2023-2024学年湖南省部分校高一（上）联考数学试卷（10月份）（含解析）

2023-2024学年湖南省部分校高一（上）联考数学试卷（10月份）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.已知集合，，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.已知命题：，，则命题的否定为(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

3.“”是“”的(    )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

4.如图所示的图中，集合，，则阴影部分表示的集合是(    )

A.  B.  C.  D.

5.若，，且，，则(    )

A.  B.  C.  D.

6.某汽车制造厂建造了一个高科技自动化生产车间，据市场分析这个车间产出的总利润单位：千万元与运行年数满足二次函数关系，其函数图象如图所示，则这个车间运行年时，其产出的年平均利润最大．(    )

A.
B.
C.
D.

7.已知函数的最小值为，且图象关于直线对称，若当时，的最大值为，则的最大值为(    )

A.  B.  C.  D.

8.已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是(    )

A.  B.
C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.已知非空集合，，都是的子集，满足，，则(    )

A.  B.  C.  D.

10.若，，则(    )

A.  B.  C.  D.

11.已知关于的不等式的解集为或，则(    )

A.
B.
C. 不等式的解集为
D. 不等式的解集为

12.已知，，且，则(    )

A.
B. 的取值可以为
C. 当且仅当，时，取得最小值
D. 当且仅当，时，取得最小值

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.抛物线的顶点坐标为______ ．

14.给出一个能够说明命题“，”为假命题的数：______．

15.已知：，：，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是______ ．

16.已知集合，，则集合中的元素个数为______ ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.本小题分
设集合，．
Ⅰ若，求，；
Ⅱ设，若集合有个子集，求的取值集合．

18.本小题分
已知关于的不等式．
Ⅰ若此不等式的解集为，求，的值；
Ⅱ若，求不等式的解集．

19.本小题分
已知一个二次函数当时取得最小值，且其图象过点．
Ⅰ求此函数的图象与轴的交点坐标；
Ⅱ当时，求此函数的最大值．

20.本小题分
设，，，均为正数，且，证明：；
已知，且，比较和的大小．

21.本小题分
灯具有节能环保的作用，且使用寿命长．经过市场调查，可知生产某种灯需投入的年固定成本为万元每生产万件该产品，需另投入变动成本万元，在年产量不足万件时，，在年产量不小于万件时，每件产品售价为元．假设该产品每年的销量等于当年的产量．
Ⅰ写出年利润万元关于年产量万件的函数解析式；注：年利润年销售收入固定成本变动成本
Ⅱ年产量为多少万件时，年利润最大？最大年利润是多少？

22.本小题分
已知函数，其中，，．
Ⅰ若且，设此函数图象与轴的两个交点间的距离为，求的取值范围；
Ⅱ若且不等式的解集为，求的最小值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：因为集合，，
则，
故选：．
根据交集的定义可解．
本题考查交集的定义，属于基础题．

2.【答案】 

【解析】解：根据命题的否定，任意变存在，范围不变，结论相反，
则命题的否定为“，”．
故选：．
根据全称量词命题的否定求得结果．
本题主要考查全称命题的否定，属于基础题．

3.【答案】 

【解析】解：由不能推出，比如，
但，所以充分性不成立；
反过来，由可得，
所以必要性成立；
所以“”是“”必要不充分条件．
故选：．
举反例说明充分性不成立，再说明必要性成立，即可判断．
本题考查了充分必要条件，考查特殊值法的应用，是基础题．

4.【答案】 

【解析】解：集合，，
所以，，
阴影部分表示的集合是．
故选：．
直接利用集合的运算求出结果．
本题考查的知识要点：集合的运算，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．

5.【答案】 

【解析】解：由，且，
，，即，
，
，
．
故选：．
由，且，可得，，即；再由且即可得出，即可判断．
本题考查的知识点是不等式比较大小，实数的性质，难度不大，属于基础题．

6.【答案】 

【解析】解：由图象可知，函数的顶点为，
可设二次函数为，
二次函数过点，
，解得，
故二次函数为，
，当且仅当，即时，等号成立，
故这个车间运行年时，其产出的年平均利润最大．
故选：．
根据已知条件，先求出二次函数，再结合基本不等式的公式，即可求解．
本题主要考查函数的实际应用，考查转化能力，属于基础题．

7.【答案】 

【解析】由的图象关于直线对称，可得，，所以．
因为的最小值为，所以，可得，故，
令，解得或，
所以最小为，最大为，则的最大值为．
故选：．
利用二次函数的性质可求，的值，再结合最大值为，确定相应，的值即可．
本题考查二次函数的解析式的求法和二次函数在给定区间上的最值问题，属于中档题．

8.【答案】 

【解析】解：因为，且，
所以，
当且仅当，即，时等号成立，
若恒成立，则，解得，
即实数的取值范围是．
故选：．
由基本不等式可得的最小值，不等式恒成立转化为，求解即可得答案．
本题主要考查函数恒成立问题，基本不等式的应用，考查运算求解能力，属于中档题．

9.【答案】 

【解析】解：非空集合，，都是的子集，满足，，
作出韦恩图，如图，

对于，，故A正确；
对于，，故B正确；
对于，，故C错误；
对于，，故D正确．
故选：．
作出韦恩图，结合集合的运算能求出结果．
本题考查集合的运算，考查交集、并集、补集定义、韦恩图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

10.【答案】 

【解析】解：对于，因为，所以，则，则故选项A错误；
对于，因为，所以，
则，则选项B正确；
对于，因为，所以，则，
故选项C正确；
对于，因为，所以，则，故选项D错误，
故选：．
根据不等式的性质，作差与比较大小即可得出结果．
本题主要考查了不等式的性质，考查了作差法比较大小，属于基础题．

11.【答案】 

【解析】解：已知关于的不等式的解集为或，
则，即，，，
对于选项A，由上可知，选项A错误；
对于选项B，，即选项B正确；
对于选项C，即等价于，又，，即选项C正确；
对于选项D，等价于，即，解得：，故不等式的解集为，即选项D错误．
故选：．
已知关于的不等式的解集为或，则，即，，然后结合一元二次不等式的解法逐一判断即可得解．
本题考查了一元二次不等式的解法，属于基础题．

12.【答案】 

【解析】解：对于，因为，，且，所以，所以，所以，选项A错误；
对于，因为，，且，所以，其中，所以，
当且仅当，即，时取“”，所以选项B错误；
对于，因为，所以，当且仅当，即时取“”，选项C正确；
对于，因为，所以，当且仅当，即时取“”，选项D正确．
故选：．
根据，，且，得出，，再判断选项中的命题是否正确．
本题考查了基本不等式的应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．

13.【答案】 

【解析】解：因为，
故抛物线的顶点坐标为．
故答案为：．
利用配方法得出二次函数的顶点坐标．
本题考查二次函数的图象与性质，考查学生的直观想象能力，属基础题．

14.【答案】答案不唯一 

【解析】解：当时，，即此时命题“，”为假命题．
故答案为：答案不唯一．
由已知结合含有量词命题的真假关系即可判断．
本题主要考查了含量词的命题的真假关系的应用，属于基础题．

15.【答案】 

【解析】解：由：，：，
是的必要不充分条件，即，
解得：，即的取值范围是．
故答案为：．
由命题间的充分必要性及解不等式，求出答案即可．
本题考查了充分、必要条件及解不等式，是基础题．

16.【答案】 

【解析】解：集合，
，
即集合中的元素个数为个．
故答案为：．
利用元素与集合的关系求解．
本题主要考查了元素与集合的关系，属于基础题．

17.【答案】解：Ⅰ若，则，
又．
，；
Ⅱ设，若集合有个子集，则有个元素，
，，
或或，的取值集合为． 

【解析】Ⅰ将代入中，并用列举法表示，再利用交集与并集运算得答案；
Ⅱ问题转化为有个元素，结合，，即可求得的取值．
本题考查子集的定义和交集与并集的运算，是基础题．

18.【答案】解：Ⅰ不等式的解集为，
方程的两个根为与，则，
，．
Ⅱ当时，，
即，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
综上，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为． 

【解析】Ⅰ根据不等式的解集可得对应方程的两个根，再利用根与系数的关系建立等式，解之即可，
Ⅱ把代入不等式，先得到，再分，，三种情况求解即可．
本题主要考查了一元二次不等式的应用，以及根与系数的关系，同时考查了分析求解的能力和计算能力，属于基础题．

19.【答案】解析Ⅰ因为二次函数当时取得最小值，
所以可设其解析式为，即，
又因为函数图象过点，所以，得，
所以函数为，
令，得，，
所以此函数的图象与轴的交点坐标为，；
Ⅱ函数的图象是开口向上的抛物线，对称轴为，
故当时，函数为减函数，当时，函数为增函数，
当时，，当时，，
故当时，函数的最大值． 

【解析】Ⅰ设二次函数的顶点式为，代入点即可求出的值；Ⅱ利用二次函数在区间上的单调性．可知最大值是在区间的端点处取得，比较端点处函数值的大小，确定最大值即可．
本题考查了待定系数法求函数解析式，以及二次函数在闭区间的最值问题，属于中档题．

20.【答案】解：证明：，，
由，，得，
所以．
解：因为，且，
所以

，
所以． 

【解析】根据不等式的性质证明即可；
利用作差法比较大小．
本题考查不等式的证明，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，属中档题．

21.【答案】解：Ⅰ因为每件产品售价为元，所以万件产品的销售收入为万元，
依题意得，当时，，
当时，，
所以；
Ⅱ当时，，当时，取得最大值．
当时，，
当且仅当，即时，取得最大值．
因为，所以当年产量为万件时，年利润最大，最大年利润为万元． 

【解析】Ⅰ根据年利润年销售收入固定成本变动成本，分和两种情况讨论即可；
Ⅱ根据基本不等式分别计算最大值，比较即可．
本题考查函数模型的应用，属于中档题．

22.【答案】解：Ⅰ因为且，所以，，
由可得：及，
将不等式两边同时除以可得：，即．
又因为，所以方程的一个根为，所以另一个实根，
所以函数的图象与轴的两个交点间的距离，
所以的取值范围为．
Ⅱ根据题意得且，
所以且，
所以．
令，
则，
当且仅当，即，也即时取等号．
所以的最小值为． 

【解析】Ⅰ由题意可知：，，由及，得，再根据函数的图象与轴的两个交点间的距离，求出其取值范围即可；
Ⅱ根据二次函数的开口方向与判别式可得：且，进而可得，令，结合基本不等式求解即可．
本题考查二次函数的图象与性质、基本不等式的应用，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，属中档题．