1.22>1.2，所以，这个男生偏胖．
5．18世纪70年代，德国科学家提丢斯发现金星、地球、火星、木星、土星离太阳的平均距离(天文单位)如下表：
他研究行星排列规律后预测在火星与木星之间应该有一颗大的行星，后来果然发现了谷神星，但不算大行星，它可能是一颗大行星爆炸后的产物，请你推测谷神星的位置，在土星外面的行星与太阳的距离大约是多少？
[解析]由数值对应表作散点图如图．
由图采用指数型函数作模型，设f(x)＝a·bx＋C．
代入(1,0.7)，(2,1.0)，(3,1.6)得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ab＋c＝0.7， ①,ab2＋c＝1.0，②,ab3＋c＝1.6，③))，(③－②)÷(②－①)得b＝2，代入①②，
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a＋c＝0.7，,4a＋c＝1.0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝\f(3,20)，,c＝\f(2,5)，))∴f(x)＝eq \f(3,20)·2x＋eq \f(2,5).
∵f(5)＝eq \f(26,5)＝5.2，f(6)＝10，∴符合对应表值，∴f(4)＝2.8，f(7)＝19.6，
所以谷神星大约在离太阳2.8天文单位处．在土星外面的行星与太阳的距离大约是19.6天文单位．
6．某商场经营一批进价是每件30元的商品，在市场销售中发现，此商品的销售单价x元与日销售量y件之间有如下关系(见下表)：
(1)在所给的坐标系中，根据表中提供的数据描出实数对(x，y)对应的点，并确定y与x的一个函数关系式y＝f(x)；
(2)设经营此商品的日销售利润为P元，根据上述关系式写出P关于x的函数关系式，并指出销售单价x为多少元时，才能获得最大日销售利润？
[解析] (1)根据题干中所给表作图，
如图，点(30,60)，(40,30)，(45,15)，(50,0)在同一条直线上，设此直线为y＝kx＋b，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(50k＋b＝0，,45k＋b＝15))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k＝－3，,b＝150.))∴y＝－3x＋150(x∈N，x≤50)，
经检验点(30,60)，(40,30)也在此直线上，故所求函数关系式为y＝－3x＋150(x∈N，x≤50)．
(2)依题意有P＝y(x－30)＝(－3x＋150)(x－30)＝－3(x－40)2＋300，
∴当x＝40时，P有最大值300.
故销售单价为40元时，才能获得最大日销售利润．
7．某个体经营者把开始六个月试销A，B两种商品的逐月投资与所获纯利润列成下表：
该经营者准备下月投入12万元经营这两种产品，但不知投入A，B两种商品各多少万元才合算．请你帮助制定一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大利润，并按你的方案求出该经营者下月可获得的最大纯利润(结果保留两位有效数字)．
[解析] 以投资额为横坐标，纯利润为纵坐标，在平面直角坐标系中画出散点图，如下图所示．
图(1) 图(2)
观察散点图可以看出，A种商品所获纯利润y与投资额x之间的变化规律可以用二次函数模型进行模拟，如图(1)所示，
取(4,2)为最高点，则y＝a(x－4)2＋2，再把点(1,0.65)代入，得0.65＝a(1－4)2＋2，解得a＝－0.15，
所以y＝－0.15(x－4)2＋2.
B种商品所获纯利润y与投资额x之间的变化规律是线性的，可以用一次函数模型进行模拟，如图(2)所示．
设y＝kx＋b，取点(1,0.25)和(4,1)代入，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0.25＝k＋b，,1＝4k＋b，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k＝0.25，,b＝0，))所以y＝0.25x.
即前六个月所获纯利润y关于月投资A种商品的金额x的函数关系式是y＝－0.15(x－4)2＋2；前六个月所获纯利润y关于月投资B种商品的金额x的函数关系式是y＝0.25x.
设下月投入A，B两种商品的资金分别为xA，xB(万元)，总利润为W(万元)，
那么eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(xA＋xB＝12，,W＝yA＋yB＝－0.15xA－42＋2＋0.25x B.))
所以W＝－0.15eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(xA－\f(19,6)))2＋0.15×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(19,6)))2＋2.6.
当xA＝eq \f(19,6)≈3.2(万元)时，W取最大值，约为4.1万元，此时xB＝8.8(万元)．
即该经营者下月把12万元中的3.2万元投资A种商品，8.8万元投资B种商品，
可获得最大利润约为4.1万元．
常用函数模型
(1)一次函数模型
y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)
(2)二次函数模型
y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
(3)指数函数模型
y＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
(4)对数函数模型
y＝mlgax＋n(m，a，n为常数，m≠0，a>0且a≠1)
(5)幂函数模型
y＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)
(6)分段函数模型
y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ax＋bx
4
5
6
7
8
9
10
y
15
17
19
21
23
25
27
t
1.99
3.0
4.0
5.1
6.12
u
1.5
4.04
7.5
12
18.01
每间每天定价
20元
18元
16元
14元
住房率
65%
75%
85%
95%
x
1
2
3
4
f(x)
4.00
5.58
7.00
8.44
强度(J)
1.6×1019
3.2×1019
4.5×1019
6.4×1019
震级(里氏)
5.0
5.2
5.3
5.4
身高/cm
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
体重/kg
6.13
7.90
9.90
12.15
15.02
17.50
20.92
26.86
31.11
38.85
47.25
55.05
投资A种商品金额(万元)
1
2
3
4
5
6
获纯利润(万元)
0.65
1.39
1.85
2
1.84
1.40
投资B种商品金额(万元)
1
2
3
4
5
6
获纯利润(万元)
0.25
0.49
0.76
1
1.26
1.51
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