浙江省台州市十校2023-2024学年高一下学期期中联考数学试卷(含答案)

这是一份浙江省台州市十校2023-2024学年高一下学期期中联考数学试卷(含答案)，共11页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，双空题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．若，其中i为虚数单位，则复数z在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
2．已知三角形中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则( )
A.B.-20C.20D.
3．内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，则的面积为( )
A.B.C.D.
4．已知向量，，，且，则实数( )
A.3B.0C.D.
5．如图所示，矩形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，则原图形OABC的面积是( )cm2.
A.12B.C.6D.
6．已知圆锥的底面圆半径为,侧面展开图是一个半圆面,则该圆锥的体积为( )
A.B.C.D.
7．窗户，在建筑学上是指墙或屋顶上建造的洞口，用以使光线或空气进入室内.如图1，这是一个外框为正八边形，中间是一个正方形的窗户，其中正方形和正八边形的中心重合，正方形的上，下边与正八边形的上、下边平行，边长都是4.如图2，A，B是中间正方形的两个相邻的顶点，P是外框正八边形上的一点，则的最大值是( )
A.B.C.D.
8．在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，则的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知i是虚数单位，在复平面内，下列说法正确的是( )
A.B.
C.若，则D.若复数z满足，则z是纯虚数
10．设内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列结论正确的是( )
A.若，，，则
B.若，则
C.若，，，则
D.若，则为等腰三角形或直角三角形
11．在正四面体中，若，M为的中点，下列结论正确的是( )
A.正四面体的体积为
B.正四面体外接球的表面积为
C.如果点P在线段上，则的最小值为
D.正四面体内接一个圆柱，使圆柱下底面在底面上，上底圆面与面、面、面均只有一个公共点，则圆柱的侧面积的最大值为
三、双空题
12．平面向量，中，已知，，且，则与的夹角为______，向量的坐标为______.
四、填空题
13．若i为虚数单位，复数z满足，则的最大值为______.
14．若G为的重心，，则的最小值为______.
五、解答题
15．已知i是虚数单位，是z的共轭复数.
（1）若，求复数z和；
（2）若复数是纯虚数，求实数m的值.
16．已知向量，，，且，.
（1）求与；
（2）若，，求向量与的夹角的大小.
17．如图，AB是圆柱的一条母线，BC过底而圆心O，D是圆上一点.已知，.
（1）求该圆柱的表面积；
（2）求的三边绕母线AB所在的直线旋转一周所围成的几何体的体积V.
18．在中，设A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知.
（1）求C的大小；
（2）若，求边长c的取值范围；
（3）若，求面积S的最大值.
19．如图，点P，Q分别是矩形ABCD的边DC，BC上的两点，，.
（1）若，，，求的范围；
（2）若，求的最小值；
（3）若，连接AP交BC的延长线于点T，Q为BC的中点，试探究线段AB上是否存在一点H，使得最大.若存在，求BH的长；若不存在，说明理由.
参考答案
1．答案：B
解析：
2．答案：C
解析：
3．答案：B
解析：
4．答案：A
解析：
5．答案：D
解析：
6．答案：C
解析：设圆锥的底面半径为r,母线为l,
由于圆锥的侧面展开图是一个半圆面,则,
所以,
所以圆锥的高,
圆锥的体积为.
7．答案：A
解析：
8．答案：D
解析：
9．答案：AD
解析：
10．答案：BD
解析：
11．答案：BCD
解析：由正四面体各棱都相等，即各面都为正三角形，故棱长为2，如下图示，
O为底面中心，则D，O，M共线，为体高，故，
所以，故正四面体的体积为，A错误；
由题设，外接球球心E在上，且半径，
所以，则，
故外接球的表面积为，B正确；
由题意知：将面与面沿翻折，使它们在同一个平面，如下图示，
所以且，，
又，而，
要使最小，只需A，P，C共线，则，
所以，C正确；
如下图，棱锥中一个平行于底面的截面所成正三角形的内切圆为正四面体内接一个圆柱的上底面，
若截面所成正三角形边长为，则圆柱体的高，圆柱底面半径为，
所以其侧面积，
故当时，，D正确.
故选：BCD.
12．答案：0，
解析：
13．答案：
解析：
14．答案：
解析：
15．答案：（1），
（2）2
解析：（1）因为，
由.得，
所以，
（2）因为是纯虚数，
所以，解得.
16、
（1）答案：，
解析：由得，，
所以，即，
由得，，
所以，即.
（2）答案：
解析：由（1）得，
，
所以，，，
所以，，
所以向量，的夹角为.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）由题意知AB是圆柱的一条母线，BC过底面圆心O，且，可得圆柱的底面圆的半径为，
则圆柱的底面积为，
圆柱的侧面积为，
所以圆柱的表面积为.
（2）由线段AC绕AB旋转一周所得几何体为以BC为底面半径，以AB为高的圆锥，体积记为，
线段AD绕AB旋转一周所得的几何体为BD为底面半径，以AB为高的圆锥，体积记为，
所以绕AB旋转一周而成的封闭几何体的体积为：
，
，
，
.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）在中，，由正弦定理得：，
因为，所以，
所以可化为，
即.
因为，所以，所以.
因为，所以.
（2）由三角形两边之和大于第三边可得：，即，
由余弦定理得：，即，
由基本不等式可得：，所以即，所以.
综上所述：.
所以边长c的取值范围为.
（3）由余弦定理得，
由重要不等式得，
当且仅当时取等号，
，
最大值为.
19．答案：（1）
（2）
（3）存在，
解析：（1）由，，故，，则，
，
由，故.
（2）如图所示，以A点为坐标原点，AB为x轴，建立直角坐标系，
设，，
则，，
，
当且仅当，即时，等号成立，
即的最小值为.
（3）如图所示，以A点为坐标原点，AB为x轴，建立直角坐标系，
由题意可得，，，即，
假设存在点H，使得最大，由，即有最大，
设，当时，角度为0，此时不可能最大，故，
则
，
当且仅当，即时，等号成立，
即存在，且.