2023-2024学年江苏省三校高二下学期5月学业水平选择性考试数学试题（含答案）

这是一份2023-2024学年江苏省三校高二下学期5月学业水平选择性考试数学试题（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.5人站成一列，甲、乙两人相邻的不同站法的种数为( )
A. 18B. 24C. 36D. 48
2.函数f(x)=(x−3)ex的单调递增区间是( )
A. −∞,2B. 0,3C. 1,4D. 2,+∞
3.函数f(x)=x3+ax2+bx+a2+a在x=1处有极值为7，则a=( )
A. −3或3B. 3或−9C. 3D. −3
4.某地区气象台统计，该地区下雨的概率是415，刮风的概率为215，既刮风又下雨的概率为110，则在刮风天里下雨的概率为( )
A. 8225B. 12C. 38D. 34
5.二项式 x−2x6展开式中常数项等于( )
A. 60B. −60C. 15D. −15
6.已知点A(1,2,−3),B(−1,0,1)，则AB=( )
A. 3 2B. 2 6C. 2 3D. 4
7.设(x−2)5=a+a1(x+1)+a2(x+1)2+⋯+a5(x+1)5，则a4=( )
A. −15B. 15C. −20D. 20
8.用红、黄、蓝、白、黑五种颜色在“田”字型的4个小方格内涂色，每格涂一种颜色，相邻两格涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有( )
A. 120B. 260C. 280D. 320
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知(x−12 x)n的展开式中共有7项，则下列选项正确的有( )
A. 所有项的二项式系数和为64B. 所有项的系数和为1
C. 系数最大的项为第4项D. 有理项共4项
10.已知函数f(x)=x2ex，下列关于f(x)的四个命题，其中真命题有( )
A. 函数f(x)在0,1上是增函数
B. 函数f(x)的最小值为0
C. 如果x∈0,t时，f(x)max=4e2，则t的最小值为2
D. 函数f(x)有2个零点
11.在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，AC与BD交于点O，则
A. AD1//平面BOC1B. BD⊥平面COC1
C. C1O与平面ABCD所成的角为45∘D. 三棱锥C−BOC1的体积为23
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知a=0,2,1，b=−1,1,−2，那么⟨a,b⟩=
13.某工厂将甲、乙等五名新招聘员工分配到三个不同的车间，每个车间至少分配一名员工，且甲、乙两名员工必须分到同一个车间，则不同分法的种数为 ．
14.已知函数fx=lnx−a−ex−b，若不等式f(x)≤0恒成立，则ba的最小值为 ；
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
坛子里放着5个大小，形状都相同的咸鸭蛋，其中有3个是绿皮的，2个是白皮的，如果不放回地依次拿出2个鸭蛋．
(1)求第1次拿出绿皮鸭蛋的概率；
(2)在第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下，求第2次拿出绿皮鸭蛋的概率．
16.(本小题12分)
如图，四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD．
(Ⅰ)证明：PA⊥BD；
(Ⅱ)若PD=AD，求二面角A−PB−C的余弦值．
17.(本小题12分)
设2x+ 34=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，求下列各式的值：
(1)a0+a1+a2+a3+a4；
(2)a1+a2+a3+a4；
(3)a0+a2+a42−a1+a32．
18.(本小题12分)
如图，四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD // BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．
(Ⅰ)证明MN //平面PAB;
(Ⅱ)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=ex−a(x−1)，其中a∈R,e为自然对数底数．
(1)当a=−1时，求函数f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；
(2)讨论函数f(x)的单调性，并写出相应的单调区间；
(3)已知b∈R，若函数f(x)≥b对任意x∈R都成立，求ab的最大值．
参考答案
1.D
2.D
3.C
4.D
5.A
6.B
7.A
8.B
9.AD
10.ABC
11.ABD
12.π2或90°
13.36
14.−1e
15.解：(1)
记“第1次拿出绿皮鸭蛋”为事件A，
易知P(A)=35；
即第1次拿出绿皮鸭蛋的概率为35；
(2)
记“第2次拿出绿皮鸭蛋”为事件B，
则可得P(AB)=35×24=310，
由条件概率计算公式可得P(BA)=P(AB)P(A)=12；
所以在第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下，求第2次拿出绿皮鸭蛋的概率为12．

16.解：设AB=2AD=2，
(Ⅰ)证明：因为∠DAB=60°，AB=2，AD=1，
由余弦定理得BD= 3，
∴BD2+AD2=AB2，故BD⊥AD，
∵PD⊥底面ABCD，BD⊂平面ABCD，
∴BD⊥PD，又AD∩PD=D，AD、PD⊂平面PAD，
∴BD⊥平面PAD，
又PA⊂平面PAD，∴PA⊥BD．
(Ⅱ)解：以D为原点，DA所在直线为x轴，DB所在直线为y轴，DP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，
则A1,0,0 ，B0, 3,0 ，C−1, 3,0 ，P0,0,1．
AB=−1, 3,0,PB=0, 3,−1,BC=(−1,0,0)．
设平面PBC的法向量m=(a,b,c)，
则{m⋅PB→= 3b−c=0m→⋅BC→=−a=0，取b= 3，得m=(0, 3,3)，
设平面APB的法向量n=(x,y,z)，
则n·AB=−x+ 3y=0n·PB= 3y−z=0，取y= 3，得n=(3, 3,3)，
设二面角A−PB−C的平面角为θ，由图象知θ为钝角，则 cs ⟨m,n⟩=m·n|m||n|=2 77．
故二面角A−PB−C的余弦值为 −2 77．

17.解：(1)
解：由2x+ 34=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，
令x=1，可得a0+a1+a2+a3+a4=2+ 34=97+56 3．
(2)
解：令x=0，可得a0=9，
所以a1+a2+a3+a4=a0+a1+a2+a3+a4−a0=88+56 3．
(3)
解：令x=1，可得a0+a1+a2+a3+a4=2+ 34，
令x=−1，可得a0−a1+a2−a3+a4=−2+ 34，
所以a0+a2+a42−a1+a32=(a0+a1+a2+a3+a4)(a0−a1+a2−a3+a4)
=[(2+ 3)(−2+ 3)]4=1

18.解：(I)由已知得AM=23AD=2，
取BP的中点T，连接AT，TN，由N为PC中点知TN//BC，TN=12BC=2．
又AD//BC，故TN= //AM，四边形AMNT为平行四边形，于是MN//AT
因为AT⊂平面PAB，MN⊄̸平面PAB，所以MN//平面PAB．
(Ⅱ)取BC的中点E，连结AE.由AB=AC得AE⊥BC，从而AE⊥AD，且
AE= AB2−BE2= AB2−(BC2)2= 5
以A为坐标原点，AE的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A−xyz.由题意知，
P(0,0,4)，M(0,2,0)，C( 5,2,0)，N( 52,1,2)，
PM=(0,2,−4)，PN=( 52,1,−2)，AN=( 52,1,2)．
设n=(x,y,z)为平面PMN的一个法向量，则
n⋅PM=0,n⋅PN=0,即2y−4z=0, 52x+y−2z=0,
可取n=(0,2,1)．
于是|cs ⟨n,AN⟩|=|n⋅AN||n||AN|=8 525．
故求直线AN与平面PMN所成角的正弦值为8 525．

19.解：(1)
当a=−1时，f′x=ex+1，f′1=e+1，f1=e，
∴函数fx在点1,f1处的切线方程为y−e=e+1x−1，
即y=e+1x−1．
(2)
∵f′x=ex−a，
①当a≤0时，f′x>0，函数fx在R上单调递增；
②当a>0时，由f′x=ex−a=0得x=lna，
∴x∈−∞,lna时，f′x<0，fx单调递减；
x∈lna,+∞时，f′x>0，fx单调递增．
综上，当a≤0时，函数fx的单调递增区间为(−∞,+∞)；
当a>0时，函数fx的单调递增区间为lna,+∞，单调递减区间为−∞,lna．
(3)
由(2)知，当a<0时，函数fx在R上单调递增，∴fx≥b不可能恒成立；
当a=0时，b≤0，此时ab=0；
当a>0时，由函数fx≥b对任意x∈R都成立，得b≤fminx，
∵fminx=flna=2a−alna，∴b≤2a−alna，
∴ab≤2a2−a2lna，
设ga=2a2−a2lnaa>0，
∴g′a=4a−2alna+a=3a−2alna，
由于a>0，令g′a=0，得lna=32，a=e32，
当a∈0,e32时，g′a>0，ga单调递增；
a∈e32,+∞时，g′a>0，ga单调递减．
∴gmaxa=e32，即ab的最大值为e32，
此时a=e32,b=12e32．