高一数学同步备好课之题型全归纳(人教A版必修第一册)专题42指数函数与对数函数章末复习(原卷版+解析)

这是一份高一数学同步备好课之题型全归纳(人教A版必修第一册)专题42指数函数与对数函数章末复习(原卷版+解析)，共25页。试卷主要包含了指数，函数的图象问题，等价转化思想的体现，函数零点与方程的解，函数模型的应用等内容，欢迎下载使用。

一、指数、对数函数的典型问题
(1)指数与对数的运算
1．计算下列各式的值：
(1)2lg32－lg3eq \f(32,9)＋lg38－5lg53；
(2)1.5－eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7,6)))0＋80.25×eq \r(4,2)＋(eq \r(3,2)×eq \r(3))6－eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)))eq \s\up5(\f(2,3))).
(3)lg525＋lgeq \f(1,100)＋lneq \r(e)＋2；
(4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,16)))0.5＋(－3)－1÷0.75－2－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\f(10,27))).
2．设3x＝4y＝36，则eq \f(2,x)＋eq \f(1,y)的值为( )
A．6B．3
C．2 D．1
3．已知125x＝12.5y＝1000，则eq \f(y－x,xy)＝________.
4．给出函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x，x≥4，fx＋1，x<4，))则f(lg23)＝________.
(2)求定义域
1．函数y＝eq \r(x－1)·ln(2－x)的定义域为( )
A．(1,2) B．[1,2)
C．(1,2] D．[1,2]
2．函数y＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2x－1－27)的定义域是( )
A．[－2，＋∞)B．[－1，＋∞)
C．(－∞，－1]D．(－∞，－2]
3．函数f(x)＝eq \f(1,ln x＋1)＋eq \r(4－x2)的定义域为( )
A．[－2,0)∪(0,2]B．(－1,0)∪(0,2]
C．[－2,2]D．(－1,2]
(3)比较大小问题
1．设a＝lg2π，b＝lgeq \f(1,2)π，c＝π－2，则( )
A．a>b>c B．b>a>c
C．a>c>b D．c>b>a
2．已知a＝lg27，b＝lg38，c＝0.30.2，则a，b，c的大小关系为( )
A．cC．b3．已知a＝lg20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则( )
A．a4．若0A．3y<3x B．lgx35．比较三个数0.32，lg20.3,20.3的大小．
6．四个数2.40.8,3.60.8，lg0.34.2, lg0.40.5的大小关系为( )
A．3.60.8>lg0.40.5>2.40.8>lg0.34.2 B．3.60.8>2.40.8>lg0.34.2>lg0.40.5
C．lg0.40.5>3.60.8>2.40.8>lg0.34.2 D．3.60.8>2.40.8>lg0.40.5>lg0.34.2
7．函数f(x)＝a|x＋1|(a>0，且a≠1)的值域为[1，＋∞)，则f(－4)与f(1)的关系是( )
A．f(－4)＝f(1) B．f(－4)>f(1)
C．f(－4)8．设x，y，z为正实数，且lg2x＝lg3y＝lg5z>0，则eq \f(x,2)，eq \f(y,3)，eq \f(z,5)的大小关系不可能是( )
A.eq \f(x,2)C.eq \f(z,5)(4)与指数、对数函数相关的单调性问题
1．设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是( )
A．奇函数，且在(0,1)上是增函数 B．奇函数，且在(0,1)上是减函数
C．偶函数，且在(0,1)上是增函数 D．偶函数，且在(0,1)上是减函数
2．函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))的单调递增区间是( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,2))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,2)))
C.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞)) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))
3．设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(21－x，x≤1，,1－lg2x，x>1，))则满足f(x)≤2的x的取值范围是( )
A．[－1,2] B．[0,2]
C．[1，＋∞) D．[0，＋∞)
4．函数f(x)＝lg2(x2－ax＋3a)在[2，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，2]B．(－∞，4]
C．[－2,4]D．(－4,4]
5．若f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ax，x>1，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4－\f(a,2)))x＋2，x≤1))是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为( )
A．(1，＋∞)B．(4,8)
C．[4,8)D．(1,8)
6．设函数f(x)＝a＋eq \f(2,2x＋1)(a∈R)．
(1)若函数f(x)为奇函数，求实数a的值；
(2)用定义法判断函数f(x)的单调性；
(3)若当x∈[－1,5]时，f(x)≤0恒成立，求实数a的取值范围．
7．是否存在实数a，使函数f(x)＝lga(ax2－x)在区间[2,4]上单调递增？如果存在，求出a的取值范围；如果不存在，请说明理由．
二、函数的图象问题
(1)图象的变换
1．为了得到函数y＝lg eq \f(x＋3,10)的图象，只需把函数y＝lg x的图象上所有的点( )
A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
2．已知f(x)是R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x＋1，则f(x)的大致图象是( )
3．函数y＝1＋lgeq \f(1,2)(x－1)的图象一定经过点( )
A．(1,1) B．(1,0)
C．(2,1) D．(2,0)
4．函数f(x)＝eq \f(4x＋1,2x)的图象( )
A．关于原点对称B．关于直线y＝x对称
C．关于x轴对称D．关于y轴对称
(2)根据函数解析式确定图象
1．已知f(x)＝ax－2，g(x)＝lga|x|(a>0，且a≠1)，若f(4)g(4)<0，则y＝f(x)，y＝g(x)在同一平面直角坐标系内的大致图象是( )
2．若函数y＝lgax(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则下列函数正确的是( )
3．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x.
①如图，画出函数f(x)的图象；
②根据图象写出f(x)的单调区间，并写出函数的值域．
三、等价转化思想的体现
1．已知a>0，a≠1且lga3>lga2，若函数f(x)＝lgax在区间[a,3a]上的最大值与最小值之差为1.
①求a的值；
②若1≤x≤3，求函数y＝(lgax)2－lgaeq \r(x)＋2的值域．
2．已知函数f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x，当x∈[－1,1]时，求函数y＝[f(x)]2－2af(x)＋3的最小值g(a)．
四、函数零点与方程的解
1．已知函数f(x)＝eq \f(6,x)－lg2x，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是( )
A．(0,1)B．(1,2)
C．(2,4)D．(4，＋∞)
2．在下列区间中，函数f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)，0)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,4)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，\f(1,2))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(3,4)))
3．函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋2x－3，x≤0，,－2＋ln x，x>0.))的零点个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
4．设函数f(x)＝eq \f(1,3)x－ln x(x＞0)，则y＝f(x)( )
A．在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e)，1))，(1，e)内均有零点
B．在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e)，1))，(1，e)内均无零点
C．在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e)，1))内有零点，在区间(1，e)内无零点
D．在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e)，1))内无零点，在区间(1，e)内有零点
5．若关于x的方程x2＋mx＋m－1＝0有一正实根和一负实根，且负实根的绝对值较大，则实数m的取值范围是________．
6．关于x的方程x＋lg x＝3，x＋10x＝3的解分别为α，β，则α＋β等于( )
A．6B．5
C．4D．3
7．已知0＜a＜1，则方程a|x|＝|lgax|的实根个数为( )
A．2B．3
C．4D．与a的值有关
8．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(|x|，x≤m，,x2－2mx＋4m，x>m，))其中m>0.若存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的实数解，则m的取值范围是________．
9．已知函数f(x)＝x＋2x，g(x)＝x＋ln x，h(x)＝x－eq \r(x)－1的零点分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是________．
10．已知函数f(x)＝lg9(9x＋1)＋kx是偶函数．
(1)求k的值；
(2)若方程f(x)＝eq \f(1,2)x＋b有实数根，求b的取值范围．
五、函数模型的应用
1．某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少eq \f(1,3)，问至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？(已知：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)
2．一种放射性元素，最初的质量为500 g，按每年10%衰减．
(1)求t年后，这种放射性元素的质量w的表达式；
(2)由求出的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期(结果精确到0.1)．
3．为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响，在山上建立了一个观察站，测量最大积雪深度x与当年灌溉面积y.现有连续10年的实测资料，如表所示．
(1)描点画出灌溉面积随积雪深度变化的图象；
(2)建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型，并画出图象；
(3)根据所建立的函数模型，估计若今年最大积雪深度为25 cm，则可以灌溉土地多少公顷？
4．载人飞船是通过火箭发射的．已知某型号火箭的起飞重量M t是箭体(包括搭载的飞行器)的重量m t和燃料重量x t之和．在不考虑空气阻力的条件下，假设火箭的最大速度y km/s关于x的函数关系为y＝k[ln (m＋x)－ln (eq \r(2)m)]＋4ln 2(其中k≠0，ln x是以e为底x的对数)．当燃料重量为(eq \r(e)－1)m t时，该火箭的最大速度为4 km/s.
(1)求此型号火箭的最大速度y km/s与燃料重量x t之间的函数解析式；
(2)若此型号火箭的起飞重量是479.8 t，则应装载多少吨燃料(精确到0.1 t，取e＝2.718)才能使火箭的最大飞行速度达到8 km/s，顺利地把飞船发送到预定的椭圆轨道？
5．声强级L(单位：dB)由公式L＝10lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(I,10－12)))给出，其中I为声强(单位：W/m2)．
(1)一般正常人听觉能忍受的最高声强为1 W/m2，能听到的最低声强为10－12 W/m2，求人听觉的声强级范围；
(2)在一演唱会中，某女高音的声强级高出某男低音的声强级20 dB，请问该女高音的声强是该男低音声强的多少倍？
专题42 指数函数与对数函数章末复习
知识系统整合
一、指数、对数函数的典型问题
(1)指数与对数的运算
1．计算下列各式的值：
(1)2lg32－lg3eq \f(32,9)＋lg38－5lg53；
(2)1.5－eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7,6)))0＋80.25×eq \r(4,2)＋(eq \r(3,2)×eq \r(3))6－eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)))eq \s\up5(\f(2,3))).
(3)lg525＋lgeq \f(1,100)＋lneq \r(e)＋2；
(4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,16)))0.5＋(－3)－1÷0.75－2－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\f(10,27))).
[解析](1)原式＝lg3eq \f(22×8,\f(32,9))－3＝2－3＝－1.
(2)原式＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))eq \s\up5(\f(1,3))＋2eq \s\up5(\f(3,4))×2eq \s\up5(\f(1,4))＋22×33－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))eq \s\up5(\f(1,3))＝21＋4×27＝110.
(3)lg525＋lgeq \f(1,100)＋lneq \r(e)＋2＝2＋(－2)＋eq \f(1,2)＋1＝eq \f(3,2).
(4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,16)))0.5＋(－3)－1÷0.75－2－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\f(10,27)))＝eq \f(3,4)－eq \f(1,3)÷eq \f(16,9)－eq \f(9,16)＝eq \f(3,4)－eq \f(3,16)－eq \f(9,16)＝0.
2．设3x＝4y＝36，则eq \f(2,x)＋eq \f(1,y)的值为( )
A．6B．3
C．2 D．1
[解析]由3x＝4y＝36得x＝lg336，y＝lg436，
∴eq \f(2,x)＋eq \f(1,y)＝2lg363＋lg364＝lg369＋lg364＝lg3636＝1.
3．已知125x＝12.5y＝1000，则eq \f(y－x,xy)＝________.
[解析]因为125x＝12.5y＝1000，所以x＝lg1251000，y＝lg12.51000，
eq \f(y－x,xy)＝eq \f(1,x)－eq \f(1,y)＝lg1000125－lg100012.5＝lg1000eq \f(125,12.5)＝lg100010＝eq \f(1,3).
4．给出函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x，x≥4，fx＋1，x<4，))则f(lg23)＝________.
[解析]∵lg23<2，∴f(lg23)＝f(lg23＋1)＝f(lg23＋1＋1)＝f(lg23＋1＋1＋1)＝f(lg224)．
∵lg224>4，∴f(lg224)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))lg224＝eq \f(1,24).
(2)求定义域
1．函数y＝eq \r(x－1)·ln(2－x)的定义域为( )
A．(1,2) B．[1,2)
C．(1,2] D．[1,2]
[解析]要使解析式有意义，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－1≥0，,2－x>0，))解得1≤x<2，所以所求函数的定义域为[1,2)．
2．函数y＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2x－1－27)的定义域是( )
A．[－2，＋∞)B．[－1，＋∞)
C．(－∞，－1]D．(－∞，－2]
[解析]由题意得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2x－1－27≥0，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2x－1≥27，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2x－1≥eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))－3，
又指数函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x为R上的单调减函数，所以2x－1≤－3，解得x≤－1.
3．函数f(x)＝eq \f(1,ln x＋1)＋eq \r(4－x2)的定义域为( )
A．[－2,0)∪(0,2]B．(－1,0)∪(0,2]
C．[－2,2]D．(－1,2]
[解析]要使函数式有意义，需eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1>0，,ln x＋1≠0，,4－x2≥0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>－1，,x≠0，,－2≤x≤2，))得x∈(－1,0)∪(0,2]．
(3)比较大小问题
1．设a＝lg2π，b＝lgeq \f(1,2)π，c＝π－2，则( )
A．a>b>c B．b>a>c
C．a>c>b D．c>b>a
[解析]∵a＝lg2π>lg22＝1，b＝lgeq \f(1,2)πc>b，故选C.
2．已知a＝lg27，b＝lg38，c＝0.30.2，则a，b，c的大小关系为( )
A．cC．b[解析]∵c＝0.30.2<0.30＝1，a＝lg27>lg24＝2,13．已知a＝lg20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则( )
A．a[解析]因为a＝lg20.2<0，b＝20.2>1,0c>a.
4．若0A．3y<3x B．lgx3[解析]因为0对于A，函数y＝3x在R上单调递增，故3x<3y，错误．
对于B，根据底数a对对数函数y＝lgax的影响：当0因为0lgy3，错误．
对于C，函数y＝lg4x在(0，＋∞)上单调递增，故lg4x对于D，函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))x在R上单调递减，故eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))x>eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))y，错误．
5．比较三个数0.32，lg20.3,20.3的大小．
[解析]解法一：∵0<0.32<12＝1，lg20.320＝1，∴lg20.3<0.32<20.3.
解法二：作出函数y＝x2，y＝lg2x，y＝2x的大致图象，如图所示，画出直线x＝0.3，根据直线与三个函数图象的交点位置，即可看出lg20.3<0.32<20.3.
6．四个数2.40.8,3.60.8，lg0.34.2, lg0.40.5的大小关系为( )
A．3.60.8>lg0.40.5>2.40.8>lg0.34.2 B．3.60.8>2.40.8>lg0.34.2>lg0.40.5
C．lg0.40.5>3.60.8>2.40.8>lg0.34.2 D．3.60.8>2.40.8>lg0.40.5>lg0.34.2
[解析]∵y＝x0.8在(0，＋∞)上是增函数，又3.6>2.4>1，∴3.60.8>2.40.8>1.
∵lg0.34.2∴3.60.8>2.40.8>lg0.40.5>
7．函数f(x)＝a|x＋1|(a>0，且a≠1)的值域为[1，＋∞)，则f(－4)与f(1)的关系是( )
A．f(－4)＝f(1) B．f(－4)>f(1)
C．f(－4)[解析]因为函数f(x)＝a|x＋1|(a>0，且a≠1)的值域为[1，＋∞)，所以a>1，
又函数f(x)＝a|x＋1|(a>0，且a≠1)的图象关于直线x＝－1对称，所以f(－4)>f(1)．
8．设x，y，z为正实数，且lg2x＝lg3y＝lg5z>0，则eq \f(x,2)，eq \f(y,3)，eq \f(z,5)的大小关系不可能是( )
A.eq \f(x,2)C.eq \f(z,5)[解析]设lg2x＝lg3y＝lg5z＝k>0，可得x＝2k>1，y＝3k>1，z＝5k>1.∴eq \f(x,2)＝2k－1，eq \f(y,3)＝3k－1，eq \f(z,5)＝5k－1.
①若0eq \f(y,3)>eq \f(z,5)；
②若k＝1，则函数f(x)＝xk－1＝1，∴eq \f(x,2)＝eq \f(y,3)＝eq \f(z,5)；
③若k>1，则函数f(x)＝xk－1单调递增，∴eq \f(x,2)(4)与指数、对数函数相关的单调性问题
1．设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是( )
A．奇函数，且在(0,1)上是增函数 B．奇函数，且在(0,1)上是减函数
C．偶函数，且在(0,1)上是增函数 D．偶函数，且在(0,1)上是减函数
[解析]由题意可得，函数f(x)的定义域为(－1,1)，且f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数．
又f(x)＝lneq \f(1＋x,1－x)＝lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,1－x)－1))，易知y＝eq \f(2,1－x)－1在(0,1)上为增函数，故f(x)在(0,1)上为增函数．选A.
2．函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))的单调递增区间是( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,2))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,2)))
C.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞)) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))
[解析]设u＝－x2＋x＋2，则u＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))2＋eq \f(9,4).则u＝－x2＋x＋2在eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,2)))上递增，
在eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))上递减，又y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))u是减函数，故y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))的单调递增区间为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞)).
3．设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(21－x，x≤1，,1－lg2x，x>1，))则满足f(x)≤2的x的取值范围是( )
A．[－1,2] B．[0,2]
C．[1，＋∞) D．[0，＋∞)
[解析]当x≤1时，由21－x≤2，得1－x≤1，即x≥0，∴0≤x≤1.
当x>1时，由1－lg2x≤2，得lg2x≥－1，即x≥eq \f(1,2)，∴x>1.
综上，满足f(x)≤2的x的取值范围是[0，＋∞)．
4．函数f(x)＝lg2(x2－ax＋3a)在[2，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，2]B．(－∞，4]
C．[－2,4]D．(－4,4]
[解析]因为f(x)在[2，＋∞)上是增函数，所以y＝x2－ax＋3a在[2，＋∞)上单调递增且恒为正，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(a,2)≤2，,22－2a＋3a>0，))即－45．若f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ax，x>1，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4－\f(a,2)))x＋2，x≤1))是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为( )
A．(1，＋∞)B．(4,8)
C．[4,8)D．(1,8)
[解析]∵函数f(x)是R上的单调递增函数，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>1，,a≥\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4－\f(a,2)))×1＋2，,4－\f(a,2)>0，))解得4≤a<8.
故实数a的取值范围为[4,8)．
6．设函数f(x)＝a＋eq \f(2,2x＋1)(a∈R)．
(1)若函数f(x)为奇函数，求实数a的值；
(2)用定义法判断函数f(x)的单调性；
(3)若当x∈[－1,5]时，f(x)≤0恒成立，求实数a的取值范围．
[解析] (1)若函数f(x)为奇函数，∵x∈R，∴f(0)＝a＋1＝0，得a＝－1，
验证：当a＝－1时，f(x)＝－1＋eq \f(2,2x＋1)＝eq \f(1－2x,1＋2x)，显然该函数为奇函数，∴a＝－1.
(2)任取x1，x2∈(－∞，＋∞)，且x1则f(x1)－f(x2)＝eq \f(2,2x1＋1)－eq \f(2,2x2＋1)＝eq \f(2x2＋1－2x1＋1,2x1＋12x2＋1)，
由x10.故f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
∴f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数．
(3)当x∈[－1,5]时，∵f(x)为减函数，∴fmax(x)＝f(－1)＝eq \f(4,3)＋a，
若f(x)≤0恒成立，则满足fmax(x)＝eq \f(4,3)＋a≤0，得a≤－eq \f(4,3).∴a的取值范围为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(4,3))).
7．是否存在实数a，使函数f(x)＝lga(ax2－x)在区间[2,4]上单调递增？如果存在，求出a的取值范围；如果不存在，请说明理由．
[解析]设g(x)＝ax2－x，假设符合条件的a存在．
当a>1时，为使函数f(x)＝lga(ax2－x)在区间[2,4]上单调递增，只需g(x)＝ax2－x在区间[2,4]上单调递增，故应满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,2a)≤2，,g2＝4a－2>0，))解得a>eq \f(1,2)，∴a>1.
当00，))此不等式组无解．
综上可知，存在实数a，使f(x)＝lga(ax2－x)在区间[2,4]上单调递增，a的取值范围是a>1.
二、函数的图象问题
(1)图象的变换
1．为了得到函数y＝lg eq \f(x＋3,10)的图象，只需把函数y＝lg x的图象上所有的点( )
A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
[解析]∵y＝lg eq \f(x＋3,10)＝lg (x＋3)－1，∴只需将y＝lg x 的图象上所有的点向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，即可得到函数y＝lg eq \f(x＋3,10)的图象．
2．已知f(x)是R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x＋1，则f(x)的大致图象是( )
[解析]当x>0时，指数函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x单调递减，将其图象向上平移1个单位长度，可得函数f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x＋1(x>0)的图象，而f(x)是R上的奇函数，所以只有选项B符合要求．
3．函数y＝1＋lgeq \f(1,2)(x－1)的图象一定经过点( )
A．(1,1) B．(1,0)
C．(2,1) D．(2,0)
[解析]把y＝lgeq \f(1,2)x的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位即可得到y＝1＋lgeq \f(1,2)(x－1)的图象，
故其经过点(2,1)．
4．函数f(x)＝eq \f(4x＋1,2x)的图象( )
A．关于原点对称B．关于直线y＝x对称
C．关于x轴对称D．关于y轴对称
[解析]易知f(x)的定义域为R，关于原点对称．∵f(－x)＝eq \f(4－x＋1,2－x)＝eq \f(1＋4x,2x)＝f(x)，
∴f(x)是偶函数，其图象关于y轴对称．
(2)根据函数解析式确定图象
1．已知f(x)＝ax－2，g(x)＝lga|x|(a>0，且a≠1)，若f(4)g(4)<0，则y＝f(x)，y＝g(x)在同一平面直角坐标系内的大致图象是( )
[解析]由f(4)g(4)<0知a2·lga4<0，∴lga4<0，∴02．若函数y＝lgax(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则下列函数正确的是( )
[解析]由已知函数图象可得，lga3＝1，所以a＝3.A项，函数解析式为y＝3－x，在R上单调递减，
与图象不符；C项中函数的解析式为y＝(－x)3＝－x3，当x>0时，y<0，这与图象不符；D项中函数解析式为y＝lg3(－x)，在(－∞，0)上为单调递减函数，与图象不符；B项中对应函数解析式为y＝x3，与图象相符．故选B.
3．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x.
①如图，画出函数f(x)的图象；
②根据图象写出f(x)的单调区间，并写出函数的值域．
[解析]①先作出当x≥0时，f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x的图象，利用偶函数的图象关于y轴对称，
再作出f(x)在x∈(－∞，0)时的图象．
②函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为[0，＋∞)，值域为(0,1]．
三、等价转化思想的体现
1．已知a>0，a≠1且lga3>lga2，若函数f(x)＝lgax在区间[a,3a]上的最大值与最小值之差为1.
①求a的值；
②若1≤x≤3，求函数y＝(lgax)2－lgaeq \r(x)＋2的值域．
[解析]①因为lga3>lga2，所以f(x)＝lgax在[a,3a]上为增函数．
又f(x)在[a,3a]上的最大值与最小值之差为1，
所以lga(3a)－lgaa＝1，即lga3＝1，所以a＝3.
②函数y＝(lg3x)2－lg3eq \r(x)＋2＝(lg3x)2－eq \f(1,2)lg3x＋2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg3x－\f(1,4)))2＋eq \f(31,16).
令t＝lg3x，因为1≤x≤3，所以0≤lg3x≤1，即0≤t≤1.
所以y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(1,4)))2＋eq \f(31,16)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(31,16)，\f(5,2)))，所以所求函数的值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(31,16)，\f(5,2))).
2．已知函数f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x，当x∈[－1,1]时，求函数y＝[f(x)]2－2af(x)＋3的最小值g(a)．
[解析]∵x∈[－1,1]，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，3)).∴y＝[f(x)]2－2af(x)＋3＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2x－2aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x＋3＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x－a))2＋3－a2.
令t＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x，则t∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，3)).若a若eq \f(1,3)≤a≤3，则当t＝a，即x＝lgeq \f(1,3)a时，ymin＝3－a2.
若a>3，则当t＝3，即x＝－1时，ymin＝9－6a＋3＝12－6A．
综上可知：g(a)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(28,9)－\f(2a,3)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a<\f(1,3)))，,3－a2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)≤a≤3))，,12－6aa>3.))
四、函数零点与方程的解
1．已知函数f(x)＝eq \f(6,x)－lg2x，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是( )
A．(0,1)B．(1,2)
C．(2,4)D．(4，＋∞)
[解析]由题意知，函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数，又f(1)＝6－0＝6>0，f(2)＝3－1＝2>0，
f(4)＝eq \f(6,4)－lg24＝eq \f(3,2)－2＝－eq \f(1,2)<0，由零点存在性定理，可知函数f(x)在区间(2,4)上必存在零点．故选C.
2．在下列区间中，函数f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)，0)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,4)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，\f(1,2))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(3,4)))
[解析]因为feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))＝e－2<0，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝e－1>0，所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))<0，又函数y＝ex是单调增函数，y＝4x－3也是单调增函数，由函数单调性的性质可知函数f(x)＝ex＋4x－3是单调增函数，所以函数f(x)＝ex＋4x－3的零点在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，\f(1,2)))内．
3．函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋2x－3，x≤0，,－2＋ln x，x>0.))的零点个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
[解析]当x≤0时，令x2＋2x－3＝0，得x＝－3，当x>0时，令－2＋ln x＝0，得x＝e2，
所以函数有两个零点．
4．设函数f(x)＝eq \f(1,3)x－ln x(x＞0)，则y＝f(x)( )
A．在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e)，1))，(1，e)内均有零点
B．在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e)，1))，(1，e)内均无零点
C．在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e)，1))内有零点，在区间(1，e)内无零点
D．在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e)，1))内无零点，在区间(1，e)内有零点
[解析]因为当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e)，1))时，eq \f(1,3)x>0，ln x<0，所以，f(x)＝eq \f(1,3)x－ln x>0在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e)，1))上恒成立，所以f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e)，1))内无零点．因为f(1)f(e)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)×1－ln 1))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)×e－ln e))＝eq \f(e－3,9)＜0，所以f(x)在(1，e)内有零点．答案D
5．若关于x的方程x2＋mx＋m－1＝0有一正实根和一负实根，且负实根的绝对值较大，则实数m的取值范围是________．
[解析]令f(x)＝x2＋mx＋m－1，其图象的对称轴方程为x＝－eq \f(m,2).
∵方程x2＋mx＋m－1＝0有一正实根和一负实根，且负实根的绝对值较大，
∴函数f(x)＝x2＋mx＋m－1有两个零点，且两零点的和小于0，
画出函数的大致图象，如图所示，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f0<0，,－\f(m,2)<0，))解得0故实数m的取值范围是06．关于x的方程x＋lg x＝3，x＋10x＝3的解分别为α，β，则α＋β等于( )
A．6B．5
C．4D．3
[解析]将方程变形为lg x＝3－x和10x＝3－x.令y1＝lg x，y2＝10x，y3＝3－x，在同一平面直角坐标系中分别作出y1＝lg x，y2＝10x，y3＝3－x的图象，如图所示．
这样方程lg x＝3－x的解可以看成函数y1＝lg x和y3＝3－x的图象的交点A的横坐标，方程10x＝3－x的解可以看成函数y2＝10x和y3＝3－x的图象交点B的横坐标．因为函数y1＝lg x和y2＝10x互为反函数，所以y1＝lg x和y2＝10x的图象关于直线y＝x对称，由题意可得出A，B两点也关于直线y＝x对称，于是A，B两点的坐标分别为A(α，β)，B(β，α)．而A，B两点都在直线y＝3－x上，所以β＝3－α，所以α＋β＝3.
7．已知0＜a＜1，则方程a|x|＝|lgax|的实根个数为( )
A．2B．3
C．4D．与a的值有关
[解析]设y1＝a|x|，y2＝|lgax|，分别作出它们的图象，如图．由图可知，有两个交点，故方程a|x|＝|lgax|有两个实根，故选A．
8．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(|x|，x≤m，,x2－2mx＋4m，x>m，))其中m>0.若存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的实数解，则m的取值范围是________．
[解析]f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(|x|，x≤m，,x2－2mx＋4m，x>m，))当x>m时，f(x)＝x2－2mx＋4m＝(x－m)2＋4m－m2，
其顶点为(m,4m－m2)；当x≤m时，函数f(x)的图象与直线x＝m的交点为Q(m，m)．
①当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m>0，,4m－m2≥m，))即0②当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4m－m20，))即m>3时，函数f(x)的图象如图(2)所示，则存在实数b满足4m－m2综上，m的取值范围为(3，＋∞)．
9．已知函数f(x)＝x＋2x，g(x)＝x＋ln x，h(x)＝x－eq \r(x)－1的零点分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是________．
[解析]令x＋2x＝0，得2x＝－x；令x＋ln x＝0，得ln x＝－x；
在同一平面直角坐标系内画出y＝2x，y＝ln x，y＝－x的图象，
如图可知x1＜0＜x2＜1.令h(x)＝x－eq \r(x)－1＝0，则(eq \r(x))2－eq \r(x)－1＝0，
所以eq \r(x)＝eq \f(1＋\r(5),2)，即x3＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1＋\r(5),2)))2＞1.所以x1＜x2＜x3.
10．已知函数f(x)＝lg9(9x＋1)＋kx是偶函数．
(1)求k的值；
(2)若方程f(x)＝eq \f(1,2)x＋b有实数根，求b的取值范围．
[解析](1)∵f(x)为偶函数，∴∀x∈R，有f(－x)＝f(x)，∴lg9(9－x＋1)－kx＝lg9(9x＋1)＋kx对x∈R恒成立．
∴2kx＝lg9(9－x＋1)－lg9(9x＋1)＝lg9eq \f(9x＋1,9x)－lg9(9x＋1)＝－x对x∈R恒成立，
∴(2k＋1)x＝0对x∈R恒成立，∴k＝－eq \f(1,2).
(2)由题意知，lg9(9x＋1)－eq \f(1,2)x＝eq \f(1,2)x＋b有实数根，即lg9(9x＋1)－x＝b有解．
令g(x)＝lg9(9x＋1)－x，则函数y＝g(x)的图象与直线y＝b有交点．
g(x)＝lg9(9x＋1)－x＝lg9eq \f(9x＋1,9x)＝lg9eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,9x))).∵1＋eq \f(1,9x)>1，∴g(x)＝lg9eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,9x)))>0，
∴b的取值范围是(0，＋∞)．
五、函数模型的应用
1．某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少eq \f(1,3)，问至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？(已知：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)
[解析]设过滤n次能使产品达到市场要求，依题意，得eq \f(2,100)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))n≤eq \f(1,1 000)，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))n≤eq \f(1,20).
则n(lg 2－lg 3)≤－(1＋lg 2)，故n≥eq \f(1＋lg 2,lg 3－lg 2)≈7.4，
考虑到n∈N，故n≥8，即至少要过滤8次才能达到市场要求．
2．一种放射性元素，最初的质量为500 g，按每年10%衰减．
(1)求t年后，这种放射性元素的质量w的表达式；
(2)由求出的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期(结果精确到0.1)．
[解析](1)最初的质量为500 g.
经过1年，w＝500(1－10%)＝500×0.9；经过2年，w＝500×0.92；由此推知，t年后，w＝500×0.9t.
(2)由题意得500×0.9t＝250，即0．9t＝0.5，两边同时取以10为底的对数，得
lg 0.9t＝lg 0.5，即tlg 0.9＝lg 0.5，所以t＝eq \f(lg 0.5,lg 0.9)≈6.6.即这种放射性元素的半衰期约为6.6年．
3．为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响，在山上建立了一个观察站，测量最大积雪深度x与当年灌溉面积y.现有连续10年的实测资料，如表所示．
(1)描点画出灌溉面积随积雪深度变化的图象；
(2)建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型，并画出图象；
(3)根据所建立的函数模型，估计若今年最大积雪深度为25 cm，则可以灌溉土地多少公顷？
[解析] (1)描点、作图，如图甲所示：
(2)从图甲中可以看到，数据点大致落在一条直线附近，由此，我们假设灌溉面积y与最大积雪深度x满足一次函数模型y＝a＋bx(a，b为常数且b≠0)．取其中的两组数据(10.4,21.1)，(24.0,45.8)，代入y＝a＋bx，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(21.1＝a＋10.4b，,45.8＝a＋24.0b，))用计算器可得a≈2.2，b≈1.8.这样，得到一个函数模型：
y＝2.2＋1.8x，作出函数图象如图乙，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，
这说明它能较好地反映最大积雪深度与灌溉面积的关系．
(3)由(2)得到的函数模型为y＝2.2＋1.8x，则由y＝2.2＋1.8×25，求得y＝47.2，
即当最大积雪深度为25 cm 时，可以灌溉土地约为47.2公顷．
4．载人飞船是通过火箭发射的．已知某型号火箭的起飞重量M t是箭体(包括搭载的飞行器)的重量m t和燃料重量x t之和．在不考虑空气阻力的条件下，假设火箭的最大速度y km/s关于x的函数关系为y＝k[ln (m＋x)－ln (eq \r(2)m)]＋4ln 2(其中k≠0，ln x是以e为底x的对数)．当燃料重量为(eq \r(e)－1)m t时，该火箭的最大速度为4 km/s.
(1)求此型号火箭的最大速度y km/s与燃料重量x t之间的函数解析式；
(2)若此型号火箭的起飞重量是479.8 t，则应装载多少吨燃料(精确到0.1 t，取e＝2.718)才能使火箭的最大飞行速度达到8 km/s，顺利地把飞船发送到预定的椭圆轨道？
[解析](1)由题意，得4＝k{ln [m＋(eq \r(e)－1)m]－ln (eq \r(2)m)}＋4ln 2，解得k＝8，
所以y＝8[ln (m＋x)－ln (eq \r(2)m)]＋4ln 2＝8ln eq \f(m＋x,m).
(2)由已知，得M＝m＋x＝479.8，则m＝479.8－x.
将y＝8代入(1)中所得式中，得8＝8ln eq \f(479.8,479.8－x).解得x≈303.3.
答：应装载约303.3 t燃料，才能使火箭的最大飞行速度达到8 km/s，顺利地把飞船送到预定的椭圆轨道．
5．声强级L(单位：dB)由公式L＝10lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(I,10－12)))给出，其中I为声强(单位：W/m2)．
(1)一般正常人听觉能忍受的最高声强为1 W/m2，能听到的最低声强为10－12 W/m2，求人听觉的声强级范围；
(2)在一演唱会中，某女高音的声强级高出某男低音的声强级20 dB，请问该女高音的声强是该男低音声强的多少倍？
[解析] (1)由题知10－12≤I≤1，∴1≤eq \f(I,10－12)≤1012，∴0≤lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(I,10－12)))≤12，∴0≤L≤120，
∴人听觉的声强级范围是[0,120](单位：dB)．
(2)设该女高音的声强级为L1，声强为I1，该男低音的声强级为L2，声强为I2，
由题知L1－L2＝20，则10lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(I1,10－12)))－10lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(I2,10－12)))＝20，∴lgeq \f(I1,I2)＝2，∴I1＝100I2.
故该女高音的声强是该男低音声强的100倍．