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高一数学同步备好课之题型全归纳(人教A版必修第一册)专题37对数函数的性质及其应用(原卷版+解析)
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这是一份高一数学同步备好课之题型全归纳(人教A版必修第一册)专题37对数函数的性质及其应用(原卷版+解析)，共30页。
(1)定义域： (0，＋∞)．
(2)值域： (－∞，＋∞)．
(3)定点： (1,0)．
(4)单调性：a>1时，在(0，＋∞)上是增函数；0(5)函数值变化
当a>1，x>1时，y∈ (0，＋∞)；0当01时，y∈ (－∞，0)；0可简记为“底真同，对数正；底真异，对数负”，“同”指同大于1或同小于1，“异”指一个大于1一个小于1.
(6)复合函数的单调性，按照“同增异减”的性质求解．
知识点二 反函数的概念
对数函数y＝lgax(a>0，且a≠1)与指数函数y＝ax互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．对数函数y＝lgax的定义域是指数函数y＝ax的值域，而y＝lgax的值域是y＝ax的定义域．
(1)并非任意一个函数y＝f(x)都有反函数，只有定义域和值域满足“一一对应”的函数才有反函数．
(2)一般来说，单调函数都有反函数，且单调函数的反函数与原函数有相同的单调性．
(3)若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数．
(4)求反函数的步骤：
①求出函数y＝f(x)的值域；
②由y＝f(x)解出x＝f－1(y)；
③把x＝f－1(y)改写成y＝f－1(x)，并写出函数的定义域(即原函数的值域)．
题型一 比较对数值的大小
1．比较下列各组值的大小：
(1)lg5eq \f(3,4)与lg5eq \f(4,3)；(2)lgeq \f(1,3)2与lgeq \f(1,5)2；(3)lg23与lg54.
2．比较下列各组值的大小：
(1)lgeq \f(2,3)0.5，lgeq \f(2,3)0.6；(2)lg1.51.6，lg1.51.4；(3)lg0.57，lg0.67；(4)lg3π，lg20.8.
3．比较下列各组中两个值的大小：
(1)lg31.9，lg32；(2)lg23，lg0.32；(3)lgaπ，lga3.14(a>0，a≠1)．
4．比较下列各组数的大小
(1)lg0.13与lg0.1π；(2)lg45与lg65；(3)3lg45与2lg23；(4)lga(a＋2)与lga(a＋3)(a＞0且a≠1)．
5．比较下列各组中两个值的大小：
(1)ln0.3，ln2；(2)lg30.2，lg40.2；(3)lg3π，lgπ3；(4)lga3.1，lga5.2(a>0，且a≠1)．
6．已知实数a＝lg45，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))0，c＝lg30.4，则a，b，c的大小关系为( )
A．bC．c7．下列式子中成立的是( )
A．lg0.44＜lg0.46 B．1.013.4＞1.013.5
C．3.50.3＜3.40.3 D．lg76＜lg67
8．已知a＝2，b＝lg2eq \f(1,3)，c＝lgeq \f(1,3)，则( )
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．c＞a＞b
9．如果lg eq \s\d8(\f(1,2)) xA．yC．110．设a＝lg32，b＝lg52，c＝lg23，则( )
A．a>c>b B．b>c>a
C．c>b>a D．c>a>b
11．设a＝lg43，b＝lg53，c＝lg45，则( )
A．a>c>bB．b>c>a
C．c>b>aD．c>a>b
12．若a＝20.2，b＝lg4(3.2)，c＝lg2(0.5)，则( )
A．a＞b＞c B．b＞a＞c
C．c＞a＞b D．b＞c＞a
13．已知lgaeq \f(1,3)>lgbeq \f(1,3)>0，则下列关系正确的是( )
A．0C．114．设a＝lg0.20.3，b＝lg20.3，则( )
A．a＋bC．a＋b<015．已知f(x)＝|lg x|，且eq \f(1,c)＞a＞b＞1，试比较f(a)，f(b)，f(c)的大小．
题型二 求单调区间或根据单调性求参
1．函数f(x)＝ln(2－x)的单调减区间为________．
2．函数f(x)＝lg2(1＋2x)的单调增区间是______．
3．求函数y＝lg eq \s\d8(\f(1,2)) (1－x2)的单调递增区间．
4．求函数y＝lg0.7(x2－3x＋2)的单调区间．
5．求函数y＝lg (x2－2x)的单调递增区间．
6．函数f(x)＝ln(x＋2)＋ln(4－x)的单调递减区间是________．
7．函数f(x)＝|lgeq \f(1,2)x|的单调递增区间是( )
A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2))) B．(0,1]
C．(0，＋∞) D．[1，＋∞)
8．已知函数f(x)＝lga(3－ax)(a>0，且a≠1)．当x∈[0,2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围．
9．已知y＝lga(2－ax)是[0,1]上的减函数，则a的取值范围为( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(0,2) D．[2，＋∞)
10．若y＝lga(ax＋3)(a>0且a≠1)在区间(－1，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是________．
11．是否存在实数a，使函数y＝lga(ax2－x)在区间[2,4]上是增函数？如果存在，求出a的取值范围；如果不存在，请说明理由．
12．设函数f(x)＝lgaeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(a,x)))，其中0＜a＜1.
(1)证明：f(x)是(a，＋∞)上的减函数；
(2)若f(x)＞1，求x的取值范围．
题型三 求解对数不等式
1．不等式lg2(2x＋3)>lg2(5x－6)的解集为( )
A．(－∞，3) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，3))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，\f(6,5))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(6,5)，3))
2．若lg(2x－4)≤1，则x的取值范围是( )
A．(－∞，7] B．(2,7]
C．[7，＋∞) D．(2，＋∞)
3．若lgaeq \f(2,3)<1，则a的取值范围是________．
4．已知lga(3a－1)恒为正，求a的取值范围．
5．函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lg2x，x>0，,lg eq \s\d8(\f(1,2)) －x，x<0，))若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范围是( )
A．(－1,0)∪(0,1)B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－1,0)∪(1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(0,1)
6．已知定义域为R的偶函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，且feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝0，则不等式f(lg4x)<0的解集是___．
7．(1)已知lgaeq \f(1,2)>1，求a的取值范围；
(2)已知lg0.7(2x)8．已知2lga(x－4)>lga(x－2)，求x的取值范围．
9．已知函数f(x)＝lga(x－1)，g(x)＝lga(6－2x)(a＞0，且a≠1)．
(1)求函数φ(x)＝f(x)＋g(x)的定义域；
(2)试确定不等式f(x)≤g(x)中x的取值范围．
10．函数f(x)＝eq \f(2,x)－lg3eq \f(1＋x,1－x)，x∈(0,1)，求不等式f(x2)>feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))的解集．
题型四 与对数函数有关的值域问题
1．下列函数中，值域是[0，＋∞)的是( )
A．f(x)＝lg2(x－1)B．f(x)＝eq \r(lg2x－1)
C．f(x)＝lg2(x2＋2)D．f(x)＝lg2eq \r(x－1)
2．若函数f(x)＝ax＋lga(x＋1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a，则a的值为( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,2) C．2 D．4
3．函数f(x)＝lgeq \f(1,2)(x2＋2x＋3)的值域是________．
4．函数y＝lg0.4(－x2＋3x＋4)的值域是________．
5．求函数y＝lgeq \f(1,3)(－x2＋4x－3)的值域．
6．求下列函数的值域：(1)y＝lg2(x2＋4)；(2)y＝lg eq \s\d8(\f(1,2)) (3＋2x－x2)．
7．求下列函数的值域：
(1)y＝lg2(|x|＋4)；(2)f(x)＝lg2(－x2－4x＋12)．
8．求函数y＝(lg2x)2－4lg2x＋5(1≤x≤2)的最值．
9．求函数y＝lg2(2x)·lg2xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)≤x≤2))的最大值和最小值．
10．函数f(x)＝lg2eq \r(x)·lgeq \r(2)(2x)的最小值为________．
11．已知2x≤256且lg2x≥eq \f(1,2)，求函数f(x)＝lg2eq \f(x,2)×lg eq \s\d8(eq \r(2)) eq \f(\r(x),2)的最大值和最小值．
12．求函数f(x)＝lg2(4x)·lg4eq \f(2,x)，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，4))的值域．
13．函数f(x)＝|lg3x|在区间[a，b]上的值域为[0,1]，则b－a的最小值为________．
14．若函数y＝lg2(x2－2)(a≤x≤b)的值域是[1，lg214]，则a，b的值分别为( )
A．eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－4，,b＝－2))B．eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝4))
C．eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－4，,b＝2))D．eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－4，,b＝－2))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝4))
15．已知函数y＝(lg2x－2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg4x－\f(1,2)))，2≤x≤8.
(1)令t＝lg2x，求y关于t的函数关系式，并写出t的范围；
(2)求该函数的值域．
16．已知函数f(3x－2)＝x－1，x∈[0,2]，将函数y＝f(x)的图象向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度可得函数y＝g(x)的图象．
(1)求函数y＝f(x)与y＝g(x)的解析式；
(2)设h(x)＝[g(x)]2＋g(x2)，试求函数y＝h(x)的最值．
17．已知函数f(x)＝lg (ax2＋2x＋1)．
(1)若f(x)的值域为R，求实数a的取值范围；
(2)若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围．
18．已知函数f(x)＝lg2eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(ax2＋a－1x＋\f(1,4))).
(1)若定义域为R，求实数a的取值范围；
(2)若值域为R，求实数a的取值范围．
题型五 对数函数性质的综合应用
1．函数f(x)＝lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,\r(x2＋1)＋x)))是( )
A．奇函数 B．偶函数 C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数
2．设函数f(x)＝ln (1＋x)－ln (1－x)，则f(x)是( )
A．奇函数，且在(0,1)上是增函数 B．奇函数，且在(0,1)上是减函数
C．偶函数，且在(0,1)上是增函数 D．偶函数，且在(0,1)上是减函数
3．当0＜x≤eq \f(1,2)时，4x＜lgax，则a的取值范围是( )
A．(eq \r(2)，2) B．(1，eq \r(2))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，1)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2)))
4．已知函数f(x)＝ln(3＋x)＋ln(3－x)．
(1)求函数y＝f(x)的定义域；
(2)判断函数y＝f(x)的奇偶性．
5．设常数a＞1，实数x，y满足lgax＋2lgxa＋lgxy＝－3，若y的最大值为eq \r(2)，则x的值为________．
6．已知函数f(x)＝lga(1－x)＋lga(x＋3)，其中0(1)求函数f(x)的定义域；
(2)若函数f(x)的最小值为－4，求a的值．
7．已知函数f(x)＝lgaeq \f(1＋x,1－x)(a>0，且a≠1)．
(1)求f(x)的定义域；
(2)判断函数的奇偶性；
(3)求使f(x)>0的x的取值范围．
8．已知函数f(x)＝lg (2＋x)＋lg (2－x)．
(1)求函数y＝f(x)的定义域；
(2)判断函数y＝f(x)的奇偶性；
(3)若f(m－2)＜f(m)，求m的取值范围．
9．已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝lg eq \s\d8(\f(1,2)) (x＋7)．
(1)求f(1)，f(－1)；
(2)求函数f(x)的表达式；
(3)若f(a－1)－f(3－a)＜0，求a的取值范围．
10．已知a＞0且满足不等式22a＋1＞25a－2.
(1)求实数a的取值范围；
(2)求不等式lga(3x＋1)(3)若函数y＝lga(2x－1)在区间[1,3]上有最小值为－2，求实数a的值．
11．已知函数f(x)＝lg eq \f(a－x,1＋x).
(1)若f(x)为奇函数，求a的值；
(2)在(1)的条件下，若f(x)在(m，n)上的值域为(－1，＋∞)，求m，n的值．
题型六 反函数的应用
1．写出下列函数的反函数(用x表示自变量，用y表示函数)：
(1)y＝2.5x；(2)y＝lg eq \s\d8(\f(1,6)) x.
2．函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数的图象过点(eq \r(a)，a)，则a的值为( )
A．2 B．eq \f(1,2)
C．2或eq \f(1,2)D．3
3．已知函数f(x)＝ax－k(a>0，且a≠1)的图象过点(1,3)，其反函数的图象过点(2,0)，求函数f(x)的解析式．
4．若函数y＝f(x)的图象与函数y＝lg (x＋1)的图象关于直线x－y＝0对称，则f(x)＝( )
A．10x－1B．1－10x
C．1－10－xD．10－x－1
5．已知函数y＝ex的图象与函数y＝f(x)的图象关于直线y＝x对称，则( )
A．f(2x)＝e2x(x∈R) B．f(2x)＝ln 2·ln x(x＞0)
C．f(2x)＝2ex(x∈R) D．f(2x)＝ln x＋ln 2(x＞0)
6．设函数f(x)＝lg2x的反函数为y＝g(x)，且g(a)＝eq \f(1,4)，则a＝________.
专题37 对数函数的性质及其应用
知识点一 对数函数y＝lgax(a＞0，且a≠1)的性质
(1)定义域： (0，＋∞)．
(2)值域： (－∞，＋∞)．
(3)定点： (1,0)．
(4)单调性：a>1时，在(0，＋∞)上是增函数；0(5)函数值变化
当a>1，x>1时，y∈ (0，＋∞)；0当01时，y∈ (－∞，0)；0可简记为“底真同，对数正；底真异，对数负”，“同”指同大于1或同小于1，“异”指一个大于1一个小于1.
(6)复合函数的单调性，按照“同增异减”的性质求解．
知识点二 反函数的概念
对数函数y＝lgax(a>0，且a≠1)与指数函数y＝ax互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．对数函数y＝lgax的定义域是指数函数y＝ax的值域，而y＝lgax的值域是y＝ax的定义域．
(1)并非任意一个函数y＝f(x)都有反函数，只有定义域和值域满足“一一对应”的函数才有反函数．
(2)一般来说，单调函数都有反函数，且单调函数的反函数与原函数有相同的单调性．
(3)若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数．
(4)求反函数的步骤：
①求出函数y＝f(x)的值域；
②由y＝f(x)解出x＝f－1(y)；
③把x＝f－1(y)改写成y＝f－1(x)，并写出函数的定义域(即原函数的值域)．
题型一 比较对数值的大小
1．比较下列各组值的大小：
(1)lg5eq \f(3,4)与lg5eq \f(4,3)；(2)lgeq \f(1,3)2与lgeq \f(1,5)2；(3)lg23与lg54.
[解析](1)法一(单调性法)：对数函数y＝lg5x在(0，＋∞)上是增函数，而eq \f(3,4)法二(中间值法)：因为lg5eq \f(3,4)<0，lg5eq \f(4,3)>0，所以lg5eq \f(3,4)(2)法一(单调性法)：由于lgeq \f(1,3)2＝eq \f(1,lg2\f(1,3))，lgeq \f(1,5)2＝eq \f(1,lg2\f(1,5))，
又因对数函数y＝lg2x在(0，＋∞)上是增函数，且eq \f(1,3)>eq \f(1,5)，所以0>lg2eq \f(1,3)>lg2eq \f(1,5)，
所以eq \f(1,lg2\f(1,3))法二(图象法)：如图，在同一坐标系中分别画出y＝lgeq \f(1,3)x及y＝lgeq \f(1,5)x的图象，
由图易知：lgeq \f(1,3)2(3)取中间值1，因为lg23>lg22＝1＝lg55>lg54，所以lg23>lg54.
2．比较下列各组值的大小：
(1)lgeq \f(2,3)0.5，lgeq \f(2,3)0.6；(2)lg1.51.6，lg1.51.4；(3)lg0.57，lg0.67；(4)lg3π，lg20.8.
[解析](1)因为函数y＝lgeq \f(2,3)x是减函数，且0.5<0.6，所以lgeq \f(2,3)0.5>lgeq \f(2,3)0.6.
(2)因为函数y＝lg1.5x是增函数，且1.6>1.4，所以lg1.51.6>
(3)因为0>lg70.6>lg70.5，所以eq \f(1,lg70.6)(4)因为lg3π>lg31＝0，lg20.8lg20.8.
3．比较下列各组中两个值的大小：
(1)lg31.9，lg32；(2)lg23，lg0.32；(3)lgaπ，lga3.14(a>0，a≠1)．
[解析](1)因为y＝lg3x在(0，＋∞)上是增函数，所以lg31.9(2)因为lg23>lg21＝0，lg0.32lg0.32.
(3)当a>1时，函数y＝lgax在(0，＋∞)上是增函数，则有lgaπ>lga3.14；
当0综上所得，当a>1时，lgaπ>lga3.14；当04．比较下列各组数的大小
(1)lg0.13与lg0.1π；(2)lg45与lg65；(3)3lg45与2lg23；(4)lga(a＋2)与lga(a＋3)(a＞0且a≠1)．
[解析] (1)∵函数y＝lg0.1x是减函数，π>3，∴lg0.13>lg0.1π.
(2)法一：∵函数y＝lg4x和y＝lg6x都是增函数，∴lg45>lg44＝1，lg65lg65.
法二：画出y＝lg4x和y＝lg6x在同一坐标系中的图象如图所示，
由图可知lg45＞lg65.
(3)∵3lg45＝lg453＝lg4125＝eq \f(lg2125,lg24)＝eq \f(1,2)lg2125＝lg2eq \r(125)，2lg23＝lg232＝lg29，
又∵函数y＝lg2x是增函数，eq \r(125)>9，∴lg2eq \r(125)>lg29，即3lg45>2lg23.
(4)∵a＋2＜a＋3，
故①当a＞1时，lga(a＋2)＜lga(a＋3)；②当0＜a＜1时，lga(a＋2)＞lga(a＋3)．
5．比较下列各组中两个值的大小：
(1)ln0.3，ln2；(2)lg30.2，lg40.2；(3)lg3π，lgπ3；(4)lga3.1，lga5.2(a>0，且a≠1)．
[解析] (1)因为函数y＝lnx是增函数，且0.3<2，所以ln0.3(2)解法一：因为0>lg0.23>lg0.24，所以eq \f(1,lg0.23)解法二：如图所示，由图可知lg40.2>lg30.2.
(3)因为函数y＝lg3x是增函数，且π>3，所以lg3π>lg33＝1.
因为函数y＝lgπx是增函数，且π>3，所以lgπ3lgπ3.
(4)当a>1时，函数y＝lgax在(0，＋∞)上是增函数，又3.1<5.2，所以lga3.1当0lga5.2.
6．已知实数a＝lg45，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))0，c＝lg30.4，则a，b，c的大小关系为( )
A．bC．c[解析]由题知，a＝lg45>1，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))0＝1，c＝lg30.4<0，故c7．下列式子中成立的是( )
A．lg0.44＜lg0.46 B．1.013.4＞1.013.5
C．3.50.3＜3.40.3 D．lg76＜lg67
[解析]选D，因为y＝lg0.4x为减函数，故lg0.44＞lg0.46，故A错；因为y＝1.01x为增函数，
所以1.013.4＜1.013.5，故B错；由幂函数的性质知，3.50.3＞3.40.3，故C错．
8．已知a＝2，b＝lg2eq \f(1,3)，c＝lgeq \f(1,3)，则( )
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．c＞a＞b
[解析]∵0＜a＝2＜20＝1，b＝lg2eq \f(1,3)＜lg21＝0，c＝lgeq \f(1,3)＞lgeq \f(1,2)＝1，∴c＞a＞b.故选D.
9．如果lg eq \s\d8(\f(1,2)) xA．yC．1[解析]对数函数y＝lg eq \s\d8(\f(1,2)) x在(0，＋∞)上单调递减，则由lg eq \s\d8(\f(1,2)) x10．设a＝lg32，b＝lg52，c＝lg23，则( )
A．a>c>b B．b>c>a
C．c>b>a D．c>a>b
[解析]a＝lg32lg22＝1，由对数函数的性质可知lg5211．设a＝lg43，b＝lg53，c＝lg45，则( )
A．a>c>bB．b>c>a
C．c>b>aD．c>a>b
[解析]a＝lg43lg44＝1，由对数函数的性质可知lg5312．若a＝20.2，b＝lg4(3.2)，c＝lg2(0.5)，则( )
A．a＞b＞c B．b＞a＞c
C．c＞a＞b D．b＞c＞a
[解析]∵a＝20.2＞1＞b＝lg4(3.2)＞0＞c＝lg2(0.5)，∴a＞b＞c.故选A.
13．已知lgaeq \f(1,3)>lgbeq \f(1,3)>0，则下列关系正确的是( )
A．0C．1[解析]由lgaeq \f(1,3)>0，lgbeq \f(1,3)>0，可知a，b∈(0,1)，又lgaeq \f(1,3)>lgbeq \f(1,3)，作出图象如图所示，
结合图象易知a>b，∴014．设a＝lg0.20.3，b＝lg20.3，则( )
A．a＋bC．a＋b<0[解析]∵a＝lg0.20.3>lg0.21＝0，b＝lg20.3∵eq \f(a＋b,ab)＝eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝lg0.30.2＋lg0.32＝lg0.30.4，∴1＝lg0.30.3>lg0.30.4>lg0.31＝0，
∴015．已知f(x)＝|lg x|，且eq \f(1,c)＞a＞b＞1，试比较f(a)，f(b)，f(c)的大小．
[解析]先作出函数y＝lg x的图象，再将图象位于x轴下方的部分折到x轴上方，
于是得f(x)＝|lg x|图象(如图)，由图象可知，f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)
上单调递增．由eq \f(1,c)＞a＞b＞1得：feq \f(1,c)＞f(a)＞f(b)，而feq \f(1,c)＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(lg\f(1,c)))＝|－lg c|＝|lg c|＝f(c)．
∴f(c)＞f(a)＞f(b)．
题型二 求单调区间或根据单调性求参
1．函数f(x)＝ln(2－x)的单调减区间为________．
[解析]由2－x＞0，得x＜2.又函数y＝2－x，x∈(－∞，2)为减函数，
∴函数f(x)＝ln(2－x)的单调减区间为(－∞，2)．
2．函数f(x)＝lg2(1＋2x)的单调增区间是______．
[解析]易知函数f(x)的定义域为－eq \f(1,2)，＋∞，又因为函数y＝lg2x和y＝1＋2x都是增函数，
所以f(x)的单调增区间是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，＋∞)).
3．求函数y＝lg eq \s\d8(\f(1,2)) (1－x2)的单调递增区间．
[解析]要使函数有意义，则有1－x2>0⇔x2<1⇔－1令t＝1－x2，x∈(－1,1)．在(－1,0)上，x增大，t增大，y＝lg eq \s\d8(\f(1,2)) t减小，
即在(－1,0)上，y随x的增大而减小，为减函数；
在[0,1)上，x增大，t减小，y＝lg eq \s\d8(\f(1,2)) t增大，即在[0,1)上，y随x的增大而增大，为增函数．
∴y＝lg eq \s\d8(\f(1,2)) (1－x2)的单调递增区间为[0,1)．
4．求函数y＝lg0.7(x2－3x＋2)的单调区间．
[解析]因为x2－3x＋2>0，所以x<1或x>2.所以函数的定义域为(－∞，1)∪(2，＋∞)，令t＝x2－3x＋2，
则y＝lg0.7t，显然y＝lg0.7t在(0，＋∞)上是单调递减的，而t＝x2－3x＋2在(－∞，1)，(2，＋∞)上分
别是单调递减和单调递增的，所以函数y＝lg0.7(x2－3x＋2)的单调递增区间为(－∞，1)，
单调递减区间为(2，＋∞)．
5．求函数y＝lg (x2－2x)的单调递增区间．
[解析]由已知，得x2－2x>0，解得x>2或x<0.因为y＝x2－2x在[1，＋∞)上是增函数，在(－∞，1]上是减函数，而y＝lg x在(0，＋∞)上是增函数，所以y＝lg (x2－2x)的单调递增区间为(2，＋∞).
6．函数f(x)＝ln(x＋2)＋ln(4－x)的单调递减区间是________．
[解析]由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋2＞0，,4－x＞0))得－2＜x＜4，因此函数f(x)的定义域为(－2,4)．
f(x)＝ln(x＋2)＋ln(4－x)＝ln(－x2＋2x＋8)＝ln[－(x－1)2＋9]，
设u＝－(x－1)2＋9，又y＝ln u是增函数，
u＝－(x－1)2＋9在(1,4)上是减函数，因此f(x)的单调递减区间为(1,4)．
7．函数f(x)＝|lgeq \f(1,2)x|的单调递增区间是( )
A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2))) B．(0,1]
C．(0，＋∞) D．[1，＋∞)
[解析]f(x)的图象如图所示，由图象可知单调递增区间为[1，＋∞)．
]
8．已知函数f(x)＝lga(3－ax)(a>0，且a≠1)．当x∈[0,2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围．
[解析]∵a>0且a≠1，设t(x)＝3－ax，则t(x)＝3－ax为减函数，当x∈[0,2]时，t(x)的最小值为3－2a.
∵当x∈[0,2]时，f(x)恒有意义，即x∈[0,2]时，3－ax>0恒成立．∴3－2a>0，∴a又a>0且a≠1，∴09．已知y＝lga(2－ax)是[0,1]上的减函数，则a的取值范围为( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(0,2) D．[2，＋∞)
[解析]∵f(x)＝lga(2－ax)在[0,1]上是减函数，且y＝2－ax在[0,1]上是减函数，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f0＞f1，,a>1，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lga2＞lga2－a，,a>1，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>1，,2－a>0，))∴1＜a＜2.
10．若y＝lga(ax＋3)(a>0且a≠1)在区间(－1，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是________．
[解析]因为y＝lga(ax＋3)(a>0且a≠1)在区间(－1，＋∞)上是增函数，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－a＋3≥0，,a>1，,a>0且a≠1，))解得111．是否存在实数a，使函数y＝lga(ax2－x)在区间[2,4]上是增函数？如果存在，求出a的取值范围；如果不存在，请说明理由．
[解析]存在．设u＝g(x)＝ax2－x，则y＝lgau.假设符合条件的a值存在．
(1)当a＞1时，只需g(x)在[2,4]上为增函数，故应满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,2a)≤2，,g2＝4a－2＞0.))解得a＞eq \f(1,2).∴a＞1.
(2)当0＜a＜1时，只需g(x)在[2,4]上为减函数，故应满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,2a)≥4，,g4＝16a－4＞0.))无解．
综上所述，当a＞1时，函数y＝lga(ax2－x)在[2,4]上是增函数．
12．设函数f(x)＝lgaeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(a,x)))，其中0＜a＜1.
(1)证明：f(x)是(a，＋∞)上的减函数；
(2)若f(x)＞1，求x的取值范围．
[解析] (1)证明：任取x1，x2∈(a，＋∞)，不妨令0＜a＜x1＜x2，g(x)＝1－eq \f(a,x)，
则g(x1)－g(x2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(a,x1)))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(a,x2)))＝eq \f(ax1－x2,x1x2)，
∵0＜a＜x1＜x2，∴x1－x2＜0，x1x2＞0，∴g(x1)－g(x2)＜0，
∴g(x1)＜g(x2)，∴g(x)为增函数，又∵0＜a＜1，∴f(x)是(a，＋∞)上的减函数．
(2)∵lgaeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(a,x)))＞1，∴0＜1－eq \f(a,x)＜a，∴1－a＜eq \f(a,x)＜1.又∵0＜a＜1，∴1－a＞0，
∴a＜x＜eq \f(a,1－a)，∴x的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a，\f(a,1－a))).
题型三 求解对数不等式
1．不等式lg2(2x＋3)>lg2(5x－6)的解集为( )
A．(－∞，3) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，3))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，\f(6,5))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(6,5)，3))
[解析]由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋3>0，,5x－6>0，,2x＋3>5x－6，))得eq \f(6,5)2．若lg(2x－4)≤1，则x的取值范围是( )
A．(－∞，7] B．(2,7]
C．[7，＋∞) D．(2，＋∞)
[解析]由lg(2x－4)≤1，得0<2x－4≤10，即23．若lgaeq \f(2,3)<1，则a的取值范围是________．
[解析] 原不等式等价于eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0a))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>1，,\f(2,3)1，
故a的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(2,3)))∪(1，＋∞)．
4．已知lga(3a－1)恒为正，求a的取值范围．
[解析]由题意知lga(3a－1)>0＝lga1.
当a>1时，y＝lgax是增函数，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3a－1>1，,3a－1>0，))解得a>eq \f(2,3)，∴a>1；
当00，))解得eq \f(1,3)综上所述，a的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(2,3)))∪(1，＋∞).
5．函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lg2x，x>0，,lg eq \s\d8(\f(1,2)) －x，x<0，))若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范围是( )
A．(－1,0)∪(0,1)B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－1,0)∪(1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(0,1)
[解析]若a>0，由f(a)>f(－a)，得lg2a>lg eq \s\d8(\f(1,2)) a＝－lg2a，即lg2a>0，则a>1；若a<0，则由f(a)>f(－a)，
得lg eq \s\d8(\f(1,2)) (－a)>lg2(－a)，即－lg2(－a)>lg2(－a)，则lg2(－a)<0，得0<－a<1，即－1综上所述，a的取值范围是(－1,0)∪(1，＋∞)．
6．已知定义域为R的偶函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，且feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝0，则不等式f(lg4x)<0的解集是___．
[解析]由题意可知，f(lg4x)<0⇔－eq \f(1,2)7．(1)已知lgaeq \f(1,2)>1，求a的取值范围；
(2)已知lg0.7(2x)[解析] (1)由lgaeq \f(1,2)>1得lgaeq \f(1,2)>lgaa.
①当a>1时，有a②当0所以a的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1)).
(2)因为函数y＝lg0.7x在(0，＋∞)上为减函数，
所以由lg0.7(2x)0，,x－1>0，,2x>x－1，))解得x>1.即x的取值范围是(1，＋∞)．
8．已知2lga(x－4)>lga(x－2)，求x的取值范围．
[解析]由题意，得x>4，原不等式可变为lga(x－4)2>lga(x－2)．
当a>1时，y＝lgax为定义域内的增函数，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－42>x－2，,x－4>0，,x－2>0，))解得x>6.
当00，,x－2>0，))解得4综上所述，当a>1时，x的取值范围为(6，＋∞)；当09．已知函数f(x)＝lga(x－1)，g(x)＝lga(6－2x)(a＞0，且a≠1)．
(1)求函数φ(x)＝f(x)＋g(x)的定义域；
(2)试确定不等式f(x)≤g(x)中x的取值范围．
[解析] (1)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－1>0，,6－2x>0，))解得1＜x＜3，∴函数φ(x)的定义域为{x|1＜x＜3}．
(2)不等式f(x)≤g(x)，即为lga(x－1)≤lga(6－2x)，
①当a＞1时，不等式等价于eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1②当0＜a＜1时，不等式等价于eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1综上可得，当a＞1时，不等式的解集为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(1，\f(7,3)))；当0＜a＜1时，不等式的解集为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,3)，3)).
10．函数f(x)＝eq \f(2,x)－lg3eq \f(1＋x,1－x)，x∈(0,1)，求不等式f(x2)>feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))的解集．
[解析]∵y＝eq \f(2,x)在(0,1)上为减函数，y＝－lg3eq \f(1＋x,1－x)＝lg3eq \f(1－x,1＋x)＝lg3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1＋\f(2,x＋1)))在(0,1)上也为减函数，
∴f(x)＝eq \f(2,x)－lg3eq \f(1＋x,1－x)在(0,1)上单调递减．∴x2题型四 与对数函数有关的值域问题
1．下列函数中，值域是[0，＋∞)的是( )
A．f(x)＝lg2(x－1)B．f(x)＝eq \r(lg2x－1)
C．f(x)＝lg2(x2＋2)D．f(x)＝lg2eq \r(x－1)
[解析]A、D中因为真数大于0，故值域为R，C中因为x2＋2≥2，故f(x)≥1.
只有B中lg2(x－1)≥0，f(x)的值域为[0，＋∞)．[答案] B
2．若函数f(x)＝ax＋lga(x＋1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a，则a的值为( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,2) C．2 D．4
[解析]当a>1时，a＋lga2＋1＝a，lga2＝－1，a＝eq \f(1,2)(舍去)．
当03．函数f(x)＝lgeq \f(1,2)(x2＋2x＋3)的值域是________．
[解析]f(x)＝lgeq \f(1,2)(x2＋2x＋3)＝lgeq \f(1,2)[(x＋1)2＋2]，因为(x＋1)2＋2≥2，
所以lgeq \f(1,2)[(x＋1)2＋2]≤lgeq \f(1,2)2＝－1，所以函数f(x)的值域是(－∞，－1]．
4．函数y＝lg0.4(－x2＋3x＋4)的值域是________．
[解析]－x2＋3x＋4＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)))2＋eq \f(25,4)≤eq \f(25,4)，∴有0<－x2＋3x＋4≤eq \f(25,4)，
∴根据对数函数y＝lg0.4x的图象(图略)即可得到：lg0.4(－x2＋3x＋4)≥lg0.4eq \f(25,4)＝－2，
∴原函数的值域为[－2，＋∞)．
5．求函数y＝lgeq \f(1,3)(－x2＋4x－3)的值域．
[解析]由－x2＋4x－3>0，解得1设u＝－x2＋4x－3(1∵16．求下列函数的值域：(1)y＝lg2(x2＋4)；(2)y＝lg eq \s\d8(\f(1,2)) (3＋2x－x2)．
[解析] (1)y＝lg2(x2＋4)的定义域是R.因为x2＋4≥4，所以lg2(x2＋4)≥lg24＝2.
所以y＝lg2(x2＋4)的值域为[2，＋∞)．
(2)设u＝3＋2x－x2＝－(x－1)2＋4≤4.因为u>0，所以0又y＝lg eq \s\d8(\f(1,2)) u在(0,4]上为减函数，所以lg eq \s\d8(\f(1,2)) u≥lg eq \s\d8(\f(1,2)) 4＝－2，
所以y＝lg eq \s\d8(\f(1,2)) (3＋2x－x2)的值域为[－2，＋∞)．
7．求下列函数的值域：
(1)y＝lg2(|x|＋4)；(2)f(x)＝lg2(－x2－4x＋12)．
[解析] (1)因为|x|＋4≥4，所以lg2(|x|＋4)≥lg24＝2，所以函数的值域为[2，＋∞)．
(2)因为－x2－4x＋12＝－(x＋2)2＋16≤16，所以0<－x2－4x＋12≤16，故lg2(－x2－4x＋12)≤lg216＝4，函数的值域为(－∞，4]．
8．求函数y＝(lg2x)2－4lg2x＋5(1≤x≤2)的最值．
[解析]令t＝lg2x，则0≤t≤1且y＝t2－4t＋5，由二次函数的图象可知，函数y＝t2－4t＋5在[0,1]上为减函数，∴2≤y≤5.故ymax＝5，ymin＝2.
9．求函数y＝lg2(2x)·lg2xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)≤x≤2))的最大值和最小值．
[解析]y＝lg2(2x)·lg2x＝(1＋lg2x)·lg2x＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg2x＋\f(1,2)))2－eq \f(1,4).
∵eq \f(1,2)≤x≤2，即－1≤lg2x≤1，∴当lg2x＝－eq \f(1,2)时，ymin＝－eq \f(1,4)；当lg2x＝1时，ymax＝2.
10．函数f(x)＝lg2eq \r(x)·lgeq \r(2)(2x)的最小值为________．
[解析]f(x)＝lg2eq \r(x)·lgeq \r(2)(2x)＝eq \f(1,2)lg2x·2lg2(2x)＝lg2x(1＋lg2x)．设t＝lg2x(t∈R)，
则原函数可以化为y＝t(t＋1)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t＋\f(1,2)))2－eq \f(1,4)(t∈R)，故该函数的最小值为－eq \f(1,4).故f(x)的最小值为－eq \f(1,4).
11．已知2x≤256且lg2x≥eq \f(1,2)，求函数f(x)＝lg2eq \f(x,2)×lg eq \s\d8(eq \r(2)) eq \f(\r(x),2)的最大值和最小值．
[解析]由2x≤256，得x≤8，所以lg2x≤3，即eq \f(1,2)≤lg2x≤3.
f(x)＝(lg2x－1)×(lg2x－2)＝(lg2x)2－3lg2x＋2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg2x－\f(3,2)))2－eq \f(1,4).
当lg2x＝eq \f(3,2)，即x＝2eq \r(2)时，f(x)min＝－eq \f(1,4)，
当lg2x＝3，即x＝23＝8时，f(x)max＝2.
12．求函数f(x)＝lg2(4x)·lg4eq \f(2,x)，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，4))的值域．
[解析]f(x)＝lg2(4x)·lg4eq \f(2,x)＝(lg2x＋2)·eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)1－lg2x))＝－eq \f(1,2)[(lg2x)2＋lg2x－2]．
设lg2x＝t.∵x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，4))，∴t∈[－1,2]，则有y＝－eq \f(1,2)(t2＋t－2)，t∈[－1,2]，
因此二次函数图象的对称轴为t＝－eq \f(1,2)，∴它在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－1，－\f(1,2)))上是增函数，在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，2))上是减函数，
∴当t＝－eq \f(1,2)时，有最大值，且ymax＝eq \f(9,8).当t＝2时，有最小值，且ymin＝－2.
∴f(x)的值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－2，\f(9,8))).
13．函数f(x)＝|lg3x|在区间[a，b]上的值域为[0,1]，则b－a的最小值为________．
[解析]根据图象可知，|lg3x|＝0，则x＝1，|lg3x|＝1，则x＝eq \f(1,3)或3.由图可知(b－a)min＝1－eq \f(1,3)＝eq \f(2,3).
14．若函数y＝lg2(x2－2)(a≤x≤b)的值域是[1，lg214]，则a，b的值分别为( )
A．eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－4，,b＝－2))B．eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝4))
C．eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－4，,b＝2))D．eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－4，,b＝－2))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝4))
[解析]由1≤lg2(x2－2)≤lg214得2≤x2－2≤14，得4≤x2≤16，得－4≤x≤－2或2≤x≤4.
由x2－2>0得x<－eq \r(2)或x>eq \r(2)，故b<－eq \r(2)或a>eq \r(2).当a>eq \r(2)时，由函数y＝lg2(x2－2)(a≤x≤b)单调递增得2≤x≤4，故a＝2，b＝4；当b<－eq \r(2)时，由函数y＝lg2(x2－2)(a≤x≤b)单调递减得－4≤x≤－2，
故a＝－4，b＝－2.
15．已知函数y＝(lg2x－2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg4x－\f(1,2)))，2≤x≤8.
(1)令t＝lg2x，求y关于t的函数关系式，并写出t的范围；
(2)求该函数的值域．
[解析] (1)y＝eq \f(1,2)(t－2)(t－1)＝eq \f(1,2)t2－eq \f(3,2)t＋1，又2≤x≤8，∴1＝lg22≤lg2x≤lg28＝3，即1≤t≤3.
(2)由(1)得y＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(3,2)))2－eq \f(1,8)，1≤t≤3，
当t＝eq \f(3,2)时，ymin＝－eq \f(1,8)；当t＝3时，ymax＝1，∴－eq \f(1,8)≤y≤1，即函数的值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,8)，1)).
16．已知函数f(3x－2)＝x－1，x∈[0,2]，将函数y＝f(x)的图象向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度可得函数y＝g(x)的图象．
(1)求函数y＝f(x)与y＝g(x)的解析式；
(2)设h(x)＝[g(x)]2＋g(x2)，试求函数y＝h(x)的最值．
[解析] (1)设t＝3x－2，t∈[－1,7]，则x＝lg3(t＋2)，于是有f(t)＝lg3(t＋2)－1，t∈[－1,7]．
∴f(x)＝lg3(x＋2)－1，x∈[－1,7]，
根据题意得g(x)＝f(x－2)＋3＝lg3x＋2，x∈[1,9]．
∴函数y＝f(x)的解析式为f(x)＝lg3(x＋2)－1，x∈[－1,7]，
函数y＝g(x)的解析式为g(x)＝lg3x＋2，x∈[1,9]．
(2)∵g(x)＝lg3x＋2，x∈[1,9]，
∴h(x)＝[g(x)]2＋g(x2)＝(lg3x＋2)2＋2＋lg3x2＝(lg3x)2＋6lg3x＋6＝(lg3x＋3)2－3，
∵函数g(x)的定义域为[1,9]，∴要使函数h(x)＝[g(x)]2＋g(x2)有意义，
必须有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1≤x2≤9，,1≤x≤9，))即1≤x≤3.∴0≤lg3x≤1，∴6≤(lg3x＋3)2－3≤13.
∴函数y＝h(x)的最大值为13，最小值为6.
17．已知函数f(x)＝lg (ax2＋2x＋1)．
(1)若f(x)的值域为R，求实数a的取值范围；
(2)若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围．
[解析] (1)∵f(x)的值域为R，∴要求u＝ax2＋2x＋1的值域包含(0，＋∞)．
当a<0时，显然不可能；
当a＝0时，u＝2x＋1∈R成立；
当a>0时，若u＝ax2＋2x＋1的值域包含(0，＋∞)，
则Δ＝4－4a≥0，解得0综上可知，a的取值范围是0≤a≤1.
(2)由已知，u＝ax2＋2x＋1的值恒为正，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>0，,Δ＝4－4a<0，))解得a的取值范围是a>1.
18．已知函数f(x)＝lg2eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(ax2＋a－1x＋\f(1,4))).
(1)若定义域为R，求实数a的取值范围；
(2)若值域为R，求实数a的取值范围．
[解析]1)要使f(x)的定义域为R，则对任意实数x都有t＝ax2＋(a－1)x＋eq \f(1,4)>0恒成立．
当a＝0时，不合题意；当a≠0时，由二次函数图象可知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>0，,Δ＝a－12－a<0.))
解得eq \f(3－\r(5),2)(2)要使f(x)的值域为R，则有t＝ax2＋(a－1)x＋eq \f(1,4)的值域必须包含(0，＋∞)．当a＝0时，显然成立；
当a≠0时，由二次函数图象可知，其二次函数图象必须与x轴相交且开口向上，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>0，,Δ＝a－12－a≥0，))即0故所求a的取值范围为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(3－\r(5),2)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3＋\r(5),2)，＋∞)).
题型五 对数函数性质的综合应用
1．函数f(x)＝lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,\r(x2＋1)＋x)))是( )
A．奇函数 B．偶函数 C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数
[解析]f(x)定义域为R，f(－x)＋f(x)＝lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,\r(x2＋1)－x)))＋lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,\r(x2＋1)＋x)))＝lgeq \f(1,x2＋1－x2)＝lg 1＝0，
∴f(x)为奇函数，故选A.
2．设函数f(x)＝ln (1＋x)－ln (1－x)，则f(x)是( )
A．奇函数，且在(0,1)上是增函数 B．奇函数，且在(0,1)上是减函数
C．偶函数，且在(0,1)上是增函数 D．偶函数，且在(0,1)上是减函数
[解析]由题意可得，函数f(x)的定义域为(－1,1)，且f(－x)＝ln (1－x)－ln (1＋x)＝－f(x)，
故f(x)为奇函数．又f(x)＝ln eq \f(1＋x,1－x)＝ln eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,1－x)－1))，易知y＝eq \f(2,1－x)－1在(0,1)上为增函数，
故f(x)在(0,1)上为增函数．故选A．
3．当0＜x≤eq \f(1,2)时，4x＜lgax，则a的取值范围是( )
A．(eq \r(2)，2) B．(1，eq \r(2))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，1)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2)))
[解析]当0＜x≤eq \f(1,2)时，函数y＝4x的图象如图所示，若不等式4x＜lgax恒成立，则y＝lgax的图象恒在y＝4x的图象的上方(如图中虚线所示)，∵y＝lgax的图象与y＝4x的图象交于eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))点时，a＝eq \f(\r(2),2)，
故虚线所示的y＝lgax的图象对应的底数a应满足eq \f(\r(2),2)＜a＜1，故选C.
4．已知函数f(x)＝ln(3＋x)＋ln(3－x)．
(1)求函数y＝f(x)的定义域；
(2)判断函数y＝f(x)的奇偶性．
[解析](1)要使函数有意义，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3＋x>0，,3－x>0，))解得－3＜x＜3，故函数y＝f(x)的定义域为(－3,3)．
(2)由(1)可知，函数y＝f(x)的定义域为(－3,3)，关于原点对称．
对任意x∈(－3,3)，则－x∈(－3,3)．
∵f(－x)＝ln(3－x)＋ln(3＋x)＝f(x)，∴由函数奇偶性可知，函数y＝f(x)为偶函数．
5．设常数a＞1，实数x，y满足lgax＋2lgxa＋lgxy＝－3，若y的最大值为eq \r(2)，则x的值为________．
[解析]实数x，y满足lgax＋2lgxa＋lgxy＝－3，化为lgax＋eq \f(2,lgax)＋eq \f(lgay,lgax)＝－3.
令lgax＝t，则原式化为lgay＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t＋\f(3,2)))2＋eq \f(1,4).
∵a＞1，∴当t＝－eq \f(3,2)时，y取得最大值eq \r(2)，∴lgaeq \r(2)＝eq \f(1,4)，解得a＝4，∴lg4x＝－eq \f(3,2)，
∴x＝4－eq \f(3,2)＝eq \f(1,8).
6．已知函数f(x)＝lga(1－x)＋lga(x＋3)，其中0(1)求函数f(x)的定义域；
(2)若函数f(x)的最小值为－4，求a的值．
[解析] (1)要使函数有意义，则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－x>0，,x＋3>0，))解得－3(2)函数可化为f(x)＝lga(1－x)(x＋3)＝lga(－x2－2x＋3)＝lga[－(x＋1)2＋4]，
因为－3因为0即f(x)min＝lga4，由lga4＝－4，得a－4＝4，所以a＝4－eq \f(1,4)＝eq \f(\r(2),2).
7．已知函数f(x)＝lgaeq \f(1＋x,1－x)(a>0，且a≠1)．
(1)求f(x)的定义域；
(2)判断函数的奇偶性；
(3)求使f(x)>0的x的取值范围．
[解析](1)由eq \f(1＋x,1－x)>0，得－1(2)∵f(－x)＝lgaeq \f(1－x,1＋x)＝－lgaeq \f(1＋x,1－x)＝－f(x)，
又由(1)知f(x)的定义域关于原点对称，∴f(x)是奇函数．
(3)当a>1时，由lgaeq \f(1＋x,1－x)>0＝lga1，得eq \f(1＋x,1－x)>1.所以0当00＝lga1，得0故当a>1时，x的取值范围是{x|08．已知函数f(x)＝lg (2＋x)＋lg (2－x)．
(1)求函数y＝f(x)的定义域；
(2)判断函数y＝f(x)的奇偶性；
(3)若f(m－2)＜f(m)，求m的取值范围．
[解析](1)要使函数f(x)有意义，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2＋x＞0，,2－x＞0，))解得－2∴函数y＝f(x)的定义域为{x|－2(2)由(1)，可知函数y＝f(x)的定义域为{x|－2∵f(－x)＝lg (2－x)＋lg (2＋x)＝lg (2＋x)＋lg (2－x)＝f(x)，∴函数y＝f(x)为偶函数．
(3)∵函数f(x)＝lg (2＋x)＋lg (2－x)＝lg (4－x2)，
当0≤x<2时，函数y＝f(x)为减函数，当－2∴不等式f(m－2)又eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2＜m－2＜2，,－2＜m＜2，))解得0＜m＜2.
综上所述，m的取值范围是{m|09．已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝lg eq \s\d8(\f(1,2)) (x＋7)．
(1)求f(1)，f(－1)；
(2)求函数f(x)的表达式；
(3)若f(a－1)－f(3－a)＜0，求a的取值范围．
[解析](1)f(1)＝lg eq \s\d8(\f(1,2)) 8＝－3，f(－1)＝－f(1)＝3.
(2)因为f(x)在R上为奇函数，所以f(0)＝0，令x＜0，则－x＞0，
所以f(x)＝－f(－x)＝－lg eq \s\d8(\f(1,2)) (－x＋7)，
(3)当x∈(0，＋∞)时，y＝lg eq \s\d8(\f(1,2)) (x＋7)，令u＝x＋7，则y＝lg eq \s\d8(\f(1,2)) u.由于u＝x＋7是增函数，y＝lg eq \s\d8(\f(1,2)) u是减函数，则y＝lg eq \s\d8(\f(1,2)) (x＋7)在(0，＋∞)上是减函数，又由于f(x)是奇函数且f(0)＝0，所以y＝f(x)是R上的减函数．由f(a－1)3－a，解得a>2.
10．已知a＞0且满足不等式22a＋1＞25a－2.
(1)求实数a的取值范围；
(2)求不等式lga(3x＋1)(3)若函数y＝lga(2x－1)在区间[1,3]上有最小值为－2，求实数a的值．
[解析](1)∵22a＋1＞25a－2，∴2a＋1＞5a－2，即3a＜3，∴a＜1，即0＜a＜1.∴实数a的取值范围是(0,1)．
(2)由(1)得，0＜a＜1，∵lga(3x＋1)∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x＋1>0，,7－5x>0，,3x＋1>7－5x，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>－\f(1,3)，,x<\f(7,5)，,x>\f(3,4)，))解得eq \f(3,4)(3)∵0＜a＜1，∴函数y＝lga(2x－1)在区间[1,3]上为减函数，∴当x＝3时，y有最小值为－2，
即lga5＝－2，∴a－2＝eq \f(1,a2)＝5，解得a＝eq \f(\r(5),5).
11．已知函数f(x)＝lg eq \f(a－x,1＋x).
(1)若f(x)为奇函数，求a的值；
(2)在(1)的条件下，若f(x)在(m，n)上的值域为(－1，＋∞)，求m，n的值．
[解析] (1)∵f(x)为奇函数，∴f(x)＋f(－x)＝0，
即lg eq \f(a－x,1＋x)＋lg eq \f(a＋x,1－x)＝0，∴eq \f(a－xa＋x,1－x2)＝1，解得a＝1(a＝－1舍去)．
(2)由(1)知f(x)＝lg eq \f(1－x,1＋x)，则eq \f(1－x,1＋x)>0，
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－x>0，,1＋x>0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－x<0，,1＋x<0，))解得－1∵x∈(－1,1)时，t＝eq \f(1－x,1＋x)＝－1＋eq \f(2,1＋x)为减函数，而y＝lg t在其定义域内为增函数，
∴f(x)＝lg eq \f(1－x,1＋x)在其定义域内是减函数，则m＝－1，由题意知f(n)＝lg eq \f(1－n,1＋n)＝－1，解得n＝eq \f(9,11)，
即m＝－1，n＝eq \f(9,11).
题型六 反函数的应用
1．写出下列函数的反函数(用x表示自变量，用y表示函数)：
(1)y＝2.5x；(2)y＝lg eq \s\d8(\f(1,6)) x.
[解析](1)函数y＝2.5x的反函数是y＝lg2.5x(x>0)．
(2)由y＝lg eq \s\d8(\f(1,6)) x得x＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,6)))y，所以函数y＝lgeq \f(1,6)x的反函数为y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,6)))x.
eq \a\vs4\al( )
2．函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数的图象过点(eq \r(a)，a)，则a的值为( )
A．2 B．eq \f(1,2)
C．2或eq \f(1,2)D．3
[解析]法一：函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数为y＝lgax(a＞0，且a≠1)，
故y＝lgax的图象过点(eq \r(a)，a)，则a＝lgaeq \r(a)＝eq \f(1,2).
法二：∵函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数的图象过点(eq \r(a)，a)，∴函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象过点(a，eq \r(a))，∴aa＝eq \r(a)＝a，即a＝eq \f(1,2).
3．已知函数f(x)＝ax－k(a>0，且a≠1)的图象过点(1,3)，其反函数的图象过点(2,0)，求函数f(x)的解析式．
[解析] 由于函数f(x)的反函数的图象过点(2,0)，∴f(x)的图象过点(0,2)，∴2＝a0－k，即k＝－1，
∴f(x)＝ax＋1.又f(x)的图象过点(1,3)，∴3＝a＋1，即a＝2，∴f(x)＝2x＋1.
4．若函数y＝f(x)的图象与函数y＝lg (x＋1)的图象关于直线x－y＝0对称，则f(x)＝( )
A．10x－1B．1－10x
C．1－10－xD．10－x－1
[解析]若两函数图象关于直线y＝x对称，则两函数互为反函数，故y＝lg (x＋1)，则x＋1＝10y，
x＝10y－1，即y＝10x－1.故选A．
5．已知函数y＝ex的图象与函数y＝f(x)的图象关于直线y＝x对称，则( )
A．f(2x)＝e2x(x∈R) B．f(2x)＝ln 2·ln x(x＞0)
C．f(2x)＝2ex(x∈R) D．f(2x)＝ln x＋ln 2(x＞0)
[解析]因为函数y＝ex的图象与函数f(x)的图象关于直线y＝x对称，所以f(x)是y＝ex的反函数，
即f(x)＝ln x，故f(2x)＝ln 2x＝ln x＋ln 2(x>0)，故选D．
6．设函数f(x)＝lg2x的反函数为y＝g(x)，且g(a)＝eq \f(1,4)，则a＝________.
[解析]∵函数f(x)＝lg2x的反函数为y＝2x，即g(x)＝2x.又∵g(a)＝eq \f(1,4)，∴2a＝eq \f(1,4)，∴a＝－2.
(1)定义域： (0，＋∞)．
(2)值域： (－∞，＋∞)．
(3)定点： (1,0)．
(4)单调性：a>1时，在(0，＋∞)上是增函数；0
当a>1，x>1时，y∈ (0，＋∞)；0
(6)复合函数的单调性，按照“同增异减”的性质求解．
知识点二 反函数的概念
对数函数y＝lgax(a>0，且a≠1)与指数函数y＝ax互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．对数函数y＝lgax的定义域是指数函数y＝ax的值域，而y＝lgax的值域是y＝ax的定义域．
(1)并非任意一个函数y＝f(x)都有反函数，只有定义域和值域满足“一一对应”的函数才有反函数．
(2)一般来说，单调函数都有反函数，且单调函数的反函数与原函数有相同的单调性．
(3)若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数．
(4)求反函数的步骤：
①求出函数y＝f(x)的值域；
②由y＝f(x)解出x＝f－1(y)；
③把x＝f－1(y)改写成y＝f－1(x)，并写出函数的定义域(即原函数的值域)．
题型一 比较对数值的大小
1．比较下列各组值的大小：
(1)lg5eq \f(3,4)与lg5eq \f(4,3)；(2)lgeq \f(1,3)2与lgeq \f(1,5)2；(3)lg23与lg54.
2．比较下列各组值的大小：
(1)lgeq \f(2,3)0.5，lgeq \f(2,3)0.6；(2)lg1.51.6，lg1.51.4；(3)lg0.57，lg0.67；(4)lg3π，lg20.8.
3．比较下列各组中两个值的大小：
(1)lg31.9，lg32；(2)lg23，lg0.32；(3)lgaπ，lga3.14(a>0，a≠1)．
4．比较下列各组数的大小
(1)lg0.13与lg0.1π；(2)lg45与lg65；(3)3lg45与2lg23；(4)lga(a＋2)与lga(a＋3)(a＞0且a≠1)．
5．比较下列各组中两个值的大小：
(1)ln0.3，ln2；(2)lg30.2，lg40.2；(3)lg3π，lgπ3；(4)lga3.1，lga5.2(a>0，且a≠1)．
6．已知实数a＝lg45，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))0，c＝lg30.4，则a，b，c的大小关系为( )
A．b
A．lg0.44＜lg0.46 B．1.013.4＞1.013.5
C．3.50.3＜3.40.3 D．lg76＜lg67
8．已知a＝2，b＝lg2eq \f(1,3)，c＝lgeq \f(1,3)，则( )
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．c＞a＞b
9．如果lg eq \s\d8(\f(1,2)) x
A．a>c>b B．b>c>a
C．c>b>a D．c>a>b
11．设a＝lg43，b＝lg53，c＝lg45，则( )
A．a>c>bB．b>c>a
C．c>b>aD．c>a>b
12．若a＝20.2，b＝lg4(3.2)，c＝lg2(0.5)，则( )
A．a＞b＞c B．b＞a＞c
C．c＞a＞b D．b＞c＞a
13．已知lgaeq \f(1,3)>lgbeq \f(1,3)>0，则下列关系正确的是( )
A．0
A．a＋b
题型二 求单调区间或根据单调性求参
1．函数f(x)＝ln(2－x)的单调减区间为________．
2．函数f(x)＝lg2(1＋2x)的单调增区间是______．
3．求函数y＝lg eq \s\d8(\f(1,2)) (1－x2)的单调递增区间．
4．求函数y＝lg0.7(x2－3x＋2)的单调区间．
5．求函数y＝lg (x2－2x)的单调递增区间．
6．函数f(x)＝ln(x＋2)＋ln(4－x)的单调递减区间是________．
7．函数f(x)＝|lgeq \f(1,2)x|的单调递增区间是( )
A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2))) B．(0,1]
C．(0，＋∞) D．[1，＋∞)
8．已知函数f(x)＝lga(3－ax)(a>0，且a≠1)．当x∈[0,2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围．
9．已知y＝lga(2－ax)是[0,1]上的减函数，则a的取值范围为( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(0,2) D．[2，＋∞)
10．若y＝lga(ax＋3)(a>0且a≠1)在区间(－1，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是________．
11．是否存在实数a，使函数y＝lga(ax2－x)在区间[2,4]上是增函数？如果存在，求出a的取值范围；如果不存在，请说明理由．
12．设函数f(x)＝lgaeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(a,x)))，其中0＜a＜1.
(1)证明：f(x)是(a，＋∞)上的减函数；
(2)若f(x)＞1，求x的取值范围．
题型三 求解对数不等式
1．不等式lg2(2x＋3)>lg2(5x－6)的解集为( )
A．(－∞，3) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，3))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，\f(6,5))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(6,5)，3))
2．若lg(2x－4)≤1，则x的取值范围是( )
A．(－∞，7] B．(2,7]
C．[7，＋∞) D．(2，＋∞)
3．若lgaeq \f(2,3)<1，则a的取值范围是________．
4．已知lga(3a－1)恒为正，求a的取值范围．
5．函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lg2x，x>0，,lg eq \s\d8(\f(1,2)) －x，x<0，))若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范围是( )
A．(－1,0)∪(0,1)B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－1,0)∪(1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(0,1)
6．已知定义域为R的偶函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，且feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝0，则不等式f(lg4x)<0的解集是___．
7．(1)已知lgaeq \f(1,2)>1，求a的取值范围；
(2)已知lg0.7(2x)
9．已知函数f(x)＝lga(x－1)，g(x)＝lga(6－2x)(a＞0，且a≠1)．
(1)求函数φ(x)＝f(x)＋g(x)的定义域；
(2)试确定不等式f(x)≤g(x)中x的取值范围．
10．函数f(x)＝eq \f(2,x)－lg3eq \f(1＋x,1－x)，x∈(0,1)，求不等式f(x2)>feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))的解集．
题型四 与对数函数有关的值域问题
1．下列函数中，值域是[0，＋∞)的是( )
A．f(x)＝lg2(x－1)B．f(x)＝eq \r(lg2x－1)
C．f(x)＝lg2(x2＋2)D．f(x)＝lg2eq \r(x－1)
2．若函数f(x)＝ax＋lga(x＋1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a，则a的值为( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,2) C．2 D．4
3．函数f(x)＝lgeq \f(1,2)(x2＋2x＋3)的值域是________．
4．函数y＝lg0.4(－x2＋3x＋4)的值域是________．
5．求函数y＝lgeq \f(1,3)(－x2＋4x－3)的值域．
6．求下列函数的值域：(1)y＝lg2(x2＋4)；(2)y＝lg eq \s\d8(\f(1,2)) (3＋2x－x2)．
7．求下列函数的值域：
(1)y＝lg2(|x|＋4)；(2)f(x)＝lg2(－x2－4x＋12)．
8．求函数y＝(lg2x)2－4lg2x＋5(1≤x≤2)的最值．
9．求函数y＝lg2(2x)·lg2xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)≤x≤2))的最大值和最小值．
10．函数f(x)＝lg2eq \r(x)·lgeq \r(2)(2x)的最小值为________．
11．已知2x≤256且lg2x≥eq \f(1,2)，求函数f(x)＝lg2eq \f(x,2)×lg eq \s\d8(eq \r(2)) eq \f(\r(x),2)的最大值和最小值．
12．求函数f(x)＝lg2(4x)·lg4eq \f(2,x)，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，4))的值域．
13．函数f(x)＝|lg3x|在区间[a，b]上的值域为[0,1]，则b－a的最小值为________．
14．若函数y＝lg2(x2－2)(a≤x≤b)的值域是[1，lg214]，则a，b的值分别为( )
A．eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－4，,b＝－2))B．eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝4))
C．eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－4，,b＝2))D．eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－4，,b＝－2))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝4))
15．已知函数y＝(lg2x－2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg4x－\f(1,2)))，2≤x≤8.
(1)令t＝lg2x，求y关于t的函数关系式，并写出t的范围；
(2)求该函数的值域．
16．已知函数f(3x－2)＝x－1，x∈[0,2]，将函数y＝f(x)的图象向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度可得函数y＝g(x)的图象．
(1)求函数y＝f(x)与y＝g(x)的解析式；
(2)设h(x)＝[g(x)]2＋g(x2)，试求函数y＝h(x)的最值．
17．已知函数f(x)＝lg (ax2＋2x＋1)．
(1)若f(x)的值域为R，求实数a的取值范围；
(2)若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围．
18．已知函数f(x)＝lg2eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(ax2＋a－1x＋\f(1,4))).
(1)若定义域为R，求实数a的取值范围；
(2)若值域为R，求实数a的取值范围．
题型五 对数函数性质的综合应用
1．函数f(x)＝lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,\r(x2＋1)＋x)))是( )
A．奇函数 B．偶函数 C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数
2．设函数f(x)＝ln (1＋x)－ln (1－x)，则f(x)是( )
A．奇函数，且在(0,1)上是增函数 B．奇函数，且在(0,1)上是减函数
C．偶函数，且在(0,1)上是增函数 D．偶函数，且在(0,1)上是减函数
3．当0＜x≤eq \f(1,2)时，4x＜lgax，则a的取值范围是( )
A．(eq \r(2)，2) B．(1，eq \r(2))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，1)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2)))
4．已知函数f(x)＝ln(3＋x)＋ln(3－x)．
(1)求函数y＝f(x)的定义域；
(2)判断函数y＝f(x)的奇偶性．
5．设常数a＞1，实数x，y满足lgax＋2lgxa＋lgxy＝－3，若y的最大值为eq \r(2)，则x的值为________．
6．已知函数f(x)＝lga(1－x)＋lga(x＋3)，其中0
(2)若函数f(x)的最小值为－4，求a的值．
7．已知函数f(x)＝lgaeq \f(1＋x,1－x)(a>0，且a≠1)．
(1)求f(x)的定义域；
(2)判断函数的奇偶性；
(3)求使f(x)>0的x的取值范围．
8．已知函数f(x)＝lg (2＋x)＋lg (2－x)．
(1)求函数y＝f(x)的定义域；
(2)判断函数y＝f(x)的奇偶性；
(3)若f(m－2)＜f(m)，求m的取值范围．
9．已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝lg eq \s\d8(\f(1,2)) (x＋7)．
(1)求f(1)，f(－1)；
(2)求函数f(x)的表达式；
(3)若f(a－1)－f(3－a)＜0，求a的取值范围．
10．已知a＞0且满足不等式22a＋1＞25a－2.
(1)求实数a的取值范围；
(2)求不等式lga(3x＋1)
11．已知函数f(x)＝lg eq \f(a－x,1＋x).
(1)若f(x)为奇函数，求a的值；
(2)在(1)的条件下，若f(x)在(m，n)上的值域为(－1，＋∞)，求m，n的值．
题型六 反函数的应用
1．写出下列函数的反函数(用x表示自变量，用y表示函数)：
(1)y＝2.5x；(2)y＝lg eq \s\d8(\f(1,6)) x.
2．函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数的图象过点(eq \r(a)，a)，则a的值为( )
A．2 B．eq \f(1,2)
C．2或eq \f(1,2)D．3
3．已知函数f(x)＝ax－k(a>0，且a≠1)的图象过点(1,3)，其反函数的图象过点(2,0)，求函数f(x)的解析式．
4．若函数y＝f(x)的图象与函数y＝lg (x＋1)的图象关于直线x－y＝0对称，则f(x)＝( )
A．10x－1B．1－10x
C．1－10－xD．10－x－1
5．已知函数y＝ex的图象与函数y＝f(x)的图象关于直线y＝x对称，则( )
A．f(2x)＝e2x(x∈R) B．f(2x)＝ln 2·ln x(x＞0)
C．f(2x)＝2ex(x∈R) D．f(2x)＝ln x＋ln 2(x＞0)
6．设函数f(x)＝lg2x的反函数为y＝g(x)，且g(a)＝eq \f(1,4)，则a＝________.
专题37 对数函数的性质及其应用
知识点一 对数函数y＝lgax(a＞0，且a≠1)的性质
(1)定义域： (0，＋∞)．
(2)值域： (－∞，＋∞)．
(3)定点： (1,0)．
(4)单调性：a>1时，在(0，＋∞)上是增函数；0
当a>1，x>1时，y∈ (0，＋∞)；0
(6)复合函数的单调性，按照“同增异减”的性质求解．
知识点二 反函数的概念
对数函数y＝lgax(a>0，且a≠1)与指数函数y＝ax互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．对数函数y＝lgax的定义域是指数函数y＝ax的值域，而y＝lgax的值域是y＝ax的定义域．
(1)并非任意一个函数y＝f(x)都有反函数，只有定义域和值域满足“一一对应”的函数才有反函数．
(2)一般来说，单调函数都有反函数，且单调函数的反函数与原函数有相同的单调性．
(3)若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数．
(4)求反函数的步骤：
①求出函数y＝f(x)的值域；
②由y＝f(x)解出x＝f－1(y)；
③把x＝f－1(y)改写成y＝f－1(x)，并写出函数的定义域(即原函数的值域)．
题型一 比较对数值的大小
1．比较下列各组值的大小：
(1)lg5eq \f(3,4)与lg5eq \f(4,3)；(2)lgeq \f(1,3)2与lgeq \f(1,5)2；(3)lg23与lg54.
[解析](1)法一(单调性法)：对数函数y＝lg5x在(0，＋∞)上是增函数，而eq \f(3,4)
又因对数函数y＝lg2x在(0，＋∞)上是增函数，且eq \f(1,3)>eq \f(1,5)，所以0>lg2eq \f(1,3)>lg2eq \f(1,5)，
所以eq \f(1,lg2\f(1,3))
由图易知：lgeq \f(1,3)2
2．比较下列各组值的大小：
(1)lgeq \f(2,3)0.5，lgeq \f(2,3)0.6；(2)lg1.51.6，lg1.51.4；(3)lg0.57，lg0.67；(4)lg3π，lg20.8.
[解析](1)因为函数y＝lgeq \f(2,3)x是减函数，且0.5<0.6，所以lgeq \f(2,3)0.5>lgeq \f(2,3)0.6.
(2)因为函数y＝lg1.5x是增函数，且1.6>1.4，所以lg1.51.6>
(3)因为0>lg70.6>lg70.5，所以eq \f(1,lg70.6)
3．比较下列各组中两个值的大小：
(1)lg31.9，lg32；(2)lg23，lg0.32；(3)lgaπ，lga3.14(a>0，a≠1)．
[解析](1)因为y＝lg3x在(0，＋∞)上是增函数，所以lg31.9
(3)当a>1时，函数y＝lgax在(0，＋∞)上是增函数，则有lgaπ>lga3.14；
当0
(1)lg0.13与lg0.1π；(2)lg45与lg65；(3)3lg45与2lg23；(4)lga(a＋2)与lga(a＋3)(a＞0且a≠1)．
[解析] (1)∵函数y＝lg0.1x是减函数，π>3，∴lg0.13>lg0.1π.
(2)法一：∵函数y＝lg4x和y＝lg6x都是增函数，∴lg45>lg44＝1，lg65
法二：画出y＝lg4x和y＝lg6x在同一坐标系中的图象如图所示，
由图可知lg45＞lg65.
(3)∵3lg45＝lg453＝lg4125＝eq \f(lg2125,lg24)＝eq \f(1,2)lg2125＝lg2eq \r(125)，2lg23＝lg232＝lg29，
又∵函数y＝lg2x是增函数，eq \r(125)>9，∴lg2eq \r(125)>lg29，即3lg45>2lg23.
(4)∵a＋2＜a＋3，
故①当a＞1时，lga(a＋2)＜lga(a＋3)；②当0＜a＜1时，lga(a＋2)＞lga(a＋3)．
5．比较下列各组中两个值的大小：
(1)ln0.3，ln2；(2)lg30.2，lg40.2；(3)lg3π，lgπ3；(4)lga3.1，lga5.2(a>0，且a≠1)．
[解析] (1)因为函数y＝lnx是增函数，且0.3<2，所以ln0.3
(3)因为函数y＝lg3x是增函数，且π>3，所以lg3π>lg33＝1.
因为函数y＝lgπx是增函数，且π>3，所以lgπ3
(4)当a>1时，函数y＝lgax在(0，＋∞)上是增函数，又3.1<5.2，所以lga3.1
6．已知实数a＝lg45，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))0，c＝lg30.4，则a，b，c的大小关系为( )
A．b
A．lg0.44＜lg0.46 B．1.013.4＞1.013.5
C．3.50.3＜3.40.3 D．lg76＜lg67
[解析]选D，因为y＝lg0.4x为减函数，故lg0.44＞lg0.46，故A错；因为y＝1.01x为增函数，
所以1.013.4＜1.013.5，故B错；由幂函数的性质知，3.50.3＞3.40.3，故C错．
8．已知a＝2，b＝lg2eq \f(1,3)，c＝lgeq \f(1,3)，则( )
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．c＞a＞b
[解析]∵0＜a＝2＜20＝1，b＝lg2eq \f(1,3)＜lg21＝0，c＝lgeq \f(1,3)＞lgeq \f(1,2)＝1，∴c＞a＞b.故选D.
9．如果lg eq \s\d8(\f(1,2)) x
A．a>c>b B．b>c>a
C．c>b>a D．c>a>b
[解析]a＝lg32
A．a>c>bB．b>c>a
C．c>b>aD．c>a>b
[解析]a＝lg43
A．a＞b＞c B．b＞a＞c
C．c＞a＞b D．b＞c＞a
[解析]∵a＝20.2＞1＞b＝lg4(3.2)＞0＞c＝lg2(0.5)，∴a＞b＞c.故选A.
13．已知lgaeq \f(1,3)>lgbeq \f(1,3)>0，则下列关系正确的是( )
A．0
结合图象易知a>b，∴0
A．a＋b
∴0
[解析]先作出函数y＝lg x的图象，再将图象位于x轴下方的部分折到x轴上方，
于是得f(x)＝|lg x|图象(如图)，由图象可知，f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)
上单调递增．由eq \f(1,c)＞a＞b＞1得：feq \f(1,c)＞f(a)＞f(b)，而feq \f(1,c)＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(lg\f(1,c)))＝|－lg c|＝|lg c|＝f(c)．
∴f(c)＞f(a)＞f(b)．
题型二 求单调区间或根据单调性求参
1．函数f(x)＝ln(2－x)的单调减区间为________．
[解析]由2－x＞0，得x＜2.又函数y＝2－x，x∈(－∞，2)为减函数，
∴函数f(x)＝ln(2－x)的单调减区间为(－∞，2)．
2．函数f(x)＝lg2(1＋2x)的单调增区间是______．
[解析]易知函数f(x)的定义域为－eq \f(1,2)，＋∞，又因为函数y＝lg2x和y＝1＋2x都是增函数，
所以f(x)的单调增区间是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，＋∞)).
3．求函数y＝lg eq \s\d8(\f(1,2)) (1－x2)的单调递增区间．
[解析]要使函数有意义，则有1－x2>0⇔x2<1⇔－1
即在(－1,0)上，y随x的增大而减小，为减函数；
在[0,1)上，x增大，t减小，y＝lg eq \s\d8(\f(1,2)) t增大，即在[0,1)上，y随x的增大而增大，为增函数．
∴y＝lg eq \s\d8(\f(1,2)) (1－x2)的单调递增区间为[0,1)．
4．求函数y＝lg0.7(x2－3x＋2)的单调区间．
[解析]因为x2－3x＋2>0，所以x<1或x>2.所以函数的定义域为(－∞，1)∪(2，＋∞)，令t＝x2－3x＋2，
则y＝lg0.7t，显然y＝lg0.7t在(0，＋∞)上是单调递减的，而t＝x2－3x＋2在(－∞，1)，(2，＋∞)上分
别是单调递减和单调递增的，所以函数y＝lg0.7(x2－3x＋2)的单调递增区间为(－∞，1)，
单调递减区间为(2，＋∞)．
5．求函数y＝lg (x2－2x)的单调递增区间．
[解析]由已知，得x2－2x>0，解得x>2或x<0.因为y＝x2－2x在[1，＋∞)上是增函数，在(－∞，1]上是减函数，而y＝lg x在(0，＋∞)上是增函数，所以y＝lg (x2－2x)的单调递增区间为(2，＋∞).
6．函数f(x)＝ln(x＋2)＋ln(4－x)的单调递减区间是________．
[解析]由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋2＞0，,4－x＞0))得－2＜x＜4，因此函数f(x)的定义域为(－2,4)．
f(x)＝ln(x＋2)＋ln(4－x)＝ln(－x2＋2x＋8)＝ln[－(x－1)2＋9]，
设u＝－(x－1)2＋9，又y＝ln u是增函数，
u＝－(x－1)2＋9在(1,4)上是减函数，因此f(x)的单调递减区间为(1,4)．
7．函数f(x)＝|lgeq \f(1,2)x|的单调递增区间是( )
A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2))) B．(0,1]
C．(0，＋∞) D．[1，＋∞)
[解析]f(x)的图象如图所示，由图象可知单调递增区间为[1，＋∞)．
]
8．已知函数f(x)＝lga(3－ax)(a>0，且a≠1)．当x∈[0,2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围．
[解析]∵a>0且a≠1，设t(x)＝3－ax，则t(x)＝3－ax为减函数，当x∈[0,2]时，t(x)的最小值为3－2a.
∵当x∈[0,2]时，f(x)恒有意义，即x∈[0,2]时，3－ax>0恒成立．∴3－2a>0，∴a
A．(0,1) B．(1,2)
C．(0,2) D．[2，＋∞)
[解析]∵f(x)＝lga(2－ax)在[0,1]上是减函数，且y＝2－ax在[0,1]上是减函数，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f0＞f1，,a>1，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lga2＞lga2－a，,a>1，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>1，,2－a>0，))∴1＜a＜2.
10．若y＝lga(ax＋3)(a>0且a≠1)在区间(－1，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是________．
[解析]因为y＝lga(ax＋3)(a>0且a≠1)在区间(－1，＋∞)上是增函数，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－a＋3≥0，,a>1，,a>0且a≠1，))解得1
[解析]存在．设u＝g(x)＝ax2－x，则y＝lgau.假设符合条件的a值存在．
(1)当a＞1时，只需g(x)在[2,4]上为增函数，故应满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,2a)≤2，,g2＝4a－2＞0.))解得a＞eq \f(1,2).∴a＞1.
(2)当0＜a＜1时，只需g(x)在[2,4]上为减函数，故应满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,2a)≥4，,g4＝16a－4＞0.))无解．
综上所述，当a＞1时，函数y＝lga(ax2－x)在[2,4]上是增函数．
12．设函数f(x)＝lgaeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(a,x)))，其中0＜a＜1.
(1)证明：f(x)是(a，＋∞)上的减函数；
(2)若f(x)＞1，求x的取值范围．
[解析] (1)证明：任取x1，x2∈(a，＋∞)，不妨令0＜a＜x1＜x2，g(x)＝1－eq \f(a,x)，
则g(x1)－g(x2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(a,x1)))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(a,x2)))＝eq \f(ax1－x2,x1x2)，
∵0＜a＜x1＜x2，∴x1－x2＜0，x1x2＞0，∴g(x1)－g(x2)＜0，
∴g(x1)＜g(x2)，∴g(x)为增函数，又∵0＜a＜1，∴f(x)是(a，＋∞)上的减函数．
(2)∵lgaeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(a,x)))＞1，∴0＜1－eq \f(a,x)＜a，∴1－a＜eq \f(a,x)＜1.又∵0＜a＜1，∴1－a＞0，
∴a＜x＜eq \f(a,1－a)，∴x的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a，\f(a,1－a))).
题型三 求解对数不等式
1．不等式lg2(2x＋3)>lg2(5x－6)的解集为( )
A．(－∞，3) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，3))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，\f(6,5))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(6,5)，3))
[解析]由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋3>0，,5x－6>0，,2x＋3>5x－6，))得eq \f(6,5)
A．(－∞，7] B．(2,7]
C．[7，＋∞) D．(2，＋∞)
[解析]由lg(2x－4)≤1，得0<2x－4≤10，即2
[解析] 原不等式等价于eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0
故a的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(2,3)))∪(1，＋∞)．
4．已知lga(3a－1)恒为正，求a的取值范围．
[解析]由题意知lga(3a－1)>0＝lga1.
当a>1时，y＝lgax是增函数，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3a－1>1，,3a－1>0，))解得a>eq \f(2,3)，∴a>1；
当0
5．函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lg2x，x>0，,lg eq \s\d8(\f(1,2)) －x，x<0，))若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范围是( )
A．(－1,0)∪(0,1)B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－1,0)∪(1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(0,1)
[解析]若a>0，由f(a)>f(－a)，得lg2a>lg eq \s\d8(\f(1,2)) a＝－lg2a，即lg2a>0，则a>1；若a<0，则由f(a)>f(－a)，
得lg eq \s\d8(\f(1,2)) (－a)>lg2(－a)，即－lg2(－a)>lg2(－a)，则lg2(－a)<0，得0<－a<1，即－1
6．已知定义域为R的偶函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，且feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝0，则不等式f(lg4x)<0的解集是___．
[解析]由题意可知，f(lg4x)<0⇔－eq \f(1,2)
(2)已知lg0.7(2x)
①当a>1时，有a
(2)因为函数y＝lg0.7x在(0，＋∞)上为减函数，
所以由lg0.7(2x)
8．已知2lga(x－4)>lga(x－2)，求x的取值范围．
[解析]由题意，得x>4，原不等式可变为lga(x－4)2>lga(x－2)．
当a>1时，y＝lgax为定义域内的增函数，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－42>x－2，,x－4>0，,x－2>0，))解得x>6.
当0
(1)求函数φ(x)＝f(x)＋g(x)的定义域；
(2)试确定不等式f(x)≤g(x)中x的取值范围．
[解析] (1)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－1>0，,6－2x>0，))解得1＜x＜3，∴函数φ(x)的定义域为{x|1＜x＜3}．
(2)不等式f(x)≤g(x)，即为lga(x－1)≤lga(6－2x)，
①当a＞1时，不等式等价于eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1
10．函数f(x)＝eq \f(2,x)－lg3eq \f(1＋x,1－x)，x∈(0,1)，求不等式f(x2)>feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))的解集．
[解析]∵y＝eq \f(2,x)在(0,1)上为减函数，y＝－lg3eq \f(1＋x,1－x)＝lg3eq \f(1－x,1＋x)＝lg3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1＋\f(2,x＋1)))在(0,1)上也为减函数，
∴f(x)＝eq \f(2,x)－lg3eq \f(1＋x,1－x)在(0,1)上单调递减．∴x2
1．下列函数中，值域是[0，＋∞)的是( )
A．f(x)＝lg2(x－1)B．f(x)＝eq \r(lg2x－1)
C．f(x)＝lg2(x2＋2)D．f(x)＝lg2eq \r(x－1)
[解析]A、D中因为真数大于0，故值域为R，C中因为x2＋2≥2，故f(x)≥1.
只有B中lg2(x－1)≥0，f(x)的值域为[0，＋∞)．[答案] B
2．若函数f(x)＝ax＋lga(x＋1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a，则a的值为( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,2) C．2 D．4
[解析]当a>1时，a＋lga2＋1＝a，lga2＝－1，a＝eq \f(1,2)(舍去)．
当0
[解析]f(x)＝lgeq \f(1,2)(x2＋2x＋3)＝lgeq \f(1,2)[(x＋1)2＋2]，因为(x＋1)2＋2≥2，
所以lgeq \f(1,2)[(x＋1)2＋2]≤lgeq \f(1,2)2＝－1，所以函数f(x)的值域是(－∞，－1]．
4．函数y＝lg0.4(－x2＋3x＋4)的值域是________．
[解析]－x2＋3x＋4＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)))2＋eq \f(25,4)≤eq \f(25,4)，∴有0<－x2＋3x＋4≤eq \f(25,4)，
∴根据对数函数y＝lg0.4x的图象(图略)即可得到：lg0.4(－x2＋3x＋4)≥lg0.4eq \f(25,4)＝－2，
∴原函数的值域为[－2，＋∞)．
5．求函数y＝lgeq \f(1,3)(－x2＋4x－3)的值域．
[解析]由－x2＋4x－3>0，解得1
[解析] (1)y＝lg2(x2＋4)的定义域是R.因为x2＋4≥4，所以lg2(x2＋4)≥lg24＝2.
所以y＝lg2(x2＋4)的值域为[2，＋∞)．
(2)设u＝3＋2x－x2＝－(x－1)2＋4≤4.因为u>0，所以0
所以y＝lg eq \s\d8(\f(1,2)) (3＋2x－x2)的值域为[－2，＋∞)．
7．求下列函数的值域：
(1)y＝lg2(|x|＋4)；(2)f(x)＝lg2(－x2－4x＋12)．
[解析] (1)因为|x|＋4≥4，所以lg2(|x|＋4)≥lg24＝2，所以函数的值域为[2，＋∞)．
(2)因为－x2－4x＋12＝－(x＋2)2＋16≤16，所以0<－x2－4x＋12≤16，故lg2(－x2－4x＋12)≤lg216＝4，函数的值域为(－∞，4]．
8．求函数y＝(lg2x)2－4lg2x＋5(1≤x≤2)的最值．
[解析]令t＝lg2x，则0≤t≤1且y＝t2－4t＋5，由二次函数的图象可知，函数y＝t2－4t＋5在[0,1]上为减函数，∴2≤y≤5.故ymax＝5，ymin＝2.
9．求函数y＝lg2(2x)·lg2xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)≤x≤2))的最大值和最小值．
[解析]y＝lg2(2x)·lg2x＝(1＋lg2x)·lg2x＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg2x＋\f(1,2)))2－eq \f(1,4).
∵eq \f(1,2)≤x≤2，即－1≤lg2x≤1，∴当lg2x＝－eq \f(1,2)时，ymin＝－eq \f(1,4)；当lg2x＝1时，ymax＝2.
10．函数f(x)＝lg2eq \r(x)·lgeq \r(2)(2x)的最小值为________．
[解析]f(x)＝lg2eq \r(x)·lgeq \r(2)(2x)＝eq \f(1,2)lg2x·2lg2(2x)＝lg2x(1＋lg2x)．设t＝lg2x(t∈R)，
则原函数可以化为y＝t(t＋1)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t＋\f(1,2)))2－eq \f(1,4)(t∈R)，故该函数的最小值为－eq \f(1,4).故f(x)的最小值为－eq \f(1,4).
11．已知2x≤256且lg2x≥eq \f(1,2)，求函数f(x)＝lg2eq \f(x,2)×lg eq \s\d8(eq \r(2)) eq \f(\r(x),2)的最大值和最小值．
[解析]由2x≤256，得x≤8，所以lg2x≤3，即eq \f(1,2)≤lg2x≤3.
f(x)＝(lg2x－1)×(lg2x－2)＝(lg2x)2－3lg2x＋2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg2x－\f(3,2)))2－eq \f(1,4).
当lg2x＝eq \f(3,2)，即x＝2eq \r(2)时，f(x)min＝－eq \f(1,4)，
当lg2x＝3，即x＝23＝8时，f(x)max＝2.
12．求函数f(x)＝lg2(4x)·lg4eq \f(2,x)，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，4))的值域．
[解析]f(x)＝lg2(4x)·lg4eq \f(2,x)＝(lg2x＋2)·eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)1－lg2x))＝－eq \f(1,2)[(lg2x)2＋lg2x－2]．
设lg2x＝t.∵x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，4))，∴t∈[－1,2]，则有y＝－eq \f(1,2)(t2＋t－2)，t∈[－1,2]，
因此二次函数图象的对称轴为t＝－eq \f(1,2)，∴它在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－1，－\f(1,2)))上是增函数，在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，2))上是减函数，
∴当t＝－eq \f(1,2)时，有最大值，且ymax＝eq \f(9,8).当t＝2时，有最小值，且ymin＝－2.
∴f(x)的值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－2，\f(9,8))).
13．函数f(x)＝|lg3x|在区间[a，b]上的值域为[0,1]，则b－a的最小值为________．
[解析]根据图象可知，|lg3x|＝0，则x＝1，|lg3x|＝1，则x＝eq \f(1,3)或3.由图可知(b－a)min＝1－eq \f(1,3)＝eq \f(2,3).
14．若函数y＝lg2(x2－2)(a≤x≤b)的值域是[1，lg214]，则a，b的值分别为( )
A．eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－4，,b＝－2))B．eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝4))
C．eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－4，,b＝2))D．eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－4，,b＝－2))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝4))
[解析]由1≤lg2(x2－2)≤lg214得2≤x2－2≤14，得4≤x2≤16，得－4≤x≤－2或2≤x≤4.
由x2－2>0得x<－eq \r(2)或x>eq \r(2)，故b<－eq \r(2)或a>eq \r(2).当a>eq \r(2)时，由函数y＝lg2(x2－2)(a≤x≤b)单调递增得2≤x≤4，故a＝2，b＝4；当b<－eq \r(2)时，由函数y＝lg2(x2－2)(a≤x≤b)单调递减得－4≤x≤－2，
故a＝－4，b＝－2.
15．已知函数y＝(lg2x－2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg4x－\f(1,2)))，2≤x≤8.
(1)令t＝lg2x，求y关于t的函数关系式，并写出t的范围；
(2)求该函数的值域．
[解析] (1)y＝eq \f(1,2)(t－2)(t－1)＝eq \f(1,2)t2－eq \f(3,2)t＋1，又2≤x≤8，∴1＝lg22≤lg2x≤lg28＝3，即1≤t≤3.
(2)由(1)得y＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(3,2)))2－eq \f(1,8)，1≤t≤3，
当t＝eq \f(3,2)时，ymin＝－eq \f(1,8)；当t＝3时，ymax＝1，∴－eq \f(1,8)≤y≤1，即函数的值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,8)，1)).
16．已知函数f(3x－2)＝x－1，x∈[0,2]，将函数y＝f(x)的图象向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度可得函数y＝g(x)的图象．
(1)求函数y＝f(x)与y＝g(x)的解析式；
(2)设h(x)＝[g(x)]2＋g(x2)，试求函数y＝h(x)的最值．
[解析] (1)设t＝3x－2，t∈[－1,7]，则x＝lg3(t＋2)，于是有f(t)＝lg3(t＋2)－1，t∈[－1,7]．
∴f(x)＝lg3(x＋2)－1，x∈[－1,7]，
根据题意得g(x)＝f(x－2)＋3＝lg3x＋2，x∈[1,9]．
∴函数y＝f(x)的解析式为f(x)＝lg3(x＋2)－1，x∈[－1,7]，
函数y＝g(x)的解析式为g(x)＝lg3x＋2，x∈[1,9]．
(2)∵g(x)＝lg3x＋2，x∈[1,9]，
∴h(x)＝[g(x)]2＋g(x2)＝(lg3x＋2)2＋2＋lg3x2＝(lg3x)2＋6lg3x＋6＝(lg3x＋3)2－3，
∵函数g(x)的定义域为[1,9]，∴要使函数h(x)＝[g(x)]2＋g(x2)有意义，
必须有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1≤x2≤9，,1≤x≤9，))即1≤x≤3.∴0≤lg3x≤1，∴6≤(lg3x＋3)2－3≤13.
∴函数y＝h(x)的最大值为13，最小值为6.
17．已知函数f(x)＝lg (ax2＋2x＋1)．
(1)若f(x)的值域为R，求实数a的取值范围；
(2)若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围．
[解析] (1)∵f(x)的值域为R，∴要求u＝ax2＋2x＋1的值域包含(0，＋∞)．
当a<0时，显然不可能；
当a＝0时，u＝2x＋1∈R成立；
当a>0时，若u＝ax2＋2x＋1的值域包含(0，＋∞)，
则Δ＝4－4a≥0，解得0
(2)由已知，u＝ax2＋2x＋1的值恒为正，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>0，,Δ＝4－4a<0，))解得a的取值范围是a>1.
18．已知函数f(x)＝lg2eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(ax2＋a－1x＋\f(1,4))).
(1)若定义域为R，求实数a的取值范围；
(2)若值域为R，求实数a的取值范围．
[解析]1)要使f(x)的定义域为R，则对任意实数x都有t＝ax2＋(a－1)x＋eq \f(1,4)>0恒成立．
当a＝0时，不合题意；当a≠0时，由二次函数图象可知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>0，,Δ＝a－12－a<0.))
解得eq \f(3－\r(5),2)
当a≠0时，由二次函数图象可知，其二次函数图象必须与x轴相交且开口向上，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>0，,Δ＝a－12－a≥0，))即0
题型五 对数函数性质的综合应用
1．函数f(x)＝lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,\r(x2＋1)＋x)))是( )
A．奇函数 B．偶函数 C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数
[解析]f(x)定义域为R，f(－x)＋f(x)＝lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,\r(x2＋1)－x)))＋lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,\r(x2＋1)＋x)))＝lgeq \f(1,x2＋1－x2)＝lg 1＝0，
∴f(x)为奇函数，故选A.
2．设函数f(x)＝ln (1＋x)－ln (1－x)，则f(x)是( )
A．奇函数，且在(0,1)上是增函数 B．奇函数，且在(0,1)上是减函数
C．偶函数，且在(0,1)上是增函数 D．偶函数，且在(0,1)上是减函数
[解析]由题意可得，函数f(x)的定义域为(－1,1)，且f(－x)＝ln (1－x)－ln (1＋x)＝－f(x)，
故f(x)为奇函数．又f(x)＝ln eq \f(1＋x,1－x)＝ln eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,1－x)－1))，易知y＝eq \f(2,1－x)－1在(0,1)上为增函数，
故f(x)在(0,1)上为增函数．故选A．
3．当0＜x≤eq \f(1,2)时，4x＜lgax，则a的取值范围是( )
A．(eq \r(2)，2) B．(1，eq \r(2))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，1)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2)))
[解析]当0＜x≤eq \f(1,2)时，函数y＝4x的图象如图所示，若不等式4x＜lgax恒成立，则y＝lgax的图象恒在y＝4x的图象的上方(如图中虚线所示)，∵y＝lgax的图象与y＝4x的图象交于eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))点时，a＝eq \f(\r(2),2)，
故虚线所示的y＝lgax的图象对应的底数a应满足eq \f(\r(2),2)＜a＜1，故选C.
4．已知函数f(x)＝ln(3＋x)＋ln(3－x)．
(1)求函数y＝f(x)的定义域；
(2)判断函数y＝f(x)的奇偶性．
[解析](1)要使函数有意义，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3＋x>0，,3－x>0，))解得－3＜x＜3，故函数y＝f(x)的定义域为(－3,3)．
(2)由(1)可知，函数y＝f(x)的定义域为(－3,3)，关于原点对称．
对任意x∈(－3,3)，则－x∈(－3,3)．
∵f(－x)＝ln(3－x)＋ln(3＋x)＝f(x)，∴由函数奇偶性可知，函数y＝f(x)为偶函数．
5．设常数a＞1，实数x，y满足lgax＋2lgxa＋lgxy＝－3，若y的最大值为eq \r(2)，则x的值为________．
[解析]实数x，y满足lgax＋2lgxa＋lgxy＝－3，化为lgax＋eq \f(2,lgax)＋eq \f(lgay,lgax)＝－3.
令lgax＝t，则原式化为lgay＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t＋\f(3,2)))2＋eq \f(1,4).
∵a＞1，∴当t＝－eq \f(3,2)时，y取得最大值eq \r(2)，∴lgaeq \r(2)＝eq \f(1,4)，解得a＝4，∴lg4x＝－eq \f(3,2)，
∴x＝4－eq \f(3,2)＝eq \f(1,8).
6．已知函数f(x)＝lga(1－x)＋lga(x＋3)，其中0
(2)若函数f(x)的最小值为－4，求a的值．
[解析] (1)要使函数有意义，则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－x>0，,x＋3>0，))解得－3
因为－3
7．已知函数f(x)＝lgaeq \f(1＋x,1－x)(a>0，且a≠1)．
(1)求f(x)的定义域；
(2)判断函数的奇偶性；
(3)求使f(x)>0的x的取值范围．
[解析](1)由eq \f(1＋x,1－x)>0，得－1
又由(1)知f(x)的定义域关于原点对称，∴f(x)是奇函数．
(3)当a>1时，由lgaeq \f(1＋x,1－x)>0＝lga1，得eq \f(1＋x,1－x)>1.所以0
(1)求函数y＝f(x)的定义域；
(2)判断函数y＝f(x)的奇偶性；
(3)若f(m－2)＜f(m)，求m的取值范围．
[解析](1)要使函数f(x)有意义，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2＋x＞0，,2－x＞0，))解得－2
(3)∵函数f(x)＝lg (2＋x)＋lg (2－x)＝lg (4－x2)，
当0≤x<2时，函数y＝f(x)为减函数，当－2
综上所述，m的取值范围是{m|0
(1)求f(1)，f(－1)；
(2)求函数f(x)的表达式；
(3)若f(a－1)－f(3－a)＜0，求a的取值范围．
[解析](1)f(1)＝lg eq \s\d8(\f(1,2)) 8＝－3，f(－1)＝－f(1)＝3.
(2)因为f(x)在R上为奇函数，所以f(0)＝0，令x＜0，则－x＞0，
所以f(x)＝－f(－x)＝－lg eq \s\d8(\f(1,2)) (－x＋7)，
(3)当x∈(0，＋∞)时，y＝lg eq \s\d8(\f(1,2)) (x＋7)，令u＝x＋7，则y＝lg eq \s\d8(\f(1,2)) u.由于u＝x＋7是增函数，y＝lg eq \s\d8(\f(1,2)) u是减函数，则y＝lg eq \s\d8(\f(1,2)) (x＋7)在(0，＋∞)上是减函数，又由于f(x)是奇函数且f(0)＝0，所以y＝f(x)是R上的减函数．由f(a－1)
10．已知a＞0且满足不等式22a＋1＞25a－2.
(1)求实数a的取值范围；
(2)求不等式lga(3x＋1)
[解析](1)∵22a＋1＞25a－2，∴2a＋1＞5a－2，即3a＜3，∴a＜1，即0＜a＜1.∴实数a的取值范围是(0,1)．
(2)由(1)得，0＜a＜1，∵lga(3x＋1)
即lga5＝－2，∴a－2＝eq \f(1,a2)＝5，解得a＝eq \f(\r(5),5).
11．已知函数f(x)＝lg eq \f(a－x,1＋x).
(1)若f(x)为奇函数，求a的值；
(2)在(1)的条件下，若f(x)在(m，n)上的值域为(－1，＋∞)，求m，n的值．
[解析] (1)∵f(x)为奇函数，∴f(x)＋f(－x)＝0，
即lg eq \f(a－x,1＋x)＋lg eq \f(a＋x,1－x)＝0，∴eq \f(a－xa＋x,1－x2)＝1，解得a＝1(a＝－1舍去)．
(2)由(1)知f(x)＝lg eq \f(1－x,1＋x)，则eq \f(1－x,1＋x)>0，
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－x>0，,1＋x>0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－x<0，,1＋x<0，))解得－1
∴f(x)＝lg eq \f(1－x,1＋x)在其定义域内是减函数，则m＝－1，由题意知f(n)＝lg eq \f(1－n,1＋n)＝－1，解得n＝eq \f(9,11)，
即m＝－1，n＝eq \f(9,11).
题型六 反函数的应用
1．写出下列函数的反函数(用x表示自变量，用y表示函数)：
(1)y＝2.5x；(2)y＝lg eq \s\d8(\f(1,6)) x.
[解析](1)函数y＝2.5x的反函数是y＝lg2.5x(x>0)．
(2)由y＝lg eq \s\d8(\f(1,6)) x得x＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,6)))y，所以函数y＝lgeq \f(1,6)x的反函数为y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,6)))x.
eq \a\vs4\al( )
2．函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数的图象过点(eq \r(a)，a)，则a的值为( )
A．2 B．eq \f(1,2)
C．2或eq \f(1,2)D．3
[解析]法一：函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数为y＝lgax(a＞0，且a≠1)，
故y＝lgax的图象过点(eq \r(a)，a)，则a＝lgaeq \r(a)＝eq \f(1,2).
法二：∵函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数的图象过点(eq \r(a)，a)，∴函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象过点(a，eq \r(a))，∴aa＝eq \r(a)＝a，即a＝eq \f(1,2).
3．已知函数f(x)＝ax－k(a>0，且a≠1)的图象过点(1,3)，其反函数的图象过点(2,0)，求函数f(x)的解析式．
[解析] 由于函数f(x)的反函数的图象过点(2,0)，∴f(x)的图象过点(0,2)，∴2＝a0－k，即k＝－1，
∴f(x)＝ax＋1.又f(x)的图象过点(1,3)，∴3＝a＋1，即a＝2，∴f(x)＝2x＋1.
4．若函数y＝f(x)的图象与函数y＝lg (x＋1)的图象关于直线x－y＝0对称，则f(x)＝( )
A．10x－1B．1－10x
C．1－10－xD．10－x－1
[解析]若两函数图象关于直线y＝x对称，则两函数互为反函数，故y＝lg (x＋1)，则x＋1＝10y，
x＝10y－1，即y＝10x－1.故选A．
5．已知函数y＝ex的图象与函数y＝f(x)的图象关于直线y＝x对称，则( )
A．f(2x)＝e2x(x∈R) B．f(2x)＝ln 2·ln x(x＞0)
C．f(2x)＝2ex(x∈R) D．f(2x)＝ln x＋ln 2(x＞0)
[解析]因为函数y＝ex的图象与函数f(x)的图象关于直线y＝x对称，所以f(x)是y＝ex的反函数，
即f(x)＝ln x，故f(2x)＝ln 2x＝ln x＋ln 2(x>0)，故选D．
6．设函数f(x)＝lg2x的反函数为y＝g(x)，且g(a)＝eq \f(1,4)，则a＝________.
[解析]∵函数f(x)＝lg2x的反函数为y＝2x，即g(x)＝2x.又∵g(a)＝eq \f(1,4)，∴2a＝eq \f(1,4)，∴a＝－2.
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