2023-2024学年江苏省淮安市金湖中学高一（下）段考数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年江苏省淮安市金湖中学高一（下）段考数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若sinx=2 23，则cs2x=( )
A. 19B. −19C. 79D. −79
2.若AB=(3,4)，A(−2,−1)，则B点的坐标为( )
A. (1,3)B. (5,5)C. (1,5)D. (5,4)
3.已知α，β∈(0,π2)，且tanα=3，tanβ=2，则α+β=( )
A. 5π12B. 2π3C. 3π4D. 5π6
4.平面向量a与b的夹角为60°，a=(2,0)，|b|=1，则|a+2b|=( )
A. 3B. 2 3C. 4D. 12
5.如图，在平行四边形ABCD中，M为AB的中点，AC与DM交于点O，则OM=( )
A. 16AB−13AD
B. 13AB−23AD
C. 12AB−12AD
D. 14AB−13AD
6.已知a，b是夹角为120°的两个单位向量，若向量a+λb在向量a上的投影向量为2a，则λ=( )
A. −2B. 2C. −2 33D. 2 33
7.已知 3sinα=cs(π3−α)，则tan2α=( )
A. 33B. − 33C. − 3D. 3
8.已知sin(α−β)=13,tanαtanβ=5，则cs(2α+2β)=( )
A. −79B. −12C. 12D. 79
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.四边形ABCD为边长为1的正方形，M为边CD的中点，则( )
A. AB=2MDB. DM−CB=AM
C. AD+MC=MAD. AM⋅BC=1
10.下列选项中其值等于 32的是( )
A. cs215−sin215B. cs12°cs48°−sin12°sin48°
C. tan301−tan230D. 2cs5−sin25cs25
11.如图，△ABC中，BD=13BC，点E在线段AC上，AD与BE交于点F，BF=12BE，则下列说法正确的是( )
A. AD=23AB+13AC
B. |AE|=23|EC|
C. AF+2BF+CF=0
D. S△BFD：S△AFB=1：3
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设a，b是两个不共线的非零向量，若8a+kb和ka+2b共线，则实数k的值为 ．
13.若 3sinα+csα=m−2，则实数m的取值范围是______．
14.我们把由平面内夹角成60°的两条数轴Ox，Oy构成的坐标系，称为“@未来坐标系”，如图所示，e1,e2分别为Ox，Oy正方向上的单位向量，若向量OP=xe1+ye2，则把实数对(x,y)叫做向量OP的“@未来坐标”，记OP={x,y}，已知{x1,y1}，{x2,y2}分别为向量a,b的“@未来坐标”，若向量a,b的“@未来坐标”分别为{1,2}，{2,1}，则向量a,b的夹角的余弦值为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知向量a=(−3,1),b=(1,−2),m=a+kb(k∈R)．
(1)向量a,b夹角的余弦值；
(2)若向量m与2a−b垂直，求实数k的值；
(3)若向量c=(1,−1)，且m与向量kb+c平行，求实数k的值．
16.(本小题12分)
已知向量a=(sin12x, 3),b=(1,cs12x)，函数f(x)=a⋅b．
(1)若f(x)=0，且π(2)求f(x)的单调递增区间；
(3)若f(2α+π3)=1013,f(2β+4π3)=−65,α,β∈[0,π2]，求cs(α+β)的值．
17.(本小题12分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(x1,y1)在单位圆O上，∠xOA=α，且α∈(π6,π2).
(Ⅰ)若cs(α+π3)=−1113，求x1的值；
(Ⅱ)若B(x2,y2)也是单位圆O上的点，且∠AOB=π3.过点A、B分别做x轴的垂线，垂足为C、D，记△AOC的面积为S1，△BOD的面积为S2.设f(α)=S1+S2，求函数f(α)的最大值．
18.(本小题12分)
将一块圆心角为120°，半径为20cm的扇形铁片裁成一块矩形，有两种裁法(如图所示)，让矩形一边在扇形的一条半径OA(图1)，或让矩形一边与弦AB平行(图2)，对于图1和图2，均记∠MOA=θ．

(1)对于图1，请写出矩形面积S1关于θ的函数解析式；
(2)对于图2，请写出矩形面积S2关于θ的函数解析式；(提示：∠OQM=120°)
(3)试求出S1的最大值和S2的最大值，并比较哪种裁法得到的矩形的面积更大？
19.(本小题12分)
以C为钝角的△ABC中，BC=3．
(1)若BA=3BM，且|CM|=2,cs∠ACB=−13，求CM⋅CB；
(2)若BA⋅BC=12，当角A最大时，求△ABC的面积．
参考答案
1.D
2.A
3.C
4.B
5.A
6.A
7.D
8.C
9.BD
10.AC
11.ACD
12.±4
13.[0,4]
14.1314
15.解：(1)由已知可得，a⋅b=−3−2=−5，|a|= 10，|b|= 5，
所以cs〈a,b〉=a⋅b|a||b|=−5 10× 5=− 22；
(2)由已知可得，2a−b=2(−3,1)−(1,−2)=(−7,4)，m=a+kb=(−3,1)+(k,−2k)=(k−3,−2k+1)，
又向量m与2a−b垂直，所以m⋅(2a−b)=0，
即−7(k−3)+4(−2k+1)=−15k+25=0，解得k=53；
(3)由已知可得，kb+c=k(1,−2)+(1,−1)=(k+1,−2k−1)，
又m与向量kb+c平行，m=(k−3,−2k+1)，
所以(k−3)(−2k−1)−(−2k+1)(k+1)=0，
解得k=−13．
16.解：(1)因为f(x)=a⋅b=sin12x+ 3cs12x，且f(x)=0；
所以sin12x+ 3cs12x=0；
因为π所以cs12x≠0，所以tan12x=− 3，
所以12x=2π3，所以x=4π3；
(2)因为f(x)=sin12x+ 3cs12x=2(12sin12x+ 32cs12x)
=2(sin12xcsπ3+cs12xsinπ3)=2sin(12x+π3)，
令−π2+2kπ≤12x+π3≤π2+2kπ，k∈Z，
解得：−53π+4kπ≤x≤π3+4kπ，k∈Z，
所以函数f(x)的单调增区间为[−53+4kπ,π3+4kπ]，k∈Z．
(3)因为f(2α+π3)=2sin(α+π2)=2csα=1013，
所以csα=513；
又因为f(2β+4π3)=2sin(β+π)=−2sinβ=−65，
所以sinβ=35；
因为α、β∈[0,π2]，
所以sinα=1213，csβ=45；
所以cs(α+β)=csαcsβ−sinαsinβ=513×45−1213×35=−1665．
17.解：(Ⅰ)由三角函数的定义有x1=csα，
∵cs(α+π3)=−1113，α∈(π6,π2)，∴sin(α+π3)=4 313，
∴x1=csα=cs[(α+π3)−π3]=cs(α+π3)csπ3+sin(α+π3)sinπ3=−1113⋅12+4 313⋅ 32=126．
(Ⅱ)由y1=sinα，得S1=12x1y1=12csαsinα=14sin2α．
由定义得x2=cs(α+π3)，y2=sin(α+π3)，
又由α∈(π6,π2)，得α+π3∈(π2,5π6)，
于是，S2=−12x2y2=−12cs(α+π3)sin(α+π3)=−14sin(2α+2π3)．
∴f(α)=S1+S2=14sin2α−14sin(2α+2π3)=14sin2α−14(sin2αcs2π3+cs2αsin2π3)
=38sin2α− 38cs2α= 34( 32sin2α−12cs2α)= 34sin(2α−π6).
再根据2α−π6∈(π6,5π6)，可得当2α−π6=π2，即α=π3时，函数f(α)取得最大值 34．
18.解：(1)对于图1，在△OMP中，PM=20sinθ，OP=20csθ，
矩形PQMN的面积为S1=20sinθ×20csθ=200sin2θ(0°<θ<90°)；
(2)对于图2，在△OMQ中，由正弦定理得QM=OMsinθsin120∘，
由对称性可知，∠AOB的平分线OC所在直线为对称轴，则MN=2OMsin(60°−θ)，OM=20，
所以矩形PQMN的面积为S2=QM×MN=OMsinθsin120∘×2OMsin(60°−θ)=800(sinθcsθ− 33sin2θ)=800[12sin2θ− 33×1−cs2θ2]=800 33[sin(2θ+30°)−12](0°<θ<60°)；
(3)S1=200sin2θ(0°<θ<90°)，
当θ=45°时，S1取最大值，最大值为200；S2=800 33[sin(2θ+30°)−12](0°<θ<60°)，
当θ=30°时，S2取最大值，最大值为400 33，
所以S2>S1，选择图2裁法得到的矩形的面积更大．
19.解：(1)因为BA=3BM，所以BM=13BA，

所以CM=CB+BM=CB+13BA=CB+13(CA−CB)=23CB+13CA，
所以|CM|2=(23CB+13CA)2=49|CB|2+49CB⋅CA+19|CA|2，
即22=49×32+49×3b×(−13)+19b2，解得b=4，或b=0(舍去)，
在△ABC中用余弦定理，AB2=AC2+BC2−2AC⋅BC⋅cs∠ACB，
即AB2=42+32−2×4×3×(−13)=33，所以AB= 33，
所以BM=13AB= 333，在△MBC中，cs∠MCB=CM2+BC2−BM22CM⋅BC=22+32−( 333)22×2×3=79，
所以CM⋅CB=|CM|⋅|CB|⋅cs∠MCB=2×3×79=143；
(2)在△ABC中，BC=3，BA⋅BC=12，所以3|BA|cs∠ABC=12，
即ccs∠ABC=4，其几何意义为BA在BC方向上的投影始终为4，
所以过A作AD⊥BC，垂足为D，则BD=4，
如图建立平面直角坐标系，

设∠ACD=θ，∠ABC=β，∠BAC=α，A(x,y)，(y>0)，
tanθ=y,tanβ=y4，因为θ=α+β，所以α=θ−β，
所以tanα=tan(θ−β)=tanθ−tanβ1+tanθtanβ=y−y41+y⋅y4=3y+y4≤32 y⋅4y=34，
当且仅当y=4y，即y=2时取得等号，当tanα=34时，∠BAC取得最大值，
此时△ABC边BC上的高为y=2，所以△ABC的面积为S=12×3×2=3．