江苏省徐州市2023-2024学年高二下学期期中学业水平质量监测数学试题

这是一份江苏省徐州市2023-2024学年高二下学期期中学业水平质量监测数学试题，共8页。试卷主要包含了考试结束后，将答题卡交回，被3除的余数为，若，则m的取值可能是等内容，欢迎下载使用。

（本卷满分150分，共4页，考试时间120分钟）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将答题卡交回．
一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知，，且，则（ ）
A．4B．5C．6D．7
2．（ ）
A．B．C．D．
3．由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字且1，3不相邻的六位数的个数是（ ）
A．36B．72C．480D．600
4．已知向量，，共面，则实数t的值是（ ）
A．B．0C．1D．2
5．甲、乙等5人计划去上海、苏州及青岛三个城市调查农民工薪资情况．每个人只能去一个城市，并且每个城市都要有人去，则不同的分配方案共有种数为（ ）
A．150B．300C．450D．540
6．被3除的余数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
7．在正三棱锥A—BCD中，，F为AD的中点，，则的正弦值为（ ）
A．B．C．1D．
8．若将整个样本空间想象成一个1×1的正方形，任何事件都对应样本空间的一个子集，且事件发生的概率对应子集的面积，则如图所示的涂色部分的面积表示（ ）
A．事件A发生的概率B．事件B发生的概率
C．事件C不发生条件下事件A发生的概率D．事件A，B同时发生的概率
二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．若，则m的取值可能是（ ）
A．4B．5C．8D．9
10．已知A，B是两个随机事件，，下列命题正确的是（ ）
A．若A，B相互独立，则B．若事件，则
C．若A，B是对立事件，则D．若A，B是互斥事件，则
11．已知正方体的棱长为1，动点M，N在对角线AC，上移动，且，，则下列结论中正确的是（ ）
A．异面直线AC与所成的角为 B．线段MN的最小值为
C．MN与平面不平行D．存在，使得
三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）
12．已知正方体的棱长为1，则在上的投影向量的模为______．
13．展开式中含项的系数是______．
14．图为一个开关阵列，每个开关只有“开”和“关”两种状态，按其中一个开关1次将导致自身和所有相邻的开关改变状态．例如，按将导致，，，，改变状态．如果要求改变，，的状态，则需按开关的最少次数为______；如果只要求改变的状态，则需按开关的最少次数为______
四、解答题（本大题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．（13分）
已知，且满足各项的二项式系数之和为256
（1）求的值；
（2）求的值．
16．（15分）
如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为直角梯形，，，平面ABCD，，，M为PC的中点．
（1）求证：平面平面PCD；
（2）若，求直线BM与面PCD所成角的正弦值．
17．（15分）
在的展开式中，前3项的系数成等差数列，且第二项的系数大于1
（1）求展开式中含的项；
（2）求展开式中系数最大的项．
18．（17分）
设甲袋中有4个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和2个红球．
（1）现从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球．求从乙袋中取山的是2个红球的概率；
（2）先随机取一只袋，在再从该袋中先后随机取2个球，求第一次取出的是红球的前提下，第二次取出的球是白球的概率．
19．（17分）
在四棱柱中，已知，，，，，E是线段上的点．
（1）点到平面的距离；
（2）若E为的中点，求异面直线与AE所成角的余弦值；
（3）在线段上是否存在点E，使得二面角C—AE—D的余弦值为？若存在，请确定E点位置；若不存在，试说明理由．
2023—2024学年度第二学期期中学业水平质量监测
高二年级数学试题参考答案
一、填空题
1．A2．B3．C4．B5．A6．B7．D8．A
二、多项选择题
9．AD10．ABD11．AB
三、填空题
12．13．80014．3；5
四、解答题
15．解：（1）因为各项的二项式系数之和为256，所以，所以，
二项式展开式的通项为，所以．
（2）令，得，令，
得，所以．
16．（1）以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，设，
则，，，，，，
设平面PCD的一个法向量为，则，
即，不妨令，则，，
所以，同理可得平面PAC的一个法向量，
因为，所以，所以平面．
（2）由（1）知，，所以，，
因为，所以，即，解得，
故，所以，由（1）知，
设直线BM与平面PCD所成的角为，
则
17．解（1）二项式通项公式为
，
所以第一项的系数为：，第二项的系数为：，第三项的系数为：，
由于前三项的系数成等差数列，所以，解得，或 （舍去），
二项式通项公式为，
根据题意，得，解得，因此，展开式中含的项为
（2）设第k项的系数最大，故，
即，即，
解得，因为，所以或，
故系数最大的项为或．
18．解：（1）记事件：从甲袋中取出2个红球，：从甲袋中取出2个白球，：从甲袋中取出1个白球和1个红球，B：从乙袋中取出2个红球．显然，，，两两互斥，且正好为“从甲袋中任取2个球”的样本空间．
由全概率公式，得
．
答：从乙袋中取出的是2个红球的概率为．
（2）先随机取一只袋，在再从该袋中先后随机取2个球，求第一次取出的是红球的前提下，第二次取出的球是白球的概率；
解：设“取出的是甲袋”为事件，“取出的是乙袋”为事件，“第一次取出的球是红球”为事件B，“第二次取出的球是白球”为事件C，则，
，，
故，
所以
答：第一次取出的是红球的前提下，第二次取出的球是白球的概率为．
19．解：（1）以点A为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z，轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，则有，，，，，，
则，，
设面的一个法向量为，则，
令，则，，所以，所以点到面的距离
（2）因为E为的中点，所以，所以，，
所以
所以异面直线与AE所成角的余弦值为．
（3）设，其中，
则，，
设面ACE的一个法向量为，
则有，令，则，，
所以，平面ACE的一个法向量为，
设平面ADE的一个法向量为，则
，令，则，，
所以平面ADE的一个法向量为，
所以
若存在点E，使得二面角C一AE—D的余弦值为，则
，所以，解得或，
故存在或满足题意，即存在点E在D处或在靠近的三等分点处．
法2
（3）连接CA，则，易得，所以，又，
，所以，，所以CA，CD，两两互相垂直，
以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，则
，，，，
设，，则，
所以，，，
设平面AEC的一个法向量为，则
，即，
令，得，，所以，
同理可得平面AED的一个法向量，
所以，即，
解得或，所以存在点E在D处或在靠近的三等分点处．