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高一数学同步备好课之题型全归纳(人教A版必修第一册)专题39函数的零点与方程的解(原卷版+解析)
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这是一份高一数学同步备好课之题型全归纳(人教A版必修第一册)专题39函数的零点与方程的解(原卷版+解析)，共24页。试卷主要包含了函数的零点，方程的解与函数零点的关系，函数零点存在定理，函数零点的求法，判断函数零点个数的方法等内容，欢迎下载使用。
对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数解，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴的公共点的横坐标．
2．方程的解与函数零点的关系
方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点．
3．函数零点存在定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解．
注意：(1)函数y＝f(x)在(a，b)内有零点，f(a)·f(b)＜0不一定成立．
(2)若连续不断的曲线y＝f(x)在区间[a，b]上有f(a)·f(b)＜0，y＝f(x)在(a，b)内一定有零点，但不能确定有几个．
(3)如果单调函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有唯一的零点，即存在唯一的c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的实数解．
4．函数零点的求法
1代数法：求方程fx＝0的实数根.
2几何法：对于不能用求根公式的方程fx＝0，可以将它与函数y＝fx的图象联系起来.图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点.
5．判断函数零点个数的方法
(1)直接求出函数的零点进行判断．
(2)结合函数图象进行判断．
(3)借助函数的单调性进行判断．若函数f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且在区间(a，b)上单调，满足f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在区间(a，b)上有且仅有一个零点，如图所示．
题型一 求函数的零点
1．下列各图象表示的函数中没有零点的是( )
2．函数y＝4x－2的零点是( )
A．2B．(－2,0)
C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0))D．eq \f(1,2)
3．函数y＝2x－1的零点是( )
A.eq \f(1,2) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0)) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2))) D．2
4．函数f(x)＝eq \f(x－1ln x,x－3)的零点是________．
5．判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出；否则，请说明理由．
(1)f(x)＝x2＋7x＋6；(2)f(x)＝1－lg2(x＋3)；(3)f(x)＝2x－1－3；(4)f(x)＝eq \f(x2＋4x－12,x－2).
6．若函数f(x)＝x2－ax＋b的两个零点是2和3，则函数g(x)＝bx2－ax－1的零点是( )
A．－1和eq \f(1,6) B．1和－eq \f(1,6)
C.eq \f(1,2)和eq \f(1,3) D．－eq \f(1,2)和eq \r(3)
7．求函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋2x－3，x≤0，,－2＋ln x，x>0))的零点；
8．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－1，x≤1，,1＋lg2x，x>1，))则函数f(x)的零点为( )
A.eq \f(1,2)，0 B．－2,0
C.eq \f(1,2) D．0
9．已知函数f(x)＝ax－b(a≠0)的零点为3，求函数g(x)＝bx2＋ax的零点．
10．若函数f(x)＝x2＋x－a的一个零点是－3，求实数a的值，并求函数f(x)其余的零点．
11．已知函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点分别是2和3，则函数g(x)＝bx2－ax－1的零点是________．
题型二 判断函数零点所在的区间
1．函数f(x)＝3x－4的零点所在区间为( )
A．(0,1) B．(－1,0) C．(2,3) D．(1,2)
2．函数f(x)＝2x－3的零点所在的区间是( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
3．函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的一个区间是( )
A．(－2，－1)B．(－1,0)
C．(0,1)D．(1,2)
4．函数f(x)＝2x－eq \f(1,x)的零点所在的区间是( )
A．(1，＋∞) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(1,2))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，\f(1,3)))
5．函数f(x)＝lg x－eq \f(9,x)的零点所在的大致区间是( )
A．(6,7) B．(7,8) C．(8,9)D．(9,10)
6．函数f(x)＝ln(x＋1)－eq \f(2,x)的零点所在的大致区间是( )
A．(3,4) B．(2，e) C．(1,2) D．(0,1)
7．根据表格内的数据，可以断定方程ex－x－3＝0的一个根所在区间是( )
A.(－1,0) B．(0,1)
C．(1,2) D．(2,3)
8．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分对应值如下表：
不求a，b，c的值，判断方程ax2＋bx＋c＝0的两根所在区间是( )
A．(－3，－1)和(2,4) B．(－3，－1)和(－1,1)
C．(－1,1)和(1,2) D．(－∞，－3)和(4，＋∞)
9．对于函数f(x)，若f(－1)·f(3)<0，则( )
A．方程f(x)＝0一定有实数解 B．方程f(x)＝0一定无实数解
C．方程f(x)＝0一定有两实根 D．方程f(x)＝0可能无实数解
10．若aA．(b，c)和(c，＋∞)内B．(－∞，a)和(a，b)内
C．(a，b)和(b，c)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞)内
题型三 函数零点的个数
1．函数f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)的零点个数是( )
A．1B．2
C．3D．4
2．f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋2，x<0，,x2－1，x>0))的零点个数是( )
A．0B．1
C．2D．3
3．f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋2x－3，x≤0，,－2＋lnx，x>0))的零点个数为( )
A．3B．2
C．1D．0
4．求函数f(x)＝lg2x－x＋2的零点个数．
5．函数f(x)＝lnx＋3x－2的零点个数是________．
6．判断函数f(x)＝ln x＋x2－3的零点的个数．
7．已知f(x)是定义域为R的奇函数，且在(0，＋∞)内的零点有1009个，则f(x)的零点的个数为( )
A．1009B．1010
C．2018D．2019
8．函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4x－4，x≤1，,x2－4x＋3，x＞1))的图象和函数g(x)＝lg2x的图象的交点个数是________．
9．函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(1)>0，f(2)<0，则f(x)在(1,2)上的零点( )
A．至多有一个 B．有一个或两个
C．有且仅有一个 D．一个也没有
10．奇函数f(x)，偶函数g(x)的图象分别如图(1)，(2)所示，函数f(g(x))，g(f(x))的零点个数分别为m，n，
则m＋n＝________.
图(1) 图(2)
11．已知0A．1 B．2 C．3 D．4
题型四 函数零点的应用
1．函数y＝x2－bx＋1有一个零点，则b的值为( )
A．2 B．－2
C．±2 D．3
2．若函数f(x)＝x＋eq \f(a,x)(a∈R)在区间(1,2)上有零点，则a的值可能是( )
A．－2 B．0
C．1 D．3
3．函数f(x)＝3ax＋1－2a在区间(－1,1)上存在一个零点，则a的取值范围是________．
4．已知函数f(x)＝x2－x－2a.
(1)若a＝1，求函数f(x)的零点；
(2)若f(x)有零点，求实数a的取值范围．
5．设x0是方程ln x＋x＝4的根，且x0∈(k，k＋1)，k∈Z，则k＝________.
6．方程x＋lg3x＝3的解为x0，若x0∈(n，n＋1)，n∈N，则n＝( )
A．0 B．1
C．2 D．3
7．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lgx，x＞0，,2x，x≤0，))若关于x的方程f(x)＝k有两个不等的实根，则实数k的取值范围是( )
A．(0，＋∞) B．(－∞，1)
C．(1，＋∞) D．(0,1]
8．已知函数f(x)＝x2－2x－3，x∈[－1,4]．
(1)画出函数y＝f(x)的图象，并写出其值域；
(2)当m为何值时，函数g(x)＝f(x)＋m在[－1,4]上有两个零点？
9．若函数f(x)＝ax2－x－1有且仅有一个负零点，求实数a的取值范围．
10．函数f(x)＝ax2－2x＋1，若y＝f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,2)))内有零点，则实数a的取值范围为________．
11．若方程|x2－4x|－a＝0有四个不相等的实根，则实数a的取值范围是________．
12．若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________．
13．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ex，x≤0，,ln x，x＞0，))g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是( )
A．[－1,0) B．[0，＋∞)
C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞)
14．已知函数f(x)＝3x＋x，g(x)＝lg3x＋2，h(x)＝lg3x＋x的零点依次为a，b，c，则a，b，c的大小关系是________．
15．已知函数f(x)＝－3x2＋2x－m＋1.
(1)当m为何值时，函数有两个零点、一个零点、无零点；
(2)若函数恰有一个零点在原点处，求m的值．
16．关于x的方程mx2＋2(m＋3)x＋2m＋14＝0有两实根，且一个大于4，一个小于4，求实数m的取值范围．
17．已知关于x的方程x2－2ax＋4＝0，在下列条件下，求实数a的取值范围．
(1)一个根大于1，一个根小于1；
(2)一个根在(0,1)内，另一个根在(6,8)内．
18．已知关于x的一元二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.
(1)若方程有两实根，其中一实根在区间(－1,0)内，另一实根在区间(1,2)内，求m的取值范围；
(2)若方程有两个不相等的实根，且均在区间(0,1)内，求m的取值范围．
19．已知函数f(x)＝x2－bx＋3.
(1)若f(0)＝f(4)，求函数f(x)的零点；
(2)若函数f(x)一个零点大于1，另一个零点小于1，求b的取值范围．
20．已知f(x)＝2(m＋1)x2＋4mx＋2m－1.
(1)当m满足什么条件时，函数f(x)有两个零点？
(2)若函数f(x)有两个零点x1，x2，且x1<021．已知关于x的方程4x2－2(m＋1)x＋m＝0，若该方程的一根在区间(0,1)上，另一根在区间(1,2)上，求实数m的取值范围．
22．已知函数f(x)＝2a·4x－2x－1.
(1)当a＝1时，求函数f(x)的零点；
(2)若函数f(x)有零点，求实数a的取值范围．
23．已知函数f(x)＝(lg2x)2＋4lg2x＋m，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,8)，4))，m为常数．
(1)设函数f(x)存在大于1的零点，求实数m的取值范围；
(2)设函数f(x)有两个互异的零点α，β，求实数m的取值范围，并求αβ的值．
24．已知函数f(x)＝lgx＋eq \f(1,2x)－eq \f(17,2).
(1)用单调性的定义证明：f(x)在定义域上是单调函数；
(2)证明：f(x)有零点；
(3)设f(x)的零点x0落在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,n＋1)，\f(1,n)))内，求正整数n的值．x
－1
0
1
2
3
ex
0.37
1
2.72
7.39
20.08
x＋3
2
3
4
5
6
专题39 函数的零点与方程的解
1．函数的零点
对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数解，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴的公共点的横坐标．
2．方程的解与函数零点的关系
方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点．
3．函数零点存在定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解．
注意：(1)函数y＝f(x)在(a，b)内有零点，f(a)·f(b)＜0不一定成立．
(2)若连续不断的曲线y＝f(x)在区间[a，b]上有f(a)·f(b)＜0，y＝f(x)在(a，b)内一定有零点，但不能确定有几个．
(3)如果单调函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有唯一的零点，即存在唯一的c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的实数解．
4．函数零点的求法
1代数法：求方程fx＝0的实数根.
2几何法：对于不能用求根公式的方程fx＝0，可以将它与函数y＝fx的图象联系起来.图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点.
5．判断函数零点个数的方法
(1)直接求出函数的零点进行判断．
(2)结合函数图象进行判断．
(3)借助函数的单调性进行判断．若函数f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且在区间(a，b)上单调，满足f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在区间(a，b)上有且仅有一个零点，如图所示．
题型一 求函数的零点
1．下列各图象表示的函数中没有零点的是( )
[解析]结合函数零点的定义可知选项D没有零点．
2．函数y＝4x－2的零点是( )
A．2B．(－2,0)
C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0))D．eq \f(1,2)
[解析]令y＝4x－2＝0，得x＝eq \f(1,2).∴函数y＝4x－2的零点为eq \f(1,2).
3．函数y＝2x－1的零点是( )
A.eq \f(1,2) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0)) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2))) D．2
[解析]由2x－1＝0得x＝eq \f(1,2).
4．函数f(x)＝eq \f(x－1ln x,x－3)的零点是________．
[解析]令f(x)＝0，即eq \f(x－1ln x,x－3)＝0，即x－1＝0或ln x＝0，∴x＝1，故函数f(x)的零点为1.
5．判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出；否则，请说明理由．
(1)f(x)＝x2＋7x＋6；(2)f(x)＝1－lg2(x＋3)；(3)f(x)＝2x－1－3；(4)f(x)＝eq \f(x2＋4x－12,x－2).
[解析] (1)解方程f(x)＝x2＋7x＋6＝0，得x＝－1或x＝－6，所以函数的零点是－1，－6.
(2)解方程f(x)＝1－lg2(x＋3)＝0，得x＝－1，所以函数的零点是－1.
(3)解方程f(x)＝2x－1－3＝0，得x＝lg26，所以函数的零点是lg26.
(4)解方程f(x)＝eq \f(x2＋4x－12,x－2)＝0，得x＝－6，所以函数的零点为－6.
6．若函数f(x)＝x2－ax＋b的两个零点是2和3，则函数g(x)＝bx2－ax－1的零点是( )
A．－1和eq \f(1,6) B．1和－eq \f(1,6)
C.eq \f(1,2)和eq \f(1,3) D．－eq \f(1,2)和eq \r(3)
[解析]∵函数f(x)＝x2－ax＋b的两个零点是2和3，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2＋3＝a，,2×3＝b，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝5，,b＝6，))∴g(x)＝6x2－5x－1，∴g(x)的零点为1和－eq \f(1,6)，故选B.
7．求函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋2x－3，x≤0，,－2＋ln x，x>0))的零点；
[解析] (1)当x≤0时，令x2＋2x－3＝0，解得x＝－3；
当x>0时，令－2＋ln x＝0，解得x＝e2.
所以函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋2x－3，x≤0,－2＋ln x，x>0))的零点为－3和e2.
8．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－1，x≤1，,1＋lg2x，x>1，))则函数f(x)的零点为( )
A.eq \f(1,2)，0 B．－2,0
C.eq \f(1,2) D．0
[解析]当x≤1时，由f(x)＝0，得2x－1＝0，所以x＝0；当x>1时，由f(x)＝0，得1＋lg2x＝0，
所以x＝eq \f(1,2)，不成立，所以函数的零点为0，故选D.
9．已知函数f(x)＝ax－b(a≠0)的零点为3，求函数g(x)＝bx2＋ax的零点．
[解析]由已知得f(3)＝0即3a－b＝0，即b＝3a.故g(x)＝3ax2＋ax＝ax(3x＋1)．
令g(x)＝0，即ax(3x＋1)＝0，解得x＝0或x＝－eq \f(1,3).
所以函数g(x)的零点为0和－eq \f(1,3).
10．若函数f(x)＝x2＋x－a的一个零点是－3，求实数a的值，并求函数f(x)其余的零点．
[解析]由题意知f(－3)＝0，即(－3)2－3－a＝0，a＝6，∴f(x)＝x2＋x－6.
解方程x2＋x－6＝0，得x＝－3或2.，∴函数f(x)其余的零点是2.
11．已知函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点分别是2和3，则函数g(x)＝bx2－ax－1的零点是________．
[解析]由题意知，方程x2－ax－b＝0的两根为2,3，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2＋3＝a，,2×3＝－b，))即a＝5，b＝－6，
∴方程bx2－ax－1＝－6x2－5x－1＝0的两根为－eq \f(1,2)，－eq \f(1,3)，即为函数g(x)的零点．
题型二 判断函数零点所在的区间
1．函数f(x)＝3x－4的零点所在区间为( )
A．(0,1) B．(－1,0) C．(2,3) D．(1,2)
[解析]由f(－1)＝－eq \f(11,3)<0，f(0)＝－3<0，f(1)＝－1<0，f(2)＝5>0，f(3)＝23>0，
得f(x)的零点所在区间为(1,2)．
2．函数f(x)＝2x－3的零点所在的区间是( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
[解析]∵f(1)＝2－3＝－1<0，f(2)＝4－3＝1>0，∴f(1)·f(2)<0，即f(x)的零点所在的区间为(1,2)．
3．函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的一个区间是( )
A．(－2，－1)B．(－1,0)
C．(0,1)D．(1,2)
[解析]因为函数f(x)的图象是一条连续不断的曲线，又f(－2)＝e－2－4<0，f(－1)＝e－1－3<0，f(0)＝－1<0，f(1)＝e－1>0，f(2)＝e2>0，所以f(0)·f(1)<0，故函数的零点所在的一个区间是(0,1)．
4．函数f(x)＝2x－eq \f(1,x)的零点所在的区间是( )
A．(1，＋∞) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(1,2))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，\f(1,3)))
[解析]由f(x)＝2x－eq \f(1,x)，得feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝2eq \s\up5(\f(1,2))－2<0，f(1)＝2－1＝1>0，∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))·f(1)<0.
∴零点所在区间为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1)).
5．函数f(x)＝lg x－eq \f(9,x)的零点所在的大致区间是( )
A．(6,7) B．(7,8) C．(8,9)D．(9,10)
[解析]因为f(9)＝lg 9－1<0，f(10)＝lg 10－eq \f(9,10)＝1－eq \f(9,10)>0，所以f(9)·f(10)<0，
所以f(x)＝lg x－eq \f(9,x)在区间(9,10)上有零点，故选D．
6．函数f(x)＝ln(x＋1)－eq \f(2,x)的零点所在的大致区间是( )
A．(3,4) B．(2，e) C．(1,2) D．(0,1)
[解析]因为f(1)＝ln 2－eq \f(2,1)<0，f(2)＝ln 3－1>0，且函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
所以函数的零点所在区间为(1,2)．故选C.
7．根据表格内的数据，可以断定方程ex－x－3＝0的一个根所在区间是( )
A.(－1,0) B．(0,1)
C．(1,2) D．(2,3)
[解析]构造函数f(x)＝ex－x－3，由上表可得f(－1)＝0.37－2＝－1.63<0，
f(0)＝1－3＝－2<0，f(1)＝2.72－4＝－1.28<0，f(2)＝7.39－5＝2.39>0，f(3)＝20.08－6＝14.08>0，
f(1)·f(2)<0，所以方程的一个根所在区间为(1,2)，故选C.
8．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分对应值如下表：
不求a，b，c的值，判断方程ax2＋bx＋c＝0的两根所在区间是( )
A．(－3，－1)和(2,4) B．(－3，－1)和(－1,1)
C．(－1,1)和(1,2) D．(－∞，－3)和(4，＋∞)
[解析]因为f(－3)＝6>0，f(－1)＝－4<0，所以二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)在(－3，－1)内必有零点．
又f(2)＝－4<0，f(4)＝6>0，所以在(2,4)内必有零点．
9．对于函数f(x)，若f(－1)·f(3)<0，则( )
A．方程f(x)＝0一定有实数解 B．方程f(x)＝0一定无实数解
C．方程f(x)＝0一定有两实根 D．方程f(x)＝0可能无实数解
[解析]∵函数f(x)的图象在(－1,3)上未必连续，故尽管f(－1)·f(3)<0，
但方程f(x)＝0在(－1,3)上可能无实数解．
10．若aA．(b，c)和(c，＋∞)内B．(－∞，a)和(a，b)内
C．(a，b)和(b，c)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞)内
[解析]∵a0，f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0，
∴f(x)的零点分别位于(a，b)和(b，c)内．
题型三 函数零点的个数
1．函数f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)的零点个数是( )
A．1B．2
C．3D．4
[解析] ∵f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)＝(x－1)(x＋5)(x－2)，
∴由f(x)＝0得x＝－5或x＝1或x＝2.故函数f(x)的零点有3个．选C.
2．f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋2，x<0，,x2－1，x>0))的零点个数是( )
A．0B．1
C．2D．3
[解析]解法一：方程x＋2＝0(x<0)的根为x＝－2，方程x2－1＝0(x>0)的根为x＝1，
所以函数f(x)有2个零点：－2与1.
3．f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋2x－3，x≤0，,－2＋lnx，x>0))的零点个数为( )
A．3B．2
C．1D．0
[解析]当x≤0时，由x2＋2x－3＝0，得x＝－3；当x>0时，由－2＋lnx＝0，得x＝e2.
故函数f(x)有2个零点，选B.
4．求函数f(x)＝lg2x－x＋2的零点个数．
[解析]令f(x)＝0，得lg2x－x＋2＝0，即lg2x＝x－2.
令y1＝lg2x，y2＝x－2.画出两个函数的大致图象，如图所示．
由图可知，两个函数有两个不同的交点．所以函数f(x)＝lg2x－x＋2有两个零点．
5．函数f(x)＝lnx＋3x－2的零点个数是________．
[解析]解法一：由f(x)＝lnx＋3x－2＝0，得lnx＝2－3x，设g(x)＝lnx，h(x)＝2－3x，图象
如图所示，两个函数的图象有一个交点，故函数f(x)＝lnx＋3x－2有一个零点．
解法二：函数f(x)在(0，＋∞)单调递增，且feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e)))＝eq \f(3,e)－3<0，
f(1)＝1>0，所以函数f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e)，1))内有唯一零点．
6．判断函数f(x)＝ln x＋x2－3的零点的个数．
[解析]法一(图象法)：函数对应的方程为ln x＋x2－3＝0，
所以原函数零点的个数即为函数y＝ln x与y＝3－x2的图象交点个数．
在同一坐标系下，作出两函数的图象(如图)．
由图象知，函数y＝3－x2与y＝ln x的图象只有一个交点，从而ln x＋x2－3＝0有一个根，
即函数y＝ln x＋x2－3有一个零点．
法二(判定定理法)：由于f(1)＝ln 1＋12－3＝－2<0，f(2)＝ln 2＋22－3＝ln 2＋1>0，
∴f(1)·f(2)<0，又f(x)＝ln x＋x2－3的图象在(1,2)上是不间断的，所以f(x)在(1,2)上必有零点，
又f(x)在(0，＋∞)上是递增的，所以零点只有一个．
7．已知f(x)是定义域为R的奇函数，且在(0，＋∞)内的零点有1009个，则f(x)的零点的个数为( )
A．1009B．1010
C．2018D．2019
[解析]∵f(x)为奇函数，且在(0，＋∞)内有1009个零点，∴在(－∞，0)上也有1009个零点，
又∵f(0)＝0，∴共有1009×2＋1＝2019个．
8．函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4x－4，x≤1，,x2－4x＋3，x＞1))的图象和函数g(x)＝lg2x的图象的交点个数是________．
[解析]作出g(x)与f(x)的图象如图，由图知f(x)与g(x)有3个交点．
9．函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(1)>0，f(2)<0，则f(x)在(1,2)上的零点( )
A．至多有一个 B．有一个或两个
C．有且仅有一个 D．一个也没有
[解析]若a＝0，则f(x)＝ax2＋bx＋c是一次函数，由已知f(1)·f(2)<0，得只有一个零点；若a≠0，
则f(x)＝ax2＋bx＋c为二次函数，若有两个零点，则应有f(1)·f(2)>0，与已知矛盾．故仅有一个零点．
10．奇函数f(x)，偶函数g(x)的图象分别如图(1)，(2)所示，函数f(g(x))，g(f(x))的零点个数分别为m，n，
则m＋n＝________.
图(1) 图(2)
[解析]由题中函数图象知f(±1)＝0，f(0)＝0，geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(±\f(3,2)))＝0，g(0)＝0，g(±2)＝1，g(±1)＝－1，所以f(g(±2))＝f(1)＝0，f(g(±1))＝f(－1)＝0，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(g\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(±\f(3,2)))))＝f(0)＝0，f(g(0))＝f(0)＝0，所以f(g(x))有7个零点，即m＝7.又g(f(0))＝g(0)＝0，g(f(±1))＝g(0)＝0，所以g(f(x))有3个零点，即n＝3.所以m＋n＝10.
11．已知0A．1 B．2 C．3 D．4
[解析]函数y＝a|x|－|lgax|(0也就是函数f(x)＝a|x|(0画出函数f(x)＝a|x|(0观察可得函数f(x)＝a|x|(0从而函数y＝a|x|－|lgax|的零点的个数为2.
题型四 函数零点的应用
1．函数y＝x2－bx＋1有一个零点，则b的值为( )
A．2 B．－2
C．±2 D．3
[解析]因为函数有一个零点，所以Δ＝b2－4＝0，所以b＝±2.
2．若函数f(x)＝x＋eq \f(a,x)(a∈R)在区间(1,2)上有零点，则a的值可能是( )
A．－2 B．0
C．1 D．3
[解析]f(x)＝x＋eq \f(a,x)(a∈R)的图象在(1,2)上是连续不断的，逐个选项代入验证，当a＝－2时，
f(1)＝1－2＝－1<0，f(2)＝2－1＝1>0.故f(x)在区间(1,2)上有零点，同理，其他选项不符合，选A.
3．函数f(x)＝3ax＋1－2a在区间(－1,1)上存在一个零点，则a的取值范围是________．
[解析]由零点存在定理，得f(1)·f(－1)<0，即(3a＋1－2a)(－3a＋1－2a)<0，整理得(a＋1)(－5a＋1)<0，
解得a<－1或a>eq \f(1,5).
4．已知函数f(x)＝x2－x－2a.
(1)若a＝1，求函数f(x)的零点；
(2)若f(x)有零点，求实数a的取值范围．
[解析] (1)当a＝1时，f(x)＝x2－x－2.令f(x)＝x2－x－2＝0，得x＝－1或x＝2.
即函数f(x)的零点为－1和2.
(2)要使f(x)有零点，则Δ＝1＋8a≥0，解得a≥－eq \f(1,8)，所以a的取值范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,8)，＋∞)).
5．设x0是方程ln x＋x＝4的根，且x0∈(k，k＋1)，k∈Z，则k＝________.
[解析] 令f(x)＝ln x＋x－4，且f(x)在(0，＋∞)上递增，
∵f(2)＝ln 2＋2－4<0，f(3)＝ln 3－1>0，∴f(x)在(2,3)内有解，∴k＝2.
6．方程x＋lg3x＝3的解为x0，若x0∈(n，n＋1)，n∈N，则n＝( )
A．0 B．1
C．2 D．3
[解析]设f(x)＝x＋lg3x－3，则f(1)＝1＋lg31－3＝－2＜0，f(2)＝2＋lg32－3＝lg32－1＜0，
f(3)＝3＋lg33－3＝1＞0，又易知f(x)为单调增函数，∴方程x＋lg3x＝3的解在(2,3)内，因此n＝2.故选C.
7．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lgx，x＞0，,2x，x≤0，))若关于x的方程f(x)＝k有两个不等的实根，则实数k的取值范围是( )
A．(0，＋∞) B．(－∞，1)
C．(1，＋∞) D．(0,1]
[解析]作出函数f(x)的图象，由图象知，当0＜k≤1时，
y＝k与y＝f(x)的图象有两个交点，此时方程f(x)＝k有两个不等实根，
所以0＜k≤1，故选D.
8．已知函数f(x)＝x2－2x－3，x∈[－1,4]．
(1)画出函数y＝f(x)的图象，并写出其值域；
(2)当m为何值时，函数g(x)＝f(x)＋m在[－1,4]上有两个零点？
[解析] (1)依题意，得f(x)＝(x－1)2－4，x∈[－1,4]，其图象如图所示．
由图可知，函数f(x)的值域为[－4,5]．
(2)∵函数g(x)＝f(x)＋m在[－1,4]上有两个零点．
∴方程f(x)＝－m在x∈[－1,4]上有两相异的实数根，即函数y＝f(x)与y＝－m的图象有两个交点．
由(1)所作图象可知，－4<－m≤0，∴0≤m<4.
∴当0≤m<4时，函数y＝f(x)与y＝－m的图象有两个交点，
即当0≤m<4时，函数g(x)＝f(x)＋m在[－1,4]上有两个零点．
9．若函数f(x)＝ax2－x－1有且仅有一个负零点，求实数a的取值范围．
[解析]①当a＝0时，由f(x)＝－x－1＝0得x＝－1，符合题意；
②当a>0时，函数f(x)＝ax2－x－1为开口向上的抛物线，且f(0)＝－1<0，对称轴x＝eq \f(1,2a)>0，
所以f(x)必有一个负实根，符合题意；
③当a<0时，x＝eq \f(1,2a)<0，f(0)＝－1<0，所以Δ＝1＋4a＝0，即a＝－eq \f(1,4)，
此时f(x)＝－eq \f(1,4)x2－x－1＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＋1))2＝0，
所以x＝－2，符合题意．综上所述，a的取值范围是a≥0或a＝－eq \f(1,4).
10．函数f(x)＝ax2－2x＋1，若y＝f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,2)))内有零点，则实数a的取值范围为________．
[解析]当x＝0时，f(0)＝1≠0，当x≠0时，由f(x)＝ax2－2x＋1＝0，可得a＝－eq \f(1,x2)＋eq \f(2,x)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)－1))2＋1.
若f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,2)))内有零点，则f(x)＝0在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,2)))内有解，当－eq \f(1,2)≤x<0或0可得a＝－eq \f(1,x2)＋eq \f(2,x)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)－1))2＋1，由eq \f(1,x)∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)，可求得a≤0，
所以实数a的取值范围为(－∞，0]．
11．若方程|x2－4x|－a＝0有四个不相等的实根，则实数a的取值范围是________．
[解析]由|x2－4x|－a＝0，得a＝|x2－4x|，作出函数y＝|x2－4x|的图象，
则由图象可知，要使方程|x2－4x|－a＝0有四个不相等的实根，则0＜a＜4.
12．若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________．
[解析]由f(x)＝|2x－2|－b＝0，得|2x－2|＝B．在同一平面直角坐标系中画出y＝|2x－2|与y＝b的图象，
如图所示，则当013．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ex，x≤0，,ln x，x＞0，))g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是( )
A．[－1,0) B．[0，＋∞)
C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞)
[解析]函数g(x)＝f(x)＋x＋a存在2个零点，即关于x的方程f(x)＝－x－a有2个不同的实根，
即函数f(x)的图象与直线y＝－x－a有2个交点，作出直线y＝－x－a与函数f(x)的图象，如图所示，
由图可知，－a≤1，解得a≥－1，故选C.
14．已知函数f(x)＝3x＋x，g(x)＝lg3x＋2，h(x)＝lg3x＋x的零点依次为a，b，c，则a，b，c的大小关系是________．
[解析]画出函数y＝3x，y＝lg3x，y＝－x，y＝－2的图象，如图所示，
观察图象可知，函数f(x)＝3x＋x，g(x)＝lg3x＋2，h(x)＝lg3x＋x的零点依次是点A，B，C的横坐标，
由图象可知a＜b＜c.
15．已知函数f(x)＝－3x2＋2x－m＋1.
(1)当m为何值时，函数有两个零点、一个零点、无零点；
(2)若函数恰有一个零点在原点处，求m的值．
[解析] (1)函数有两个零点，则对应方程－3x2＋2x－m＋1＝0有两个不相等的实数根，易知Δ＞0，
即4＋12(1－m)＞0，可解得m＜eq \f(4,3)；
由Δ＝0，可解得m＝eq \f(4,3)；
由Δ＜0，可解得m＞eq \f(4,3).
故当m＜eq \f(4,3)时，函数有两个零点；当m＝eq \f(4,3)时，函数有一个零点；当m＞eq \f(4,3)时，函数无零点．
(2)因为0是对应方程的根，有1－m＝0，可解得m＝1.
16．关于x的方程mx2＋2(m＋3)x＋2m＋14＝0有两实根，且一个大于4，一个小于4，求实数m的取值范围．
[解析]原方程可化为：x2＋eq \f(2m＋3,m)x＋eq \f(14,m)＋2＝0，令f(x)＝x2＋eq \f(2m＋3,m)x＋eq \f(14,m)＋2，则f(4)＜0，
即16＋eq \f(8m＋3,m)＋eq \f(14,m)＋2＜0，即eq \f(19,m)＜－13，解得－eq \f(19,13)＜m＜0.故实数m的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(19,13)，0)).
17．已知关于x的方程x2－2ax＋4＝0，在下列条件下，求实数a的取值范围．
(1)一个根大于1，一个根小于1；
(2)一个根在(0,1)内，另一个根在(6,8)内．
[解析] (1)方程x2－2ax＋4＝0的一个根大于1，一个根小于1，设f(x)＝x2－2ax＋4，
结合二次函数的图象与性质及零点存在定理得f(1)＝5－2a<0，解得a>eq \f(5,2).
(2)方程x2－2ax＋4＝0的一个根在(0,1)内，另一个根在(6,8)内，结合二次函数的图象与性质及零点存在定理，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f0＝4>0，,f1＝5－2a<0，,f6＝40－12a<0，,f8＝68－16a>0，))解得eq \f(10,3)18．已知关于x的一元二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.
(1)若方程有两实根，其中一实根在区间(－1,0)内，另一实根在区间(1,2)内，求m的取值范围；
(2)若方程有两个不相等的实根，且均在区间(0,1)内，求m的取值范围．
[解析](1)令f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1，依题意得函数f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1的图象与x轴的交点分别在区间(－1,0)和(1,2)内，画出函数的大致图象如右图所示．
由图象得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f－1＝2>0，,f0＝2m＋1<0，,f1＝4m＋2<0，,f2＝6m＋5>0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m<－\f(1,2)，,m<－\f(1,2)，,m>－\f(5,6)，)) ∴－eq \f(5,6)即m的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,6)，－\f(1,2))).
(2)根据函数图象与x轴的两个交点均在区间(0,1)内，画出函数的大致图象如右图所示．
由图象得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Δ>0，,0<－m<1，,f0>0，,f1>0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m>1＋\r(2)或m<1－\r(2)，,－1－\f(1,2)，,m>－\f(1,2)，)) ∴－eq \f(1,2)即m的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，1－\r(2))).
19．已知函数f(x)＝x2－bx＋3.
(1)若f(0)＝f(4)，求函数f(x)的零点；
(2)若函数f(x)一个零点大于1，另一个零点小于1，求b的取值范围．
[解析] (1)由f(0)＝f(4)得3＝16－4b＋3，即b＝4，所以f(x)＝x2－4x＋3，令f(x)＝0，即x2－4x＋3＝0得x1＝3，x2＝1，所以f(x)的零点是1和3.
(2)因为f(x)的零点一个大于1，另一个小于1，如图．
需f(1)<0，即1－b＋3<0，所以b>4.故b的取值范围为(4，＋∞).
20．已知f(x)＝2(m＋1)x2＋4mx＋2m－1.
(1)当m满足什么条件时，函数f(x)有两个零点？
(2)若函数f(x)有两个零点x1，x2，且x1<0[解析] (1)由题意，知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2m＋1≠0，,4m2－4×2m＋12m－1>0，))解得m<1且m≠－1.
(2)根据二次函数的图象，可知函数f(x)的两个零点满足x1<0所以有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2m＋1>0，,f0＝2m－1<0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2m＋1<0，,f0＝2m－1>0，))解得－121．已知关于x的方程4x2－2(m＋1)x＋m＝0，若该方程的一根在区间(0,1)上，另一根在区间(1,2)上，求实数m的取值范围．
[解析]设f(x)＝4x2－2(m＋1)x＋m，则函数f(x)的图象与x轴的交点分别在区间(0,1)和(1,2)内，画出示意图(如图)：
则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f0＝m＞0，,f1＝4－2m＋1＋m＜0，,f2＝4×22－2×2m＋1＋m＞0，))解得2＜m＜4，所以实数m的取值范围为(2,4)．
22．已知函数f(x)＝2a·4x－2x－1.
(1)当a＝1时，求函数f(x)的零点；
(2)若函数f(x)有零点，求实数a的取值范围．
[解析] (1)当a＝1时，f(x)＝2·4x－2x－1.
令f(x)＝0，即2·(2x)2－2x－1＝0，解得2x＝1或2x＝－eq \f(1,2)(舍去)．
所以x＝0.所以函数f(x)的零点为0.
(2)若f(x)有零点，则方程2a·4x－2x－1＝0有解．
于是2a＝eq \f(2x＋1,4x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))x＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x＋\f(1,2)))2－eq \f(1,4).
因为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x>0，所以2a>eq \f(1,4)－eq \f(1,4)＝0，即a>0.
故实数a的取值范围为(0，＋∞)．
23．已知函数f(x)＝(lg2x)2＋4lg2x＋m，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,8)，4))，m为常数．
(1)设函数f(x)存在大于1的零点，求实数m的取值范围；
(2)设函数f(x)有两个互异的零点α，β，求实数m的取值范围，并求αβ的值．
[解析]令lg2x＝t，由x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,8)，4))，则f(x)＝g(t)＝t2＋4t＋m(t∈[－3,2])，
(1)由于函数f(x)存在大于1的零点，所以方程t2＋4t＋m＝0在t∈(0,2]内存在实数根，
由t2＋4t＋m＝0，得m＝－t2－4t，t∈(0,2]，所以实数m的取值范围是[－12,0)．
(2)函数f(x)有两个互异的零点α，β，则函数g(t)在[－3，2]内有两个互异的零点t1，t2，
其中t1＝lg2α，t2＝lg2β，
又因为g(t)表示的二次函数开口向上，对称轴t＝－2∈[－3,2]，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Δ＝16－4m>0，,g－3≥0，,g2≥0，))解得3≤m<4，所以实数m的取值范围是[3,4)．
根据根与系数的关系，可知t1＋t2＝－4，即lg2α＋lg2β＝－4，
所以lg2(αβ)＝－4，αβ＝2－4＝eq \f(1,16).
24．已知函数f(x)＝lgx＋eq \f(1,2x)－eq \f(17,2).
(1)用单调性的定义证明：f(x)在定义域上是单调函数；
(2)证明：f(x)有零点；
(3)设f(x)的零点x0落在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,n＋1)，\f(1,n)))内，求正整数n的值．
[解析] (1)证明：显然，f(x)的定义域为(0，＋∞)．
任取x1，x2∈(0，＋∞)，不妨设x10，x1x2>0，则eq \f(1,2x1)－eq \f(1,2x2)＝eq \f(x2－x1,2x1x2)>0，lgx1>lgx2，
则lgx1－lgx2>0，所以f(x1)－f(x2)＝(lgx1－lgx2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2x1)－\f(1,2x2)))>0，所以f(x1)>f(x2)．
故f(x)在定义域(0，＋∞)上是减函数．
(2)证明：因为f(1)＝0＋eq \f(1,2)－eq \f(17,2)＝－8<0，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,16)))＝4＋8－eq \f(17,2)＝eq \f(7,2)>0，所以f(1)·feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,16)))<0，
又因为f(x)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,16)，1))上是连续的，所以f(x)有零点．
(3)f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,11)))＝lgeq \f(1,11)＋eq \f(11,2)－eq \f(17,2)＝lg211－3>lg28－3＝0，
f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,10)))＝lgeq \f(1,10)＋5－eq \f(17,2)＝lg210－eq \f(7,2)＝lg25－eq \f(5,2)＝lg2eq \r(25)－lg2eq \r(32)<0，
所以f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,10)))f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,11)))<0，所以f(x)的零点x0落在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,11)，\f(1,10)))内．故n＝10.
x
－1
0
1
2
3
ex
0.37
1
2.72
7.39
20.08
x＋3
2
3
4
5
6
对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数解，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴的公共点的横坐标．
2．方程的解与函数零点的关系
方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点．
3．函数零点存在定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解．
注意：(1)函数y＝f(x)在(a，b)内有零点，f(a)·f(b)＜0不一定成立．
(2)若连续不断的曲线y＝f(x)在区间[a，b]上有f(a)·f(b)＜0，y＝f(x)在(a，b)内一定有零点，但不能确定有几个．
(3)如果单调函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有唯一的零点，即存在唯一的c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的实数解．
4．函数零点的求法
1代数法：求方程fx＝0的实数根.
2几何法：对于不能用求根公式的方程fx＝0，可以将它与函数y＝fx的图象联系起来.图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点.
5．判断函数零点个数的方法
(1)直接求出函数的零点进行判断．
(2)结合函数图象进行判断．
(3)借助函数的单调性进行判断．若函数f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且在区间(a，b)上单调，满足f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在区间(a，b)上有且仅有一个零点，如图所示．
题型一 求函数的零点
1．下列各图象表示的函数中没有零点的是( )
2．函数y＝4x－2的零点是( )
A．2B．(－2,0)
C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0))D．eq \f(1,2)
3．函数y＝2x－1的零点是( )
A.eq \f(1,2) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0)) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2))) D．2
4．函数f(x)＝eq \f(x－1ln x,x－3)的零点是________．
5．判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出；否则，请说明理由．
(1)f(x)＝x2＋7x＋6；(2)f(x)＝1－lg2(x＋3)；(3)f(x)＝2x－1－3；(4)f(x)＝eq \f(x2＋4x－12,x－2).
6．若函数f(x)＝x2－ax＋b的两个零点是2和3，则函数g(x)＝bx2－ax－1的零点是( )
A．－1和eq \f(1,6) B．1和－eq \f(1,6)
C.eq \f(1,2)和eq \f(1,3) D．－eq \f(1,2)和eq \r(3)
7．求函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋2x－3，x≤0，,－2＋ln x，x>0))的零点；
8．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－1，x≤1，,1＋lg2x，x>1，))则函数f(x)的零点为( )
A.eq \f(1,2)，0 B．－2,0
C.eq \f(1,2) D．0
9．已知函数f(x)＝ax－b(a≠0)的零点为3，求函数g(x)＝bx2＋ax的零点．
10．若函数f(x)＝x2＋x－a的一个零点是－3，求实数a的值，并求函数f(x)其余的零点．
11．已知函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点分别是2和3，则函数g(x)＝bx2－ax－1的零点是________．
题型二 判断函数零点所在的区间
1．函数f(x)＝3x－4的零点所在区间为( )
A．(0,1) B．(－1,0) C．(2,3) D．(1,2)
2．函数f(x)＝2x－3的零点所在的区间是( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
3．函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的一个区间是( )
A．(－2，－1)B．(－1,0)
C．(0,1)D．(1,2)
4．函数f(x)＝2x－eq \f(1,x)的零点所在的区间是( )
A．(1，＋∞) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(1,2))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，\f(1,3)))
5．函数f(x)＝lg x－eq \f(9,x)的零点所在的大致区间是( )
A．(6,7) B．(7,8) C．(8,9)D．(9,10)
6．函数f(x)＝ln(x＋1)－eq \f(2,x)的零点所在的大致区间是( )
A．(3,4) B．(2，e) C．(1,2) D．(0,1)
7．根据表格内的数据，可以断定方程ex－x－3＝0的一个根所在区间是( )
A.(－1,0) B．(0,1)
C．(1,2) D．(2,3)
8．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分对应值如下表：
不求a，b，c的值，判断方程ax2＋bx＋c＝0的两根所在区间是( )
A．(－3，－1)和(2,4) B．(－3，－1)和(－1,1)
C．(－1,1)和(1,2) D．(－∞，－3)和(4，＋∞)
9．对于函数f(x)，若f(－1)·f(3)<0，则( )
A．方程f(x)＝0一定有实数解 B．方程f(x)＝0一定无实数解
C．方程f(x)＝0一定有两实根 D．方程f(x)＝0可能无实数解
10．若a
C．(a，b)和(b，c)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞)内
题型三 函数零点的个数
1．函数f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)的零点个数是( )
A．1B．2
C．3D．4
2．f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋2，x<0，,x2－1，x>0))的零点个数是( )
A．0B．1
C．2D．3
3．f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋2x－3，x≤0，,－2＋lnx，x>0))的零点个数为( )
A．3B．2
C．1D．0
4．求函数f(x)＝lg2x－x＋2的零点个数．
5．函数f(x)＝lnx＋3x－2的零点个数是________．
6．判断函数f(x)＝ln x＋x2－3的零点的个数．
7．已知f(x)是定义域为R的奇函数，且在(0，＋∞)内的零点有1009个，则f(x)的零点的个数为( )
A．1009B．1010
C．2018D．2019
8．函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4x－4，x≤1，,x2－4x＋3，x＞1))的图象和函数g(x)＝lg2x的图象的交点个数是________．
9．函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(1)>0，f(2)<0，则f(x)在(1,2)上的零点( )
A．至多有一个 B．有一个或两个
C．有且仅有一个 D．一个也没有
10．奇函数f(x)，偶函数g(x)的图象分别如图(1)，(2)所示，函数f(g(x))，g(f(x))的零点个数分别为m，n，
则m＋n＝________.
图(1) 图(2)
11．已知0
题型四 函数零点的应用
1．函数y＝x2－bx＋1有一个零点，则b的值为( )
A．2 B．－2
C．±2 D．3
2．若函数f(x)＝x＋eq \f(a,x)(a∈R)在区间(1,2)上有零点，则a的值可能是( )
A．－2 B．0
C．1 D．3
3．函数f(x)＝3ax＋1－2a在区间(－1,1)上存在一个零点，则a的取值范围是________．
4．已知函数f(x)＝x2－x－2a.
(1)若a＝1，求函数f(x)的零点；
(2)若f(x)有零点，求实数a的取值范围．
5．设x0是方程ln x＋x＝4的根，且x0∈(k，k＋1)，k∈Z，则k＝________.
6．方程x＋lg3x＝3的解为x0，若x0∈(n，n＋1)，n∈N，则n＝( )
A．0 B．1
C．2 D．3
7．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lgx，x＞0，,2x，x≤0，))若关于x的方程f(x)＝k有两个不等的实根，则实数k的取值范围是( )
A．(0，＋∞) B．(－∞，1)
C．(1，＋∞) D．(0,1]
8．已知函数f(x)＝x2－2x－3，x∈[－1,4]．
(1)画出函数y＝f(x)的图象，并写出其值域；
(2)当m为何值时，函数g(x)＝f(x)＋m在[－1,4]上有两个零点？
9．若函数f(x)＝ax2－x－1有且仅有一个负零点，求实数a的取值范围．
10．函数f(x)＝ax2－2x＋1，若y＝f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,2)))内有零点，则实数a的取值范围为________．
11．若方程|x2－4x|－a＝0有四个不相等的实根，则实数a的取值范围是________．
12．若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________．
13．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ex，x≤0，,ln x，x＞0，))g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是( )
A．[－1,0) B．[0，＋∞)
C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞)
14．已知函数f(x)＝3x＋x，g(x)＝lg3x＋2，h(x)＝lg3x＋x的零点依次为a，b，c，则a，b，c的大小关系是________．
15．已知函数f(x)＝－3x2＋2x－m＋1.
(1)当m为何值时，函数有两个零点、一个零点、无零点；
(2)若函数恰有一个零点在原点处，求m的值．
16．关于x的方程mx2＋2(m＋3)x＋2m＋14＝0有两实根，且一个大于4，一个小于4，求实数m的取值范围．
17．已知关于x的方程x2－2ax＋4＝0，在下列条件下，求实数a的取值范围．
(1)一个根大于1，一个根小于1；
(2)一个根在(0,1)内，另一个根在(6,8)内．
18．已知关于x的一元二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.
(1)若方程有两实根，其中一实根在区间(－1,0)内，另一实根在区间(1,2)内，求m的取值范围；
(2)若方程有两个不相等的实根，且均在区间(0,1)内，求m的取值范围．
19．已知函数f(x)＝x2－bx＋3.
(1)若f(0)＝f(4)，求函数f(x)的零点；
(2)若函数f(x)一个零点大于1，另一个零点小于1，求b的取值范围．
20．已知f(x)＝2(m＋1)x2＋4mx＋2m－1.
(1)当m满足什么条件时，函数f(x)有两个零点？
(2)若函数f(x)有两个零点x1，x2，且x1<0
22．已知函数f(x)＝2a·4x－2x－1.
(1)当a＝1时，求函数f(x)的零点；
(2)若函数f(x)有零点，求实数a的取值范围．
23．已知函数f(x)＝(lg2x)2＋4lg2x＋m，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,8)，4))，m为常数．
(1)设函数f(x)存在大于1的零点，求实数m的取值范围；
(2)设函数f(x)有两个互异的零点α，β，求实数m的取值范围，并求αβ的值．
24．已知函数f(x)＝lgx＋eq \f(1,2x)－eq \f(17,2).
(1)用单调性的定义证明：f(x)在定义域上是单调函数；
(2)证明：f(x)有零点；
(3)设f(x)的零点x0落在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,n＋1)，\f(1,n)))内，求正整数n的值．x
－1
0
1
2
3
ex
0.37
1
2.72
7.39
20.08
x＋3
2
3
4
5
6
专题39 函数的零点与方程的解
1．函数的零点
对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数解，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴的公共点的横坐标．
2．方程的解与函数零点的关系
方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点．
3．函数零点存在定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解．
注意：(1)函数y＝f(x)在(a，b)内有零点，f(a)·f(b)＜0不一定成立．
(2)若连续不断的曲线y＝f(x)在区间[a，b]上有f(a)·f(b)＜0，y＝f(x)在(a，b)内一定有零点，但不能确定有几个．
(3)如果单调函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有唯一的零点，即存在唯一的c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的实数解．
4．函数零点的求法
1代数法：求方程fx＝0的实数根.
2几何法：对于不能用求根公式的方程fx＝0，可以将它与函数y＝fx的图象联系起来.图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点.
5．判断函数零点个数的方法
(1)直接求出函数的零点进行判断．
(2)结合函数图象进行判断．
(3)借助函数的单调性进行判断．若函数f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且在区间(a，b)上单调，满足f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在区间(a，b)上有且仅有一个零点，如图所示．
题型一 求函数的零点
1．下列各图象表示的函数中没有零点的是( )
[解析]结合函数零点的定义可知选项D没有零点．
2．函数y＝4x－2的零点是( )
A．2B．(－2,0)
C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0))D．eq \f(1,2)
[解析]令y＝4x－2＝0，得x＝eq \f(1,2).∴函数y＝4x－2的零点为eq \f(1,2).
3．函数y＝2x－1的零点是( )
A.eq \f(1,2) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0)) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2))) D．2
[解析]由2x－1＝0得x＝eq \f(1,2).
4．函数f(x)＝eq \f(x－1ln x,x－3)的零点是________．
[解析]令f(x)＝0，即eq \f(x－1ln x,x－3)＝0，即x－1＝0或ln x＝0，∴x＝1，故函数f(x)的零点为1.
5．判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出；否则，请说明理由．
(1)f(x)＝x2＋7x＋6；(2)f(x)＝1－lg2(x＋3)；(3)f(x)＝2x－1－3；(4)f(x)＝eq \f(x2＋4x－12,x－2).
[解析] (1)解方程f(x)＝x2＋7x＋6＝0，得x＝－1或x＝－6，所以函数的零点是－1，－6.
(2)解方程f(x)＝1－lg2(x＋3)＝0，得x＝－1，所以函数的零点是－1.
(3)解方程f(x)＝2x－1－3＝0，得x＝lg26，所以函数的零点是lg26.
(4)解方程f(x)＝eq \f(x2＋4x－12,x－2)＝0，得x＝－6，所以函数的零点为－6.
6．若函数f(x)＝x2－ax＋b的两个零点是2和3，则函数g(x)＝bx2－ax－1的零点是( )
A．－1和eq \f(1,6) B．1和－eq \f(1,6)
C.eq \f(1,2)和eq \f(1,3) D．－eq \f(1,2)和eq \r(3)
[解析]∵函数f(x)＝x2－ax＋b的两个零点是2和3，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2＋3＝a，,2×3＝b，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝5，,b＝6，))∴g(x)＝6x2－5x－1，∴g(x)的零点为1和－eq \f(1,6)，故选B.
7．求函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋2x－3，x≤0，,－2＋ln x，x>0))的零点；
[解析] (1)当x≤0时，令x2＋2x－3＝0，解得x＝－3；
当x>0时，令－2＋ln x＝0，解得x＝e2.
所以函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋2x－3，x≤0,－2＋ln x，x>0))的零点为－3和e2.
8．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－1，x≤1，,1＋lg2x，x>1，))则函数f(x)的零点为( )
A.eq \f(1,2)，0 B．－2,0
C.eq \f(1,2) D．0
[解析]当x≤1时，由f(x)＝0，得2x－1＝0，所以x＝0；当x>1时，由f(x)＝0，得1＋lg2x＝0，
所以x＝eq \f(1,2)，不成立，所以函数的零点为0，故选D.
9．已知函数f(x)＝ax－b(a≠0)的零点为3，求函数g(x)＝bx2＋ax的零点．
[解析]由已知得f(3)＝0即3a－b＝0，即b＝3a.故g(x)＝3ax2＋ax＝ax(3x＋1)．
令g(x)＝0，即ax(3x＋1)＝0，解得x＝0或x＝－eq \f(1,3).
所以函数g(x)的零点为0和－eq \f(1,3).
10．若函数f(x)＝x2＋x－a的一个零点是－3，求实数a的值，并求函数f(x)其余的零点．
[解析]由题意知f(－3)＝0，即(－3)2－3－a＝0，a＝6，∴f(x)＝x2＋x－6.
解方程x2＋x－6＝0，得x＝－3或2.，∴函数f(x)其余的零点是2.
11．已知函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点分别是2和3，则函数g(x)＝bx2－ax－1的零点是________．
[解析]由题意知，方程x2－ax－b＝0的两根为2,3，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2＋3＝a，,2×3＝－b，))即a＝5，b＝－6，
∴方程bx2－ax－1＝－6x2－5x－1＝0的两根为－eq \f(1,2)，－eq \f(1,3)，即为函数g(x)的零点．
题型二 判断函数零点所在的区间
1．函数f(x)＝3x－4的零点所在区间为( )
A．(0,1) B．(－1,0) C．(2,3) D．(1,2)
[解析]由f(－1)＝－eq \f(11,3)<0，f(0)＝－3<0，f(1)＝－1<0，f(2)＝5>0，f(3)＝23>0，
得f(x)的零点所在区间为(1,2)．
2．函数f(x)＝2x－3的零点所在的区间是( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
[解析]∵f(1)＝2－3＝－1<0，f(2)＝4－3＝1>0，∴f(1)·f(2)<0，即f(x)的零点所在的区间为(1,2)．
3．函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的一个区间是( )
A．(－2，－1)B．(－1,0)
C．(0,1)D．(1,2)
[解析]因为函数f(x)的图象是一条连续不断的曲线，又f(－2)＝e－2－4<0，f(－1)＝e－1－3<0，f(0)＝－1<0，f(1)＝e－1>0，f(2)＝e2>0，所以f(0)·f(1)<0，故函数的零点所在的一个区间是(0,1)．
4．函数f(x)＝2x－eq \f(1,x)的零点所在的区间是( )
A．(1，＋∞) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(1,2))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，\f(1,3)))
[解析]由f(x)＝2x－eq \f(1,x)，得feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝2eq \s\up5(\f(1,2))－2<0，f(1)＝2－1＝1>0，∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))·f(1)<0.
∴零点所在区间为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1)).
5．函数f(x)＝lg x－eq \f(9,x)的零点所在的大致区间是( )
A．(6,7) B．(7,8) C．(8,9)D．(9,10)
[解析]因为f(9)＝lg 9－1<0，f(10)＝lg 10－eq \f(9,10)＝1－eq \f(9,10)>0，所以f(9)·f(10)<0，
所以f(x)＝lg x－eq \f(9,x)在区间(9,10)上有零点，故选D．
6．函数f(x)＝ln(x＋1)－eq \f(2,x)的零点所在的大致区间是( )
A．(3,4) B．(2，e) C．(1,2) D．(0,1)
[解析]因为f(1)＝ln 2－eq \f(2,1)<0，f(2)＝ln 3－1>0，且函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
所以函数的零点所在区间为(1,2)．故选C.
7．根据表格内的数据，可以断定方程ex－x－3＝0的一个根所在区间是( )
A.(－1,0) B．(0,1)
C．(1,2) D．(2,3)
[解析]构造函数f(x)＝ex－x－3，由上表可得f(－1)＝0.37－2＝－1.63<0，
f(0)＝1－3＝－2<0，f(1)＝2.72－4＝－1.28<0，f(2)＝7.39－5＝2.39>0，f(3)＝20.08－6＝14.08>0，
f(1)·f(2)<0，所以方程的一个根所在区间为(1,2)，故选C.
8．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分对应值如下表：
不求a，b，c的值，判断方程ax2＋bx＋c＝0的两根所在区间是( )
A．(－3，－1)和(2,4) B．(－3，－1)和(－1,1)
C．(－1,1)和(1,2) D．(－∞，－3)和(4，＋∞)
[解析]因为f(－3)＝6>0，f(－1)＝－4<0，所以二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)在(－3，－1)内必有零点．
又f(2)＝－4<0，f(4)＝6>0，所以在(2,4)内必有零点．
9．对于函数f(x)，若f(－1)·f(3)<0，则( )
A．方程f(x)＝0一定有实数解 B．方程f(x)＝0一定无实数解
C．方程f(x)＝0一定有两实根 D．方程f(x)＝0可能无实数解
[解析]∵函数f(x)的图象在(－1,3)上未必连续，故尽管f(－1)·f(3)<0，
但方程f(x)＝0在(－1,3)上可能无实数解．
10．若a
C．(a，b)和(b，c)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞)内
[解析]∵a
∴f(x)的零点分别位于(a，b)和(b，c)内．
题型三 函数零点的个数
1．函数f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)的零点个数是( )
A．1B．2
C．3D．4
[解析] ∵f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)＝(x－1)(x＋5)(x－2)，
∴由f(x)＝0得x＝－5或x＝1或x＝2.故函数f(x)的零点有3个．选C.
2．f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋2，x<0，,x2－1，x>0))的零点个数是( )
A．0B．1
C．2D．3
[解析]解法一：方程x＋2＝0(x<0)的根为x＝－2，方程x2－1＝0(x>0)的根为x＝1，
所以函数f(x)有2个零点：－2与1.
3．f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋2x－3，x≤0，,－2＋lnx，x>0))的零点个数为( )
A．3B．2
C．1D．0
[解析]当x≤0时，由x2＋2x－3＝0，得x＝－3；当x>0时，由－2＋lnx＝0，得x＝e2.
故函数f(x)有2个零点，选B.
4．求函数f(x)＝lg2x－x＋2的零点个数．
[解析]令f(x)＝0，得lg2x－x＋2＝0，即lg2x＝x－2.
令y1＝lg2x，y2＝x－2.画出两个函数的大致图象，如图所示．
由图可知，两个函数有两个不同的交点．所以函数f(x)＝lg2x－x＋2有两个零点．
5．函数f(x)＝lnx＋3x－2的零点个数是________．
[解析]解法一：由f(x)＝lnx＋3x－2＝0，得lnx＝2－3x，设g(x)＝lnx，h(x)＝2－3x，图象
如图所示，两个函数的图象有一个交点，故函数f(x)＝lnx＋3x－2有一个零点．
解法二：函数f(x)在(0，＋∞)单调递增，且feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e)))＝eq \f(3,e)－3<0，
f(1)＝1>0，所以函数f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e)，1))内有唯一零点．
6．判断函数f(x)＝ln x＋x2－3的零点的个数．
[解析]法一(图象法)：函数对应的方程为ln x＋x2－3＝0，
所以原函数零点的个数即为函数y＝ln x与y＝3－x2的图象交点个数．
在同一坐标系下，作出两函数的图象(如图)．
由图象知，函数y＝3－x2与y＝ln x的图象只有一个交点，从而ln x＋x2－3＝0有一个根，
即函数y＝ln x＋x2－3有一个零点．
法二(判定定理法)：由于f(1)＝ln 1＋12－3＝－2<0，f(2)＝ln 2＋22－3＝ln 2＋1>0，
∴f(1)·f(2)<0，又f(x)＝ln x＋x2－3的图象在(1,2)上是不间断的，所以f(x)在(1,2)上必有零点，
又f(x)在(0，＋∞)上是递增的，所以零点只有一个．
7．已知f(x)是定义域为R的奇函数，且在(0，＋∞)内的零点有1009个，则f(x)的零点的个数为( )
A．1009B．1010
C．2018D．2019
[解析]∵f(x)为奇函数，且在(0，＋∞)内有1009个零点，∴在(－∞，0)上也有1009个零点，
又∵f(0)＝0，∴共有1009×2＋1＝2019个．
8．函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4x－4，x≤1，,x2－4x＋3，x＞1))的图象和函数g(x)＝lg2x的图象的交点个数是________．
[解析]作出g(x)与f(x)的图象如图，由图知f(x)与g(x)有3个交点．
9．函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(1)>0，f(2)<0，则f(x)在(1,2)上的零点( )
A．至多有一个 B．有一个或两个
C．有且仅有一个 D．一个也没有
[解析]若a＝0，则f(x)＝ax2＋bx＋c是一次函数，由已知f(1)·f(2)<0，得只有一个零点；若a≠0，
则f(x)＝ax2＋bx＋c为二次函数，若有两个零点，则应有f(1)·f(2)>0，与已知矛盾．故仅有一个零点．
10．奇函数f(x)，偶函数g(x)的图象分别如图(1)，(2)所示，函数f(g(x))，g(f(x))的零点个数分别为m，n，
则m＋n＝________.
图(1) 图(2)
[解析]由题中函数图象知f(±1)＝0，f(0)＝0，geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(±\f(3,2)))＝0，g(0)＝0，g(±2)＝1，g(±1)＝－1，所以f(g(±2))＝f(1)＝0，f(g(±1))＝f(－1)＝0，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(g\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(±\f(3,2)))))＝f(0)＝0，f(g(0))＝f(0)＝0，所以f(g(x))有7个零点，即m＝7.又g(f(0))＝g(0)＝0，g(f(±1))＝g(0)＝0，所以g(f(x))有3个零点，即n＝3.所以m＋n＝10.
11．已知0
[解析]函数y＝a|x|－|lgax|(0
题型四 函数零点的应用
1．函数y＝x2－bx＋1有一个零点，则b的值为( )
A．2 B．－2
C．±2 D．3
[解析]因为函数有一个零点，所以Δ＝b2－4＝0，所以b＝±2.
2．若函数f(x)＝x＋eq \f(a,x)(a∈R)在区间(1,2)上有零点，则a的值可能是( )
A．－2 B．0
C．1 D．3
[解析]f(x)＝x＋eq \f(a,x)(a∈R)的图象在(1,2)上是连续不断的，逐个选项代入验证，当a＝－2时，
f(1)＝1－2＝－1<0，f(2)＝2－1＝1>0.故f(x)在区间(1,2)上有零点，同理，其他选项不符合，选A.
3．函数f(x)＝3ax＋1－2a在区间(－1,1)上存在一个零点，则a的取值范围是________．
[解析]由零点存在定理，得f(1)·f(－1)<0，即(3a＋1－2a)(－3a＋1－2a)<0，整理得(a＋1)(－5a＋1)<0，
解得a<－1或a>eq \f(1,5).
4．已知函数f(x)＝x2－x－2a.
(1)若a＝1，求函数f(x)的零点；
(2)若f(x)有零点，求实数a的取值范围．
[解析] (1)当a＝1时，f(x)＝x2－x－2.令f(x)＝x2－x－2＝0，得x＝－1或x＝2.
即函数f(x)的零点为－1和2.
(2)要使f(x)有零点，则Δ＝1＋8a≥0，解得a≥－eq \f(1,8)，所以a的取值范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,8)，＋∞)).
5．设x0是方程ln x＋x＝4的根，且x0∈(k，k＋1)，k∈Z，则k＝________.
[解析] 令f(x)＝ln x＋x－4，且f(x)在(0，＋∞)上递增，
∵f(2)＝ln 2＋2－4<0，f(3)＝ln 3－1>0，∴f(x)在(2,3)内有解，∴k＝2.
6．方程x＋lg3x＝3的解为x0，若x0∈(n，n＋1)，n∈N，则n＝( )
A．0 B．1
C．2 D．3
[解析]设f(x)＝x＋lg3x－3，则f(1)＝1＋lg31－3＝－2＜0，f(2)＝2＋lg32－3＝lg32－1＜0，
f(3)＝3＋lg33－3＝1＞0，又易知f(x)为单调增函数，∴方程x＋lg3x＝3的解在(2,3)内，因此n＝2.故选C.
7．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lgx，x＞0，,2x，x≤0，))若关于x的方程f(x)＝k有两个不等的实根，则实数k的取值范围是( )
A．(0，＋∞) B．(－∞，1)
C．(1，＋∞) D．(0,1]
[解析]作出函数f(x)的图象，由图象知，当0＜k≤1时，
y＝k与y＝f(x)的图象有两个交点，此时方程f(x)＝k有两个不等实根，
所以0＜k≤1，故选D.
8．已知函数f(x)＝x2－2x－3，x∈[－1,4]．
(1)画出函数y＝f(x)的图象，并写出其值域；
(2)当m为何值时，函数g(x)＝f(x)＋m在[－1,4]上有两个零点？
[解析] (1)依题意，得f(x)＝(x－1)2－4，x∈[－1,4]，其图象如图所示．
由图可知，函数f(x)的值域为[－4,5]．
(2)∵函数g(x)＝f(x)＋m在[－1,4]上有两个零点．
∴方程f(x)＝－m在x∈[－1,4]上有两相异的实数根，即函数y＝f(x)与y＝－m的图象有两个交点．
由(1)所作图象可知，－4<－m≤0，∴0≤m<4.
∴当0≤m<4时，函数y＝f(x)与y＝－m的图象有两个交点，
即当0≤m<4时，函数g(x)＝f(x)＋m在[－1,4]上有两个零点．
9．若函数f(x)＝ax2－x－1有且仅有一个负零点，求实数a的取值范围．
[解析]①当a＝0时，由f(x)＝－x－1＝0得x＝－1，符合题意；
②当a>0时，函数f(x)＝ax2－x－1为开口向上的抛物线，且f(0)＝－1<0，对称轴x＝eq \f(1,2a)>0，
所以f(x)必有一个负实根，符合题意；
③当a<0时，x＝eq \f(1,2a)<0，f(0)＝－1<0，所以Δ＝1＋4a＝0，即a＝－eq \f(1,4)，
此时f(x)＝－eq \f(1,4)x2－x－1＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＋1))2＝0，
所以x＝－2，符合题意．综上所述，a的取值范围是a≥0或a＝－eq \f(1,4).
10．函数f(x)＝ax2－2x＋1，若y＝f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,2)))内有零点，则实数a的取值范围为________．
[解析]当x＝0时，f(0)＝1≠0，当x≠0时，由f(x)＝ax2－2x＋1＝0，可得a＝－eq \f(1,x2)＋eq \f(2,x)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)－1))2＋1.
若f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,2)))内有零点，则f(x)＝0在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,2)))内有解，当－eq \f(1,2)≤x<0或0
所以实数a的取值范围为(－∞，0]．
11．若方程|x2－4x|－a＝0有四个不相等的实根，则实数a的取值范围是________．
[解析]由|x2－4x|－a＝0，得a＝|x2－4x|，作出函数y＝|x2－4x|的图象，
则由图象可知，要使方程|x2－4x|－a＝0有四个不相等的实根，则0＜a＜4.
12．若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________．
[解析]由f(x)＝|2x－2|－b＝0，得|2x－2|＝B．在同一平面直角坐标系中画出y＝|2x－2|与y＝b的图象，
如图所示，则当0
A．[－1,0) B．[0，＋∞)
C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞)
[解析]函数g(x)＝f(x)＋x＋a存在2个零点，即关于x的方程f(x)＝－x－a有2个不同的实根，
即函数f(x)的图象与直线y＝－x－a有2个交点，作出直线y＝－x－a与函数f(x)的图象，如图所示，
由图可知，－a≤1，解得a≥－1，故选C.
14．已知函数f(x)＝3x＋x，g(x)＝lg3x＋2，h(x)＝lg3x＋x的零点依次为a，b，c，则a，b，c的大小关系是________．
[解析]画出函数y＝3x，y＝lg3x，y＝－x，y＝－2的图象，如图所示，
观察图象可知，函数f(x)＝3x＋x，g(x)＝lg3x＋2，h(x)＝lg3x＋x的零点依次是点A，B，C的横坐标，
由图象可知a＜b＜c.
15．已知函数f(x)＝－3x2＋2x－m＋1.
(1)当m为何值时，函数有两个零点、一个零点、无零点；
(2)若函数恰有一个零点在原点处，求m的值．
[解析] (1)函数有两个零点，则对应方程－3x2＋2x－m＋1＝0有两个不相等的实数根，易知Δ＞0，
即4＋12(1－m)＞0，可解得m＜eq \f(4,3)；
由Δ＝0，可解得m＝eq \f(4,3)；
由Δ＜0，可解得m＞eq \f(4,3).
故当m＜eq \f(4,3)时，函数有两个零点；当m＝eq \f(4,3)时，函数有一个零点；当m＞eq \f(4,3)时，函数无零点．
(2)因为0是对应方程的根，有1－m＝0，可解得m＝1.
16．关于x的方程mx2＋2(m＋3)x＋2m＋14＝0有两实根，且一个大于4，一个小于4，求实数m的取值范围．
[解析]原方程可化为：x2＋eq \f(2m＋3,m)x＋eq \f(14,m)＋2＝0，令f(x)＝x2＋eq \f(2m＋3,m)x＋eq \f(14,m)＋2，则f(4)＜0，
即16＋eq \f(8m＋3,m)＋eq \f(14,m)＋2＜0，即eq \f(19,m)＜－13，解得－eq \f(19,13)＜m＜0.故实数m的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(19,13)，0)).
17．已知关于x的方程x2－2ax＋4＝0，在下列条件下，求实数a的取值范围．
(1)一个根大于1，一个根小于1；
(2)一个根在(0,1)内，另一个根在(6,8)内．
[解析] (1)方程x2－2ax＋4＝0的一个根大于1，一个根小于1，设f(x)＝x2－2ax＋4，
结合二次函数的图象与性质及零点存在定理得f(1)＝5－2a<0，解得a>eq \f(5,2).
(2)方程x2－2ax＋4＝0的一个根在(0,1)内，另一个根在(6,8)内，结合二次函数的图象与性质及零点存在定理，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f0＝4>0，,f1＝5－2a<0，,f6＝40－12a<0，,f8＝68－16a>0，))解得eq \f(10,3)
(1)若方程有两实根，其中一实根在区间(－1,0)内，另一实根在区间(1,2)内，求m的取值范围；
(2)若方程有两个不相等的实根，且均在区间(0,1)内，求m的取值范围．
[解析](1)令f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1，依题意得函数f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1的图象与x轴的交点分别在区间(－1,0)和(1,2)内，画出函数的大致图象如右图所示．
由图象得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f－1＝2>0，,f0＝2m＋1<0，,f1＝4m＋2<0，,f2＝6m＋5>0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m<－\f(1,2)，,m<－\f(1,2)，,m>－\f(5,6)，)) ∴－eq \f(5,6)
(2)根据函数图象与x轴的两个交点均在区间(0,1)内，画出函数的大致图象如右图所示．
由图象得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Δ>0，,0<－m<1，,f0>0，,f1>0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m>1＋\r(2)或m<1－\r(2)，,－1
19．已知函数f(x)＝x2－bx＋3.
(1)若f(0)＝f(4)，求函数f(x)的零点；
(2)若函数f(x)一个零点大于1，另一个零点小于1，求b的取值范围．
[解析] (1)由f(0)＝f(4)得3＝16－4b＋3，即b＝4，所以f(x)＝x2－4x＋3，令f(x)＝0，即x2－4x＋3＝0得x1＝3，x2＝1，所以f(x)的零点是1和3.
(2)因为f(x)的零点一个大于1，另一个小于1，如图．
需f(1)<0，即1－b＋3<0，所以b>4.故b的取值范围为(4，＋∞).
20．已知f(x)＝2(m＋1)x2＋4mx＋2m－1.
(1)当m满足什么条件时，函数f(x)有两个零点？
(2)若函数f(x)有两个零点x1，x2，且x1<0
(2)根据二次函数的图象，可知函数f(x)的两个零点满足x1<0
[解析]设f(x)＝4x2－2(m＋1)x＋m，则函数f(x)的图象与x轴的交点分别在区间(0,1)和(1,2)内，画出示意图(如图)：
则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f0＝m＞0，,f1＝4－2m＋1＋m＜0，,f2＝4×22－2×2m＋1＋m＞0，))解得2＜m＜4，所以实数m的取值范围为(2,4)．
22．已知函数f(x)＝2a·4x－2x－1.
(1)当a＝1时，求函数f(x)的零点；
(2)若函数f(x)有零点，求实数a的取值范围．
[解析] (1)当a＝1时，f(x)＝2·4x－2x－1.
令f(x)＝0，即2·(2x)2－2x－1＝0，解得2x＝1或2x＝－eq \f(1,2)(舍去)．
所以x＝0.所以函数f(x)的零点为0.
(2)若f(x)有零点，则方程2a·4x－2x－1＝0有解．
于是2a＝eq \f(2x＋1,4x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))x＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x＋\f(1,2)))2－eq \f(1,4).
因为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x>0，所以2a>eq \f(1,4)－eq \f(1,4)＝0，即a>0.
故实数a的取值范围为(0，＋∞)．
23．已知函数f(x)＝(lg2x)2＋4lg2x＋m，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,8)，4))，m为常数．
(1)设函数f(x)存在大于1的零点，求实数m的取值范围；
(2)设函数f(x)有两个互异的零点α，β，求实数m的取值范围，并求αβ的值．
[解析]令lg2x＝t，由x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,8)，4))，则f(x)＝g(t)＝t2＋4t＋m(t∈[－3,2])，
(1)由于函数f(x)存在大于1的零点，所以方程t2＋4t＋m＝0在t∈(0,2]内存在实数根，
由t2＋4t＋m＝0，得m＝－t2－4t，t∈(0,2]，所以实数m的取值范围是[－12,0)．
(2)函数f(x)有两个互异的零点α，β，则函数g(t)在[－3，2]内有两个互异的零点t1，t2，
其中t1＝lg2α，t2＝lg2β，
又因为g(t)表示的二次函数开口向上，对称轴t＝－2∈[－3,2]，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Δ＝16－4m>0，,g－3≥0，,g2≥0，))解得3≤m<4，所以实数m的取值范围是[3,4)．
根据根与系数的关系，可知t1＋t2＝－4，即lg2α＋lg2β＝－4，
所以lg2(αβ)＝－4，αβ＝2－4＝eq \f(1,16).
24．已知函数f(x)＝lgx＋eq \f(1,2x)－eq \f(17,2).
(1)用单调性的定义证明：f(x)在定义域上是单调函数；
(2)证明：f(x)有零点；
(3)设f(x)的零点x0落在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,n＋1)，\f(1,n)))内，求正整数n的值．
[解析] (1)证明：显然，f(x)的定义域为(0，＋∞)．
任取x1，x2∈(0，＋∞)，不妨设x1
则lgx1－lgx2>0，所以f(x1)－f(x2)＝(lgx1－lgx2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2x1)－\f(1,2x2)))>0，所以f(x1)>f(x2)．
故f(x)在定义域(0，＋∞)上是减函数．
(2)证明：因为f(1)＝0＋eq \f(1,2)－eq \f(17,2)＝－8<0，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,16)))＝4＋8－eq \f(17,2)＝eq \f(7,2)>0，所以f(1)·feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,16)))<0，
又因为f(x)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,16)，1))上是连续的，所以f(x)有零点．
(3)f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,11)))＝lgeq \f(1,11)＋eq \f(11,2)－eq \f(17,2)＝lg211－3>lg28－3＝0，
f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,10)))＝lgeq \f(1,10)＋5－eq \f(17,2)＝lg210－eq \f(7,2)＝lg25－eq \f(5,2)＝lg2eq \r(25)－lg2eq \r(32)<0，
所以f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,10)))f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,11)))<0，所以f(x)的零点x0落在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,11)，\f(1,10)))内．故n＝10.
x
－1
0
1
2
3
ex
0.37
1
2.72
7.39
20.08
x＋3
2
3
4
5
6
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